高中数学23个典型的数列专题

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高中数列知识点总结公式大全

高中数列知识点总结公式大全一、数列的概念与简单表示法。

（一）数列的定义。

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），往后各项依次叫做这个数列的第2项，第3项，…，第n项，…。

（二）数列的表示法。

1. 列举法。

将数列中的项一一列举出来表示数列的方法。

例如数列1,3,5,7,9,·s。

2. 通项公式法。

如果数列{a_n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

例如数列a_n=2n - 1，n∈ N^*就表示首项为1，公差为2的等差数列。

3. 图象法。

数列是特殊的函数，可以用图象来表示。

以序号n为横坐标，相应的项a_n为纵坐标，描点画图来表示数列。

其图象是一群孤立的点。

4. 递推公式法。

如果已知数列{a_n}的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项a_n与它的前一项a_n - 1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

例如斐波那契数列a_1=1,a_2=1,a_n=a_n - 1+a_n -2(n≥slant3,n∈ N^*)。

二、等差数列。

（一）等差数列的定义。

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

即a_n-a_n - 1=d(n≥slant2,n∈ N^*)。

（二）等差数列的通项公式。

a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_1为首项，d为公差。

1. 推广公式。

a_n=a_m+(n - m)d，(m,n∈ N^*)。

（三）等差数列的前n项和公式。

1. S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}2. S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d（四）等差数列的性质。

1. 若m,n,p,q∈ N^*，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。

(经典)高中数学最全数列总结与题型精选

高中数学：数列及最全总结和题型精选一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作a n ,在数列第一个位置的项叫第 1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，……，序号为 n 的项叫第n 项(也叫通项)记作 a n ；数列的一般形式：a1, a 2, a 3,……，……，简记作｛a n ｝。

(2)通项公式的定义：如果数列｛a n ｝的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 , 2 , 3 , 4, 5.1111 1,—2 3 4 5说明:①｛a n ｝表示数列，斗表示数列中的第n 项，a n = f (n 庚示数列的通项公式; n-1,n =2k-1a n =（-1）n =n1,n=2k③不是每个数列都有通项公式。

例如， 1, 1.4, (3)数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N + (或它的有限子集)的函数 f (n)当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 f(1),f(2), f(3),……，f(n),…….通常用an 来代替f (n ),其图象是一群孤立点。

(4)数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1,0, 1,0, 1,0,…(4)a, a, a, a, a,…(5)数列｛a n ｝的前n 项和S n 与通项a n 的关系:二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第_2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母_d 表示。

高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐

数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比。

高中常见数列的公式及经典例题

⾼中常见数列的公式及经典例题⾼中常见数列的公式及经典例题等差数列1．等差数列：⼀般地，如果⼀个数列从第⼆项起，每⼀项与它前⼀项的差等于同⼀个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常⽤字母“d ”表⽰）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有⼏种⽅法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn aa m n -- 4．等差中项：,,2b a ba A ?+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式 6.等差数列的前n 项和公式（1）2)(1n n a a n S +=（2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是⼀个常数项为零的⼆次式 8.对等差数列前项和的最值问题有两种⽅法:（1）利⽤n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最⼤值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最⼩值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2）利⽤n S ：由n )2d a (n 2dS 12n -+=⼆次函数配⽅法求得最值时n 的值等⽐数列1．等⽐数列：如果⼀个数列从第⼆项起，每⼀项与它的前⼀项的⽐等于同⼀个常数，那么这个数列就叫做等⽐数列.这个常数叫做等⽐数列的公⽐；公⽐通常⽤字母q 表⽰（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 2.等⽐数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ，)0(1≠??=-q a q a a m n m n3．｛n a ｝成等⽐数列?nn a a 14．既是等差⼜是等⽐数列的数列：⾮零常数列． 5．等⽐中项：G 为a 与b 的等⽐中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ?=?7．判断等⽐数列的⽅法：定义法，中项法，通项公式法 8．等⽐数列的增减性：当q>1, 1a >0或01, 1a <0,或00时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等⽐数列前n 项和等⽐数列的前n 项和公式：∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ①或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时⽤公式①；当已知1a , q, n a 时，⽤公式②.数列通项公式的求法⼀、定义法直接利⽤等差数列或等⽐数列的定义求通项的⽅法叫定义法，这种⽅法适应于已知数列类型的题⽬．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等⽐数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等⽐数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=?∵0≠d ，∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=??+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=?-+=点评：利⽤定义法求数列通项时要注意不⽤错定义，设法求出⾸项与公差（公⽐）后再写出通项。

