高等数学(张宇)_-_笔记_PDF
(最新)张宇高数18讲数学二知识点总结笔记
张宇高数18讲数学二知识点总结笔记●1.函数极限与连续1)函数极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、局部有界性、局部保号性●等式脱帽法2)函数极限的计算●化简先行●等价无穷小替换●恒等变形●及时提出极限存在且不为0的因式●洛必达法则●泰勒公式●熟记常用公式●展开原则●无穷小比阶●函数极限的存在性●具体性●若洛必达失效，用夹逼准则●抽象性●单调有界准则●连续与间断●研究位置●无定义点、分段函数的分段点●连续●内点处、端点处●间断●2.数列极限1)数列极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、有界性、保号性●收敛的充要条件2)数列极限的存在性与计算●海涅定理的使用●直接计算法●定义法（先斩后奏法）●单调有界准则●用已知不等式●题设给出条件来推证●夹逼准则●用基本放缩法●题设给出条件来推证●综合题总结●用导数、积分、中值定理综合●用方程列、区间列综合●用极限综合●3.一元微分的概念1)导数定义（导数在一点的问题）●分段函数（或含绝对值函数）在分段点●抽象函数在一点●特指点x_0●泛指点x●四则运算中的特殊点●太复杂的函数●f=f_1+f_2●f=f_1* f_2* f_3* ...*●求导公式无定义的点2)微分定义●4.一元微分的计算1)复合函数求导2)隐函数求导3)反函数求导4)分段函数求导（含绝对值）●在分段点用导数定义●在非分段点用导数公式●对数求导法●幂指函数求导法●参数方程确定的函数求导●高阶导数●归纳法（记公式）●莱布尼茨公式●展开式（记公式）5)难点●计算量大●含参数的讨论●高阶导数●5.一元微分的几何应用1)研究对象●“祖孙三代”●f(x)●具体●抽象●f_n(x) 函数族●f_1·f_2·...·f_n● f'(x) ； \frac{\mathrm{d}[f(x)]}{\mathrm{d}{(x^2)}} ; {f}^{(n)}(x)●\int_{a}^{x}f(x)dx●分段函数（含绝对值）●参数方程●x=x(t), y=y(t)●x=r(\theta)cos\theta,y=r(\theta)sin\theta●隐函数F(x,y)=02)研究内容●切线、法线、截距●极值、单调性●单调性的判别●一阶可导点是极值点的必要条件●判别极值的第1,2,3充分条件●拐点、凹凸性●凹凸性的定义●拐点定义●凹凸性与拐点的判别●判别凹凸性的充分必要条件●二阶可导点是拐点的必要条件●判别拐点的第1,2,3充分条件●6.中值定理、微分等式与微分不等式1)中值定理●确定区间●确定辅助函数●确定使用的定理●零点定理●介值定理●费马定理●罗尔定理●拉格朗日中值定理●泰勒公式●柯西中值定理2)微分等式问题●理论依据●考法3)微分不等式问题●用单调性●用最值●用凹凸性●用拉格朗日中值定理●用柯西中值定理●用带有拉格朗日余项的泰勒公式●7.一元微分物理应用1)物理应用●以“A对B的变化率”为核心写\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}●8.一元积分的概念与性质1)祖孙三代●\int_{a}^{x}f(x)dx ，f(x)，{ f^{'}(x) } 的奇偶性，周期性2)积分比大小●用几何意义●看面积大小●用保号性●做差●看正负3)定积分定义●基本形（能凑成\frac{i}{n}）●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●放缩形（凑不成\frac{i}{n}）●夹逼准则●放缩后再凑\frac{i}{n}●变量形●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{x-0}{n}i)\frac{x-0}{n} =\int_{0}^{x}f(x)dx4)反常积分的判敛●概念●判别●9.一元积分的计算1)基本积分公式2)不定积分的计算●凑微分法●思想●方法●常用的凑微分公式●程序●换元法●思想●方法●三角函数代换●恒等变形后作三角代换●跟式代换●倒代换●复杂函数的直接带换●思想●方法●u,v的选取原则●推广公式（表格法）●有理函数的积分●定义●思想●方法3)定积分的计算●区间再现公式●华里士公式●其他常用含三角函数的积分等式●区间简化公式●对称性下的积分问题●定积分分部积分法中的“升阶”降阶“”公式●分段函数的定积分●10.