中考复习专题--函数图象中的面积问题-- 张菊秋
函数图像与坐标轴围成的三角形的面积专题训练解析
一次函数题型总结(二)1、函数y=-5x+2与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。
2.已知直线y =x +6与x 轴、y 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为 ___ 。
3、已知：在直角坐标系中，一次函数y=233+-x 的图象分别与x 轴、y 轴相交于A 、B. 若以AB 为一边的等腰△ABC 的底角为30。
点C 在x 轴上，求点C 的坐标.4、如图，直线y =2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .求A ，B 两点的坐标；过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP =2OA ， 求ΔABP 的面积.5．在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形, 叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与 x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形.（1）求函数y ＝43-x ＋3的坐标三角形的三条边长；（2）若函数y ＝43-x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.6. 在平面直角坐标系中，已知)0,8(A 、)6,0(B 、)2,0(-C ，连接AB ，过C 作直线l 与AB 交于P ，与OA 交于E ，且5:4:=OC OE , 求△PAC 的面积。
7. 我国现行个人工资收入所得税征收办法规定：月收入低于800元的部分不收税，月收入超过800元，但低于1300元的部分征收5%的所得税，……如某人月收入1160元，他应缴个人工资收入所得税为()18%58001160=⨯-元（1）当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y （元）与月收入x （元）之间的关系式；（2）某人月收入为960元，他应缴纳所得税多少元？（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？第21题图8. 如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）•之间的函数关系图象．①根据图象，写出当x≥3时该图象的函数关系式；②某人乘坐2.5km，应付多少钱？③某人乘坐13km，应付多少钱？④若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？9.如图是某汽车行驶的路程s(km)与时间t(min)的函数关系图；观察图中所提供的信息，解答下列问题：(1)汽车在前9分钟内的平均速度是多少？(2)汽车在中途停了多长时间？(3)当16≤t≤30时，求s与t的函数式．10、已知直线y=kx＋b经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为，求该直线的解析式.11、某食品厂生产的一种巧克力糖每千克成本为24元，其销售方案有如下两种：方案一：若直接给本厂设在武汉的门市部销售，则每千克售价为32元，但门市部每月需上缴有关费用2400元；方案二：若直接批发给本地超市销售，则出厂价为每千克28元.若每月只能按一种方案销售，且每种方案都能按月销售完当月产品，设该厂每月的销售量为xkg.（1）你若是厂长，应如何选择销售方案，可使工厂当月所获利润更大？（2）厂长看到会计送来的第一季度销售量与利润关系的报表后（上表），发现该表填写的销售量与实际有不符之处，请找出不符之处，并计算第一季度的实际销售量总量.1 、甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km 的培训中心参加学习.图中l 甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S (km)随时间t (分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km 后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2、某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m 时，按2元／3m 计费；月用水量超过203m 时，其中的203m 仍按2元／3m 收费，超过部分按2.6元／3m 计费．设每户家庭用用水量为3m x 时，应交水费y 元． （1）分别求出020x ≤≤和20x 时y 与x 的函数表达式；1 某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y （吨）与进出油时间x （分）的函数式及相应的x取值范围．2、为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的y万元．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？1、已知一次函数y kx b=+的图象如图（6）所示，当1x<时，y的取值范围是（）Ａ．20y-<<Ｂ．40y-<<Ｃ．2y<-Ｄ．4y<-2、一次函数1y kx b=+与2y x a=+的图象如图，则下列结论①0k<；②0a>；③当3x<时，12y y<中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33、方程组⎩⎨⎧+==-3214xyyx的解是，则一次函数y=4x－1与y=2x+3的图象交点为。
中考数学复习考点知识讲解与练习30 二次函数中的面积问题
中考数学复习考点知识讲解与练习专题30 二次函数中的面积问题进入函数学习以后，面积问题在一直是学习中的一个重点，常考点，因此在二次函数的面积问题必然是中考复习中的一个重要内容，其面积往往有直接计算，割补法计算等，其中基本图形有以下几种：当然，更多的时候利用铅垂高度与水平宽度的一半进行运用，更显方便；通过本中考数学复习考点知识讲解与练习专题的巩固训练，让学生对二次函数的面积问题能形成良好的才思考方法，学会观察、分析、比较、总结，掌握二次函数面积相关问题的计算方法。
1．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．2y(x3)=+B．2y x9=+C．26y x x=+D．2312y x x=+2．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（）A．16y x=B．6y x=C．26y x=D．6yx=3．如图ABC和DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边,BC EF在同一条直线l上，点C ，E 重合，现将ABC ∆沿着直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．将抛物线y=x 2-4x+1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线、直线y=-3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（）A ．4B ．5C ．6D ．75．抛物线234y x x =--与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C 点，则△ABC 的面积为（）A ．3B ．4C ．10D ．126．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A ．②③B ．③④C ．①②D ．①④7．