通信原理02第二章 确知信号
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樊昌信《通信原理》(第7版)课后习题(确知信号)【圣才出品】
第2章确知信号思考题2-1 何谓确知信号？答：确知信号是指其取值在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值。
例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。
2-2 试分别说明能量信号和功率信号的特性。
答：（1）能量信号的能量为一个有限正值，但其平均功率等于零。
（2）功率信号的能量为无穷大，其平均功率为一个有限正值。
2-3 试用语言（文字）描述单位冲激函数的定义。
答：单位冲击函数是指宽度无穷小，高度为无穷大，积分面积为1的脉冲。
其仅有理论上的意义，是不可能物理实现的一种信号。
2-4 试画出单位阶跃函数的曲线。
答：如图2-1所示。
图2-12-5 试述信号的四种频率特性分别适用于何种信号。
答：（1）功率信号的频谱适用于周期性的功率信号。
（2）能量信号的频谱密度适用于能量信号。
（3）能量信号的能量谱密度适用于能量信号。
（4）功率信号的功率谱密度适用于功率信号。
2-6 频谱密度S（f）和频谱C（jnω0）的量纲分别是什么？答：频谱密度的量纲是伏特/赫兹（V/Hz）；频谱的量纲是伏特（V）。
2-7 自相关函数有哪些性质？答：自相关函数的性质：（1）自相关函数是偶函数；（2）与信号的能谱密度函数或功率谱密度函数是傅立叶变换对的关系；（3）当τ＝0时，能量信号的自相关函数R（0）等于信号的能量，功率信号的自相关函数R（0）等于信号的平均功率。
2-8 冲激响应的定义是什么？冲激响应的傅里叶变换等于什么？答：（1）冲激响应的定义：输入为单位冲激函数时系统的零状态响应，一般记作h（t）。
（2）冲激响应的傅里叶变换等于系统的频率响应，即H（f）。
习题2-1 试判断下列信号是周期信号还是非周期信号，能量信号还是功率信号：（1）s1（t）＝e－t u（t）（2）s2（t）＝sin（6πt）＋2cos（10πt）（3）s3（t）＝e－2t解：若0＜E＜∞，而功率P→0，则为能量信号；若能量E→0，而0＜P＜∞，则为功率信号。
第2章确知信号
令T 等于信号的周期T0 ，于是平均功率为
T
T / 2
T / 2
s ( t ) dt
2
1
T0
T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2
(2.2-45)
由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:
P 1 T0
T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2
n
T0 / 2 T0 / 2
s (t )e
dt
1 T
T0 / 2
T0 / 2
s ( t )[cos( 2 nf 0 t ) j sin( 2 nf 0 t )] dt 1 T
T
T0 / 2
s ( t ) cos( 2 nf 0 t ) dt j
T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
j n
s ( t ) dt
Cn Cn e
－双边谱，复振幅 |Cn| －振幅， n－相位
(2.2 － 4)
第2章 确知信号
周期性功率信号频谱的性质
对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有
C n
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
s (t )e
j 2 nf 0 t
2
S ( f ) df
2
(2.2-37)
将|S(f)|2定义为能量谱密度。 式(2.2-37)可以改写为
E
G ( f ) df
(2.2-38)
现代通信原理 第2章 确定信号分析
设x1(t)和x2(t)都为功率信号，则它们的互相关函数定义为
(2.38)
式中， T的含义与式(2.14)中相同，为功率信号的截断区间。
44
第2章
确定信号分析
当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义
(2.39)
为功率信号x(t)的自相关函数。
45
第2章
确定信号分析
由式(2.39)可得到周期信号x(t)的自相关函数为
41
第2章
确定信号分析
2.3.2 能量信号的相关定理 若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)，则信号 x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅立 叶变换对，即
(2.36)
式(2.36)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时 域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频 谱相乘。
30
第2章
确定信号分析
2.3 相关函数与功率谱密度函数
2.3.1 能量信号的相关函数
设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，则定义它们的互相关函 数R12(τ)为 (2.32) 若x1(t)=x2(t)=x(t)，则定义 (2.33) 为x(t)的自相关函数。
31
第2章
确定信号分析
【例2.2】
5
第2章
确定信号分析
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，即
(2. 6)
而
6
第2章
确定信号分析
则有：
(2. 7)
比较式(2. 5)与式(2. 7)可得:
(2. 8) 由此可见，由于引入了δ(· )函数，对周期信号和非周期信
号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。
第2章 确知信号(简)
例如： s(t ) 5sin(2000t 60),
t
1 2 2 周期为： T0 f0 0 2000
非周期信号
s (t )
T
t
第2章 确知信号
2、按照能量是否有限区分： （1）能量信号 归一化功率——电流在单位电阻（1）上消耗的功率： 能量信号 功率信号
S ( f ) s(t )e j 2ft dt