一元积分几何应用1)研究对象●f(x)●f_n(x)●参数方程●x=x(t)●y=y(t)●\frac{\partial f}{\partial x}●\int_{a}^{x}f(x)dx●微分方程的解函数f(x)2)研究内容●面积、旋转体体积、平均值●平面曲线的弧长、旋转曲面的面积（侧面积）●“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式●平行截面面积为已知的立体体积●11.积分等式与积分不等式1)积分等式●通过证明某特殊积分等式求某特殊积分●积分形式的中值定理2)积分不等式●用函数的单调性●处理被积函数●已知f(x) \leq g(x)，用积分保号性证得\int_{a}^{b}f(x)dx \leq\int_{a}^{b}g(x)dx，a<b●用拉格朗日中值定理●用泰勒公式●用放缩法●用分部积分法●用换元法●用夹逼准则求解一类积分的极限问题●曲边梯形面积的连续化与离散化问题●12.一元积分的物理应用1)位移大小与总路程●位移大小●\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt●总路程●\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt2)变力沿直线做功●W=\int_{a}^{b}F(x)dx3)提取物体做功●W=\rho g\int_{a}^{b}xA(x)dx4)静水压力●P=\rho g\int_{a}^{b}x[f(x)-h(x)]dx5)细杆质心●\bar x=\frac{\int_{a}^{b}x\rho (x)dx}{\int_{a}^{b}\rho (x)dx}6)其他重要应用（微元法总结）●13.多元函数微分学1)概念●极限、连续、偏导数、可微2)复合函数求导法●链式求导规则●全导数●全微分形式不变3)隐函数求导●隐函数存在定理●一个方程的情形●方程组的情形4)多元函数的极值、最值●无条件极值●取极值的必要条件●取极值的充分条件●条件极值与拉氏乘数法5)偏微分方程●已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z=f(x,y)●给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(u)●给出变换，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题●14.二重积分1)概念●和式极限●普通对称性●轮换对称性●二重积分比大小●用对称性●用保号性●二重积分中值定理●周期性2)计算●直角坐标系与换序●极坐标系与换序●直极互化3)应用●面积●\iint_{D}dxdy●15.微分方程1)一阶微分方程的求解●能写成 y'=f(x)·g(x)●能写成 y'=f(ax+by+c)●能写成 y'=f(\frac{y}{x})●能写成 \frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})●能写成 y'+p(x)y=q(x)2)二阶可降阶微分方程的求解●能写成 y''=f(x,y')●能写成 y''=f(y,y')3)高阶常系数线性微分方程的求解●能写成 y''+py'+qy=f(x)●能写成 y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)4)用换元法求解微分方程●用求导公式逆用来换元●用自变量来换元●用因变量来换元●用x,y地位互换来换元5)应用题●用极限、导数定义或积分等式建方程●用几何应用建方程●用曲线切线斜率●用两曲线f(x)与g(x)的公切线斜率●用截距●用面积●用体积●用平均值●用弧长●用侧面积●用曲率●用形心。
2016张宇高数笔记-第一版-带封面-第一次修订
( → ) ( )
( , , ), ( , , ), ( , , )
= , = + +
=
= ，其中 、 为常数，
| | > ，证明 ′( )存在，且 ′( ) = 。 ( ) = ，则 ( ) = + ( )，其中 若
→• (
3、圆与椭圆
→•
( )=
( − ) +( − ) = = + = + 圆心( , ), 面积 =
[例] = ∭ , 由 = ②球面坐标系
平面切 锥面切 ⇒ 球面切
+
; = ; = 围成
( , , )
(
( ) ( , )
, ( ,
, ,
) )
( + )< ； )⋯( +
→
=
( ) ( , )
1、由拉格朗日中值定理得 ( ) − ( ) = ′( )( − ) 令 ( ) = ( + ), 在[ , ]上用拉格朗日中值定理 ( + )− + 2、 = + + < ( + )= < + ( − )
（1）精确定义
( , , ) =
→
2、极限化积分
( + − , + − , + − ) − ∙ − ∙ −
→
=
→
( )=
( )