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在等腰Rt ABC 中，90C ∠=︒，直角边AC 长与正方形MNPQ 的边长均为2,cm CA 与MN 在直线l 上．开始时A 点与M 点重合，让ABC 向右平移，直到C 点与N 点重合时为止，设ABC 与正方形MNPQ 重叠部分(图中阴影部分)的面积为2ycm ，MA 的长度为xcm ，则y 与x 之间的函数关系大致是( )A ．B ．C ．D ．9．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4cm ，动点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2cm /s 的速度沿折线AD →DC →CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是x （s ）时，△APQ 的面积是y （cm 2），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，用长为24m 的篱笆围成一面利用墙（墙的最大可用长度a 为9m ）、且中间隔有一道篱笆的长方形花圃，则围成的花圃的面积最大为（）A ．48 m 2B ．45m 2C ．16 m 2D ．44m 211．如图，等腰()90Rt ABC ACB ∠=的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．12．如图，在直角坐标系的第一象限内，AOB 是边长为2的等边三角形，设直线:(02)=l x t t 截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为S ，则S 关于t 的大致函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．13．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．线段PE 的两个端点都在AB 上，且1PE =，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积DPEC S 四边形的大小变化的情况是（）A ．一直减小B ．一直增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大14．如图，在Rt DEF △中，90EFD ∠=︒，30DEF ∠=︒，3EF cm =，边长为2cm 的等边ABC 的顶点C 与点E 重合，另一个顶点B （在点C 的左侧）在射线FE 上．将ABC 沿EF 方向进行平移，直到A 、D 、F 在同一条直线上时停止，设ABC 在平移过程中与DEF 的重叠面积为2ycm ，CE 的长为x cm ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．15．如图，四边形ABCD 是矩形，AB=4，BC=6，点O 是线段BD 上一动点，EF 、GH 过点O ，EF∥AB，交AD 于点E ，交BC 于点F ，GH∥BC，交AB 于点G ，交DC 于点H ，四边形AEOG的面积记为S，GB=a，则S关于a的函数关系图象是（）A．B．C．D．16．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，现有四种方案供选择(如图)：A方案为一个封闭的矩形；B方案为一个等边三角形，并留一处1m宽的门；C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门；D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m宽的门．已知计划中的篱笆(不包括门)总长为12m，则能建成的饲养室中面积最大的方案为()A．B．C．D．17．如图，4AB 为半圆的直径，动点P为AB上，点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，速度为2，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．18．如图，ABC 和DEF 都是直角边长为的等腰直角三角形，它们的斜边AB ，DE 在同一条直线l 上，点B ，D 重合．现将ABC 沿着直线l 以2cm/s 的速度向右匀速移动，直至点A 与E 重合时停止移动．在此过程中，设点B 移动的时间为()s x ，两个三角形重叠部分的面积为()2cm y ，则y 随x 变化的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题19．用一根长为100cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是__________cm 2．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过坐标原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，且5OA =，过抛物线的顶点B 分别作BC x ⊥轴于C 、BD y ⊥轴于D ，则图中阴影部分图形的面积的和为______．21．已知，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，且AC +BD ＝10，当AC ＝_______时，四边形ABCD 的面积最大，最大值为__________．22．如图，ABC ∆为一块铁板余料，10BC =cm ，高AD=10cm ，要用这块余料裁出一个矩形PQMN ，使矩形的顶点P ，N 分别在边上AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边上BC 上，则矩形PQMN 面积的最大为_________2cm ．23．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC ==AD 为BC 边上的高，动点P 在AD 上，从点A 出发，沿A D →方向运动，设AP x =，ABP △的面积为1S ，矩形PDFE 的面积为2S ，12y S S =+，则y 与x 的关系式是________．24．如图，边长为2的正方形ABCD 的中心在直角坐标系的原点O ，AD ∥x 轴，以O 为顶点且过A 、D 两点的抛物线与以O 为顶点且经过B 、C 两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部份的面积是______________．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是_______26．如图，点P 是双曲线C ：y ＝4x (x ＞0)上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB ：y ＝12x ﹣2于点Q ，连结OP ，OQ ．当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是_____．27．如图，坐标平面上，二次函数24y x x k =-+-的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且0k >．若ABC ∆与ABD ∆的面积比为1:3，则k 值为________．28．如图，将抛物线y=−12x2平移得到抛物线m．抛物线m经过点A（6，0）和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=−12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．29．如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB＝，则图中阴影部分的面积为___30．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.31．已知二次函数y=x 2－2x －3与x 轴交于A 、B 两点，在x 轴上方的抛物线上有一点C ，且△ABC 的面积等于10，则C 点坐标为________．