数列 23个典型专题

数列的重要公式：1、等差数列通项：n 1a a n 1d ()=+-2、等差数列求和：1n n a a nS 2()+=3、等比数列通项：n 1n 1a a q -=4、等比数列求和：nn 11q S a 1q -=-5、求和与通项的关系：n 1n 1n a S S ++=-{}n a 中，前三项依次为1x 1+,56x ,1x，求：105a ?=100个自然数（1到100）中，除以7余2的所有数之和S ?={}n a 中，前n 项和为n S . 若1a 0>，16S 0>，17S 0<，则n S 最大时，n ?={}n a 的通项公式n a =，若它的前n 项和n S 9=，求：n ?=等差数列{}n a ，其公差d 0≠，其中，2a 、3a 、6a 依次构成等比数列，求公比q ?={}n a 的前n 项和n S ，且1a 1=,11S 33=. 设nan 1b 2⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：{}n b 是等比数列，并求其前n 项和nT .x y ≠，且两个数列：12x a a y ,,,和123x b b b y ,,.,均为等差数列，求：13a xy b ?-=-{}n a 的前n 项和n S 满足：2n n n 10S a 5a 6=++，且1a 、3a 、15a 成等比数列，求数列{}n a 的通项n a ?={}n a 的前n 项和n 1S n n 1n 23()()=++,试求数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ?= {}n a 的前n 项和为n S ，其首项1a 1=，且满足n n 3S n 2a ()=+，求通项n a ?={}n a 中,相邻两项n a 和n 1a +是二次方程2n n n x 3nx c 0++=n 123(,,,...)=的两个根,当1a 2=时,试求100c ?={}n a 和{}n b ,其公比的绝对值都小于1,其各项和分别是n k k 1S a 1∞===∑和n k k 1T b 2∞===∑,对一切自然数都有：2n n a b =，求这两个数列的首项和公比.{}n a 的前n 项和为n S ，11a 2=，当n 2≥时，满足：n n n 1a 2S S 0-+=；求证：数列n 1S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；并求{}n S的通项公式n S ?={}n a 的首项11a 2=，且满足：10103020102S 21S S 0()-++=. （1）求{}n a 的通项；（2）求{}n nS 的前n 项和n T .{}2n x log 的第m 项等于k ，第k 项等于m (其中m k ≠)，求数列{}n x 的前m k +项的和.{}n a 中,15a 6=，n 1n 1n 11a a 32++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求通项n a ?={}n a ，1a 4=，且当n 2≥时满足：n n 1a 3a 2n 1-=+-，求通项n a ?=设数列{}n a ，1a 1=，2a 2=，且满足：n 2n 1n a 3a 2a ++=-，n N *()∈，求通项n a ?={}n a ，1a 1=，且满足：n 1nn 1a a 4a 2()+=-，求通项n a ?={}n a 中，1a 2=，且满足：n n 1n 2a 1a 4a 6+-=+，n N *()∈，求通项n a ?={}n a 中，1a 3=，且满足：n n 1n 4a 2a a 1+-=+，求通项n a ?={}na中，1a5=，且满足：nn1n2a3aa++=，求通项n a?={}na中，1a4=，且满足：2nn1naa2a1()+=-，nnna2ba-=，求通项n b?={}na中，前三项依次为1x1+,56x,1x，求：105a?=n n k n k2a a a-+=+即：51126x x x1⋅=++，即：5113x x x1-=+即：213x x1=+，即：23x x1=+，则：x2=.故首项为：111ax13==+，公差为：1511dx6x6x12=-==；n11n1n3a a n1d31212()-+=+-=+=.故：1051053a912+==.100个自然数（1到100）中，除以7余2的所有数之和S?=由题意，这是一个首项为1a2=，公差为d7=的等差数列.故，这些数构成的数列为：na27n17n5()=+-=-；在100之内，设n的最大数m，则：1007m5=-，即：m15=;这些数之和S为：115a a15210015S76522()()+⨯+⨯==={}na中，前n项和为n S. 若1a0>，16S0>，17S0<，则n S最大时，n ?=n 1a a n 1d()=+-1n n 1a a n n n 1S na d 22()()+-==+；则依题意：16S 0>，即：1611615S 16a d 02⨯=+>，即：115a d 02+> ① 由①：1d a 7d 02++>，即：8d a 02+>，即：8da 2>- ② 由①：1d a 8d 02+->，即：9da 2> ③ 以及：17S 0<，即：1711716S 17a d 02⨯=+<，即：1a 8d 0+<，即：9a 0< ④由③④得：9da 02(,)∈，即：d 0< ⑤将⑤代入②得：8da 02>-> ⑥ 故由④⑥知，n S 求和累加时，加到8a 时n S 在增加；加到9a 时n S 开始减小，则最大时，n 8=.{}n a 的通项公式n a=，若它的前n 项和n S 9=，求：n ?=n a ==则：nn k 1S 19====∑即：10=，即：n 1100+=，于是：n 99=等差数列{}n a ，其公差d 0≠，其中，2a 、3a 、6a 依次构成等比数列，求公比q ?=n 1a a n 1d ()=+-，得：32a a d =+，62a a 4d=+，因为2a 、3a 、6a 3a2326a a a =，即：2222a d a a 4d ()()+=+；即：2222222a 2a d d a 4a d ++=+，即：22d 2a d=因为d 0≠，故上式得：2d 2a =；322222a a d 3a q 3a a a +====.{}n a 的前n 项和n S ，且1a 1=,11S 33=. 设nan 1b 2⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T .等差数列通项：n 1a a n 1d ()=+-，求和公式：n 1n n 1S na d 2()-=+；则：111110S 11d 332⨯=+=，即：1155d 33+=，故：2d 5=. 于是，将1a 1=，2d 5=n 22n 3a 1n 155()+=+-=则：n2n 3a 5n 11b 22+⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，n 12n 13a 5n 111b 22()++++⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故：2n 132n 32555n 1n b 11q b 22()+++-+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当n 1=时，数列首项1a 111b 22⎛⎫==⎪⎝⎭故{}n b 是首项为11b 2=，公比为251q 2⎛⎫= ⎪⎝⎭的等比数列，其通项为：2n35n1b2+⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证毕.2n5nn12n5111q112T b111q2122⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭==⋅=-⎪-⎝⎭-.x y≠，且两个数列：12x a a y,,,和123x b b b y,,,,均为等差数列，求：13a xy b?-=-1d和2d，则:11y xa x d3--==,32y xy b d4--==.故：131y xa x431y b3y x4()()--==--{}na的前n项和n S满足：2n n n10S a5a6=++，且1a、3a、15a成等比数列，求数列{}n a的通项n a?=由已知：2n n n10S a5a6=++①2n1n1n110S a5a6+++=++②由②-①：22n1n1n n1n10a a a5a a()()+++=-+-移项合并：22n1n n1na a5a a0()()++--+=，即：n1n n1naa a a50()()+++--=由于正项数列n1na a0()++>，所以：n1na a50+--=，即：n1na a5+-=由此得到{}n a是公差为d5=设：等差数列n1a a5n1()=+-，则：31a a10=+，151a a70=+由1a、3a、15a23115a a a=，即：2111a10a a70()()+=+即：221111a20a100a70a++=+，故：1a2=.