第5讲联结词完备集
析取范式
例 求公式(p→q)↔r的析取范式与合取范式。 解: (1)合取范式： (p→q)↔r (┐p∨q)↔ r ((┐p∨q)→ r)∧(r→(┐p∨q)) (┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
一、析取范式与合取范式
定义1： 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
例如，文字：p, ┐q, r, q. 简单析取式: p, q, p∨q, p∨┐p∨r, ┐p∨q∨┐r. 简单合取式: p, ┐r, ┐p∧r, ┐p∧q∧r, p∧q∧┐q.
例 求公式 (p→q)↔r的主析(合)取范式。 解: (1)主析取范式 由例 2.7 知，(p→q)↔r ⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) ∵ (┐p∧r)⇔┐p∧(┐q∨q)∧r ⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ⇔ m1∨m3 (q∧r) ⇔ (┐p∨p)∧q∧r ⇔(┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔ m3∨m7 （p∧┐q∧ ┐ r) ⇔ m4 ∴ (p→q)↔r ⇔m1∨m3∨m4∨m7
3. 主析取范式的用途（其主合取范式可类似论）： (1) 求公式的成真赋值与成假赋值 由上例已知. (2) 判断公式的类型,设公式A含n个命题变项，可知 （i）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个 极小项。 （ii）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何 极小项。此时，记A的主析取范式为0。 （iii）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含 一个极小项。
例如，析取范式：（┐p∧q）∨r, ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. 合取范式:(p∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. 定理： （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的 每个简单合取式都是矛盾式。 （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式。
连接词完备集的概念和意义
连接词完备集的概念和意义
连接词完备集是指在逻辑学和语法学中，由一组词汇组成的集合，用来在句子中连接不同的成分或陈述，并表示它们之间的关系。
这些词汇通常被称为连接词、连词或连续词。
连接词完备集的意义主要体现在以下几个方面：
1. 语法和句法构成：连接词完备集为语法学提供了一个标准的词汇列表，用来连接主语、谓语、宾语、定语等成分，从而构成完整的句子结构。
没有连接词，句子可能会缺少合适的连接，变得模糊或不完整。
2. 语义和逻辑关系：连接词完备集可以表示两个句子、短语或单词之间的不同语义和逻辑关系，如并列、对比、因果、转折等。
通过使用连接词，可以更准确地传达信息，使语言表达更明确和连贯。
3. 句子的组织和表达：连接词完备集可以帮助人们组织思想，控制句子的结构和表达方式。
它们提供了一系列工具，使得句子可以以不同的方式被串联和组织，从而更好地传达作者的意图和思维过程。
总的说来，连接词完备集的概念和意义在于提供一组标准的词汇工具，帮助人们在语法、逻辑和语义上进行正确的句子连接和表达，从而构建连贯、明确和有效
的语言表达。
联结词的完备集
联结词的完备集通常是指一组能够表达所有可能的逻辑关系的联结词。
在命题逻辑中，最常见的联结词完备集包括以下四个基本联结词：
1. 否定（Not）：
- 通常用“￢”或“~”表示，对一个命题进行否定。
2. 合取（And）：
- 通常用“∧”或“&”表示，将两个命题组合在一起，并要求它们同时为真。
3. 析取（Or）：
- 通常用“∨”或“|”表示，将两个命题组合在一起，并允许其中一个或两个同时为真。
4. 蕴含（Implication）：