32．如图，在平面直角坐标系中，过点(,0)P x 作x 轴的垂线，分别交抛物线22y x =+与直线y x =-交于点A ，B ，以线段AB 为对角线作菱形ACBD ，使得60D ︒∠=，则菱形ACBD 的面积最小值为______．33．如图，有一块三角形土地，它的底边100BC m =，高80AH m =，某房地产公司沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的宽是________m ．34．如图，在等边三角形ABC 中，6,AB D =是线段BC 上一点，以AD 为边在AD 右侧作等边三角形ADE ，连结CE ．（1）若2CD =时，CE =_________（2）设BD a =，当EDC ∆的面积最大时，a =__________．35．在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx a =+-经过(1,0)-和(0,3)两点，直线1y x =+与抛物线交于A ，B 两点，P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，当ABP △的面积最大值时，点P 的横坐标为___________．三、解答题36．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 边上，1BE =，F 为BC 的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD ，点P 在线段EF 上运动（点P 可与点E ，点F 重合），作矩形PMDN ，其中M ，N 两点分别在CD ，AD 边上．设CM x =，矩形PMDN 的面积为S ．（1）DM =__________（用含x 的式子表示），x 的取值范围是__________；（2）求S 与x 的函数关系式；（3）要使矩形PMDN 的面积最大，点P 应在何处？并求最大面积．37．如图，在ABC 中，∠B=90°，AB=8米，BC=10米，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以1米/秒的速度运动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿BC 向C 以2米/秒的速度运动(不与点C 重合)，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，设运动时间为x 秒，BPQ 的面积为y 平方米（1）填空：BQ=米，BP=米(用含x 的代数式表示)（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 为多少时y 有最大值，最大值是多少？38．如图，某小区为美化生活环境，拟在一块空地上修建一个花圃，花圃形状如图所示．已知A D ∠=∠90=︒，120C ∠=︒，其中AD DC 、两边靠墙，另外两边由20米长的栅栏围成．设BC x =米，花圃的面积为y 平方米．（1）用含有x 的代数式表示出DC 的长；（2）求这块花圃的最大面积．39．如图，已知一次函数28y x =-与抛物线2y x bx c =++都经过x 轴上的A 点和y 轴上的B 点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，试求出点D 的坐标和△ABD 的面积；（3）M 是线段OA 上的一点，过点M 作MN x ⊥轴，与抛物线交于N 点，若直线AB 把△MAN 分成的两部分面积之比为1∶3，请求出N 点的坐标．40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ，(0,3)C -，连接BC ，点P 是抛物线上的一个动点，点N 是对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）当PAB的面积为8时，求点P的坐标．（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
初中数学 函数图像中的面积问题 精品教案
函数图像中的面积问题一：教学目标：1、 通过本节课的学习，巩固一次函数图像与性质，能利用解析式求组合图形的面积，能利用面积求点坐标或直线解析式。
2、通过面积求值和解析式及解析式问题的探究，使学生理解一次函数图像特征与解析式的联系规律，体会数型结合思想，化归思想，方程思想。
3、培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣。
二：教学重难点重点：一次函数的知识， 图形的面积解法 难点：动态题的面积解决， 三：教学过程 1创设问题，引入主题师：如图，已知解析式，交y 轴于点B ，交X 轴于点A ， 能求A,B 的交点坐标吗？预设，生：能，A （ ），B （ ） 师：板书：函数解析式---点的坐标 师：追问：你还能得到什么结论？预设，生：能，Y 随X 的增大而减小，线段OA,OB,AB 的长度，∠A,∠B 的度数，特殊角的三角函数值，△OAB 的面积和周长。
师：板书 线段OA.OB ∠A,∠B 的度数 三角形OAB 的面积，周长，并标注在图上。
师：出示课题：函数图像中的面积问题”归纳小结：由解析式可以求得点，线段，角度，面积之类的问题，函数可以将这些几何图形综合一起。
设计意图：通过问1的问题设计，可以将一次函数里的基本知识巩固并有效梳理。
师活动板书：含30度角的直角三角形三边关系标上变式1：若直线 433+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，C 是OB 的中点，D 是A 上一点，四边形OEDC 是菱形，连结AE ，你又能得到什么结论？学生活动：约8分钟，审题并可以合作交流尽可能得出多个结论 老师活动：巡视师：哪位同学给大家说说你得到的结论课堂处理：学生没头绪则提示有没有点线面之类的结论预设：生A ：点C ，点D,点E 的坐标，线段BD,AB,OC,OE..的长度，生B: △BCD 是等边三角形，∠COE,∠DEO …的度数，作DC 的延长线交OA 于点F,则∠EOA,∠EAO ，∠DAE …的度数，生C:等边三角形面积和周长，菱形面积和周长，△ ADE 的面积和周长，△ OAE 的面积和周长等等师活动：板书出△ADE 和△OAE 的面积，直接法或间接法。
函数与几何图形综合专题复习(面积问题)
例题讲解
如图，对称轴为直线 x 1 的抛物线 y x 2 bx c 与x轴相交于A、B两点，其中A（-3,0），C为抛物线与 y轴交点。 （4）若点D是在直线下方的抛物线上的一个点，设D点 横坐标为t，做DQ⊥ x轴，并交AC于点Q。 1、求线段QD的长度与t之间的函数关系式 2、求出QD的最大值。 3、是否存在D，使得 △ ACD的 面积最大？若存在，求出Ｄ点坐标。 若不存在，说明理由。
这节课你收获了什么？ 这节课你的学习目标达到了吗？
１、利用数形结合与方程的思想，求特殊点的坐标。能利用 点坐Байду номын сангаас计算或表示线段的长度和函数关系式。
２、利用转化思想求一般三角形或四边形的周长或面积。 ３、利用分类讨论思想，探究和发现动态情况下线段、三角形 或四边形周长、面积，是否存在最值或大小关系。
方法点拨： １、点在函数上动，点坐标满足函数关系式。 则可以用参数t表示点坐标，线段长度 ２、求面积最大，需要用t的函数表示面积
1、求点坐标 （方程思想） 2、求函数解析式（待定系数法） 3、求多边形面积（割补法） 4、求动点产生的线段长度，或图形面积（引入参数）
5、求最值（二次函数的配方求最值）
海口市金盘实验学校 符贤慧
1、此专题主要针对海南中考压轴题（函数与几何图形综合题）, 此题为中考题24题，分值为13、14分。
2、考察形式：以二次函数为载体为主线，从二次函数的解析式 入手，将一次函数（直线或线段）、三角形、四边形等多种图 形有机结合；涉及图形的形状判断；求长度、角度； 3、既考查分析推理能力，又考察计算能力。
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