j 2ft 而S(f)的傅里叶逆变换即为原信号： s(t ) S ( f )e df
第2章 确知信号
2. 能量信号频谱密度S(f)和周期性功率信号频谱Cn的主要区别： S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
T0 / 2
s(t )[cos(2 nf 0t ) j sin(2 nf 0t )]dt
1 T0 / 2 s(t ) cos(2 nf0t )dt j T0
T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
s(t )sin(2 nf 0t )dt
Re(Cn ) j Im(Cn )
第2章 确知信号
2. 周期性功率信号频谱的性质 1 T /2 Cn C (nf0 ) s(t )e j 2nf t dt T0 T / 2
0 0 0
(2.2 1)
（1）离散谱
对于周期性功率信号来说，其频谱函数Cn是离散的，只
在f0的整数倍nf0上才取值。 （2）复振幅
式（2.2-1）中频谱函数Cn是一个复数，代表在频率nf0
Cn
1 1
2
离散性 谐波性 收敛性
nf 0
第2章 确知信号
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其自相关函数为
2-7 已知一信号 s(t)的自相关函数为
(1)试求其功率谱密度 Ps(f)和功率 P； (2)试画出 RS(τ)和 Pn(f)的曲线。 解：（1）功率谱密度与自相关函数互为傅里叶变换，故
功率
。
（2）自相关函数和功率谱密度随频率的变化曲线如图 2-2 所示：
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又因
PБайду номын сангаас
1 T
T /
T
2 /2
s
2
(
t
)dt
1 ，故
s(t)是功率信号。
该信号周期为 T0 1，基波频率为 f0 1，则其傅里叶级数
即
Cn 1 , n 1
Cn 0 , others
故信号的功率谱密度为
P( f )
Cn 2 ( f nf
) ( f f0 )( f f0 ) 。
n
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图 2-2
2-8 已知一信号 s(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：
试求 s(t)的功率谱密度 Pn(f)并画出其曲线。 解：周期性功率信号的功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，则
功率谱密度曲线如图 2-3 所示：
图 2-3
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2-5 试求出 s(t)=Acoswt 的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：（1）根据题意可知，s(t)为周期性功率信号，其自相关函数定义为
其中T0 2 / w 。
（2）由自相关函数的性质可知，平均功率为
。
功率谱密度为
P( f ) R( )e j2 f d A2 cos( 2 )e j2 f d
现代通信原理答案WORD版( 罗新民)指导书 第二章 确定信号分析 习题详解
第二章 确定信号分析2-1图E2.1中给出了三种函数。
图 E2.1①证明这些函数在区间（-4，4）内是相互正交的。
②求相应的标准正交函数集。
③用（2）中的标准正交函数集将下面的波形展开为标准正交级数：⎩⎨⎧≤≤=为其它值t t t s ,040,1)(④利用下式计算（3）中展开的标准正交级数的均方误差： ⎰∑-=-=44231])()([dt t u a t s k k k ε⑤对下面的波形重复（3）和（4）：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=为其它值t t t t s ,044),41cos()(π ⑥图E2.1中所示的三种标准正交函数是否组成了完备正交集？解：①证明：由正交的定义分别计算，得到12()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，23()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，31()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，得证。
②解：424()8,k C u t dt k -== =1,2,3⎰，对应标准正交函数应为()(),1,2,3k k q t t k ==因此标准正交函数集为123123{(),(),()}(),()()}q t q t q t t t t =③解：用标准正交函数集展开的系数为4()(),1,2,3k k a s t q t dt k =⋅ =⎰，由此可以得到4110()()a s t t dt ===⎰4220()()a s t t dt ===⎰4330()()0a s t t dt ==⎰。
所以，121211()()()()()22s t t t u t u t ==-④解：先计算得到312111()()()()()()022k k k t s t a u t s t u t u t ε==-=-+=∑ ⑤解：用标准正交集展开的系数分别为441141()())04a s t t dt t dt π--===⎰⎰，44224011()()cos()cos()044a s t t dt t dt t dt ππ--==-=⎰⎰⎰，433422442()()111cos()))444a s t t dtt dt t dt t dt ππππ----= =-+- =⎰⎰⎰⎰。
通信原理第2章 确知信号
n 1
它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。
j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1
C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1
T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n
即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C