2、计算
（1）基础题 ①直角坐标系，柱面坐标系 1°先一后二法——投影穿线法
( )
第二讲 一元函数微积分学
综述：①定义；②计算；③应用(几何,物理)；④逻辑证明(中值,不等式,零点)
三、数列极限的计算 1、通项已知且易于连续化，用归结原则（海涅定理） 。
张宇高数讲义
ex lim e x→+∞ x
− e−x + e−x
=
lim
x→+∞
ex ex
+ −
e−x e−x
= lim e x e x→+∞ x
− e−x + e−x
，
◇2011 张宇考研数学内部讲义◇
◇张宇 编讲◇
洛必达法则失效，处理的方法是恒等变形——分子分母同乘 e−x ，得到
lim e x e x→+∞ x
F+ ( x) =
lim
x→0+
⎛ ⎜⎝
sin
x
+
π 4
x−
4 3
⎞ ⎟⎠
−
⎛ ⎜⎝
1 3
x3
x
+x−
4⎞ 3 ⎟⎠ 不存在，即不可导 ⇒
F′(x) ≠
f
(x)
请注意，我们还有更好的方法解决这个问题吗？
【例
2】
f
(
x
)
=
⎧⎪2 ⎨
x
cos
1 x2
+ 2 sin x
1 x2
,
x≠0 ,
⎪⎩0,
x=0
F
x2
+
1,
⎨
⎪⎩cos x +
π 4
,
x≤0 ,
x>0
F ( x) = x f (t ) dt ，则： −1
( A) F ( x)为f ( x)的一个原函数 (C ) F ( x)在(-∞，+∞)上不连续
( B) F ( x)在(-∞，+∞)上可微，但不是f ( x)的原函数 ( D) F ( x)在(-∞，+∞)上连续，但不是f ( x)的原函数
(完整版)高等数学完全归纳笔记(全)
一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
张宇老师带你学高数上册导学 全
存在准则 两个重要极限（注意
两个重要极 极限成立的条件，熟 限 悉等价表达式）
掌握（两个重要极限 要会证明）【重点
】，“柯西极限存在 准则”考研不要求.
例1-4 4
利用函数极限求数列
极限
无穷小阶的概念（同
例1-5，例1
阶无穷小、等价无穷 小、高阶无穷小、低 §1.7无穷 阶无穷小、k阶无穷
掌握【重点】
掌握 掌握【重点】 掌握【重点】
§ 4.4 有 理 有理函数积分法，可 函数积分 化为有理函数的积分
§ 4.5 积 分 考研不作要求
表的使用
会求
总习题四
总结归纳本章的基本 概念、基本定理、基 本公式、基本方法
必做例题 精做练习
P192习4-1: 例1-3，5- 1(1),2(5)(8)(
15 13)(17)(19)( 21) (25),5,7
掌握
掌握 掌握 掌握
必做例题 精做练习 ——
例1-5 例6-10 例11-13
P286习6-2: 1(1)(4),2(1), 4,5(1),7,9,1 1,12,15(1)(3 ) ,16,19,21,22 (数二，数 三不用 做),28(数 二，数三不 用做)
例1-5
P293习6-3: 5,11（数三 全不用做）
方程
不要求）
例1-2
P314习7-3: 1(1)(5),2(2)
一阶线性微分方程的形式和解 掌握（熟记公式）
法 §7.4一阶
线性微分方
程
伯努利方程的形式和解法（记
1(5)(10)(12) 例1-10
(15)(16),2,3,
4
§3.3泰勒 泰勒中值定理 公式 麦克劳林展开式
张宇数学基础班笔记
张宇数学基础班笔记一、 三种层次层次一：感知——形式上 层次二：再现——本质上注1：2013年人数众多、题目特别难注2：洛必达法则在两种情况下要慎用：（狠下功夫） （1） f(x)/g(x)时，f 、g 为抽象函数 （2） f(x)/g(x)时，f 、g 含参数（半抽象）注3：洛必达法则的证明及其使用前提、拉格朗日中值定理的证明之类的题要注意注4：有限个无穷小的和是无穷小；有限个无穷小的积是无穷小。
无限个无穷小的 和不一定是无穷小；无限个无穷小的积也不一定是无穷小。
（到此为止）层次三：融通——解题能力（听课听得懂、看书看得懂，都不算解题能力，应该是在无任何提示的情况下独立做对题目）1. 泰勒公式：碰上此类难背的工具——具体学、不抽象学、不单纯背书。
用泰勒公式解决A+/-B 型函数的极限计算——泰勒公式是等价替换的精确化；等价替换是近似代换，泰勒公式是精确代换。
——泰勒公式：事不过三，只记两项。
SinX=X-1/6（(X)的三次方）o(X 的m 次方)——代表任何一个X 的m 次方的高阶无穷小arcsinX-arctanX=1/2(X3)sinX-tanX=-1/2(X3) 注意：lim （A+B ）=limA+limB ——后验逻辑（极限计算：能不能拆？拆了再说。
