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需求量 概率 （筐） P(r ) 0.05 0.05 0.15 0.2 0.25 0.45 0.35 0.8 0.15 0.95 0.05 1 累积概率 F ( r )
解：由已知条件可知u=60，v=40，临界值 u 60 0. 6 u v 40 60 一般需比较进7筐和8筐的利润，或计算第8筐的边际利润 第8筐卖掉的概率为0.55，卖不掉的概率为0.45，则第8筐的期望收 益为 E8 0.55 60 0.45 40 5 ，所以，最优进货量为8筐。
12
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
库存问题可以延伸到时间(Time),生产能力 (Production Capacity),资金(Capital)等方 面。
13
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
什么时侯订货，即订货时机，或订货点 订多少，即订货批量 如何实施，即订货方法
——定量订货法、定期订货法
24
一、定量订货法：——订货点法 • 定量订货法：库存降到一定水平（订货点）时，按固定 的订货数量进行订货的方式
Q d1 d2 Q* 名义最高 库存量Qmax d3 订货量Q* 实际 订货点 DL 最高 库存 安全库存 到货时间 提前期T2
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
约会问题(Date Problem)
您要与您的女朋友/男朋友晚上六点钟在她/他 家附近的一个地方约会。您估计从您的办公室乘 车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期 会出现交通阻塞，因此还会有一些偏差。路程所 用时间的标准偏差估计为10分钟。虽然很难量化 您每迟到一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚 到1分钟要比早到1分钟付出十倍的代价。那么您 应当什么时候从办公室出发呢
1.5 P(订货量 需求 ) 0.75 用掉所有的饮料的概率 0.5 1.5
用掉189的概率为0.769，用掉190的概率为0.747 所以购买量取190.
22
23
第二节 定量订货法
• 为达到一定目的而采取的手段，目的不同、存货类型 不同，采用方法也不同 • 核心是：何时订货、订多少
7
例2：A产品每件销售价为100元/件，每件 成本70元。如不卖掉还剩残值30元。在这 一时期需求量在35—40件之间，即35件以 下可以全部卖掉，超过40件以上部分则卖 不掉。需求概率以及与此关联的可销售出 的概率见下表：
8
需求概率
总需求量
35 36 37 38 39 40 41
9
这一需求 量的概率
DL——订货提前期销售量(提前期需求量)：按已有销 售速率在订货提前期内销售量：DL ＝d· L 用户需求满足水平取决于安全库存量大小设置 ——确定订货点、确定订货批量、如何实施?
26
• 订货点的确定：
订货点：在库存物品的库存量下降到必须再 次订货的时点时，仓库所具有的库存量—— 直接控制库存水平的变量
X*=30+1.34(10)=43.4。您应当在下午5点16分出发
18
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
超额预售机票问题解
设 X 为超额预售的机票数，设 Y 为有票没来的人数。 X > Y 就意味着超额预售的机票数超过了有票没来的人 数。再多售一张机票就要蒙受400美元的损失，ML=$400 X < Y 则意味着超额预订的数量小于没有登机的人数， 预订数量减少一个就蒙受100美元的损失，MP = $100。 最佳的 X* 应当满足
16
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
报童问题解
Prob [Y X ]
*
ML ML+MP
0 .3 0 .6 0 .2 0 .3
根据正态表， z = 0.25。 因此， X*=u+zσ=50+.25(12)=53份.