所以：na25n15n3()=+-=-{}na的前n项和n1Sn n1n23()()=++,试求数列n1a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和nT?=由已知：n1111S n n1n2n n12n4n n12n1n n13662()()=()()=()()() =++++++++及：n2k11k nn12n16()()==++∑和：nk11k n n12()==+∑2na n=求和，一个na n=求和即：222112n n n12n16...()()+++=++112n n n12...()+++=+故由n11S n n12n1n n162=()()()++++得：2na n n n n1()=+=+那么：n1111a n n1n n1()==-++；所以：nnk1111nT1k k1n1n1()==-=-=+++∑.{}na的前n项和为n S，其首项1a1=，且满足n n3S n2a()=+，求通项na?=由已知：n n3S n2a()=+①n1n13S n1a()--=+②由①－②：n n n13a n2a n1a()()-=+-+移项合并：n n1n1a n1a()()--=+，即：nn1a n1a n1-+=-③由此递推得：n n 12n 11n 1n 21a a a n 1n n 112a a a a a a n 1n 2n 31......---+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即：n 1n n 1n n 1a a 212()()⋅++==⋅.{}n a 中,相邻两项n a 和n 1a +是二次方程2n n n x 3nx c 0++=n 123(,,,...)=的两个根,当1a 2=时,试求100c ?= n n 1a a 3n ++=- ①n n 1n a a c +⋅= ②由①式得：n 1n 2a a 3n 1+(+)++=-③由③-①得：n 1n 2n n 1a a a a 3()()++++-+=-，即：n 2n a a 3+-=-④④式表明：1352k 1a a a a ,,,...,-和2462k a a a a ,,,...,都是公差为3-又因1a 2=，代入①式可得：12a a 3+=-，即：2a 5=-于是得到等差数列为：2k 11a a k 1323k 353k ()()-=+--=-+=-⑤ 2k 2a a k 1353k 323k()()=+--=--+=--⑥那么由⑥得：100a 2350152=--⨯=-由⑤得：101a 5351148=-⨯=-代入②式得：100100101c a a 152********()()=⋅=-⨯-={}n a 和{}n b ,其公比的绝对值都小于1,其各项和分别是k k 1S a 1∞===∑和k k 1T b 2∞===∑,对一切自然数都有：2n n a b =，求这两个数列的首项和公比.由1a S 11q==-和1b T 21r ==-1a 1q =-，及 1b 21r ()=-.设这两个等比数列的通项公式分别为：n 1n 1n 1a a q 1q q ()--==-① n 1n 1n 1b b r 21r r ()--==-②将①②两式代入2n n a b =，并采用赋值法，分别令n 1=和n 2=得： 211a b =，即：21q 21r ()()-=- ③ 222a b =，即：221q q 21r r()()-=-④由③④得：2r q =⑤将⑤式代入③式得：221q 21q ()()-=- 因为：q 1≠（已知q 1<），则上式化简为：1q 21q ()-=+，即：1q 3=- ⑥将⑥代入⑤式得：1r 9=⑦ 则：14a 1q 3=-=，21116b a 9== ⑧ 将⑥和⑦分别代入①式和②式得：()n 1nn 1n 1n n 4114a 1q q 413333()-+-⎛⎫⎛⎫=-=⋅-=--=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；n 1n 1n n8116b 21r r2999()--⎛⎫=-=⨯⨯=⎪⎝⎭故本题答案: 14a 3=，116b 9=，1q 3=-，1r 9=.{}na的前n项和为n S，11a2=，当n2≥时，满足：n n n1a2S S0-+=；求证：数列n1S⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；并求{}n S的通项公式n S?=将n n n1a S S-=-代入n n n1a2S S0-+=得：n n1n n1S S2S S0---+=在同除以n n1S S-得：n1n1120S S--+=，则：n n1112S S--=①且11112S a==②由①②式表明：n1S⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个首项为112S=，公差为n n1112S S--=的等差数列.则：n122n12nS()=+-=③故：n1S2n=，n11S2n1()-=-于是：n n n1111a S S2n2n12n n1()()-=-=-=---故：n1n12a1n22n n1()()()⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩{}na的首项11a2=，且满足：10103020102S21S S0()-++=. （1）求{}n a的通项；（2）求{}n nS的前n项和n T.（1）求{}n a的通项由于{}n a n项的求和为：nn11qS a1q-=-①由①则：303011q S a 1q -=-、202011q S a 1q -=-、101011q S a 1q -=-代入10103020102S 21S S 0()-++=得：3020101010111a 1q a 1q a 1q 22101q 1q 1q()()()()----++=---即：103010201021q 211q 1q 0()()()()--+-+-=除以101q ()-得：101020101021q q 211q 10()()()++-+++= 即：1010102010101021q 2q 21q 1q 10()()()++-+-++= 即：1020102q 1q 10()-++=，即：1020102q q 0-=即：1020102q q =，即：210102q q ()=，即：22q q =±，即：1q 2=±则：n 1n 1n 1n111a a q222--⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭或 n 1n 1n 1n 1n111a a q 1222()---⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭第14题第(2)问解答：（2）求{}n nS 的前n 项和nT A.n n 1a 2=，其求和公式为：n n n 11112S 112212-=⋅=--故：nnn nn k k k k 1k 1k 1k 11kT kS k 1k 22()()()======-=-∑∑∑∑1>nk 1n n 1k 2()=+=∑ ② 2>nn k 23nk 1k 123n R 22222()...===++++∑③则：nn k 23n 1k 1k 234n2R 2122222()...-===+++++∑④由④-③得：n 2233n 1n 1n213243n n 1nR 1222222222()()()...()---=+-+-+-++--23n 1n 1111n 122222...-=+++++-n n n n n 11n 1n 2n 22121222212()-+=-=--=--综合1>和2>得：n nn k nk 1k 1k n n 12n T k 2222()()==++=-=+-∑∑B.n 1n n1a 12()-=-其求和公式为：nn n n n n111111112S 11123233212()()[()]()---=⋅=⋅--=-⋅--故：nnnn k k n k k kk 1k 1k 1k 1k 1k 1k T kS 11132332()[()]()()====⎛⎫==⋅--=-- ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 1>nk 1k n n 136()()=+=∑2> n k n n k23n k 11k1123n U 113232222()...()=⎛⎫⎡⎤=-=-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ ③ 则：n n 12n 11123n 2U 131222...