备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题26 数列求和方法答案解析
高中数列求和的种方法
破解数列求和的6种常见方法数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良好素材，是历年高考的一大热点，在高考命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现，一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，因此，我们有必要对数列求和的各种方法进行系统探讨。
一 、公式求和法通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后，可直接利用等差、等比数列的求和公式求和，或者利用前n 个正整数和的计算公式等直接求和。
因此有必要熟练掌握一些常见的数列的前n 项和公式.正整数和公式有： 例1 已知数列(){}n f 的前n 项和为n S ，且.22n n S n+=若(),11f a =()n n a f a =+1()*∈N n ,求数列{}na 的前n 项和.nT分析：根据数列的项和前n 项和的关系入手求出(),n f 再根据()n n a f a =+1（∈n*N )求出数列{}n a 的通项公式后，确定数列的特点，根据公式解决.【解析】当2≥n时，().121+=-=-n S S n f n n 当1=n 时，(),311==S f 适合上式，()12+=∴n n f ()*∈N n ，(),311==f a 121+=+n n a a ()*∈N n ，即)1(211+=++n n a a ，{}1+∴n a 数列是首项为4、公比为2的等比数列.【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列的求和，一些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题.二、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如： ①{}n n b a +,其中{}{}⎩⎨⎧是等比数列；是等差数列；n n b a ②()()⎩⎨⎧∈=-==*Nk k n n g k n n f a n,2,,12, 例2 已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n n 求数列{}n a 的前n 项和.分析：该数列的通项是由一个等比数列{}n2与一个等差数列{}13-n 组成的，所以可将其转化为一个等比数列与一个等差数列进行分组求和. 【解析】()()()132********-+++++=++=n a a a S n n nΛΛ=()()[].135222221-++++++n nΛΛ=()()[]213221212-++--n n n =.22123221-+++n n n 【能力提升】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就可以用此方法求和.三、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求和.例3 已知数列{}n a 是首项为,411=a 公比为41=q 的等比数列，设n n a b 41log 32=+()*∈N n ，数列{}n c 满足.n n n b a c ⋅=求数列{}n c 的前n 项和.n S分析：根据等比数列的性质可以知道数列{}n b 为等差数列，这样数列{}n c 就是一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的数列，因而可考虑用错位相减法来解决.【解析】由题意知，nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41()*∈N n ，又2log 341-=n n a b ，故，23-=n b n()*∈N n .()nn n c ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=∴4123()*∈N n ,于是()(),41234153417414411411432+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n n n S Λ两式相减,得()().4123214123414141341431132++⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n S Λnn n S ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-=∴4132332()*∈N n .【能力提升】错位相减法适用于数列{}n n b a ，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.若等比数列{}n b 中公比q 未知，则需要对公比q 分11≠=q q和两种情况进行分类讨论.四、倒序相加法 如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.例4 已知函数().211223⎪⎭⎫ ⎝⎛≠--=x x x x F求.200920082009220091⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛F F F Λ 分析：由所求的和式的特点，易想到探究：和为1的两个自变量函数值的和是否为常数.从而确定可否用倒序相加法求和. 【解析】因为()()()().311221312231=----+--=-+x x x x x F x F所以设.200920082009220091⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=F F F SΛ, ① ,200912009200720092008⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=F F F S Λ ②①+ ②得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2009120092008200920072009220092008200912F F F F F F S Λ602420083=⨯=,所以.3012=S【能力提升】倒序相加法来源于课本，是等差数列前项和公司推导时所运用的方法，它是一种重要的求和方法。
数列求和公式的常见题型及解题方法
数列求和公式的常见题型及解题方法1. 等差数列的求和公式等差数列是指数字之间的差等于一个常数的数列。
求等差数列的和常用的公式是：$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$其中 $S_n$ 是数列的前 $n$ 项和，$a_1$ 是首项，$a_n$ 是末项。
2. 等比数列的求和公式等比数列是指数字之间的比等于一个常数的数列。
求等比数列的和常用的公式是：$$ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} $$其中$S_n$ 是数列的前$n$ 项和，$a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
3. 平方数列的求和公式平方数列是指数列中的每一项都是前一项的平方。
求平方数列的和常用的公式是：$$ S_n = \frac{a_1^2(1 - r^{2n})}{1 - r^2} $$其中$S_n$ 是数列的前$n$ 项和，$a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
4. 斐波那契数列的求和公式斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。
求斐波那契数列的和常用的公式是：$$ S_n = F_{n+2} - 1 $$其中 $S_n$ 是数列的前 $n$ 项和，$F_n$ 是斐波那契数列的第$n$ 项。