zs
15
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
超额预售机票问题(Excessive Air Ticket Sales Problem)
一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而 未登机（“不露面”）的人数具有平均值为20人、 标准偏差为10人的正态分布。根据这家航空公司 的测算，每一个空座位的机会成本为100美元。乘 客确认票后但因满座不能登机有关的罚款费用估 计为400美元。该航空公司想限制该航班的“超额 预订”。飞机上共有150个座位。确认预订的截止 上限应当是多少？
总损失的期望值为
Cv (Q) v (r Q) P(r )
r Q
C(Q) Cu (Q) Cv (Q) u (Q r ) P(r ) v (r Q) P(r )
r Q r Q
3
边际分析法
报童订报时，若订得太多，卖不掉就会受到亏损。 但若订得太少，由于不够卖就会因缺货而损失可得的 利润。 订货逐渐增多，当增加到n件时，第n件的期望盈 利(Expected Profit)≥第n件的期望损失(Expected Lost)。且第n+1件的期望盈利<第n+1件的期望损失。 这个点称为边际平衡点(Point of Marginal Equivalent)，平衡点所对应的量则为总利润最高时的 订货量。
Reorder Qs
订货点
25
到货时间 提前期T1
时间
定 量 订 货 法
随机型：设各阶段库存量的下降速度不等，即 d1d2d3…，进货提前期：T1T2…. 确定型：若d1＝d2＝d3＝… ，T1＝T2＝…. 控制订货点R和订货量Q*—控制最高库存水平：
名义最高库存：Qmax＝R＋Q* 实际最高库存：R＋Q*－DL
10
从上表可以看出，当订货37时，P刚大于0.57。
ML 40 0.57 ≥ P MP ML 30 40
也可以从下表作出决策：
11
期望盈利亏损表
需求概 第 n件销 期望 MP 期望 ML 需求 纯盈利 (P MP) (ML (1 P)) 率 售出的概率
35 36 37 38 39 40 41 0.10 0.15 0.25 0.25 0.15 0.10 0 1.0 0.9 0.75 0.5 0.25 0.10 0 30 27 22.5 15 7.5 3 0 4 10 20 30 36 30 23 12.5 -5.0 -22.5 -33.0 -40.0
• 订货点太高：订货回来后，原有库存物资还
没用完——库存量太高 • 订货点太低：订货还没回，库存物资就早早 卖完了——缺货
27
订货点大小取决于：
• 销售速率：单位时间内平均销售量d，销售速率高，
订货点应高 • 订货提前期（Lead time）：从发出订货到所订货物入 库所需时间的长短—L，L越大，订货点就越高——L 取决于路途远近、运输工具运输快慢、供应商服务水 平
假设：MP——若第n件被卖掉，此件所得利润Marginal Profit ML——若第n件卖不掉，此件所得损失Marginal Lost
4
在平衡点时，期望利润≥期望亏损 即 当需求是随机的时候，要用概率表示平衡点的 条件： 其中：P:第n件被卖掉的概率(意味着需求≥n) 1-P:第n件卖不掉的概率 解上式，可得 P MP (1 P)ML 根据上式，来求订货量n。
第五章 随机性需求
• 一次性订货(单周期）
• 定量订货
• 定期订货
1
第一节 单期模型（Single-Period Models)
单期模型是指为了满足某一规定时期的需
要只发生一次订货的情况。用于短时期有需求 而在此后就失去价值或过时变质的物品。 这类模型通常被称为报童问题（“Newsboy”
problems）。
订货提前期需求量DL： DL ＝d· L 取订货点：R= DL
ri v P( r ) P( r ) v u r 0 r 0 ri1
需求≤ri的概率
6
例1：某水产批发店进一批大虾，每售出一筐可赢利60 元。如果当天不能及时售出，必须削价处理。假如降价 处理后全部售完，此时每一筐损失40元。根据历史销售 经验，市场每天需求的概率如下表所示。试求最优进货 量。 ≤5 6 7 8 9 ≥10
2
损失最小/利润最大
理想目标是能够实现供求平衡，这样可以使得滞销 损失和机会损失之和为最小。根据供求关系，存在 如下两种情况：
当供过于求时，即订货量Q大于需求量r，此时因报纸 积压而导致滞销的数量为Q-r，滞销损失期望值为：
Cu (Q) u (Q r ) P(r )
r Q
当供不应求时，即订货量Q小于需求量r，此时因缺货 而导致少销售机会失去量为r-Q，机会损失期望值为：
5
ML P(需求≥n） ≥ MP ML 或 MP P(需求<n） ≤ MP ML
假设某产品的需求是不确定的，用随机变量r表示需 求量，每销售一件产品盈利v元，如果未售出，则每 件亏损u元。产品销售需求量的概率P(r) 可以根据历 史销售记录统计而得。如果订货过多而供过于求，因 过剩致使资金积压，会造成滞销损失；如果订货过少 而供不应求，则出现缺货而失去盈利机会，造成机会 损失。那么订货量为多少是期望利润值最大？ 最优订货量应按下列不等式确定：
报童问题（Newsboy problems）
一名报童以每份0.20元的价格从发行 人那里订购报纸，然后再以0.50元的零售 价格出售。但是，他在订购第二天的报纸 时不能确定实际的需求量，而只是根据以 前的经验，知道需求量具有均值为50份、 标准偏差为12份的正态分布。那么他应当 订购多少份报纸呢？
14
X
m
17