中考数学复习考点知识归类讲解08 一次函数中的面积问题
中考数学复习考点知识归类讲解专题08 一次函数中的面积问题知识对接考点一、怎样解一次函数中的面积问题（１）如果三角形有一边在坐标轴上（或平行于坐标轴）直接用面积公式求面积．（２）如果三角形任何一边都不在坐标轴上，也不平行于坐标轴，则需转化为几个有边在坐标轴上的三角形面积之和（或差）．专项训练一、单选题1．在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（5，3），B（4，0），直线y＝mx﹣5m+3将△OAB 分成面积相等的两部分，则m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．﹣12．将一次函数y＝2x＋4的图象与坐标轴围成的三角形面积是（）A．4 B．5 C．6 D．73．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（4-，5），点B坐标为（0，3），点D在x轴上．若线段DB交直线12y x=-于点C，当点D从点O向x轴负半轴方向运动时，△ABC面积的变化趋势是（）A ．先变大再变小B ．先变小再变大C ．无法确定D ．保持不变 4．直线24y x =-与两坐标轴所围成三角形的面积等于（）A ．2B ．4C ．8D ．165．一次函数y ＝2x ＋4的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积（）A ．6B ．8C ．2D ．46．如图，点A ，B ，C 在一次函数y = -2x +m 的图象上，它们的横坐标依次为-1，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中的阴影部分的面积之和是（）A ．1B ．3C ．3（m -1）D ．()322m -7．如图，直线l 分别与x 轴，y 轴相交于点A （5，0），B （0，4），点E （2.5，m ）在l 上，直线y ＝kx +b 经过点E ，并与x 轴相交于点F ．若EF 将△AOB 分割为左右两部分，且四边形OFEB 与△FEA 的面积之比为3：2，则线段OF 的长为（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．28．已知a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条边长，c 为斜边长，∠C ＝90°，我们把关于x的形如y ＝a b x c c 的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P （﹣1）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt △ABC 的面积是92，则c 的值是（ ）A ．6B ．12C ．D ．9．如图①，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，ABP △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图像如图②所示，则ABC 的面积是（）A ．6B ．12C ．16D ．2110．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是⊙O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线y ＝34x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则△CDE 面积的最小值为（ ）A ．3.5B ．2.5C ．2D ．1.2二、填空题 11．在平面直角坐标系中，□OABC 的边OC 落在x 轴的正半轴上，且点C （4，0），B （6，2），直线y =2x +1以每秒1个单位的速度向右平移，经过_______秒该直线可将□OABC 的面积平分．12．已知平行四边形ABCD 三个顶点的坐标分别为A （﹣1，0），B （5，0），C （7，4）．直线y ＝kx +1将平行四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则k 的值为______．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =-+与两坐标轴围成三角形的面积_______．14．直线m 过A （1，﹣4）和B （5，4）两点，则它与坐标轴围成的面积＝__．15．如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝m x的图象交于点A （3，a ），点B （14﹣2a ，2）．若一次函数图象与y 轴交于点C ，点D 为点C 关于原点O 的对称点，则△ACD 的面积____．三、解答题16．（1）如图1，梯形ABCD 中对角线交于点O ，AB ∥CD ，请写出图中面积相等的三角形；（2）如图2，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （﹣2，3），B （2，1）．①分别求三角形ACO 和三角形BCO 的面积及点C 的坐标；②请利用（1）的结论解决如下问题：D 是边OA 上一点，过点D 作直线DE 平分三角形ABO 的面积，并交AB 于点E （要有适当的作图说明）．17．如图，已知四边形ABCD 的四个顶点的坐标为(1,1),(3,1)A B ---，(1,2),(1,1)C D -．请用不含刻度的直尺和圆规作图并解答问题：（1）请在图中作出这个平面直角坐标系；（2）过点A 作一条直线把四边形ABCD 的面积二等分，并直接写出该直线对应的函数表达式．18．如图，在平面直角坐标系中，过点()0,6C 的直线AC 与直线OA 相交于点()4,2A ，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动，试解决下列问题：（1）求直线AC 的表达式；（2）求OAC 的面积；（3）是否存在点M ，使OMC 的面积是OAC 的面积的14？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在y 轴正半轴上，6OC =，OA ，OB60OB -=．过点A 的直线交BC 于点D ，ABD △的面积等于ABC 面积的13，请解答下列问题：（1）求点A ，点D 的坐标：（2）过点B 作BH AC ⊥于H ，交y 轴于点G ，求线段OG 的长；（3）点M 在y 轴上，平面内是否存在点N ，使以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 坐标；若不存在，请说明理由．20．设一次函数11y k x b =+（10k ≠）的图像为直线1l ，一次函数22y k x b =+（20k ≠）的图像为直线2l ，若12k k =，且12b b ≠，我们就称直线1l 与直线2l 互相平行．解答下面的问题：（1）求过点()1,4P 且与已知直线21y x =--平行的直线l 的函数表达式；（2）设（1）中的直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，直线21y x =--分别与x 轴、y 轴交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积．21．如图，已知直线11:l y x b =+经过点()5,0A -，交y 轴于点B ，直线22:24l y x =--与直线11:l y x b =+交于点C ，交y 轴于点D ．（1）求b 的值．（2）求BCD △的面积（3）当210y y ≤<时，则x 的取值范围是________．（直接写出结果）22．如图，已知直线AB 过点A （5，0）、B （0，﹣5），交直线OC 于点C ，且直线OC 的解析式为y 32x =-．（1）求直线AB 的解析式；（2）求△AOC 的面积；（3）若点P 在直线OC 上，且△BCP 的面积是△AOC 面积的2倍，求点P 的坐标．23．如图，直线1l ：23y x =-与x 轴交于点A ，直线2l 经过点()()4,0,0,2B C ，与1l 交于点D ．l的解析式；（1）求直线2（2）求ABD△的面积．。