5. 其他数列的求和方法除了常见的等差数列、等比数列、平方数列和斐波那契数列外，还有许多其他数列的求和方法。
对于这些数列，我们需要根据其特定的规律和性质来求和，例如算术-几何数列、调和数列、幂次数列等。
以上是数列求和公式的常见题型及解题方法的概述。
在解题过程中，我们应该根据题目给定的数列类型，选择相应的求和公式，并结合数列的特点进行求解。
高中数学 考前归纳总结 数列求和的常用方法
一．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和 公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+，222112(1)(21)6n n n n +++=++，33332(1)123[]2n n n +++++=例1、已知{}n a 是首项为1的等比数列，若n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，求数 列1{}na 的前n 项和n S 。
解析：若1q =，则由369S S =，得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由369S S =，得9×a 11－q 31－q ＝a 11－q 61－q，解得q ＝2.故1112n n n a a q --==，则111()2n n a -=. 于是数列1{}na 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为111[1()]1222()221212n n n n S -⨯-==-⨯=--。
练习：（1）等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=_____（答：413n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。
二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是132********123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制120052)11111(个转换成十进制数是_______（答：200521-）二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在 一起，再运用公式法求和.例2、数列{(1)}nn -的前2 010项的和2010S 为 ( ) A ．－2 010 B ．－1 005 C ．2 010 D ．1 005解、法一： S 2 010＝－1＋2－3＋4－…－2 007＋2 008－2 009＋2 010＝－(1＋3＋5＋…＋2 009)＋(2＋4＋6＋…＋2 010)＝－1 005×2 0102＋1 005×2 0122＝1 005.法二： S 2 010＝－1＋2－3＋4－5＋6－…－2 009＋2 010＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 009＋2 010) ＝1005111111005++++⋅⋅⋅+=个练习：求：1357(1)(21)nn S n =-+-+-+--（答：(1)nn -⋅） 三、倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公 式的推导方法），如例3、已知1()()12F x f x =+-是R 上的奇函数， 12(0)()()n a f f f n n=+++⋅⋅⋅+ *1()(1)()n f f n N n-+∈ ，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n －1 B ．a n ＝n C ．a n ＝n ＋1 D ．a n ＝n 2解析：∵1()()12F x f x =+-是奇函数， ∴()()F x F x -=-． 即11()1()122f x f x --=-++，∴11()()222f x f x -++=.即只需m ＋n ＝1，则f (m )＋f (n )＝2，而12(0)()()n a f f f n n =+++⋅⋅⋅+1()(1)n f f n-+ ① 11(1)()()(0)n n a f f f f n n-=++⋅⋅⋅++ ② ①＋②，得112[(0)(1)][()()][(1)(0)]2(1)n n a f f f f f f n nn-=++++⋅⋅⋅++=+ ∴a n ＝n ＋1.练习：①求证：01235(21)(1)2nn n n n n C C C n C n +++++=+；②已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___ （答：72） 四、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 如例4、设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，求数列{a n b n }的前n 项和S n 。
数列求和7种方法(方法全-例子多)
数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c =.解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
高中数学数列求和方法
高中数学数列求和方法高中数学数列求和方法求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题，看看下面的高中数学数列求和方法吧！一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an)Sn=n(a1+an)/2二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
四.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
五.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。
高考数列求和方法总结
数列求和的常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 5．分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． 6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求。
考点、热点回顾课前热身1．(人教A 版教材习题改编)等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝( )．A ．254B ．255C ．256D ．2572．(2011·潍坊模拟)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )．A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 3．(2011·北京海淀模拟)等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )．A ．120B ．70C ．75D ．1004．(2011·沈阳六校模考)设数列{(－1)n}的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )． A.n －n－1]2B.－n －1＋12C.－n＋12D.－n－12考向一 公式法求和【例1】►已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列． (1)求公比q 的值；(2)求T n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值．【训练1】 在等比数列{a n }中，a 3＝9，a 6＝243，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式高考链接S n ，并求a 9和S 8的值．考向二 分组转化求和【例2】►(2012·包头模拟)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2np ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．【训练2】 求和S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.考向三 裂项相消法求和【例3】►在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .【训练3】 在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .考向四 错位相减法求和【例4】►(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．【训练4】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .。