）注意：通法——目标：干掉f （x ）去掉抽象函数，分母相同时直接（2）式－（1）式 练习：SinX+X~2X二、三、 真题——好又多（1987-2001-2012：一、二、三、四）四、大纲——不能拘泥大纲五、特点（高数）1．注意：答题纸跟草稿纸非常像，一定小心。
不要塞进草稿纸2．高等数学难度加大，远远高于线代、概率。
重点在高数。
3．重心前移：在二重积分及其以前。
4．数学二的真题最有价值——最好的习题：数学二、四。
5．必备资料：（1）教材：高等数学：同济大学第六版（2）辅导书：（很好）概率：陈希孺院士、高数18讲（3）真题：2013考研数学历年真题分析与演练第二讲高等数学考试内容分析1.关于函数：(1)复合——分段函数的复合(2)（必考）考察函数的微分或者积分形式下的四个性质：奇偶性、单调性、周期性、有界性。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
张宇高数笔记
：第一章节 极限与连续数列收敛（有极限），则：①任何子列都收敛，反之就不是收敛数列。
②它的极限存在且唯一。
③它是有界的。
（收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡） ④它有保号性。
数列极限存在的解题手段： ，①夹逼法。
②定积分定义法。
③对于给定递推式的数列求极限：（1）用单调有界证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A 。
（2）先斩后奏解出A ，然后用压缩映象原理列出|x x −x |<k |x x −1−x |，其中0<k <1 ④对于未给出递推式的数列求极限：根据题设条件得出x x +1和x x 的递推关系，然后用③的方法。
⑤充分运用题目中给出的函数关系式： .（1）x x +1=x (x x )，x (ξ)=x ；则x x +1−x x =x (x x )−x (x x −1)，|x x +1−x |=|x (x x )−x (x )|（2）任何|x ′(x )|≤k 的函数，都可由拉氏定理得|x (x 1)−x (x 2)|≤x |x 1−x 2|（3）若知x (x )的单调性，可把x x +1和x x 的大小判断转化为对x (x x +1)和x (x x )的判断。
（4）若给出x x +1=x (x x )，x ′(x )和x 0的初值，则用拉氏定理:|x x +1−x 0|=|x (x x )−x (x 0)|=|x′(x )(x x −x 0)|≤A |(x x −x 0)|压缩映象 ⑥对于累加型数列x x =∑x (x ,x )x x =1求极限，常用无穷项相加放缩的方式夹逼出来。
函数极限存在（设为A ），则： ①左右极限都为A 。
（证明题证极限存在的思路） |②唯一性、有界性、保号性。
③∀ε>0,∃δ>0,当0<|x −x 0|<δ时，有|f (x )−A |<ε 此定义在广义上，ε可以为任何形式，但必须满足“可以任意小”。
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目录
第一讲极限
一极限定义 (3)
二极限性质 (4)
三函数极限基本计算 (8)
四综合计算 (11)
五数列极限计算 (14)
六函数连续与间断 (16)
第二讲一元函数微积分
一概念 (17)
1. 导数 (18)
2. 微分 (20)
3. 不定积分 (21)
4. 定积分 (23)
5. 变限积分 (28)
6. 反常积分 (29)
二计算 (29)
1. 求导 (29)
2. 求积 (33)
三应用 (40)
1. 微分应用 (40)
2. 积分应用 (43)
四逻辑推理 (43)
1. 中值定理 (49)
2. 等式证明 (50)
3. 不等式证明 (51)
第三讲多元函数的微分学（公共部分）
一概念 (51)
1. 极限的存在性 (51)
2. 极限的连续性 (52)
3. 偏导数的存在性 (52)
4. 可微性 (53)
5. 偏导数的连续性 (54)
二计算 (54)
三应用 (56)
第四讲二重积分（公共部分）
一概念与性质 (59)
二计算 (60)
1. 基础题 (60)
2. 技术题 (61)
三综合计算 (62)
第五讲微分方程
一概念及其应用 (63)
二一阶方程的求解 (64)
三高阶方程的求解 (66)
第六讲无穷级数
一数项级数的判敛 (67)
二幂级数求收敛域 (69)
三展开与求和 (69)
四傅里叶级数 (71)
第七讲多元函数微分学
一基础知识 (73)
二应用 (75)
第八讲多元函数积分学
一三重积分 (76)
二第一型曲线、曲面积分 (78)
1. 一线 (78)
2. 一面 (79)
三第二型曲线、曲面积分 (80)
1. 二线 (81)
2. 二面 (83)。