人教A版高中数学必修第一册n次方根与分数指数幂课件(共22张ppt)
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4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
4.1.1n次方根与分数指数幂课件2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
课后作业
课本P109页 习题4.1 1、4、5
谢谢！
例2、用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）
方法小结
1.把根式化成分数指数幂的形式 2.当有多重根式时，要由里向外用分数指数幂写出，再用性质
3.对于有分母的可以先把分母化成负分数指数幂
例3、计算
立方和、 差公式 方法小结 1.首先观察、分析，发现已知条件与所求表达式之间的联系
4.1 指数
4.1.1 次方根与分数指数幂
温故知新
整数指数幂
底数
指数 读作：”
“
或“
”
幂
温故知新
乘方运算
互逆运算
开方运算
新知定义 一、n次方根
2.性质：
当 是奇数时， 正数的 次方根是一个正数； 负数的 次方根是一个负数。
当 是偶数时， 正数的 次方根有两个，它们 互为相反数； 负数没有偶次方根。
2.根据指数幂的运算法则，通过配方的方式进行化简或计算
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的
整数指数幂
分数指数幂
正整数指数幂
负整数指数幂、零次幂
新知推广
实 数 指 数 幂 的 运 算 性 质
课堂小结
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
4．实数指数幂的运算性质
高一数学人教A版(2019)必修第一册4、1、1n次方根与分数指数幂 课件
3.n次方根：如果xn a，那么x叫做a的n次方根， 其中n 1且n .
32 =9 42 =16 52 =25
-23 = -8 33 =27 -33 =-27
34 =81 25 =32 -25 =-32
根式
1当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数； 正数a的正的n次方根用符号n a表示;负的n次方根用符号- n a表示. 负数没有偶次方根.
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问 题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余 坐标相反”这个结论．如点(x，y，z)关于 y 轴的对称点为(－x，y， －z)，关于坐标平面 Oyz 的对称点为(－x，y，z)．
【例题 3】 在空间直角坐标系中，已知点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； (2)求点 P 关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解析 (1)因为点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P1 的坐标为(－2， －1，－4)． (2)因为点 P 关于坐标平面 Oxy 对称后，它在 x 轴、y 轴的分 量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P2 的坐标 为(－2,1，－4)．
解析 (1)错误．空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定 是(a,0,0)的形式．
(2)错误．空间直角坐标系中，在坐标平面 Ozx 内的点的坐标 一定是(a,0，c)的形式．
(3)错误．关于坐标平面 Oyz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持 不变，横坐标相反．
n次方根与分数指数幂-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课课件
n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT
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n次方根与分数指数幂课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
27
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
4.1.1n次方根与分数指数幂(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
提示 这样的 x 有 2 个，它们都称为 3 的平方根，记作± 3.
知识点一 n次方根，根式
1.a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 n次方根 ，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
n
±n a
a的取值范围 R
[0，＋∞)
4.1.1n次方根与分数指数幂
新知探究
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一
个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少
呢？他发现这一长度既不能用整数、也不能用分数来表示，希帕索斯的发现
促进了数学史上第一个无理数 2的诞生.
希帕索斯
问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
一、 利用根式的性质化简或求值 【例1】 化简：
(1) 4 3 4 ；
(2) （a－b）2(a>b)；
(3)( a－1)2＋ （1－a）2＋ 3 1 a3 .
解 (1) 4 3 4 ＝|3－π|＝π－3.
(2) a b2 ＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知 a－1≥0，即 a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
例 3 求使等式 a－3a2－9＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解 a－3a2－9＝ a－32a＋3＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立， 需aa－ ＋33≤ ≥00， ， 解得 a∈[－3,3].