反比例函数背景下的面积问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
模型介绍一、反比例函数k 的几何意义1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。
如图二，所围成三角形的面积为2k二、利用k 的几何意义进行面积转化1.如图，直线AB 与反比例函数k y x=（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ，那么OAB OCD OBD OAC S S S S ∆∆∆∆=--，此方法是绝大部分学生选用的方法。
但是，从效率来讲，就比较低2.如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。
【例1】．如图，反比例函数y＝在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB的面积是8．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∴x＝2时，y＝3；x＝6时，y＝1，＝S△OBD＝3，故S△ACOS四边形AODB＝×（3+1）×4+3＝11，故△AOB的面积是：11﹣3＝8．故答案为：8．变式训练【变1-1】．如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若，△AOB的面积为12，则k的值为（）A．4B．6C．10D．12解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∵OC∥AD，，∴，∴，k＞0，∴k＝12，故选：D．【变1-2】．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，＝4，则k的值为16．若E是AB的中点，S△BEF解：设E（a，），则B纵坐标也为，∵E是AB中点，∴F点坐标为（2a，），∴BF＝BC﹣FC＝﹣＝，＝4，∵S△BEF∴a•＝4，∴k＝16．故答案是：16．【例2】．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为12．解：解法一：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵BC∥x轴，∴AE⊥BC，∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，∴A（，6），B（，4），∴AE＝2，BE＝﹣＝，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝12．解法二：同理知：BE＝1，设A（a，6），则B（a+1，4），∴6a＝4（a+1），∴a＝2，∴k＝2×6＝12．故答案为12．变式训练【变2-1】．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是（）A．9B．8C．7D．6解：∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，∴A（4，3），B（2，6），作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，＝S△BOE＝×12＝6，∴S△AOD＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，∵S△OAB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，∴S△AOB故选：A．【变2-2】．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝a﹣．（结果用a，b表示）解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案为：a﹣．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（）A．3B．2C．D．4解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，＝S△BCD＝，∴S△COD＝4×＝1，∴S△CEA∵OC＝CE，＝S△CEA＝，∴S△AOC＝+1＝，∴S△AOE＝k（k＞0），∵S△AOE∴k＝3，故选：A．2．如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB ∥x轴，则k的值是（）A．18B．50C．12D．解：延长DA、交x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，∴∠CAB＝∠AOE，∴DE⊥x轴，CB⊥x轴，∴∠AEO＝∠ABC∴△AOE∽△CAB，∴＝（）2，∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，∴＝（）2＝，＝9，∴S△AOE∵双曲线y＝经过点A，＝|k|＝9，∴S△AOE∵k＞0，∴k＝18，故选：A．3．如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝﹣和y2＝的图象上，若点A是线段OB 的中点，则k的值为（）A．﹣8B．8C．﹣2D．﹣4解：设A（a，b），则B（2a，2b），∵点A在反比例函数y1＝﹣的图象上，∴ab＝﹣2；∵B点在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2a•2b＝4ab＝﹣8．故选：A．4．如图，点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，且0＜m＜n．若△AOB的面积为，则m+n＝（）A．7B．C．D．3解：∵点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，∴mn＝4×＝k，∴mn＝k＝6，∴双曲线为y＝，∴n＝，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，＝S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE＝S梯形ADEB，∵S△AOB∴（+）（4﹣m）＝，解得m1＝1，m2＝﹣16，∵0＜m＜n．∴m＝1，∴n＝6，∴m+n＝7，故选：A．5．如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴＝3，则S△于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD＝3，S△BCDAOC为（）A．2B．3C．4D．6解：在Rt△BCD中，∵×CD×BD＝3，∴×CD×3＝3，∴CD＝2，∵C（2，0），∴OC＝2，∴OD＝4，∴B（4，3），∵点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，∴k＝12，∵AC⊥x轴，＝＝6，∴S△AOC故选：D．6．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y 轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），∴S△ABC故选：B．7．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y＝与边BC交于点D、与对角线OB交于中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（）A．10B．5C．D．解：设E点的坐标是（x，y），∵E是OB的中点，∴B点的坐标是（2x，2y），则D点的坐标是（，2y），∵△OBD的面积为10，∴×（2x﹣）×2y＝10，解得，k＝，故选：D．