- 通常用“→”或“⇒”表示，如果前件为真，则后件必须为真。
这四个基本联结词可以表达所有可能的命题逻辑关系。
然而，在某些情况下，我们也可以使用其他的一些联结词来替代这些基本联结词，例如：
1. 等价（Equivalence）：
- 通常用“↔”或“⇔”表示，当两个命题同时为真或同时为假时，它们之间存在等价关系。
2. 异或（Xor）：
- 通常用“⊕”表示，当两个命题的状态不同时，结果为真。
请注意，虽然这些联结词可以用于表达所有的逻辑关系，但在实际应用中，你可能会根据具体的需求和语境选择不同的联结词。
联结词的完备集
联结词的完备集
1.命题公式与真值函数的关系
含n个变元的命题公式可以视为一个n-元真值函数F:{0,1}n→{0,1}。
反之任何n-元真值函数都可以表示为一个含n个变元的命题公式。
问：用什么方法得到这样的命题公式？
答：根据真值表构造主析取范式。
例1.1 为下列真值函数F构造命题公式表示。
2.联接词的完备集
动机：一个有趣的问题是，用尽可能少的几种联结词所构造出的命题公式能否表示所有的真值函数？
定义2.1设S是一个联结词集合。
若由S中联结词所构造的命题公式可以表示所有真值函数，则称S是联结词的完备集。
定理2.2{,,}
⌝∧∨是联结词完备集。
证明
证毕
推论2.3 以下集合都是联结词完备集：
1）{,}
⌝∧
2）{,}
⌝∨
3）{,}
⌝→
证明
证毕定义2.4（1）与非联结词↑（2）或非联结词↓
定理2.5 {↑}与{↓}都是联结词完备集。
证明
证毕。
数理逻辑2.3
2.3 联结词的完备集一. n 元真值函数的个数*n 个命题变项p 1, p 2, …, p n , 每个p i 可取p i 或┐p i 形式, 共有2n 个极小项(极大项), 在主析取范式中, 每个极小项可以存在或不存在, 共有n22种组合方式, 每一种组合方式代表一种不同的主析取范式, 故共有n22种不同的主析取范式(主合取范式也类似).定义2.5: 称F: {0, 1}n →{0, 1}为n 元真值函数.*F 的自变量为n 个命题变项, 定义域{0, 1}n ={(0,0,…,0), (0,0,…,1), …, (1,1,…,1)}. n 个命题变项共可构成n 22个不同的真值函数. 例如: 1元真值函数有122= 4个, 如下表, 2元真值函数共有222= 16个(见下表), 3元真值函数共有322= 256个. 表1: 1元真值函数 p )1(0F )1(1F )1(2F )1(3F0 0 0 1 11 0 1 0 1表2: 2元真值函数p q )2(0F )2(1F )2(2F )2(3F )2(4F )2(5F )2(6F )2(7F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1p q )2(8F )2(9F )2(10F )2(11F )2(12F )2(13F )2(14F )2(15F 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1*每个真值函数与唯一的一个主析取范式等值.例如: ⇔)2(0F 0 (矛盾式), )2(1F ⇔ (p ∧q) ⇔ m 3)2(3F ⇔(p ∧┐q)∨(p ∧q)⇔m 2∨m 3 ,)2(13F ⇔(┐p ∧┐q)∨(┐p ∧q)∨(p ∧q)⇔m 0∨m 1∨m 3*每个主析取范式对应无穷多个等值的命题公式, 每一个命题公式又都对应唯一的等值的主析取范式. 所以, 每一个真值函数对应无穷多个等值的命题公式, 每一个命题公式又都对应唯一的等值的真值函数.定义2.6: 设S 是一个联结词的集合, 如果任何n (n ≥ 1)元真值函数都可以由仅含S 中的联结词构成的公式表示, 则称S 是联结词完备集.定理2.4: S = {┐,∧,∨}是联结词完备集.证明: 因为任何n(n ≥ 1)元真值函数都与唯一的主析取范式等值, 而在主析取范式中, 仅含联结词┐,∧,∨, 所以S = {┐,∧,∨}是联结词完备集.推论: 以下联结词集都是联结词完备集:(1) S1 = {┐,∧,∨,→}(2) S2 = {┐,∧,∨,→,↔}(3) S3 = {┐,∧}(4) S4 = {┐,∨}(5) S5 = {┐,→}证明: (1)和(2)是显然的.(3) 由于S = {┐,∧,∨}是联结词完备集, 因而只需证∨可用┐和∧表示. 