反思 感悟
正确区分n an与(n a)n (1)( n a)n 已暗含了n a有意义，根据 n 的奇偶性可知 a 的范围． (2)n an中的 a 可以是全体实数，n an的值取决于 n 的奇偶性．
n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人教A版(完整版)
1.正数的奇次方根是一个正数； 2.负数的奇次方根是一个负数； 3.0的奇次方根为0． 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数； 2.负数没有偶次方根； 3.0的偶次方根为0．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
xn a
xna
x n a
(n为奇数) (当n是偶数，且a＞0)
①正确区分“ (n a )n ”与“ n an ”两式；（注意分析 n a 是否有意义） ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完 全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
思考：
2
1
a4 a2对任意的实数a都成立吗？
利用指数幂的运算性质化简求值的方法： （1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数
指数运算性质：
(1) aras ars (a 0, r, s Q); (2) (ar )s ars (a 0, r, s Q); (3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).
祝你学业有成
2024年5月3日星期五11时45分28秒
把根式表示为分数指数幂的形式的时候，例如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
1
b b2 (b 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
正数的正分数指数幂：
m
a n n am (a 0, m, n N *, n 1)
正数的负分数指数幂：
m
an
1
m
an
n
1 am
(a 0, m, n N *, n 1)
例如：5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
奇次方根
n次方根与分数指数幂课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3
（1）2 ∙ 2 ；
解：（1）2
∙
（2） 3 .3来自2=2
2
3
∙ =
8
3
；
（2）
3
=
作者编号：32101
1
3
· =
4
3
2
3
= .
例4 计算下列各式（式中字母都是正数）.
1 5
1 1
23 12
6 6
2 3
1 2a b 6a b 3a b
a(a 0)
=|a|= a(a 0) ;
a mp n a m（a≥0）.
m
n
（4）a n a m (a 0, m, n N *且n 1).
m
1
n
（5）a
(a 0, m, n N *且n 1).
n
am
作者编号：32101
课堂总结
(1)n次方根与分数指数幂的概念与性质
4.1.1 n次方根与
分数指数幂
作者编号：32101
学习目标
1.知道n次方根与分数指数幂的概念.
2.理解n次方根与分数指数幂的性质.
3.会分数指数幂与根式的互化.
作者编号：32101
新课导入
初中，我们已经学习了整数指数幂，在学习幂函数时，我们把正方形场地
1
2
的边长c关于面积S的函数 = 记作 = .
作者编号：32101
1
a a a
r
s
r s
(a ) a
r s
(a 0, r , s Q)
（1）2 ∙ 2 ；
解：（1）2
∙
（2） 3 .3来自2=2
2
3
∙ =
8
3
；
（2）
3
=
作者编号：32101
1
3
· =
4
3
2
3
= .
例4 计算下列各式（式中字母都是正数）.
1 5
1 1
23 12
6 6
2 3
1 2a b 6a b 3a b
a(a 0)
=|a|= a(a 0) ;
a mp n a m（a≥0）.
m
n
（4）a n a m (a 0, m, n N *且n 1).
m
1
n
（5）a
(a 0, m, n N *且n 1).
n
am
作者编号：32101
课堂总结
(1)n次方根与分数指数幂的概念与性质
4.1.1 n次方根与
分数指数幂
作者编号：32101
学习目标
1.知道n次方根与分数指数幂的概念.
2.理解n次方根与分数指数幂的性质.
3.会分数指数幂与根式的互化.
作者编号：32101
新课导入
初中，我们已经学习了整数指数幂，在学习幂函数时，我们把正方形场地
1
2
的边长c关于面积S的函数 = 记作 = .
作者编号：32101
1
a a a
r
s
r s
(a ) a
r s
(a 0, r , s Q)
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学习新知——根式的性质
=-2 =2 =3 =3
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例题讲解
例1：求下列各式的值
（当n为奇数） （当n为偶数）
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负数没有n次方根.
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学习新知——n次方根的概念
0的3次方根是 0 0的4次方根是 0
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情景引入
(3)你能用根式的意义解释(2)的式子吗?
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结果表明:分数指数幂是根式的另一种表示方法. 综上,我们规定正数的正分数指数幂的意义.
1
2a3bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
13
6a 2b 2
1
3 1 1 2
a 2b2 3
3
1
a
5 1
2b 6
3
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课堂小结
1.n次方根与根式的概念，根式的性质 2.分数指数幂概念 3.有理数指数幂运算性质
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谢谢观看！
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有理数指数幂运算性质
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例题讲解
例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0,b>0）
b3
3
b5
b
3 3
18
5b5
11
51
5
(b b4 )3 b 4 3 b12
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例题讲解
例2.求值
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学习新知——有理数指数幂运算性质
如果xn=a，x叫做a的
.