()-⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦④由③+④得：n n n 122n 1n 1n 12132n n 1n 3U 11132222222()()...()()()---⎡⎤=-+---++--+-⎢⎥⎣⎦n n 2n 1n 1111n 11132222...()()-⎡⎤=-+-++-+-⎢⎥⎣⎦n n 2n 1n 11111n 111322232...()()-⎡⎤=-+-++-+⋅-⎢⎥⎣⎦nn n n1111n 21133212()()()--=-⋅+⋅---n n n n211n 119232()[]()-=-⋅-+⋅-故：n n n n n2111nU 127292()()[]--=-⋅-+⋅于是：n n n nk n n nk 1k 1k 1k n n 12111nT 11k336272922()()()()()[]==⎛⎫+--=--=+⋅--⋅⎪⎝⎭∑∑.{}2n x log 的第m 项等于k ，第k 项等于m (其中m k ≠)，求数列{}nx 的前m k +项的和.2n 21x x n 1d log =log +()-；则：2m 21x k x m 1dlog log ()==+-① 2k 21x m x k 1dlog log()==+-②由①-②得：k m m k d ()-=-d 1=- ③ 将③代入①得：21k x m 1log ()=-- 故首项为：21log x =m k 1+-④故{}2n log x 通项为：2n x m k 1n 1m k n log =()+---=+- ⑤ 则{}n x 的通项为：m k n n x 2+-=⑥由⑥式得：{}n x m k 1m k 11x 222+-+==⋅ ⑦1q 2=前m k +项求和：m km k m k m km km k11112S 2212112212++++++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅⋅=-=- ⎪⎝⎭-{}na中,15a6=，n1n1n11a a32++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求通项na?=令：n1nn1n111a a232()[()]λλ+++=+①则：n n nn1n n11111a a a33222362()()()λλλ+=+-=-②与已知n1nn1n n11111a a a32322++⎛⎫⎛⎫=+=+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较得：3λ=-由①令：n1n1n11b a32()+++=-，则：nn n1b a32()=-③则：1111532b a32623()=-⋅=-=-④于是由①得：n1nb1b3+=⑤故：{}n b是首项为12b3=-，公比为1q3=其通项为：n1n n212b333()()-=-⋅=-⑥由③得{}n a的通项为：nn n n n123a b3232()=+⋅=-+{}na，1a4=，且当n2≥时满足：n n1a3a2n1-=+-，求通项n a?=令：n n1a n c3a n1c[()]λλ-++=+-+①则：n n1n1a3a3n33c n c3a2n32cλλλλλ--=+-+--=+-+与已知n n1a3a2n1-=+-比较得：22=λ，32c1λ-+=-即：1λ=，c1=.则令：n n n b a n c a n 1λ=++=++ ② 则：n 1n 1b a n --=+ ③11b a 116=++= ④将②③代入①得：n n 1b 3b -=，即：nn 1b 3b -= ⑤ 故由④⑤得：{}n b 是首项为1b 6=，公比为q 3=故：n 1n 1n n 1b b q 6323--=⋅=⋅=⋅ ⑥ 于是由②得：n n n a b n 123n 1=--=⋅--设数列{}n a ，1a 1=，2a 2=，且满足：n 2n 1n a 3a 2a ++=-，n N *()∈，求通项n a ?=本题是二阶递推数列，且看如何解：n 2n 1n 1n a a a a ()λχλ+++-=- ① 则：n 2n 1n 1n n 1na a a a a a ()λχχλχλχλ++++=+-=+-与已知n 2n 1n a 3a 2a ++=-比较系数得：32χλχλ+=⎧⎨=⎩若将χ、λ看成是一元二次方程的两个根，则又韦达定理得到这个方程为：2x 3x 20-+=上述方程的解为：1=χ，2=λ，或2=χ，1=λ，这两组解推出的数列通项的结果是一样的. 取2=χ，1=λ ②令：n n 1n b a a +=- ③则121b a a 1=-=，n 1n2n 1b a a +++=-④将③④代入①得：n 1nb 2b χ+== ⑤ 则{}n b 是首项为1b 1=，公比为2χ=其通项为：n 1n 1n 1b b 2χ--=⋅=故由③得：n 1n 1n n a a b 2-+-==，即：n 1n 1n a a 2-+=+ ⑥n 1n n 1n a r 2p a r 2()+++⋅=+⋅ ⑦ 则：n n n 1n 1n n a pa pr 22r 2pa 2pr 4r 2()-+=+⋅-⋅=+-⋅与⑥式比较得：p 1=，2pr 4r 1-=，即：1r 2=-令：n n n c a r 2=+⋅ ⑧则：n 1n 1n 1c a r 2+++=+⋅，代入⑦式得：n 1n c pc += ⑨ 由⑧得：1111c a 20-=-=由于p 1=，于是由⑨式得：n 1n n 11c c c c 0...+-=====代入⑧式得：n 1n n a 2c 0--==，故：n 1n a 2-=..前面由n 2n 1n a 3a 2a ++=-得n 2n 1n a 3a 2a 0++-+=2x 3x 20-+=，其两个根为：1x 1=，2x 2=n n n n 112212a c x c x c c 2=+=+⋅用1a 1=，2a 2=代入上式，以确定1c 、2c 则：112a 1c c 2==+⋅，2212a 2c c 2==+⋅，解得：21c 2=，1c 0= 故：n n n n 1n 112212a c x c x c c 22-=+=+⋅=.{}n a ，1a 1=，且满足：n 1nn 1a a 4a 2()+=-，求通项n a ?=由已知n 1n n 1a a 4a 2()+=-得： 22n 1n n n 11a 2a 4a 2a 222()()+-=---=-- ①令：n 1n 1b a 2++=-，则：n n b a 2=-，11b a 21=-=-，21b 1=代入①式得：2n 1n 1b b 2+=-⋅ ②于是：1b 1=-；22111b b 22⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；32323111b b 222⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；67243711111b b 22222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……；n 1n 1212n n 121111b b 222-----⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故：n 1n n 211a b 222--=+=-{}n a 中，1a 2=，且满足：n n 1n 2a 1a 4a 6+-=+，n N *()∈，求通项n a ?=将n n 1n 2a 1a 4a 6+-=+化简为：n n 1n 1n 4a a 6a 2a 10+++-+=即：n n 1n 1n 311a a a a 0224+++-+= ① n n 1n 2a 1a 4a 6+-=+的不动点方程：2x 1x 4x 6-=+；即：24x 4x 10++=，方程的根为二重根：121x x 2==-；设：n 11n 211c a x a x +-=-- ②通分化简得：()()()()n 2n 11n 2n 11c a x a x a x a x ++--=---即：n 1n 1n 2n 112n 2n 11ca a cx a cx a cx x a x a x +++--+=--+即：2112n 1n n 1n 12cx 1cx 1x x a a a a x x 0c c c()()++-+---+-=即：12n 1n 2n 11n 12x x 11a a x a x a x x 0c c c()()++-+--++-= ③对比③①得：213x c 2-=，111x c 2+=，1212x x 1x x c 4--=④即：111x 2c =-，213x c 2=- ⑤ 1221113231x x 2c c 2c 4c ()()=--=--代入④得：22311113cc c 4c 2c c 24()()()----+-=即：3c 1123c 24c 2c 24---+-=，即：1c c=故：c 1=± ⑥ 取c 1=，则：1111x 2c 2=-=-，2131x c 22=-=-代入②式得：n 1n 11111a a 22+-=++⑦化简⑦式可得：n n 1n 1n 311a a a a 0224+++-+=，故⑦式与①式等价. 