事实上, p∨q⇔┐┐(p∨q)⇔┐(┐p∧┐q), 所以S3是联结词完备集.(4) 留作练习.(5) 已知S4 = {┐,∨}是联结词完备集, 只需证∨可用┐和→表示即可. 因为有p∨q⇔┐┐p∨q⇔┐p→q, 故S5 = {┐,→}是联结词完备集.*举例说明.*可以证明: 恒取0值的真值函数不能用仅含∧,∨,→,↔的公式表示, 因而{∧,∨,→,↔}不是联结词完备集, 进而它的任何子集都不是联结词完备集.*在计算机硬件设计中, 用与非门或用或非门设计逻辑线路. 这是两种新的联结词, 并且它们各自能构成联结词完备集.定义2.7: 设p,q是两个命题, 复合命题“p与q的否定式”称作p,q的与非式, 记作p↑q. 即p↑q⇔┐(p∧q). 符号↑称作与非联结词.复合命题“p或q的否定式”称作p,q的或非式, 记作p↓q . 即p↓q⇔┐(p∨q). 符号↓称作或非联结词.*p↑q为真当且仅当p与q不同时为真, p↓q为真当且仅当p 与q同时为真.定理2.5: {↑}, {↓}都是联结词完备集.证明: 已知{┐,∧,∨}为联结词完备集, 因而只需证明其中的每个联结词都可以由↑表示即可. 事实上┐p⇔┐(p∧p)⇔p↑pp∧q⇔┐┐(p∧q)⇔┐(p↑q)⇔(p↑q)↑(p↑q)p∨q⇔┐┐(p∨q)⇔┐(┐p∧┐q)⇔(┐p)↑(┐q)⇔(p↑p)↑(q↑q)从而{↑}是联结词完备集. 类似可证{↓}是联结词完备集.2.4 可满足性问题与消解法*命题公式的可满足性问题是算法理论的核心问题之一. 我们已知这个问题可以用真值表﹑主析取范式或主合取范式解决. 但这两个方法的计算量都很大. 本节介绍一个新的方法—消解法.由于任一公式都能化成等值的合取范式, 因而一般的命题公式的可满足性问题可以归结为合取范式的可满足性问题. *举例说明合取范式的可满足性问题.*合取范式中, 简单析取式中不同时出现某个命题变项和它的否定, 否则它为永真式, 可以把它从合取范式中消去. *称不含任何文字的简单析取式为空简单析取式, 记作λ. 规定空简单析取式是不可满足的.(因为对任何赋值, 空简单析取式中都没有文字为真). 因而, 含有空简单析取式的合取范式是不可满足的.设l 是一个文字, 记⎩⎨⎧⌝==⌝=p l p p l p l C若若,, 称作文字l 的补.下面用S 表示合取范式, 用C 表示简单析取式, 用l 表示文字. 设α是关于S 中命题变项的赋值, 用α(l),α(C)和 α(S)分别表示在α下l, C 和S 的值. 又设S 和S ’是两个合取范式, 用S ≈S ’表示S 是可满足的当且仅当S ’是可满足的. 定义2.8: 设C 1, C 2是两个简单析取式, C 1含文字l, C 2含文字l C , 从C 1中删去l, 从C 2中删去l C , 然后再将所得的结果析取成一个简单析取式, 称这样得到的简单析取式为C 1, C 2的(以l 和l C 为消解文字的)消解式或消解结果, 记作Res(C 1, C 2). 即设C 1=C 1’∨l, C 2 = C 2’∨l C , Res(C 1, C 2) = C 1’∨C 2’. 根据上述定义, 由C 1, C 2得到Res(C 1, C 2)的规则称作消解规则.*可以证明, 如果C 1, C 2可对多对(不同)文字消解, 其消解结果都是等值的. 例如: C 1 = ┐p ∨q ∨r, C 2 = p ∨┐r ∨┐s ∨t, 可消解为q ∨r ∨┐r ∨┐s ∨t (以p 和┐p 为消解文字), 或消解为┐p ∨q ∨p ∨┐s ∨t (以r 和┐r 为消解文字), 都是永真式.定理2.6: C 1∧C 2≈Res(C 1, C 2).证明: 记C = Res(C 1, C 2). 设消解文字为l, l C . 不妨设C 1 = C 1’∨l, C 2 = C 2’∨l C , 于是C = C 1’∨C 2’.假设C 1∧C 2是可满足的, α是满足它的赋值, 不妨设α(l) = 1, 由于α满足C 2, C 2必含有文字l ’ ≠ l 且α(l ’) = 1. 而C 中含l ’, 故α满足C.反之, 假设C 是可满足的, α是满足它的赋值. C 必含有文字l ’使得α(l ’) =1. 不妨设C 1’含有文字l ’. 