学习新知——n次方根的概念
学习新知——n次方根的概念
27的3次方根是
3
-32的5次方根是 -2
a6的3次方根是
a2
结论1：当n为奇数时：正数的n次方根为正数， 负数的n次方根为负数 .
学习新知——n次方根的概念
16的4次方根是 2和-2 -81的4次方根是 无 结论2：当n为偶数时：正数的n次方根有两个，且互为相反数
人教A（2019版）高一上
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质． 2.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 3.掌握有理数指数幂的运算性质．
情景引入
情景引入
如果x2=9，则x= ±3；x叫做9的 平方根 . 如果x3=8， 则x= 2 ；x叫做8的 立方根 . 如果x3=-8，则x= -2 ；x叫做-8的 立方根 . 如果x4=16，则x= ±2 ；x叫做16的四次方根.
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情景引入
(2)利用(1)的规律,把下列根式表示成分数指数幂的形式（a>0,b>0,c>0）
类比
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结论2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时, 根式也可以写成分数指数幂的形式.
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学习新知——分数指数幂
1.正数的正分数指数幂的意义：
2.正数的负分数指数幂的意义：
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3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
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情景引入 (1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
结论1: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
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学习新知——n次方根的概念
（当n是奇数） （当n是偶数，且a>0）
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学习新知——根式的概念
根指数 根式
na
被开方数
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学习新知——根式的性质
(2)根式性质:当n>1,n∈N*时,
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=-2 =2 =3 =3
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例题讲解
例1：求下列各式的值
（当n为奇数） （当n为偶数）
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负数没有n次方根.
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学习新知——n次方根的概念
0的3次方根是 0 0的4次方根是 0
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情景引入
(3)你能用根式的意义解释(2)的式子吗?
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结果表明:分数指数幂是根式的另一种表示方法. 综上,我们规定正数的正分数指数幂的意义.
1
2a3bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
13
6a 2b 2
1
3 1 1 2
a 2b2 3
3
1
a
5 1
2b 6
3
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课堂小结
1.n次方根与根式的概念，根式的性质 2.分数指数幂概念 3.有理数指数幂运算性质
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谢谢观看！
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有理数指数幂运算性质
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例题讲解
例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0,b>0）
b3
3
b5
b
3 3
18
5b5
11
51
5
(b b4 )3 b 4 3 b12
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例题讲解
例2.求值
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学习新知——有理数指数幂运算性质
如果xn=a，x叫做a的
.
学习新知——n次方根的概念
学习新知——n次方根的概念
27的3次方根是
3
-32的5次方根是 -2
a6的3次方根是
a2
结论1：当n为奇数时：正数的n次方根为正数， 负数的n次方根为负数 .
学习新知——n次方根的概念
16的4次方根是 2和-2 -81的4次方根是 无 结论2：当n为偶数时：正数的n次方根有两个，且互为相反数
人教A（2019版）高一上
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质． 2.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 3.掌握有理数指数幂的运算性质．
情景引入
情景引入
如果x2=9，则x= ±3；x叫做9的 平方根 . 如果x3=8， 则x= 2 ；x叫做8的 立方根 . 如果x3=-8，则x= -2 ；x叫做-8的 立方根 . 如果x4=16，则x= ±2 ；x叫做16的四次方根.
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情景引入
(2)利用(1)的规律,把下列根式表示成分数指数幂的形式（a>0,b>0,c>0）
类比
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结论2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时, 根式也可以写成分数指数幂的形式.
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学习新知——分数指数幂
1.正数的正分数指数幂的意义：
2.正数的负分数指数幂的意义：
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3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
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情景引入 (1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
结论1: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
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学习新知——n次方根的概念
（当n是奇数） （当n是偶数，且a>0）
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学习新知——根式的概念
根指数 根式
na
被开方数
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学习新知——根式的性质
(2)根式性质:当n>1,n∈N*时,
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