n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。
它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。
j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1
C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1
T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n
即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C
n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。
通信原理-第2章
思考问题
(2.1) 为什么能量信号的平均功率为零,举例说明哪 些信号是能量信号，哪些信号是功率信号？
(2.2.1) 周期信号的频谱特性？ (2.2.2) 为什么能量信号用频谱密度来表示它的频
域特性？
2.1 确知信号的类型
❖ 按照周期性区分： ➢ 周期信号：每隔一定时间T，周而复始且无始无终的信 号。
g a (t )
它的傅里叶变换为
1 0
t /2 t /2
Ga ( f )
/2 e j2 ft dt
/2
1 (e j f e j f ) sin( f ) Sa( f )
j2 f
f
ga(t) 1
0
t
Ga(f)
R( ) lim 1
T /2
s(t)s(t )dt
T T T / 2
性质：
当 = 0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：
R(0) lim 1 T / 2 s 2 (t)dt P
T T
T / 2
功率信号的自相关函数也是偶函数。
2.3.2 功率信号的自相关函数
【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V ,
/2 t /2
s(t)
s(t) 0,
/ 2 t (T / 2)
s(t) s(t T ),
由式(2.2-1)：
t
V
-T
0
t
T
/2
Cn
1 T
/2 Ve j 2 nf0t dt
矩形脉冲的带宽等于其脉
冲持续时间的倒数，在这里
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对于物理可实现的实信号，由式（2.2－1）有
1
Cn T0
T0 / 2 T0 / 2
s(t)e
dt j 2nf0t
1
T0
T0 / T0
2 /2
s(t
)e
j
2nf0t
dt
Cn*
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即
|Cnn|
Cn的模相是位偶为对奇称对称
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第二节 确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
例2.3 试求下图中周期波形的频谱。
s(t) 1
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t
解： s(t) sin(t) 0 t 1
s(t) f (t 1) t
根据式（2.2－1）可以求出其频谱为：
注意：针对能量信号讨论问题时，常把频谱密度简称为频谱。
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第二节 确知信号的频域分析
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（2.2－5）代入式（2.2－2），得到
s(t)
C e j2nt /T0 n
C0
an cos2nt /T0 bn sin 2nt /T0
n
n1
C0 an2 bn2 cos2nt / T0 n1
式中 tan 1 bn / an
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/2
Cn
1 T
/ 2Ve j 2nf0t dt
/ 2
1 T
V
j 2nf 0
e
j
2nf0t
/ 2
V T
e e j 2nf0 / 2
j 2nf0 / 2
j 2nf 0
V
nf 0T
2、计算： 常用信号的傅里叶变换；傅里叶变换的尺度变换特性、
频移特性、卷积定理的应用；能量和功率的计算；相关函数 与谱密度的互求。
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学习目标
通信原理【 第二章 确知信号】
难点
1、信号类型的区别与关系。 2、狄利克雷条件。 3、傅里叶级数的物理意义——频谱。 4、周期信号频谱的特点。 5、周期信号频谱Cn 的意义。 6、傅里叶变换及其性质的意义。 7、频谱密度和频谱的区别。 8、双边谱和单边谱的概念。 9、冲激函数及其常用性质。
含弘光大 继往开来
通信原理
主讲教师：高 渤 gaobo@
西南大学电子信息工程学院 通信教研室
学习内容
通信原理【 第二章 确知信号】
第二章 确知信号 Southwestern University
1 信号的分类和特性 2 确知信号的频域分析 3 确知信号的时域分析
5
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式中，f0称为基频， nf0称为n次谐波频率。
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第二节 确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
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C0
1 T0
T0 / 2 s(t)dt ，直流分量（n＝0）。
T0 / 2
傅立叶系数Cn反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值， 因此，称Cn为信号的频谱。 Cn一般表示为复数形式。
V
t
-T
0
T
解：
V ,
s(t) 0,
/2 t /2 / 2 t (T / 2)
s(t) s(t T ),
t
根据式（2.2－1）可以求出其频谱为：