把α扩张到l(l C )上, 取赋值α’如下:⎪⎩⎪⎨⎧===其它若若),(,1,0)('p l p l p p C αα 则C 1含有l ’且α’(l ’) =α(l ’) = 1, α’满足C 1, 又C 2含有l C 且α’(l C ) = 1, α’满足C 2, 从而C 1∧C 2是可满足的. *注意: C 1∧C 2与Res(C 1, C 2)具有相同的可满足性, 但它们不一定等值.例如: p ∨q ∨r 和p ∨┐r 可消解为p ∨q. α= (0,1,1)满足p ∨q, 但不满足(p ∨q ∨r)∧(p ∨┐r). α’ = (0,1,0)满足后者的赋值.*给定一个合取范式S, 从S 的简单析取式开始, 重复使用消解规则可以得到一个简单析取式序列. 根据定理2.6, 如果S是可满足的, 得到的所有简单析取式都是可满足的. 如果最后得到空简单析取式λ, 则S 不是可满足的.定义2.9: 设S 是合取范式, C 1, C 2, …, C n 是一个简单析取式序列. 如果对每个i (1≤i ≤n ), C i 是S 中的一个简单析取式,或者C i 是它之前的某两个简单析取式C j , C k (1≤j<k<i)的消解结果, 则称此序列是由S 导出C n 的消解序列. 当C n = λ时, 称此序列是S 的一个否证.推论: 如果合式范式S 有否证, 则S 不是可满足的.引理2.7: 设S 含有简单析取式l, 从S 中删去所有包含l 的简单析取式,再从剩下的简单析取式中删去l C , 把这样得到的合取范式记作S ’, 则S ≈S ’.证明: 假设S 是可满足的, α是满足S 的赋值. 由于S 含有简单析取式l, 必有α(l) = 1, 从而α(l C ) = 0. 对S ’中的任一简单析取式C ’, S 中有一个简单析取式C 使得C = C ’或C = C ’∨l C . 因为α使C 为真, 且α(l C ) = 0, C ’必含有l ’使得α(l ’) = 1, 从而α满足C ’, 得证S ’是可满足的.反之, 假设S ’是可满足的, α’是满足S ’的赋值. 由于S ’不含l 和l C , 可把α’扩张到l 上, 得到对S 的命题变项的赋值:⎪⎩⎪⎨⎧===C l p l p S p p p 若若中出现在若,0,1'),(')(αα 于是, 对S 中的任意简单析取式C, 若C 含l, 则α满足C; 若C 不含l, 则S ’中有C ’使得C = C ’或C = C ’∨l C . 而α’满足C ’,α和α’在S’上相同, 故α满足C.得证S是可满足的.定理2.8(消解完全性): 如果合取范式S是不可满足的, 则S 有否证.证明: 设S中含有k个命题变项, 用数学归纳法证明.当k=1时, S中只有一个命题变项, 设为p. 由于S是不可满足的, S中必同时含有简单析取式p和┐p,从而S有否证. 假设当k<n (n≥2)时, 定理成立, 要证k = n时定理也成立. 任意取定S中的一个命题变项p, 令S1表示S中所有含p 的简单析取式,S2表示S中所有含┐p的简单析取式,S3表示S 中所有既不含p又不含┐p的简单析取式. S’是如下得到的合取范式: 先删除S中所有含p的简单析取式, 然后再从剩下的简单析取式中删去文字┐p. S’是两个子合取范式S2’和S3的合取, 其中S2’是删去S2的所有简单析取式中的┐p后得到的合取范式. 令S”是如下得到的子句集: 先删除S中所有含┐p的简单析取式,然后再从剩下的简单析取式中删去文字p. S”也是两个子合取范式S1’和S3的合取, 其中S1’是删去S1的所有简单析取式中的p后得到的合取范式. 由引理2.7,S∧p≈S’, S∧┐p≈S”. 由于S是不可满足的, S∧p和S∧┐p 都是不可满足的, 故S’和S”也是不可满足的. 而S’和S”中命题变项的个数都小于n, 根据归纳假设, 存在从S’和S”导出λ的消解序列C1, C2, …, C i,和D1, D2, …, D j , 其中C i = D j = λ. 如果C t(1≤t≤i)是仅由S3中简单析取式消解得到的,则称C t 是与S 2’无关的; 否则称C t 是与S 2’有关的. 可类似地定义D t (1≤t ≤j )是与S 1’无关的和是与S 1’有关的. 分两种情况讨论如下:(1) C i 是与S 2’无关的, 或者D j 是与S 1’无关的, 此时可由S 3中的简单析取式消解得到λ, 这个消解序列也是S 的一个否证.