取c 1=-，则：1113x 2c 2=-=，2135x c 22=-=-代入②式得：n 1n 11135a a 22+-=--+⑧化简⑧式得：n n 1n 1n 311a a a a 0224+++-+=，故⑧式与①式等价.. 令：n n 1b 1a 2=+，则：1112b 15a 2==+，n 1n 11b 1a 2++=+代入⑦式得：n 1n b b 1+-= 由12b 5=和n 1n b b 1+-=可得：{}n b 是首项为25，公差为1故：n 235n 3b n 1n 555()-=+-=-=则：n n11a 2b +=，故：n n 1151105n 3135n a b 25n 3210n 610n 610n 6--=-=-=-=----将n n 1n 2a 1a 4a 6+-=+化简为：n n 1n 1n 4a a 6a 2a 10+++-+= ①n n 1n 2a 1a 4a 6+-=+的不动点方程：2x 1x 4x 6-=+；即：24x 4x 10++=，方程的根为二重根：121x x 2==-；那么，二重根的不动点解为：n 11n 211c a x a x +-=-- （c 为待定常数） ②通分化简得：()()()()n 2n 11n 2n 11a x a x c a x a x ++---=--即：n n 1n n 11111a a c a a 2222++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；即：()()n n 1n 1n 4ca a 2c 4a 2c 4a c 0+++++-+= ③ 将③式与①式对比得：c 1=. 令：n 1n 11n 111b 1a x a 2+++==-+，则：n n 2n 11b 1a x a 2==-+，1112b 15a 2==+代入②式得：n 1n b b 1+-= 即：{}n b 是一个首项为25、公差为1的等差数列. 故：n 25n 3b n 155()-=+-=. 代入：n n 1b 1a 2=+，即：n n 1151105n 3135n a b 25n 3210n 610n 6-+-=-=-==---{}n a 中，1a 3=，且满足：n n 1n 4a 2a a 1+-=+，求通项n a ?=将n n 1n 4a 2a a 1+-=+化简为：n n 1n 1n aa a 4a 20+++-+= ① 4x 2x x 1-=+；即：2x 3x 20-+=，方程的根为二异根：1x 1=，2x 2=；设：n 11n1n 12n 2a x a x a x a x λ++--=--②化简：n 11n 2n 1n 12a x a x a x a x ()()()()λ++--=--即：n n 11n 2n 112n n 11n 12n 12a a x a x a x x a a x a x a x x λλλλ++++--+=--+即：n n 121n 121n 121a a x x a x x a 1x x 0()()()()λλλλ++-+---+-= 即：2121n n 1n 1n 12x x x x a a a a x x 011()()λλλλ++--+-+=--③比较①③可得：21x x 11λλ-=-，21x x 41λλ-=-，12x x 2=即：2121x x 1x x 44λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩（1λ≠）即：22211x 4454()λλλλλλ-=--+=-+-即：21254x 1λλλ-+=--，即：14x 1λλ-=-+ ④ 和：22221x 441451()λλλλλλ-=--+=-+即：222451x 1λλλ-+=-，即：241x 1λλ-=+ ⑤ 代入12x x 2=得：441211()()λλλλ---=++即：2241642210()λλλλλ--++++=即：261360λλ-+=则：13512λ±===故：11353122λ+==，21352123λ-==将132λλ==代入④⑤式得：14x 11λλ-=-=+，241x 21λλ-==+；将223λλ==代入④⑤式得：14x 21λλ-=-=+，241x 11λλ-==+. 由此可见，λ的两个值对应的是x 相同的两个值.取32λ=，则1x 1=，2x 2= 代入②式得：n 1n n 1n a 1a 13a 22a 2++--=⋅-- ⑥ 令：n n n a 1b a 2-=-，则：111a 131b 2a 232--===--，n 1n 1n 1a 1b a 2+++-=-代入⑥式得：n 1n3b b 2+=即：{}n b 是首项1b 2=，公比n 1n b 3q b 2+==故：n 1n 1n 13b b q 22()--==⋅ ⑦由n n n a 1b a 2-=-得：n n 1b 1a 2-=-即：n n 1a 2b 1-=-，即：n n n n 2b 11a 2b 1b 1-=+=--将⑦式代入上式得：n 1n 1n 1n 1n 2n n n 1n 1n 1n 2n 1n 3412b 14322322a 3b 123232212()()----------⋅--⋅-⋅-====-⋅--⋅-由n n 1n 4a 2a a 1+-=+化简为：n n 1n 1n a a a 4a 20+++-+= ① 由n n 1n 4a 2a a 1+-=+得不动点方程：4x 2x x 1-=+即：2x 3x 20-+=，方程的根为二异根：1x 1=，2x 2=；设二异根解式满足：n 11n 1n 12n 2a x a x a x a x λ++--=--，即：n 1n n 1n a 1a 1a 2a 2λ++--=--②化简：()()()()n n 1n 1n 1a a 2a 21a 210λλλλ++-+-+-+-=；即：n n 1n 1n221a a a a 2011λλλλ++--+++=-- ③比较①③两式得：32λ=令：n 11n 1n 1n 12n 1a x a 1b a x a 2+++++--==--，则：n n n a 1b a 2-=-，111a 1b 2a 2-==-代入②式得：n 1n3b b 2+=于是：{}n b 是首项为1b 2=、公比为32λ=即：n 1n 1n n 233b 222---⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭. 代入n n n a 1b a 2-=-得：n 1n 2n n n 1n 2n 2b 1232a b 132-----⋅-==--{}n a 中，1a 5=，且满足：n n 1n2a 3a a ++=，求通项n a ?=将n n 1n2a 3a a ++=化简为：n n 1n a a 2a30+--= ① 2x 3x x+=；即：2x 2x 30--=，方程的二异根为：1x 1=-，2x 3=设二异根解式满足：n 11n 1n 12n 2a x a x a x a x λ++--=--，即：n 1n n 1n a 1a 1a 3a 3λ++++=--②化简：n n 1n 1n 331a a a a 3011λλλλ++++-+-=--③比较①③两式得:3λ=-令：n 1n 1n 1a 1b a 3++++=-，则：n n n a 1b a 3+=-，111a 151b 3a 353++===--代入②式得：n 1nb 3b +=-于是：{}n b 是首项为1b 3=、公比3λ=-的等比数列.故：()()n 1n 1nn b 3313--=⋅-=-⋅代入n n n a 1b a 3+=-，即：n n n 3b 1a b 1+=-得： ()()n 1n 1n n 1n 131a 131-+--+=--或()()n 1n 1n n 1n 31a 31-+-+-=--已知数列{}n a 中，1a 4=，且满足：2n n 1n a a 2a 1()+=-，n n na 2b a -=，求通项n b ?=由n n n n a 22b 1a a -==-得：n n 1b 1a 2-=或n n2a 1b =-代入2nn 1n a a 2a 1()+=-得： ()()()22n n 2n 1n n n n n n 421b 1b 2221b 1b 1b 1b 1b 22121b 1b +⎛⎫⎪--⎝⎭====--+-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭即：2n 1nb b +=则：111a 2421b a 42--===22211b b 2⎛⎫== ⎪⎝⎭42321b b 2⎛⎫== ⎪⎝⎭……n 1n 122n n 1211b b 22---⎛⎫===⎪⎝⎭。