8．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是12，则k＝（）A．6B．9C．D．解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b）∵D、E在反比例函数的图象上，∴＝k，设E的坐标为（a，y），∴ay＝k∴E（a，），＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣••（b﹣）＝12，∵S△ODE∴4k﹣k﹣+＝12k＝故选：D．9．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝8．解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝4，∵k＞0，∴k＝8．故答案为8．10．如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为2．解：如图，过点P作x轴的垂线于M，∵△POQ为等边三角形，∴OP＝OQ，OM＝QM＝OQ，∵反比例函数的图象经过点P，∴设P（a，）（a＞0），则OM＝a，OQ＝OP＝2a，PM＝，在Rt△OPM中，PM＝＝＝a，∴＝a，∴a＝1（负值舍去），∴OQ＝2a＝2，故答案为：2．11．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x 轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．则△OAP 的面积为5．解：过P作MN⊥x轴于M，交AB于N，过A作AD⊥x轴于D，∵A（4，3），∴AD＝3，OD＝4，∴AO＝＝5，∵AB＝AO，∴AB＝5，∵AB∥x轴，点B的横坐标是4+5＝9，纵坐标是3，即点B的坐标是（9，3），设直线OB的解析式是y＝ax，把B点的坐标（9，3）代入得：3＝9a，解得：a＝，即y＝x，∵AB∥x轴，∴MN⊥AB，把A（4，3）代入y＝，得k＝12，即y＝，解方程组得：或，∵点P在第一象限，∴点P的坐标是（6，2），∵A（4，3），AB∥x轴，P（6，2），∴MN＝AD＝3，PN＝3﹣2＝1，﹣S△APB＝3﹣＝5，∴△OAP的面积是S△ABO故答案为：5．12．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC 面积的最小值为6．解：方法一：设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y＝x+m代入y＝，得x+m＝，整理，得x2+mx﹣3＝0，则a+b＝﹣m，ab＝﹣3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2+12．＝AC•BC∵S△ABC＝（﹣）（a﹣b）＝••（a﹣b）＝（a﹣b）2＝（m2+12）＝m2+6，∴当m＝0时，△ABC的面积有最小值6．故答案为6．方法二：因为y＝x+m斜率为1，且BC∥x轴，AC∥y轴，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB，＝AC•BC＝AB2，∴S△ABC当AB最小时，m＝0，直线为y＝x，联立方程，解得或，∴A（，），B（﹣，﹣），AB＝×2＝2，＝×4×6＝6．∴S△ABC最小故答案为：6．13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO ＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，且交线＝6，则k的值为8．段AB于点D，连接CD，OD．若S△OCD解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），∵点C为斜边OB的中点，∴C（，），∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，∴k＝•＝，∵∠OAB＝90°，∴D的横坐标为m，∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D，∴D的纵坐标为，作CE⊥x轴于E，＝S△AOD，∵S△COES△OCD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝6，∴（AD+CE）•AE＝6，即（+）•（m﹣m）＝6，∴m2＝32，∴k＝＝8，故答案为：8．解法二：作CE⊥OA于E，∵C为AB的中点，OA＝AB，∠OAB＝90°，＝S△AOD＝k，S△AOB＝2k，∴S△OEC＝k，∴S△BOD∵C为斜边OB的中点，＝S△BCD＝S△BOD＝6，∴S△OCD∴×k＝6，∴k＝8．故答案为：8．14．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为18．解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，∵▱OABC的面积为15，∴BM＝，∴ND＝BM＝，∴A，D点坐标分别为（，3b），（，a+2b），∴•3b＝（a+2b），∴b＝a，∴k＝•3b＝•3×a＝18，故答案为：18．15．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．解：连DC，如图，∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，而点D为OB的中点，∴BD＝OD＝b，＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∵S梯形OBAC∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．16．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出不等式x+b的解．解：（1）∵反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），∴k1＝8，B（﹣4，﹣2），解方程组，解得；（2）由（1）知一次函数y＝k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），＝×6×4+×6×1＝15；∴S△AOB（3）﹣4≤x＜0或x≥1．17．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．（1）求反比例函数的解析式；（2）求直线EB的解析式；．（3）求S△OEB解：（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，∴AB＝6，∵cos∠OAB＝＝，∴，∴OA＝10，由勾股定理得：OB＝8，∴A（8，6），∴D（8，），∵点D在反比例函数的图象上，∴k＝8×＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）设直线OA的解析式为：y＝bx，∵A（8，6），∴8b＝6，b＝，∴直线OA的解析式为：y＝x，则，x＝±4，∴E（﹣4，﹣3），设直线BE的解式为：y＝mx+n，把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BE的解式为：y＝x﹣2；＝OB•|y E|＝×8×3＝12．（3）S△OEB18．如图，直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；．（3）求S△OAB解：（1）∵直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），∴a＝×3＝4，∴点A的坐标为（3，4），∴k＝3×4＝12，∴反比例函数解析式y＝．（2）∵点B在这个反比例函数图象上，设点B坐标为（x，），∵tanα＝，∴＝，解得：x＝±6，∵点B在第一象限，∴x＝6，∴点B的坐标为（6，2）．