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
约会问题解
设 X 为允许的路程时间，设 Y 为实际路程时间。 X < Y 就意味着会比约定时间晚到，因此, ML= 10MP. 最佳的 X* 应当满足 ML 10MP 10 * 0 .91 Prob[Y X ] ML+MP 10MP MP 11 根据正态表， z = 1.34 ，因此，
0.10 0.15 0.25 0.25 0.15 0.10 0
最后一件销 售出的概率
1.0 0.9 0.75 0.5 0.25 0.10 0
其中，最后一件销售出的概率
=1-（需求<n）的概率 =1- 需求量为i的概率
i 1 n 1
针对上表数据，解题过程如下：
解：每销售出一件，可得利润=100-70=30元 每销售不出一件，受到的亏损=70-30=40元
1.5 P 0.75 0.5 1.5
查表得0.75分位数为0.68 所以购买量=200－40×0.68=173
20
0.25
P0.25
P0.75
0.5 P 0.25 0.5 1.5
查表得0.75分位数为0.68 所以购买量=200+40×（-0.68）=173
21
练习题二
• 工商学院物流管理系准备办一次国庆联欢会，组织者 需要为到场的每一个人准备一听饮料。参加联欢会的 人数服从泊松分布，均值为200人。如果提前2周批发 较大数量，某商店愿意以每听1.5元提供。但是若饮料 不够时，本班必须在学院商店以每听2元购买。问： 为节约开支，本班应提前购买多少听饮料？
400 0 .8 Prob [Y X ] 400 100
*
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据正态表，z = -0.84。因此，X*= 20-0.84(10)=12 预售机票数不要超过150 + 12 = 162张。
19
练习题一
• 工商学院物流管理系准备办一次国庆联欢会，组织者需 要为到场的每一个人准备一听饮料。参加联欢会的人数 服从正态分布，均值为200人，标准差为40人。如果提 前2周批发较大数量，某商店愿意以每听1.5元提供。但 是若饮料不够时，本班必须在学院商店以每听2元购买。 问：为节约开支，本班应提前购买多少听饮料？
解：由已知条件可知u=60，v=40，临界值 u 60 0. 6 u v 40 60 一般需比较进7筐和8筐的利润，或计算第8筐的边际利润 第8筐卖掉的概率为0.55，卖不掉的概率为0.45，则第8筐的期望收 益为 E8 0.55 60 0.45 40 5 ，所以，最优进货量为8筐。
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库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
库存问题可以延伸到时间(Time),生产能力 (Production Capacity),资金(Capital)等方 面。
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库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
什么时侯订货，即订货时机，或订货点 订多少，即订货批量 如何实施，即订货方法
——定量订货法、定期订货法
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一、定量订货法：——订货点法 • 定量订货法：库存降到一定水平（订货点）时，按固定 的订货数量进行订货的方式
Q d1 d2 Q* 名义最高 库存量Qmax d3 订货量Q* 实际 订货点 DL 最高 库存 安全库存 到货时间 提前期T2
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
约会问题(Date Problem)
您要与您的女朋友/男朋友晚上六点钟在她/他 家附近的一个地方约会。您估计从您的办公室乘 车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期 会出现交通阻塞，因此还会有一些偏差。路程所 用时间的标准偏差估计为10分钟。虽然很难量化 您每迟到一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚 到1分钟要比早到1分钟付出十倍的代价。那么您 应当什么时候从办公室出发呢
1.5 P(订货量 需求 ) 0.75 用掉所有的饮料的概率 0.5 1.5
用掉189的概率为0.769，用掉190的概率为0.747 所以购买量取190.
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第二节 定量订货法
• 为达到一定目的而采取的手段，目的不同、存货类型 不同，采用方法也不同 • 核心是：何时订货、订多少
7
例2：A产品每件销售价为100元/件，每件 成本70元。如不卖掉还剩残值30元。在这 一时期需求量在35—40件之间，即35件以 下可以全部卖掉，超过40件以上部分则卖 不掉。需求概率以及与此关联的可销售出 的概率见下表：
8
需求概率
总需求量
35 36 37 38 39 40 41
9
这一需求 量的概率
DL——订货提前期销售量(提前期需求量)：按已有销 售速率在订货提前期内销售量：DL ＝d· L 用户需求满足水平取决于安全库存量大小设置 ——确定订货点、确定订货批量、如何实施?