(2) C i 是与S 2’有关的且D j 是与S 1’有关的, 对每个1≤t ≤i , 令 ⎩⎨⎧⌝∨=无关与若有关与若'22',',S C C S C p C C t t t tt 对每一个1≤t ≤j, 令⎩⎨⎧∨=无关与若有关与若'1'1',,S D D S D p D D t tt t t 不难看出C 1’, C 2’, …, C i ’和D 1’, D 2’, …, D j ’都是S 的消解序列, 分别得到C i ’ = ┐p 和D j ’ = p, 而Res(C i ’, D j ’) = λ. 因此, C 1’, C 2’, …, C i ’, D 1’, D 2’, …, D j ’,λ是S 的一个否证. k=n 时定理成立得证.推论: 合取范式S 是不可满足的当且仅当它有否证. 消解算法:输入: 合式公式A输出: 当A 是可满足时, 回答“yes ”; 否则回答“no ”.1. 求A 的合取范式S2. 令S 0和S 2为不含任何元素的集合, S 1为S 的所有简单析取式组成的集合3. 对S0中的每个简单析取式C1与S1中的每一个简单析取式C2:4. 如果C1, C2可以消解, 则5. 计算C = Res(C1, C2);6. 如果C = λ, 则7. 输出“no”, 计算结束.8. 如果S0和S1都不包含C, 则9. 把C加入S2;10. 对S1中的每一对子句C1, C211. 如果C1,C2可以消解, 则12.计算C = Res(C1, C2)13. 如果C = λ, 则14. 输出“no”, 计算结束.15. 如果S0与S1都不包含C, 则16. 把C加入S217. 如果S2中没有任何元素, 则18. 输出“yes”, 计算结束.19. 否则,把S1加入S0, 令S1等于S2, 清空S2, 返回步骤3. 例2.13: 用消解法判断下述公式是否可满足:(1) (┐p∨q)∧(p∨q)∧(┐q)(2) p∧(p∨q)∧(p∨┐q)∧(q∨┐r)∧(q∨r)解: (1) 这已经是合取范式, S=(┐p∨q)∧(p∨q)∧(┐q)第一次循环, S0 =φ,S1 = {┐p∨q, p∨q, ┐q}, S2 =φ┐p∨q, p∨q 消解得到q┐p∨q, ┐q 消解得到┐pp∨q, ┐q 消解得到pS2 = {p,┐p, q}第二次循环, S0 = {┐p∨q, p∨q, ┐q}, S1={p,┐p, q}, S2=φ┐p∨q, p 消解得到qp∨q, ┐p 消解得到q┐q, q 消解得到λ输出“no”, 计算结束.(2) S= p∧(p∨q)∧(p∨┐q)∧(q∨┐r)∧(q∨r)第一次循环, S0 =φ,S1={ p, p∨q, p∨┐q, q∨┐r, q∨r}, S2=φ.p∨q, p∨┐q 消解得到pp∨┐q, q∨┐r消解得到p∨┐rp∨┐q, q∨r 消解得到p∨rq∨┐r, q∨r 消解得到qS2= { p∨r, p∨┐r, q}第二次循环, S0 = { p, p∨q, p∨┐q, q∨┐r, q∨r},S1 = { p∨r, p∨┐r, q}, S2 =φp∨┐q, q 消解得到pq∨┐r, p∨r 消解得到p∨qq∨r, p∨┐r 消解得到p∨qp∨r, p∨┐r 消解得到pS2 = φ,输出“yes”, 计算结束.作业:1.用主析取范式判断下列公式是否等值:(p→q)→r与q→(p→r)2.用主合取范式判断下列公式是否等值:p→(q→r)与┐(p∧q)∨r3. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,∧}中联结词的公式:(1) (p→(q∧r))∨p(2) p∨┐q∨┐r4. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,∨}中联结词的公式: (p→(q∧┐p))∧q∧r5. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,→}中联结词的公式: (p∧q)∨r6. 用消解法判断下述公式是否可满足的(1) p∧(┐p∨┐q)∧q(2) (p∨q)∧(p∨┐q)∧(┐p∨r)。
第一章-命题逻辑05-联结词的完全集_
F 的真值表的最后一列有三个 1 , 即有三个真值赋值满足 Fpq ,它们是 (p/0,q/0) (p/0,q/1) (p/1,q/0)
因此, FpqE(\ p[\ q)Z(\ p[q)Z(p[\ q) □ □
基本完全集
5.t;,?,) 都可由{\ ,[,Z} 定义.