(完整版)高中数学数列专题复习

高中数学数列专题目录高中数学数列专题 (2)第1讲数列的概念及其表示 (2)第2讲等差数列及前n项和 (17)第3讲等比数列及前n项和 (32)第4讲数列求和、数列的综合应用 (47)第四年末的住房面积为 (67)第五年末的住房面积为 (67)高中数学数列专题第1讲数列的概念及其表示考点一数列的概念及其表示方法知识点1数列的定义(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫首项．(2)数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N*或N*的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2数列的表示方法列表法列表格表达n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表达的方法递推公式使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和a n＋1＝f(a n，a n－1)等表达数列的方法3数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项注意点数列图象是一些孤立的点数列作为一种特殊的函数，由于它的定义域为正整数集N*或它的有限子集，所以它的图象是一系列孤立的点.入门测1．思维辨析(1)数列{a n}和集合{a1，a2，a3，…，a n}表达的意义相同．()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(4)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n＝1＋(－1)n＋12.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．数列13，18，115，124，…的一个通项公式为()A．a n＝12n＋1B．a n＝1n＋2C．a n＝1n(n＋2)D．a n＝12n－1答案 C解析观察知a n＝1(n＋1)2－1＝1n(n＋2).3．若数列{a n}中，a1＝3，a n＋a n－1＝4(n≥2)，则a2015的值为()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析因为a1＝3，a n＋a n－1＝4(n≥2)，所以a1＝3，a2＝1，a3＝3，a4＝1，…，显然当n是奇数时，a n＝3，所以a2015＝3.解题法[考法综述]利用归纳法求数列的通项公式，或给出递推关系式求数列中的项，并研究数列的简单性质．命题法数列的概念和表示方法及单调性的判断典例(1)已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)写出下面各数列的一个通项公式：①3,5,7,9，…；②1,3,6,10,15，…；③－1，32，－13，34，－15，36，…；④3,33,333,3333，….[解析](1)若数列{a n}为递增数列，则有a n＋1－a n>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<32.由λ<1可得λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.(2)①各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1. ②将数列改写为1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…因而有a n ＝n (n ＋1)2，也可逐差法a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式累加得a n ＝n (n ＋1)2.③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn.④将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．[答案] (1)A (2)见解析【解题法】归纳法求通项公式及数列单调性的判断(1)求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n 项与序号n 之间的关系，常用技巧有：①借助于(－1)n 或(－1)n ＋1来解决项的符号问题．②项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系．③对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．④根据图形特征写出数列的通项公式，首先，要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次，要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后，归纳猜想出通项公式．(2)数列单调性的判断方法①作差比较法：a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．②作商比较法：当a n >0时，则a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．当a n <0时，则a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n <1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．③结合相应函数的图象直观判断数列的单调性．对点练1．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0答案 C解析 ∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2 a 1a n >2 a 1a n ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1－a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d <0.故选C.2．下列可以作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝(－1)n －1＋32答案 C解析 A 项显然不成立；n ＝1时，a 1＝－1＋12＝0，故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝(－1)2－1＋32＝1，故D 项不正确．由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C. 3.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2答案 C解析解法一：令n ＝1,2,3,4，验证选项知选C.解法二：a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4，…，a n ＝a n －1＋n . ∴(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2. 因此a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.考点二数列的通项公式知识点1 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).2 已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．注意点已知S n 求a n 时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写”． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).入门测1．思维辨析(1)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (2)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( ) (3)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ 2．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1，则a 4等于( )A.53B.43 C ．1 D.23答案 A解析由a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1得，a 2＝1a 1＋1＝2，a 3＝1a 2＋1＝12＋1＝32，a 4＝1a 3＋1＝23＋1＝53.故选A.3．在正项数列{a n }中，若a 1＝1，且对所有n ∈N *满足na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0，则a 2015＝( ) A ．1011 B ．1012 C ．2014 D ．2015答案 D解析由a 1＝1，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，得到a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n ＋1a n＝n ＋1n ，上述式子两边分别相乘得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n ＋1a n ＝a n ＋1＝21×32×43×…×n ＋1n ＝n ＋1，故a n ＝n ，所以a 2015＝2015，故选D.解题法[考法综述] 高考以考查a n 与S n 的关系为主要目标以求通项公式a n 为问题形式，特别是给出递推公式如何构造数列求通项公式作为一个重难点和命题热点．命题法由S n 求a n 或由递推关系式求a n典例 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n ，则此数列的通项公式为a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，求S n .[解析] (1)当n ＝1时， a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，∴a n ＝4n ＋1.(2)∵当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0，即1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是公差为2的等差数列，又S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2，∴1S n ＝2＋(n －1)·2＝2n ， ∴S n ＝12n.[答案] (1)4n ＋1 (2)见解析【解题法】求通项公式的方法 (1)由S n 求a n 的步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1.②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n的表达式．③对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．(2)由递推公式求通项公式的常见类型与方法①形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法．即利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n－1)求通项公式．②形如a n ＋1＝a n f (n )，常用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1求通项公式．③形如a n ＋1＝ba n ＋d (其中b ，d 为常数，b ≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )⎝⎛⎭⎫其中x ＝db －1，则{a n ＋x }是公比为b 的等比数列，利用它即可求出a n .④形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r (p ，q ，r 是常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp .若p ＝r ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为q p ，可用公式求通项；若p ≠r ，则采用③的办法来求．⑤形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ，q 是常数，且p ＋q ＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为a n ＋2－a n ＋1＝(－q )·(a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n－a n －1＝f (n )，然后用累加法求得通项．⑥形如a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )的式子，由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )，①得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)，② 再由①－②可得a n .对点练1．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案2011解析由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝2·3n －1－1解析 ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)． ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.4.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8.试确定常数k ，并求数列{a n }的通项公式．解因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋12k 2，其中k 是常数，且k ∈N *，所以当n ＝k 时，S n取最大值12k 2，故12k 2＝8，k 2＝16，因此k ＝4，从而S n ＝－12n 2＋4n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n 2＋4n －⎣⎡⎦⎤－12(n －1)2＋4(n －1)＝92－n . 当n ＝1时，92－1＝72＝a 1，所以a n ＝92－n .微型专题数列中的创新题型创新考向以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点，考查频次较高．命题形式：常见的有新定义、新规则等．创新例题把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30答案 B解析由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.创新练习1．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即a2014－5＝()A．2018×2012 B．2020×2013C．1009×2012 D．1010×2013答案 D解析观察图中的“梯形数”可得：a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6…a2014－a2013＝2016，累加得：a2014－a1＝4＋5＋6＋…＋2016＝2013×20202＝2013×1010，即a2014－5＝2013×1010.2．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.答案28解析依题意得数列{a n}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.3．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{a i1，a i2，...，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中x i1＝x i2＝...＝x ik＝1，其余项均为0，例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________．(2)若E的子集P的“特征数列”为p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1,1≤i≤99.E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．答案(1)2(2)17解析(1)据“特征数列”定义知子集{a1，a3，a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，…，0，故其前三项和为2.(2)由定义知p1＝1，p2＝0，p3＝1，p4＝0…故集合P＝{a1，a3，a5，…，a99}＝{a i|i＝2k＋1，k∈N且k≤49}，又q1＝1，q2＝q3＝0，q4＝1，q5＝q6＝0，q7＝1，…，∴集合Q＝{a1，a4，a7，a10…}＝{a i|i＝3k＋1，k∈N且k≤33}．若a k∈P∩Q，则k＝2k1＋1＝3k2＋1，k1，k2∈N，k1≤49，k2≤33.即2k1＝3k2，不妨设6k3＝2k1＝3k2，所以k1＝3k3，k2＝2k3,0≤3k3≤49,0≤2k3≤33，k3∈N，得k3∈{0,1,2,3，…，16}，k ＝6k3＋1，共有17个，P∩Q中元素个数为17.创新指导1．准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．已知数列{a n}中，a n＝n2－kn(n∈N*)，且{a n}单调递增，则k的取值范围是________．[错解][错因分析]在解答的过程中虽然注意了数列的定义域为正整数集，但是不能用二次函数对称轴法来判断数列的单调性．因为数列的图象不是连续的，而是离散的点．[正解]由题意得a n＋1－a n＝2n＋1－k，又{a n}单调递增，故2n＋1－k>0恒成立，即k<2n ＋1(n∈N*)恒成立，解得k<3.[答案]k<3[心得体会]课时练基础组1.数列{a n}的通项a n＝nn2＋90，则数列{a n}中的最大值是()A．310 B．19C.119 D.1060答案 C解析因为a n＝1n＋90n，运用基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，a n＝119最大，故选C.2．数列{a n}的前n项积为n2，那么当n≥2时，{a n}的通项公式为() A．a n＝2n－1 B．a n＝n2C．a n＝(n＋1)2n2D．a n＝n2(n－1)2答案 D解析设数列{a n}的前n项积为T n，则T n＝n2，当n≥2时，a n＝T nT n－1＝n2 (n－1)2.3．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＋S m＝S n＋m，且a1＝1，那么a10等于() A．1 B．9C．10 D．55答案 A解析∵S n＋S m＝S n＋m，a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得S n＋1＝S n＋1，∴S n＋1－S n＝1.即当n≥1时，a n＋1＝1，∴a10＝1.4．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－1(n∈N*)，则a5等于()A．－16 B．16C．31 D．32答案 B解析当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，S n－1＝2a n－1－1，∴a n＝2a n－2a n－1，∴a n＝2a n－1.∴{a n}是等比数列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.5．已知数列{a n}满足a0＝1，a n＝a0＋a1＋…＋a n－1(n≥1)，则当n≥1时，a n等于()A ．2n B.12n (n ＋1) C ．2n －1 D ．2n －1答案 C解析由题设可知a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2. 代入四个选项检验可知a n ＝2n －1.故选C.6. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．7答案 C解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n －1，(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋3)⎝⎛⎭⎫78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6. 7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________. 答案 n 2解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2.8．已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n .若S n ＋1＝2S n ＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2解析由S n ＋1＝2S n ＋1，则有S n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1＝2a n ，又S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋1，a 2＝3，所以数列{a n }从第二项开始成等比数列，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________.