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第二节 确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
二、能量信号的频谱密度
1、频谱密度（frequency spectrum density）的定义：
能量信号S（t）的傅里叶变换：S( f ) s(t)e j2ft dt
S（f）的逆傅里叶变换就是原信号： s(t) S( f )e j2ft df
能量信号频谱密度S（f）和功率信号频谱Cn的主要区别： 1）S（f）是连续谱；Cn是离散谱； 2）S（f）的单位是V/Hz；而Cn的单位是V。
第二章 确知信号 Southwestern University
1 信号的分类和特性 2 确知信号的频域分析 3 确知信号的时域分析
5
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第二节 确知信号的频域分析
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通信原理【 第二章 确知信号】
一、功率信号的频谱 通过傅立叶级数和傅立叶变换来进行分析。
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学习目标
通信原理【 第二章 确知信号】
学习要点
1、信号的分类及其特征； 2、信号的频域分析法和频谱的概念； 3、傅里叶级数的物理意义； 4、傅里叶变换及其基本性质； 5、函数及其常用性质； 6、信号的能量谱和功率谱； 7、相关函数的定义和性质； 8、相关函数与谱密度的关系。
s(t ) sin(
2nf 0 t )dt
0
所以Cn为实函数，即： 傅立叶级数展开式中只含有直流项和余弦项。
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第二节 确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
例2.1 试求下图所示周期性方波的频谱。
s（t）
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-5 -4
-2 -1
3
-3
012
45
n
n
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
相振位幅谱
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第二节 确知信号的频域分析
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通信原理【 第二章 确知信号】
3、周期实信号的另一种展开形式：三角形式的傅立叶级数。 利用频谱正、负频率存在“负数共轭”的关系，将式
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第一节 信号的分类和特性
通信原理【 第二章 确知信号】
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2、按照能量区分： 1）能量信号：
能量有限信号，其振幅和持续时间均有限，非周期性。
0 E s2 (t)dt
2）功率信号：功率有限，信号的持续时间无限。
，
Cn
1 2
an2 bn2
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第二节 确知信号的频域分析
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上式（2.2－8）表明：
1、实信号可以表示成包含直流分量C0、基波（n = 1时）和各 次谐波（n = 1, 2, 3, …）。
因为信号波形为偶函数，因此其频谱Cn是实函数，故波形的 傅立叶级数展开式为：
s(t) 2
1
e j 2nt
n 4n 2 1
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第二节 确知信号的频域分析
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通信原理【 第二章 确知信号】
归一化功率：P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
平均功率P为有限正值： P lim 1 T / 2 s2 (t)dt
T T
T / 2
能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于 。
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学习内容
通信原理【 第二章 确知信号】
V
t
-T
0
T
解：
s(t)
V , 0,
0t tT
s(t) s(t T ),
t
根据式（2.2－1）可以求出其频谱为：
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第二节 确知信号的频域分析
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学习目标
通信原理【 第二章 确ity
重点
1、概念： 信号的分类与特征；频谱的概念；周期信号频谱的特点
和意义；傅里叶变换特性的物理内涵；相关函数的定义和性 质函数。
Cn Cn e jn
|Cn|——振幅（谱），n——相位（谱）； Cn信号分量的复振幅，双边谱（物理上没有负频率）。
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第二节 确知信号的频域分析
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通信原理【 第二章 确知信号】
2、周期性功率信号的频谱性质
1、周期性功率信号频谱（函数）的定义
周期功率信号的指数型傅立叶级数（Fourier series）：
s(t)
C e j 2nt /T0 n
n
其中，傅立叶级数的系数（频谱函数的定义）为：
Cn
C(nf0 )
1 T0
T0 / 2 s(t )e j 2nf0t dt
T0 / 2
第一节 信号的分类和特性
通信原理【 第二章 确知信号】
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