（3）设直线OB为y＝kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2＝6k，解得：k＝，∴OB直线解析式为：y＝x．过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如图所示：则点C坐标为（3，1），∴AC＝3．S△OAB的面积＝S△OAC的面积+S△ACB的面积＝×|AC|×6＝9．∴△OAB的面积为9．19．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比＝4．例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB （1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与双曲线的另一交点为D点，求△ODB的面积．＝•|x A|•y B，解：（1）由题意得：S△AOB即×2×y B＝4，y B＝4，∴B（2，4），设反比例函数的解析式为：y＝，把点B的坐标代入得：k＝2×4＝8，∴y＝，设直线AB的解析式为：y＝ax+b，把A（﹣2，0）、B（2，4）代入得：，解得：，∴y＝x+2；（2）由题意得：x+2＝，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴D（﹣4，﹣2），＝S△OAD+S△OAB＝×2×2+4＝6．∴S△ODB20．如图，在平行四边形OABC中，，点A在x轴上，点D是AB 的中点，反比例函数的图象经过C，D两点．（1）求k的值；（2）求四边形OABC的面积．解：（1）过点C作CE⊥x轴于E，∵∠AOC＝45°，∴OE＝CE，∴OE2+CE2＝OC2∵OC＝2，∴OE＝CE＝2，∴C（2，2），∵反比例函数的图象经过点C点，∴k＝2×2＝4；（2）过点D作DF⊥x轴于F，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝2，∠DAF＝∠AOC＝45°，又∵点D是AB的中点，∴AD＝，AF＝DF，∴AF2+DF2＝AD2，∴AF＝DF＝1，∴D点的纵坐标为1，∵反比例函数的图象过点D点，∴D（4，1），∴OF＝4，OA＝OF﹣AF＝4﹣1＝3，∴平行四边形OABC的面积S＝OA•CE＝3×2＝6．21．如图，直线y＝6x与双曲线y＝（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标为2．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上的点，且点B的纵坐标是6，连接OB，AB，求△AOB的面积．解：（1）将x＝2代入y＝6x，得：y＝12，∴点A的坐标为（2，12），将A（2，12）代入y＝，得：k＝24，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）在y＝中y＝6时，x＝4，∴点B（4，6），而A（2，12），如图，过A作AC⊥y轴，BD⊥x轴，交于点E，则OD＝4，OC＝12，BD＝6，AC＝2，AE＝2，BE＝6，＝S矩形OCED﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE∴S△AOB＝4×12﹣×2×12﹣×4×6﹣×2×6＝48﹣12﹣12﹣6＝18．22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足，求x的取值范围．解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y＝﹣．∵A（﹣4，n）在y＝﹣的图象上，∴n＝2，∴A（﹣4，2）．∵y＝kx+b经过A（﹣4，2）和B（2，﹣4），∴，解得∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2．（2）当y＝﹣x﹣2＝0时，解得x＝﹣2．∴点C（﹣2，0），∴OC＝2，＝S△AOC+S△COB∴S△AOB＝×2×2+×2×4＝6．（3）根据函数的图象可知：若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，当﹣4＜x＜0时，满足kx+b﹣＜0．23．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）、点B（﹣4，n）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标．解：（1）∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，2），∴k2＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数表达式为：y＝﹣，∵反比例y＝﹣的图象经过点B（﹣4，n），∴﹣4n＝﹣2，解得n＝，∴B点坐标为（﹣4，），∵直线y＝k1x+b经过点A（﹣1，2），点B（﹣4，），∴，解得：，∴一次函数表达式为：y＝+．（2）设直线AB与x轴的交点为C，如图1，当y＝0时，x+＝0，x＝﹣5；∴C点坐标（﹣5，0），∴OC＝5．S△AOC＝•OC•|y A|＝×5×2＝5．S△BOC＝•OC•|y B|＝×5×＝．S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝5﹣＝；（3）如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，∵点A′和A（﹣1，2）关于x轴对称，∴点A′的坐标为（﹣1，﹣2），设直线A′B的表达式为y＝ax+c，∵经过点A′（﹣1，﹣2），点B（﹣4，）∴，解得：，∴直线A′B的表达式为：y＝﹣x﹣，当y＝0时，则x＝﹣，∴P点坐标为（﹣，0）．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b＞0的解集．解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），∴C点坐标为（6，4），∵A点坐标为（3，2），∴k1＝3×2＝6，∴反比例函数解析式为y＝；把x＝6代入y＝得x＝1，则F点的坐标为（6，1）；把y＝4代入y＝得x＝，则E点坐标为（，4），把F（6，1）、E（，4）代入y＝k2x+b，得，解得，，∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5；﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF（2）△OEF的面积＝S矩形BCDO＝4×6﹣×4×﹣×6×1﹣×（6﹣）×（4﹣1）＝；（3）由图象得：不等式k2x+b﹣＞0的解集为＜x＜6．25．如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ．求△OPQ的面积．解：（1）反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），解得m＝4，故反比例函数的表达式为y＝．一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n），所以，解得n＝﹣1，b＝﹣5．∴一次函数的表达式y＝﹣x﹣5；（2）由，解得或．∴点P（﹣1，﹣4），在一次函数y＝﹣x﹣5中，令y＝0，得﹣x﹣5＝0，解得x＝﹣5，故点A（﹣5，0），S△OPQ＝S△OP A﹣S△OAQ＝×5×4−×5×1＝7.5．26．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．（1）求k的值；（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．