答案 91解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，两式相减得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9(2＋18)2＝91. 10. 如图所示的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．答案n (n ＋1)2解析由已知，有a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，故第n 个图形中小正方形的个数是n (n ＋1)2. 11．已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N *，n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于11000？解 (1)n ≥2时，a n a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1，故a n ＝a n a n －1·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫121 ＝⎝⎛⎭⎫121＋2＋…＋(n －1)＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2，当n ＝1时，a 1＝⎝⎛⎭⎫120＝1，即n ＝1时也成立． ∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2.(2)∵y ＝(n －1)n 在[1，＋∞)上单调递增， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2在[1，＋∞)上单调递减．当n ≥5时，(n －1)n 2≥10，a n ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2 ≤11024. ∴从第5项开始及以后各项均小于11000.12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0<a n ≤12，2a n－1，12<a n<1，且a 1＝67，求a 2015.解 ∵a 1＝67∈⎝⎛⎭⎫12，1，∴a 2＝2a 1－1＝57. ∵a 2∈⎝⎛⎭⎫12，1，∴a 3＝2a 2－1＝37. ∵a 3∈⎝⎛⎭⎫0，12，∴a 4＝2a 3＝67＝a 1， ∴{a n }是周期数列，T ＝3，∴a 2015＝a 3×671＋2＝a 2＝57.能力组13.已知数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14(n ＝1)2n ＋1(n ≥2)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n ＋2答案 B解析由题意可知，数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1 ＝2(n －1)＋5，n >1，两式相减可得：a n2n ＝2n ＋5－2(n －1)－5＝2，∴a n ＝2n ＋1，n >1，n ∈N *. 当n ＝1时，a 12＝7，∴a 1＝14，综上可知，数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2).故选B.14．在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．答案 66解析每行的第二个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，则a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，各式两边同时相加，得 a n －a 2＝(2n －3＋3)×(n －2)2＝n 2－2n ，即a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，故a 9＝92－2×9＋3＝66. 15．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n＝⎩⎨⎧23(n ＝1)1n (n ≥2).(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0， ∴{c n }是递减数列．16．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a n ；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1.解 (1)由已知得a n ≠0则由a n ＋1＝3a n a n ＋3，得1a n ＋1＝a n ＋33a n ，即1a n ＋1－1a n ＝13，而1a 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为首项，以13为公差的等差数列．∴1a n ＝2＋13(n －1)＝n ＋53，∴a n ＝3n ＋5. (2)证明：∵b n ·n (3－4a n )a n ＝1，由(1)知a n ＝3n ＋5，∴b n ＝a n n (3－4a n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，又∵n ≥1，∴n ＋1≥2，∴0<1n ＋1≤12. ∴12≤S n <1. 第2讲等差数列及前n 项和考点一等差数列的概念及运算知识点1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．2 等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2. 3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *.4 等差数列的前n 项和等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列．注意点定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{a n }为等差数列．(2)用定义法证明等差数列时，常采用a n ＋1－a n ＝d ，若采用a n －a n －1＝d ，则n ≥2，否则n ＝1时无意义.入门测1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3答案 C 解析因为S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4.所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 12＝2. 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14答案 C解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3a 2＝12，∴a 2＝4.∵a 1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝4－2＝2. ∴a 6＝a 1＋5d ＝12.故选C.[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n ，a n ，S n ，a 1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.解得a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10； (2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，得方程12n ＋n (n －1)2×2＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．【解题法】等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， ∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n ) ＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5， …，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得 a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2， ∴a n ＝n 2－2n ＋2.【解题法】等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6答案 B解析设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0 答案 B解析由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案－12解析由已知得S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，而S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，整理得2a 1＋1＝0，解得a 1＝－12.4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解 (1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．考点二等差数列的性质及应用知识点等差数列及其前n 项和的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.(7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a mb m. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.注意点前n 项和性质的理解等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，则S n ，S 2n ，S 3n 的关系为2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n )不要理解为2S 2n ＝S n ＋S 3n .入门测1．思维辨析(1)等差数列{a n }中，有a 1＋a 7＝a 2＋a 6.( )(2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为a －2d ，a －d ，a ＋d ，a ＋2d .( ) (3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a －d ，a ，a ＋d .( )(4)求等差数列的前n 项和的最值时，只需将它的前n 项和进行配方，即得顶点为其最值处．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44答案 C解析由题可知S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22，故选C.3．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝90，则a 10－13a 14的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 A解析由题意知5a 8＝90，a 8＝18，a 10－13a 14＝a 1＋9d －13(a 1＋13d )＝23a 8＝12，选A 项．[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝9×11＝99，故选C. [答案] C【解题法】应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．(2)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ( m ，n ，p ，q ∈N *)．一般地，a m＋a n ≠a m ＋n ，必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件．命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题典例2 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n最大？[解] 解法一：由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大．解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．【解题法】求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1 ≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．1．设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0 答案 C解析若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确． 2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，则使S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4025B ．4024C ．4023D ．4022答案 B解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，假设a 2012<0<a 2013，则d >0，而a 1>0，可得a 2012＝a 1＋2011d >0，矛盾，故不可能． ∴a 2012>0，a 2013<0. 再根据S 4024＝4024(a 1＋a 4024)2＝2012(a 2012＋a 2013)>0，而S 4025＝4025a 2013<0，因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.3.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a nb n ＝( )A.23 B.2n －13n －1 C.2n ＋13n ＋1D.2n －13n ＋4答案 B解析 a n b n ＝2a n2b n ＝2n －12(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1.故选B.4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案 10解析由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案 5解析设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5.6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．8．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4. 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 5＝15，则使其前n 项和S n 取得最小值时的n ＝________.[错解][错因分析] 等差数列的前n 项和最值问题，可以通过找对称轴来确定，本题只关注到n ∈N *，并未关注到n ＝1与n ＝2时，S 1＝S 2，导致错误．[正解] ∵a 5＝9，S 5＝15，∴a 1＝－3，d ＝3. ∴a n ＝3n －6，S n ＝32n 2－92n .把S n 看作是关于n 的二次函数，其对称轴为n ＝32.∴当n ＝1或n ＝2时，S 1＝S 2且最小． [心得体会]课时练基础组1.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64答案 A解析由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A. 2．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2014＝( )A ．1006×2013B ．1006×2014C ．1007×2013D ．1007×2014答案 C解析在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2014＝2014×20132＝1007×2013.故选C.3．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析由已知式2a n＋1＝1a n＋1a n＋2可得1a n＋1－1a n＝1a n＋2－1a n＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是首项为1a1＝1，公差为1a2－1a1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n，即a n＝1n.4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63 B．45C．36 D．27答案 B解析S3＝9，S6－S3＝36－9＝27，根据S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，S9－S6＝45，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝45，故选B.5．已知等差数列{a n}中，前四项和为60，最后四项和为260，且S n＝520，则a7＝() A．20 B．40C．60 D．80答案 B解析前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中间两项的和是(60＋260)÷4＝80.S n＝520,520÷80不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有520÷40＝13项，因此a7是中间项，所以a7＝40.6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4S2＝4，则S6S4＝()A.94 B.32C.53D．4答案 A解析由S4S2＝4，可设S2＝x，S4＝4x.∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．则S6＝3S4－3S2＝12x－3x＝9x，因此，S6S4＝9x4x＝94.7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－3，a k＋1＝32，S k＝－12，则正整数k＝______.答案13解析由S k＋1＝S k＋a k＋1＝－12＋32＝－212，又S k＋1＝(k＋1)(a1＋a k＋1)2＝(k＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212，解得k＝13.8.设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝________.答案14解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，∴S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，数列{S n }是等差数列，则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数)，则a 1－d2＝0，S n ＝d2n ，从而数列{S n }的公差是d2，那么有d 2＝d ，d ＝0(舍去)或d ＝12，故a 1＝14.9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝10，S 5＝55，则a 10＝________. 答案 39解析设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＝10，5a 1＋5×42d ＝55，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋2d ＝11，解得a 1＝3，d ＝4，a 10＝a 1＋(10－1)d ＝39. 10设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i ＝a 2i (i ＝1,2,3)，则数列{b n }的公比为________．答案 3＋2 2解析设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d ，因为a 1<a 2，所以d >0，又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d )2(a ＋d )2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍)，则d ＝±2a .若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝⎛⎭⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22<1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝⎛⎭⎫a 2a 12＝3＋2 2. 11．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛ 110－3n －⎭⎫113－3n。