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• 订货点的确定：
订货点：在库存物品的库存量下降到必须再 次订货的时点时，仓库所具有的库存量—— 直接控制库存水平的变量
X*=30+1.34(10)=43.4。您应当在下午5点16分出发
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库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
超额预售机票问题解
设 X 为超额预售的机票数，设 Y 为有票没来的人数。 X > Y 就意味着超额预售的机票数超过了有票没来的人 数。再多售一张机票就要蒙受400美元的损失，ML=$400 X < Y 则意味着超额预订的数量小于没有登机的人数， 预订数量减少一个就蒙受100美元的损失，MP = $100。 最佳的 X* 应当满足
16
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
报童问题解
Prob [Y X ]
*
ML ML+MP
0 .3 0 .6 0 .2 0 .3
根据正态表， z = 0.25。 因此， X*=u+zσ=50+.25(12)=53份.
zs
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库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
超额预售机票问题(Excessive Air Ticket Sales Problem)
一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而 未登机（“不露面”）的人数具有平均值为20人、 标准偏差为10人的正态分布。根据这家航空公司 的测算，每一个空座位的机会成本为100美元。乘 客确认票后但因满座不能登机有关的罚款费用估 计为400美元。该航空公司想限制该航班的“超额 预订”。飞机上共有150个座位。确认预订的截止 上限应当是多少？
总损失的期望值为
Cv (Q) v (r Q) P(r )
r Q
C(Q) Cu (Q) Cv (Q) u (Q r ) P(r ) v (r Q) P(r )
r Q r Q
3
边际分析法
报童订报时，若订得太多，卖不掉就会受到亏损。 但若订得太少，由于不够卖就会因缺货而损失可得的 利润。 订货逐渐增多，当增加到n件时，第n件的期望盈 利(Expected Profit)≥第n件的期望损失(Expected Lost)。且第n+1件的期望盈利<第n+1件的期望损失。 这个点称为边际平衡点(Point of Marginal Equivalent)，平衡点所对应的量则为总利润最高时的 订货量。
Reorder Qs
订货点
25
到货时间 提前期T1
时间
定 量 订 货 法
随机型：设各阶段库存量的下降速度不等，即 d1d2d3…，进货提前期：T1T2…. 确定型：若d1＝d2＝d3＝… ，T1＝T2＝…. 控制订货点R和订货量Q*—控制最高库存水平：
名义最高库存：Qmax＝R＋Q* 实际最高库存：R＋Q*－DL
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从上表可以看出，当订货37时，P刚大于0.57。
ML 40 0.57 ≥ P MP ML 30 40
也可以从下表作出决策：
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期望盈利亏损表
需求概 第 n件销 期望 MP 期望 ML 需求 纯盈利 (P MP) (ML (1 P)) 率 售出的概率
35 36 37 38 39 40 41 0.10 0.15 0.25 0.25 0.15 0.10 0 1.0 0.9 0.75 0.5 0.25 0.10 0 30 27 22.5 15 7.5 3 0 4 10 20 30 36 30 23 12.5 -5.0 -22.5 -33.0 -40.0
• 订货点太高：订货回来后，原有库存物资还
没用完——库存量太高 • 订货点太低：订货还没回，库存物资就早早 卖完了——缺货
27
订货点大小取决于：
• 销售速率：单位时间内平均销售量d，销售速率高，
订货点应高 • 订货提前期（Lead time）：从发出订货到所订货物入 库所需时间的长短—L，L越大，订货点就越高——L 取决于路途远近、运输工具运输快慢、供应商服务水 平
假设：MP——若第n件被卖掉，此件所得利润Marginal Profit ML——若第n件卖不掉，此件所得损失Marginal Lost
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在平衡点时，期望利润≥期望亏损 即 当需求是随机的时候，要用概率表示平衡点的 条件： 其中：P:第n件被卖掉的概率(意味着需求≥n) 1-P:第n件卖不掉的概率 解上式，可得 P MP (1 P)ML 根据上式，来求订货量n。
第五章 随机性需求
• 一次性订货(单周期）
• 定量订货
• 定期订货
1
第一节 单期模型（Single-Period Models)
