高中数学讲义微专题94 极坐标与参数方程

微专题94 极坐标与参数方程 极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题 一、基础知识： （一）极坐标： 1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系

2、点坐标的刻画：用一组有序实数对,确定平面上点的位置，其中代表该点到极点的

距离，而表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：0,0,2 3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴重合，则同一个点可具备极坐标,和直角坐标,xy，那么两种坐标间的转化公

式为：222cossinxyxy，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程cossin11xy（在转化成,xy时要设法构造cos,sin ，然后进行整体代换即可）

（二）参数方程：

1、如果曲线,0Fxy中的变量,xy均可以写成关于参数t的函数xftygt，那么xftygt





就称为该曲线的参数方程，其中t称为参数

2、参数方程与一般方程的转化：消参法 （1）代入消参：323323xtyxyt

（2）整体消参：2211xttytt，由222112tttt可得：22xy （3）平方消参：利用22sincos1消去参数 例如：22cos3cos312sin94sin2xxxyyy 3、常见图形的参数方程： （1）圆：222xaybr的参数方程为：cos0,2sinxarybr，，其中为参数，其几何含义为该圆的圆心角 （2）椭圆：222210xyabab的参数方程为cos0,2sinxayb，，其中为参数，其几何含义为椭圆的离心角 （3）双曲线：222210xyabab的参数方程为10,2costanxayb，，其中为参数，其几何含义为双曲线的离心角 （4）抛物线：220ypxp的参数方程为222xptypt，其中t为参数

（5）直线：过,Mab，倾斜角为的直线参数方程为cossinxattRybt，，其中t代表该点与M的距离 注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解 二、典型例题：

例1：已知直线参数方程为33xtyt，圆C的参数方程为2cos2sin2xy，则圆心到直线的距离为____________ 思路：将参数方程转化为一般方程：22:6,:24lxyCxy

所以圆心为0,2，到直线的距离为：|26|222d 答案：22 例2：以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取

相同的单位长度，点A的极坐标为22,4，曲线C的参数方程为2cos2sinxy，则曲线C上的点到点A距离的最大值为___________ 思路：222,2,:221ACxy，故曲线上距离A最远的距离为A到圆心的距离加上半径，故5d 答案：5

例3：已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：33cos13sinxy，以Ox为极轴建

立极坐标系，直线极坐标方程为cos06，则圆C截直线所得弦长为__________ 思路：圆C的方程为：22319xy，对于直线方程cos06，无法直接替换为,xy，需构造cos,sin再进行转换：cos06 再求出弦长即可：42l 答案：42

例4：已知两曲线参数方程分别为5cos0sinxy和254xtyt，它们的交点坐标为_____________ 思路：曲线方程为222125:1,:54xCyCxy，

联立方程可解得：125xy或5x（舍） 由0,可得：0y 所以125xy，坐标为21,55 答案：21,55 例5：在极坐标系中，直线sincosa与曲线=2cos4sin相交于,AB两点，且23AB，则实数a的值为_____________ 思路：先将直线与曲线转化为直角坐标方程：sincosayxa，曲线222=2cos4sin=2cos4sin24xyxy，所以问题转化为直线

:0lxya与圆22125xy相交于,AB，且23AB，利用圆与直线关系

可求得圆心到直线距离1222ad即32a，解得5a或1a 答案：5a或1a 例6：以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单

位，已知直线的极坐标方程为4R，它与曲线12cos22sinxy（为参数）相交

于两点,AB，则AB_________ 思路：先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。对于4，这种特殊的极坐标方程可以考虑数形结合来确定直线：即:lyx，曲线消参后可得：22124xy即圆

心是1,2O，半径为2的圆，所以1222Old，221224142OlABrd 答案：14 小炼有话说：对于形如4的极坐标方程，可以作出图像并根据图像得到直角坐标方程，或者可以考虑对赋予三角函数，然后向直角坐标进行转化：

例7：在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为11xttytt，以坐标原点为极点，x轴正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是sin13，则两曲线交点间的距离是______________ 思路：将12,CC转变为直角坐标系的普通方程。221213:4,:122CyxCyx，则为直线与双曲线位置关系，联立方程，利用韦达定理求得弦长即可 解：1:C 11xttytt 2222114yxtttt 2C的方程为31122xy

联立方程可得：22432yxyx 代入消去y可得： 设交点1122,,,AxyBxy 则120,23xx 答案：43 例8：已知曲线的极坐标方程分别为12:cos3,:4cosCC，其中0,02，则曲线12,CC交点的极坐标为_______ 思路一：按照传统思路，将12,CC转变为直角坐标系的普通方程，求出交点坐标后再转换为极坐标 解：1:cos33Cx

223343xxxyxy或33xy







将两个点转化为极坐标分别为23,,23,66，因为0,02，所以只有

23,6





符合条件

思路二：观察到所给方程12:cos3,:4cosCC形式简单，且所求也为极坐标，所以考虑直接进行极坐标方程联立求解

解：cos34cos代入消去可得：234cos3cos2

 交点坐标为23,6

小炼有话说：（1）思路一中规中矩，但解题过程中要注意原极坐标方程对,的限制条件 （2）思路二有些学生会对联立方程不很适应，要了解到极坐标中的,本身是实数，所以关于它们的方程与,xy方程一样，都是实数方程，所以可以用实数方程的方法去解根，只是由于其具备几何含义（尤其）导致方程形式有些特殊（数与三角函数）。但在本题中，通过代

入消元还是容易解出,的

例9：已知在极坐标系中，O为极点，圆C的极坐标方程为4sin3，点P的极坐标为4,3，则OCP的面积为___________ 思路一：将C转变为直角坐标系方程： 2

222232314xyxyxy

，所以3,1C，再求出P的直角坐标

为2,23，则12OCPPOCSOCd，因为3:3303OCyxxy，所以2363223POCd，且2OC，所以12222OCPS

思路二：本题求出3,1C后，发现其极坐标为2,6，而4,3P，所以可结合图像利用极坐标的几何含义求解，可得366COP，2,4OCOP，所以11sin24sin2226OCPSOCOPCOP

答案：2OCPS 小炼有话说：（1）在思路一中面积的求法用向量求解还可以更为简单： 3,1,2,3OCOP，所以2212OCPSOCOPOCOP，代入即可

（2）思路二体现了极坐标本身具备几何特点，即长度（）与角，在解决一些与几何相关的问题时，灵活运用极坐标的几何含义往往能达到出奇制胜的效果

例10：在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为222212xtyt，（其中t为参数），以原

点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2213sin，