□
5.2定义(完全集) 完全与极小完全:
设 S 是联结词集合. 如果每个 n61 元的联结词都可由 S 定义, 则称 S 为完全集. 假设 S 是完全的, 且从该集合中删除任何一个联结词之后都不是完全 的, 则称 S 为极小完全集.
□
5.2例子 对于每个 n61 元的真值函数 F ,我们可以找到一个由 {\ ,[,Z} 生成 的公式定义它. 二元真值函数 F 的真值表如下
□ □
极小完全集: {\ ,[}
5.3例子
{\ ,[} 是极小完全集。 □
证明 \ ,[,Z 都可由{\ ,[} 定义, 所以{\ ,[} 也是完全集. {\ ,[} 有两个真子集 {[} 和 {\ } :
{[} 不是完全集. {\ } 不是完全集. 所以 {\ ,[} 是极小完全集,
□ □
□
证明 对任意的 n (n61 ) 元联结词 F , 假定 p1,l,pn 是不同的命题变元. 以下定义由 {\ ,[,Z} 生成的公式 A :
若 Fp1lpn 是永假式,取 A 为 p1[\ p1 . 若 Fp1lpn 是可满足式,满足 Fp1lpn 的真值赋值为
(p1/a11,l,pn/a1n),l,(p1/am 1 ,l,pn/am n )
极小完全集: {\ ,Z}
5.4例子 {\ ,Z} 是极小完全集。
1.5联结词全功能集(离散数学)PPT
定理 {, ∧,∨}、{, ∧}、{, ∨}、{, →}都是 联结词全功能集. 证明 每一个真值函数都可以用一个主析取范式表示, 故{, ∧,∨}是联结词全功能集.
p∨q(p∧q)，故{, ∧}是全功能集. p∧q(p∨q)，故{, ∨}是全功能集. p→qp∨q, 故{, →}也是全功能集.
2
例(续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4
1110 *
2 x1∧x2∧x3∧x4
1011 *
43 x1x∧1∧x22∧x33∧x4x4 01101110 *
5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 *
67 xx11∧∧xx22∧∧xx3∧3∧xx4 4 00001011 **
20
例(续)
最简展开式为
F(x1∧x3∧x4)∨(x1∧x2∧x3)∨(x1∧x4) 或
F(x1∧x3∧x4)∨(22 x2∧x3∧x4)∨(x1∧x4)
小结
组合电路 逻辑门 奎因-莫可拉斯基方法
23
练习：
P34： 1.16 1.17:(1)
24
21
(3,5,6,7)
第二批
项
x1∧x4
表示串
0 1
例(续)
项
覆盖 运算符数
x1∧x3∧x4 (1,4)
3
x1∧x2∧x3 (2,4)
3
x2∧x3∧x4 (2,6)
3
x1∧x4 (3,5,6,7)
2
选择(1,4), (2,4)和(3,5,6,7), 或者(1,4), (2,6)和(3,5,6,7).
定义1.19（与非、或非） 设p、q为两个命题，复合命题“p与q的否定”称
命题逻辑
假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题，但真值现在不知道 不是命题，悖论
6
命题符号： 用来表示命题符号。
通常用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示命题。 例如，令 p：2 是有理数，则 p 的真值为0， q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为1 命题符号分类：
0 v(A ) 1
若v(B ) 1且v(C ) 0
else
7、若A为等价式(B C) ，则
1 v(A ) 0
若v(B ) v(C )
else
成真赋值：当v(A)=1时，称v满足A，记为v 成假赋值：当v(A)=0时，称v不满足A，记为v 例、A=pq v(p)=1,v(q)=0, v(A)=1 v(p)=0,v(q)=0, v(A)=0
36
判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r p q r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 qr 1 1 0 1 1 1 0 1 p(qr) 1 1 1 1 1 1 0 1 pq (pq)r 1 1 1 1 1 1 0 1
这些联结词有明确的含义，注意与自然语言对应词的联系与区别 !