单期模型是指为了满足某一规定时期的需
要只发生一次订货的情况。用于短时期有需求 而在此后就失去价值或过时变质的物品。 这类模型通常被称为报童问题（“Newsboy”
problems）。
订货提前期需求量DL： DL ＝d· L 取订货点：R= DL
ri v P( r ) P( r ) v u r 0 r 0 ri1
需求≤ri的概率
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例1：某水产批发店进一批大虾，每售出一筐可赢利60 元。如果当天不能及时售出，必须削价处理。假如降价 处理后全部售完，此时每一筐损失40元。根据历史销售 经验，市场每天需求的概率如下表所示。试求最优进货 量。 ≤5 6 7 8 9 ≥10
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损失最小/利润最大
理想目标是能够实现供求平衡，这样可以使得滞销 损失和机会损失之和为最小。根据供求关系，存在 如下两种情况：
当供过于求时，即订货量Q大于需求量r，此时因报纸 积压而导致滞销的数量为Q-r，滞销损失期望值为：
Cu (Q) u (Q r ) P(r )
r Q
当供不应求时，即订货量Q小于需求量r，此时因缺货 而导致少销售机会失去量为r-Q，机会损失期望值为：
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ML P(需求≥n） ≥ MP ML 或 MP P(需求<n） ≤ MP ML
假设某产品的需求是不确定的，用随机变量r表示需 求量，每销售一件产品盈利v元，如果未售出，则每 件亏损u元。产品销售需求量的概率P(r) 可以根据历 史销售记录统计而得。如果订货过多而供过于求，因 过剩致使资金积压，会造成滞销损失；如果订货过少 而供不应求，则出现缺货而失去盈利机会，造成机会 损失。那么订货量为多少是期望利润值最大？ 最优订货量应按下列不等式确定：
报童问题（Newsboy problems）
一名报童以每份0.20元的价格从发行 人那里订购报纸，然后再以0.50元的零售 价格出售。但是，他在订购第二天的报纸 时不能确定实际的需求量，而只是根据以 前的经验，知道需求量具有均值为50份、 标准偏差为12份的正态分布。那么他应当 订购多少份报纸呢？
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X
m
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库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
约会问题解
设 X 为允许的路程时间，设 Y 为实际路程时间。 X < Y 就意味着会比约定时间晚到，因此, ML= 10MP. 最佳的 X* 应当满足 ML 10MP 10 * 0 .91 Prob[Y X ] ML+MP 10MP MP 11 根据正态表， z = 1.34 ，因此，
0.10 0.15 0.25 0.25 0.15 0.10 0
最后一件销 售出的概率
1.0 0.9 0.75 0.5 0.25 0.10 0
其中，最后一件销售出的概率
=1-（需求<n）的概率 =1- 需求量为i的概率
i 1 n 1
针对上表数据，解题过程如下：
解：每销售出一件，可得利润=100-70=30元 每销售不出一件，受到的亏损=70-30=40元
1.5 P 0.75 0.5 1.5
查表得0.75分位数为0.68 所以购买量=200－40×0.68=173
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0.25
P0.25
P0.75
0.5 P 0.25 0.5 1.5
查表得0.75分位数为0.68 所以购买量=200+40×（-0.68）=173
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练习题二
• 工商学院物流管理系准备办一次国庆联欢会，组织者 需要为到场的每一个人准备一听饮料。参加联欢会的 人数服从泊松分布，均值为200人。如果提前2周批发 较大数量，某商店愿意以每听1.5元提供。但是若饮料 不够时，本班必须在学院商店以每听2元购买。问： 为节约开支，本班应提前购买多少听饮料？
400 0 .8 Prob [Y X ] 400 100
*
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据正态表，z = -0.84。因此，X*= 20-0.84(10)=12 预售机票数不要超过150 + 12 = 162张。
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练习题一
• 工商学院物流管理系准备办一次国庆联欢会，组织者需 要为到场的每一个人准备一听饮料。参加联欢会的人数 服从正态分布，均值为200人，标准差为40人。如果提 前2周批发较大数量，某商店愿意以每听1.5元提供。但 是若饮料不够时，本班必须在学院商店以每听2元购买。 问：为节约开支，本班应提前购买多少听饮料？