高考数学高分答题模板
高考数学高分答题模板高考数学答题黄金模板1选择填空题易错点归纳：九大模块易混淆难经历考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式经历错误等，强化基础知识点经历，躲开因为知识点失误造成的客观性解题错误。
针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情形、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。
答题方法：选择题十大速解方法：排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感受法、分析选项法;填空题四大速解方法：直截了当法、专门化法、数形结合法、等价转化法。
2突破解答题三角函数：考点题型归纳：通常考察正弦、余弦公式、三角形差不多性质、三种差不多三角函数之间的转化与角度的化简。
通常题型：Q1：带入求值，化简等;Q2：利用正弦、余弦公式转化，依照角度取值范畴确定正负号，求某角某边等。
答题方法：七大解题思想：如巧用数形结合、化归转化等方法解题。
概率统计：考点题型归纳：通常考察排列、组合运用分布列排列、期望运算等知识点。
通常题型：Q1：求某条件的概率;Q2：利用Q1所求的概率，求分布列以及期望。
答题方法：如互斥时刻和对立事件的巧妙运用等数列：考点题型归纳：通常考察通项公式和求和公式的运用。
通常题型：Q1：求某一项，求通项公式，求数列和通式;Q2：证明，求新数列第N项和，绝对值比较等。
答题方法：如通项公式三大解法：和作差，积作商，找规律叠加化简等;求和公式三大解法：直截了当公式，错位相减，分组求和等。
立体几何：通常题型：Q1：证明线面，线线，面面垂直等;Q2：求距离，求二面角等。
答题方法：如直截了当逻辑法：面面，线面，线面垂直平行等性质的运用;空间向量法：线面垂直，平行时用向量如何表达，公式;等面积、体积法：找到最方便运算的图形。
解析几何：考点题型归纳：椭圆，双曲线，抛物线方程的长短轴性质，离心率等，直线与圆锥曲线联立，求解某点，证明某直线与圆锥曲线的关系等。
通常题型：Q1：求圆锥曲线方程式;Q2：证明某点在某线某面上，求位置关系，求直线方程等。
数列求和 所有方法类型全归纳 含解析答案 精品文档可编辑
数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n 项和：，1+3+5+……+(2n-1)= ，等. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+．解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++．由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502⨯+==．变式练习：已知3log 1log 23-=x ，求............32+++++n x x x x 的前n 项和.二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2 求222222222222123101102938101++++++++的和． ．三、裂项相消法 常见的拆项公式有：， ，等.123+++……+n=(1)2n n +2n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333123+++……+n =2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()n n k =+111()k n n k -+=1k1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+例3 已知222112(1)(21)6n n n n +++=++，求 22222222235721()11212312n n n *+++++∈++++++N 的和．小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列，，，…，，…的前n 项和S.311⨯421⨯531⨯)2(1+n n四、错位相减法源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，均可用此法. 例4 求2335(21)n x x x n x ++++-的和．小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和.变式练习：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。
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【高考地位】数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。
数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。
此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。
下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。
【方法点评】方法一 公式法解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{nS n的前n 项和，求n T ．【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：等差数列前n 项和公式： 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．自然数方幂和公式：1123(1)2n n n +++⋅⋅⋅+=+ 22221123(1)(21)6n n n n +++⋅⋅⋅+=++333321123[(1)]2n n n +++⋅⋅⋅+=+【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002S a d ⨯∴=+= 考点：等差数列通项公式及求和方法二 分组法解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和；第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n.【变式演练2】在等差数列{}n a 中，45a =，711a =.设(1)nn n b a =-g ，则数列{}n b 的前100项之和100S 为（ ）A ．-200B ．-100 C.200 D ．100 【答案】D 【解析】考点：等差数列通项，分组求和 【方法点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.