高中数学数列基础知识与典型例题

数列1.数列{na}的前n项和n S与通项na的关系：11(1)(2)nn nS naS S n-=⎧=⎨-⎩≥2.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

关键是找数列的通项结构。

例1.已知数列{}n a的前n项和为nnSn-=22,求数列{}na的通项公式.例2.已知nnnSaa2311+==-且，求na及nS．例3.已知11=a，nnanS2=(1)n≥求na及nS．例4.求和n+++++++++++321132112111.例5.数列121,341,581,7161,…,(2n－1)+n21的前n项之和为S n，则S n等于( )(A)n2+1－n21(B)2n2－n+1－n21(C)n2+1－121-n(D)n2－n+1－n21例6.求和: 2311234nS x x x nx-=+++++.等差数列与等比数列等差数列等比数列定义1n na a d+-=(d为常数,2n≥) 1(0,2)nnaq q na+=≠且为常数,≥递推公式1n na a d-=+(()n ma a n m d=+-)1n na a q-=(n mn ma a q-=)通项公式1(1)na a n d=+-11nna a q-=（1,0a q≠）中项2n k n ka aA-++=（*,,0n k N n k∈>>）(0)n k n k n k n kG a a a a-+-+=±>（*,,0n k N n k∈≥≥）前n项和1121()2(1)222n nnS a an nna dd dn a n=+-=+⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111(1)1(1)11nn nna qS a q a a qqq q=⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩重要性质*(,,,,)m n p qa a a am n p q N m n p q+=+∈+=+①等和性:②()n ma a n m d=+-③从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

高中数学《数列》复习专题

检验：当n 1时, a1 1 12 2 满足已知条件.
1 n 1 练1.若an an 1 1 ( ) , a1 0, 求通项公式. 2 解：
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 2.累乘型 an an1 f ( n)
n 1个 an 1 q an 2 an q a
例3.数列 {an }满足an 3an1 1, a1 1, 求 {an }的通项公式 .
解：设为待定系数， an 3an 1 1
1 1 n 1 那么an =(a1 )3 2 2 an 3an1 1 1 1 n 1 即an = 3 1 2 2 an 3(an 1 ) n 1 3 3 +1 也即an = 1 1 2 则令， 2 3 1 1 即an 3(an 1 ) 2 2 1 1 {an }是以a1 为首项， 2 2 3为公差的等比数列.
练1.an
1 4n 1
2
, 求S n .
1 1 练 2.an 2 , 证明Sn . 4n 4n 3 3
1 1 1 例2.求和： 2+ 3 3+ 4 4+ 5
1 99+ 100
1 1 1 练3.求和： + 1+ 3 2+ 4 3+ 5
1 n + n+2
2 an an1 an1
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 回顾：求等差数列的通项公式：— —累加法
由递推公式 an an1 d (n 2)可知， a2 a1 d 当n 2时， a3 a2 d a4 a3 d n 1个 a n 1 a n 2 d a n a n 1 d

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2( n 1) 3 2 n 3 5 5
2 n 3 5
1 ， bn 1 4
2( n 1) 3 5
1 5 ， 4
2
2
b 1 1 5 故 bn 是首项为 b1 ，公比为 q n1 , 4 bn 4
1 的等比数列，通项为： bn 4
列，求数列 an 的通项 an ?
2 解：由已知： 10Sn +1 an +1 5an +1 6
① ②
2 10Sn an 5an 6
2 2 由① - ②： 10an1 (an 1 an ) 5(an 1 an ) 2 2 移项合并： (an 1 an ) 5(an 1 an ) 0 ，即： ( an 1 an )( an 1 an 5) 0
由于正项数列 (an 1 an ) 0 ，所以： an1 an 5 0 ，即： an1 an 5 ；由此得到 an 是公差为 5 的等差数列 . 设： an a1 5(n 1) ，则： a3 a1 10 ， a15 a1 70 ；
1 、等差数列 an 中，前三项依次为由等差数列公式就可以通解 . 2 、前 100 个自然数（ 1 到 100 ）中，除以 7 余 2 的所有数之和 S 是？解：这些数构成的数列为： an 7(n 1) 2 7n 5 ；在 100 之内， n 的最大数 m 为： 100 7m 5 ，即 m 15 ;
2 构成等比数列，则： a3 a2 a6 ，即： (a2 d )2 a2 (a2 4d ) ；
2 2 即： a2 2a2 d d 2 a2 4a2d . 因为 d 0 ，故： d 2a2 ；
所以： q
a3 a2 d 3a2 3. a2 a2 a2
由比例中项直接列式，导出 d 与 a2 的关系 .
1 6 、已知等差数列 an 的前 n 项和 S n ，且 a1 1 , S11 33 . 设 bn ， 4
求证： bn 是等比数列，并求其前 n 项和 Tn . 证明：通项： an a1 (n 1)d ，求和公式： Sn na1

相当于裂项法 .
第
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23 个典型的数列专题
5 、等差数列 an ，其公差不为 0 ，其中， a2 、 a3 、 a6 依次构成等比数列，求公比 q ? 解：等差数列通项： an a1 (n 1)d ，则： a3 a2 d ， a6 a2 4d ，
通项公式和求和公式都要很熟啊 . 4 、数列 an 的通项公式 an 解：通项： an 则： Sn
k 1 n
1 ，若它的前 n 项和为 Sn 9 ，求： n ? n 1 n
1 n 1 n ； n 1 n

k 1 k n 1 1 9 ，于是： n 99
an
n(n 1) d； 2 1110 2 则： S11 11 d 33 ，即： 11 55d 33 ，故： d . 2 5
2 2n 3 1 于是： an 1 (n 1) ；则： bn 5 5 4
b 1 则： n1 bn 4
2 n 3 5
.
2 n
1 5 1 n 1 q 1 1 1 4 其求和公式： Tn b1 1 4 n 1 q 4 1 1 3 25 4

a1 x ? y b3
7 、若 x y ，且两个数列： x, a1 , a2 , y 和 x, b1 , b2 , b3 , y 均为等差数列，求：解：设两个等差数列的公差分别为： d1 和 (1 15) 15 5 15 765 这些数之和 S 为： S (7n 5) 7 2 k 1
余数是常数的问题要转化为等差数列问题 . 3 、在等差数列 an 中，前 n 项和为 S n . 若 a1 0 ， S16 0 ， S17 0 ，则 S n 最大时， n ? 解：等差数列通项为： an a1 (n 1)d ，求和公式为： Sn na1 则： S16 16a1
n(n 1) d； 2
15 16 15 d 0 ，即： a1 d 0 ， a1 7d 0 ，即： a8 0 ； 2 2 17 16 S17 17a1 d 0 ，即： a1 8d 0 ，即： a9 0 . 故 S n 最大时， n 8 . 2
23 个典型的数列专题
23 个典型的数列专题解答
1 5 1 , , ，求： a105 ? x 1 6x x 5 1 1 解：由等差数列中项公式得： 2 ，则： x 2 . 6x x x 1 1 5 1 5 1 1 1 首项为： a1 ；，公差为： d x 6 x 2 12 12 x 1 3 n 3 105 3 1 n 1 n 3 则数列通项为： an a1 (n 1)d . 故： a105 9. 12 3 12 12 12
yx yx , y b3 d2 . 3 4
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1 ( y x) a1 x 3 4 故： y b3 1 ( y x) 3 4
利用等差数列的等差性质来求本题 .
2 8 、已知正项数列 an 的前 n 项和 S n 满足： 10Sn an 5an 6 ，且 a1 、 a3 、 a15 成等比数