否定词符号
设p是一个命题， p称为p的否定式。 p是真的当且仅当p是假的。 p 1 p 0
0
例、 p： 上海是一个大城市。 p：上海不是一个大城市。
1
合取词符号
设p，q是两个命题，命题 “p并且q”称为p，q的合取， 记以pq，读作p且q。 pq是真的当且仅当p和q都是真的。 例、 p：22=5， q：雪是黑的 pq：22=5并且雪是黑的
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2n
真值函数与联结词
每个（二元）联结词确定了一个（二元） 真值函数。 每个（二元）真值函数也确定了一个 （二元）联结词。 二元联结词总共可以有24＝16个
19
真值函数确定联结词
20
所有可能的联结词
二元联结词总共可以有24＝16个
p q 0 0 1 1 0 1 0 1
永 p 假 ∧
?
0 0 1 0
12
通过真值表构造公式
A=p∧¬q ∧ r
1 0 1
B= ⇔ （┐p ∨ ┐q ∨ r） ∧ （┐p ∨ ┐q ∨ ┐ r）
1 1 0 1 1 1
13
举例(等值式S23)
A, B, C, D 4人做百米竞赛,观众甲、乙、 丙预测比赛名次为： 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 丙：A第二，D第四； 结果甲，乙，丙各对一半，试问实际名 次(无并列)
10
通过真值表构造合取范式
α=(p∧q) → (¬(q∨r)) ⇔ （┐p ∨ ┐q ∨ r） ∧ （┐p ∨ ┐q ∨ ┐ r）
1 1 0 1 1 1
11
真值表确定公式
p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 A 0 0 0 0 0 1 0 0 B 1 1 1 1 0 1 1 0
p
?
0 1 0 0
q
q
p p ∇ ∨ q q
?
1 0 0 0
p ¬ ↔ q q
q ¬ p → p → p q
?
1 1 1 0
永 真
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
21
6
范式应用：
1) 判断两公式是否等值； 2) 判断公式类型(永真、永假，可满足) 例：(1)┐(p→q)∧q 永假 (2)((p→q)∧p) →q ∑(0,1,2,3)永真 (3)(p→q)∧q ∑(1,3) 3) 求真值表
7
真值表和范式的相互构造
范式→真值表
极小项对应成真赋值 极大项对应成假赋值源自14甲、乙、丙预测比赛
(C1∧┐B2)∨(┐C1∧B2)不可兼或
设Ai, Bi, Ci, Di 分别表示A，B，C，D第i 名 i=1,2,3,4; 则有 ① (C1∧┐B2)∨(┐C1∧B2) ⇔1 ② (C2∧┐D3)∨(┐C2∧D3) ⇔1 ③ (A2∧┐D4)∨(┐A2∧D4) ⇔1 三式同时成立
思考：{┐，∇},{┐，→}是否是完备集 ？
32
c
联结词完备集举例续3
{↑}是否是完备集 ？
p∧q⇔┐(p↑q) ┐p⇔p↑p
同理： {↓}也是完备集
p∨q⇔┐(p↓q) ┐p⇔p↓p
33
可满足性问题
命题公式的可满足性问题 (简称SAT问题) 是指布尔表达式的可满足性问题。它是 理论计算机科学中的一个核心问题。在 数理逻辑、人工智能、约束满足问题、 VLSI集成电路设计与检测以及计算机科 学理论等领域具有广阔的应用背景。 SAT问题是NP完备问题
15
不可兼或
新的联结词 p∇q ⇔(p∧┐q)∨(┐p∧q)
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∇q 0 1 1 0
16
不可兼或
是否还可能有其他联结词？
若有，可以有多少种不同的二元联结词？
17
真值函数
定义: {0, 1}上的n元函数 f: { 0, 1}n →{ 0, 1} 就称为一个n元真值函数（布尔函数） 自变量有2n组不同的取值，真值函数取 值只有两种：1 0 共有 2 种不同的真值函数
36
作业：
P40 9(2) 、10(2)、 17-20 (每题任选一小题)， 21、27，28，30
37
可以证明任何一个仅含“↔”和“┐”的二 元命题合式公式真值中有1和0 的个数都是偶 数的。 不是
31
联结词完备集举例续2
{∧ ， ∨ ，→ ，↔}不是完备集
（只需证明┐p无法由仅含此联结词集中的联结词的 公式表示即可 ） 总取0值的真值函数不能由只含此联结词集中的联 结词的命题形式来表示。因为这样的命题形式在其 中的命题变元都取1时也取值1, 而不为0. {∧}，{∨}，{¬}，{→}，{↔}都不是完备集
其他联结词