【变式演练3】已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）21(1,2,3,)n a n n =-=；（2）2312n n -+．【解析】试题分析：（1）易得32933b q b ===⇒211b b q==⇒4327b b q ==⇒111a b ==，14427a b ==⇒11327d +=⇒2d =⇒21(1,2,3,)n a n n =-=；（2）由（1）知，21n a n =-13n n b -=⇒n n n c a b =+=1213n n --+ ⇒113(21)133n n S n -=+++-++++2312n n -=+． 试题解析：（1）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211b b q==，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =． 所以21(1,2,3,)n a n n =-=．（2）由（1）知，21n a n =-，13n n b -=，．因此1213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列{}n c 的前n 项和113(21)133n n S n -=+++-++++2(121)13312132n n n n n +---=+=+-． 考点：1、等差数列；2、等比数列．方法三 裂项相消法解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式； 第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和. 例3. 已知数列{}n a :12,1233+,123444++,…, 123910101010+++,…,若11n n n b a a +=⋅，那么数列{}n b 的前n 项和n S 为（ ） A ．1n n + B ．41n n + C. 31nn + D ．51n n +【答案】B 【解析】考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的前n 项和公式、数列的裂项求和的方法的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据等差数列的求和公式得到2n a n=，进而得到n b 的通项公式是解答的关键.【变式演练4】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列{11.n n a a +}的前100项和为（ ） A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100【答案】A 【解析】考点：数列求和。
方法四 错位相减法解题模板：第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式； 第二步 确定等差、等比数列的通项公式；第三步 构差式：即写出n S 的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；第四步 求和：根据差式的特征准确求和.例4. 已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，121n n n a a a +=+,1n n b a =-，0n b ≠ . （Ⅰ）求证数列1{}nb 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令n n n bc 21=求数列{}n c 的前n 项和n T .（Ⅱ）由（Ⅰ）知,2n n n c =，∴1212222n n n T =++⋅⋅⋅+，∴2311122222n n n T +=++⋅⋅⋅+， 两式相减得：1211111(1)111122211222222212n n n n n n n n n T +++-+=++⋅⋅⋅+-=-=--， 故222n n n T +=-.【评注】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号．【变式演练5】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-（*n ∈N ）. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）1(1)22n n T n +=-+.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据1n n n a S S -=-结合已知条件等式即可求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）首先根据(Ⅰ)求得n b 的通项公式，然后利用错位相减法求解即可. 试题解析：(Ⅰ)由122n n S +=-， 当1n =时，21222a =-=， 当2n ≥，122n n S -=-，则1122(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，当1n =时，12a =满足上式， 所以2nn a =考点：1、数列的通项公式；2、数列求和.【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法.常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等.【变式演练6】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；（2）22)1(1+⋅-=+n n n T .【解析】试题分析：（1）由题意可知，利用93=S ，731,,a a a 成等比数列，从而可求出数列{}n a 的通项公式，数列{}n b 的通项公式可通过联立方程组求解；（2）可利用错位相减法对前n 项和进行处理进而求解.试题解析：（1）7123a a a =，即)6()2(1121d a a d a +=+，化简得121a d =或0=d . 当121a d =时，9292123231113==⨯⨯+=a a a S ，得21=a 或1=d ， ∴1)1(2)1(1+=-+=-+=n n d n a a n ，即1+=n a n ； 当0=d 时，由93=S ，得31=a ，即有3=n a . （2）由题意可知nn n b 2⋅=，∴nn n n b b b T 22221221⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++=①13222)1(22212+⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n n n T ②，①-②得：22)1(222221132-⋅--=⋅-+⋅⋅⋅+++=-++n n nn n n T ，∴22)1(1+⋅-=+n n n T .考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.方法五 倒序相加法例5.设=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110113112111,244)(f f f f x f x x则( ) A ．4 B ． 5 C ． 6 D ． 10 【答案】B 【解析】考点：倒序相加法求和.【变式演练7】已知函数321(),().212x F x x x -=≠- （1）求122009()()()201020102010F F F +++的值；（2）已知数列11{}2,()n n n a a a F a +==满足,求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（3）已知nn n b 212-=，求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 【答案】(1) S=60272. (2)见解析；（3）n S =1242n n-+-。