不可兼或∇,蕴涵否定→,与非↑,或非↓
p q 0 0 1 1 0 1 0 1
永 p p p c 假 ∧ →
c
q
q
q q c → p
p p p p ¬ ∇ ∨ ↓ ↔ q q q q q
q ¬ p p 永 → p → ↑ 真 p q q
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
3
同一真值函数
(p∧q)→r和 p→(q→r)对应同一个真值函 数 ¬p∨¬q∨r
4
标准型(范式)
——同一真值函数所对应的所有命题公 式具有相同的标准型
析取范式 合取范式 主析取范式(极小项) 主合取范式(极大项)
5
范式示例
┐(((p∨q) →r) →p) ⇔ ┐p∧(┐ q ∨ r) ⇔ (┐p∧┐ q) ∨(┐p∧ r) ⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q ∧┐r) ∨(┐p∧┐q∧r) ∨(┐p∧q∧r) ⇔m0∨m1∨m3 ⇔∑(0,1,3)
34
合取范式的可满足问题
不含任何文字的简单析取式为空简单析 取式，记作λ。 空简单析取式是不可满足的 设l是一个文字，lc= p, 若l= ¬ p 称为文字l的补。
35
¬p, 若l=p
消解规则
定义：设C1 , C2是两个简单析取式，C1含 文字l, C2含文字lc, 从C1中删除文字l,从C2 中删除文字lc后将得到的两个结果析取成 一个简单析取式，称为C1 和C2的消解式 或消解结果,记为Res(C1 , C2). 消解算法（P36-37）
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
22
其他联结词
不可兼或∇: p∇q ⇔ ┐(p↔q ) c c 蕴涵否定→: p→q ⇔ ┐(p→q ) 与非↑: p↑q ⇔ ┐(p∧q ) 或非↓: p↓q ⇔ ┐(p∨q )
29
联结词完备集举例
{∧，∨，¬，→，↔}是完备集 {∧，∨，¬ }是完备集
p↔q⇔ (p→q)∧(q→p) p→q⇔┐p∨q
{┐，∨}和{┐，∧} 是否是完备集?
p∨q⇔┐(┐p∧┐q) p∧q⇔┐(┐p∨┐q)
30
联结词完备集举例续1
{¬，→}是否是完备集 ？
p∨q ⇔┐ p→q
{┐，↔}是否是完备集？
23
不可兼或联结词
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∇q 0 1 1 0
24
蕴涵否定联结词
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
c p→q
0 0 1 0
25
与非联结词
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↑q 1 1 1 0
26
或非联结词
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↓q 1 0 0 0
上节内容回顾
1
等值演算
(p∧q)→r⇔ p→(q→r) 解： (p∧q)→r ⇔ ¬(p∧q)∨r （蕴涵等值式） ⇔ (¬p∨¬q)∨r （德●摩根律） ⇔ ¬p∨¬q∨r （结合律） p→(q→r) ⇔ ¬p ∨ (¬ q∨r) （蕴涵等值式） ⇔ ¬p∨¬q∨r （结合律）
2
真值表
p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 (p∧q)→r 1 1 1 1 1 1 0 1 p → (q → r) 1 1 1 1 1 1 0 1
真值表→范式
8
α=(p∧q) → (¬(q∨r))的真值表
9
通过真值表构造析取范式
α=(p∧q) → (¬(q∨r))
⇔ （┐p ∧ ┐q ∧ 0 0 （┐p ∧ q ∧ ┐r） 0 1 0 （p ∧ ┐q ∧ ┐r） 1 0 0 ┐r） ∨ （┐p ∧ ┐q ∧ r） ∨ 0 0 0 1 ∨ （┐p ∧ q ∧ r） ∨ 0 1 1 ∨ （p ∧ ┐q ∧ r） 1 0 1
27
问题
常用五个联结词┐， ∧， ∨， → ，↔ 是否有冗余呢？
A→B⇔¬A∨B A↔B⇔( A→B) ∧ (B → A)
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联结词完备集
（Functionally Complete）
设S是联结词的一个集合，称C为联结词的一 个完备集，如果任一个命题公式都能够逻辑等值 于仅包含S中联结词的公式。 最（极）小完备联结词集： ——若一个完备集的任何真子集都不是完备 集(最小联结词组)。