解：（1）∵等边△OAB，∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，∵点C是AB的中点，∴BC＝AC＝2，过点C作CM⊥OB，垂足为M，在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴BM＝1，CM＝，∴OM＝4﹣1＝3，∴点C 的坐标为（﹣3，），代入y ＝得：k ＝﹣3答：k 的值为﹣3；（2）过点A 作AN ⊥OB ，垂足为N ，由题意得：AN ＝2CM ＝2，ON ＝OB ＝2，∴A （﹣2，2），设直线OA 的关系式为y ＝kx ，将A 的坐标代入得：k ＝﹣，∴直线OA 的关系式为：y ＝﹣x ，由题意得：，解得：舍去，，∴D （﹣，3）过D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，S △OCD ＝S CMED +S △DOE ﹣S △COM ＝S CMED ＝（+3）×（3﹣）＝3，答：△OCD 的面积为3．（3）①当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 过点O 时，此时y ＝mx +n 的n ＝0，②当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 经过点A 时，设直线CD 的关系式为y ＝ax +b ，把C 、D 坐标代入得：，解得：a ＝1，b ＝3+∴直线CD 的关系式为y ＝x +3+，∵y ＝mx +n 与直线y ＝x +3+平行，∴m ＝1，把A （﹣2，2）代入y ＝x +n 得：n ＝2+2因此：0≤n ≤2+2且n ．答：n 的取值范围为：0≤n ≤2+2且n ≠3+．。
2021年中考数学复习-图形面积问题(解析版)
图形面积问题【典例1】小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？【答案】：宽6米，长10米【解析】：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-= 4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x ∴2176<≤x ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．【典例2】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【答案】：（1）四边形EFGH 是正方形x（2）当CE =CF =0.1米时，总费用最省．【解析】：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+ )24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．【典例3】某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m ²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？【答案】：（1）y=200)10(22+--=x （2）187.5【解析】：)240(x x y -=)20(22x x --= 200)10(22+--=x∵152400≤-<x∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．【典例4】如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ 【答案】：（1）25（2）25 【解析】：(1)∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．【典例5】小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？【答案】：（1） （2）15,225【解析】：（1）根据题意，得x x x x S 3022602+-=⋅-=自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时， 答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．【典例6】如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【答案】：（1）1（2）40.5（3）最大面积为cm 2 【解析】：（1）设正方形的边长为cm ， 则． 即． 解得（不合题意，舍去），． 剪去的正方形的边长为1cm ．（2）有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2， 则与的函数关系式为：．即． 改写为． 当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．（3）有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2． 若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为： x x x x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：x x x x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2． 【典例7】某中学为初一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180cm ，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)【答案】解：根据题意，得y ＝20x(1802－x)，整理得 y ＝－20x 2＋1800x ＝－20(x 2－90x ＋2025)＋40500＝－20(x －45)2＝40500.∵－20＜0，∴当x ＝45时，函数有最大值，y 最大值＝40500，即当底面的宽为45cm 时，抽屉的体积最大，最大为40500cm 3.【典例8】 小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当x 是多少时，这个三角形的面积S 最大？最大面积是多少？(参考公式：当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)有最小(大)值4ac －b 24a) 【答案】解: (1)S ＝12x ·(40－x)＝－12x 2＋20x ； (2)S ＝－12x 2＋20x ＝－12(x 2－40x)＝－12[x 2－40x ＋(－20)2－(－20)2]＝－12[(x －20)2－400]＝－12(x －20)2＋200.∵a ＝－12＜0，∴抛物线的开口向下， ∴当x ＝20时，S 最大值＝200，即当x ＝20时，这个三角形的面积S 最大，最大面积为200cm 2.【典例9】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m 2)．(1)如图1，问饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．【答案】解：(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252，∴当x ＝25时，占地面积最大，即饲养室长x 为25m 时，占地面积y 最大；(2)∵y ＝x ·50－x －22＝－12(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，占地面积最大，即饲养室长x 为26m 时，占地面积y 最大；∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．。
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N
3 2 9 m m 2 2
(-1,0)A O
3
B(3,0) H
x
y=-x2+2x+3
解：过点C作CG⊥NF，垂足为点G，
由B、C两点的坐标可求得yBC= -x+3 ∴点N的坐标(m,-m2+2m+3);点F的坐标为（m,-m+3）
(1)若点B的坐标为(6,4)，点D为OB中点，求△AOC的面积. (2)若OD：DB=1：2，若△OBA的面积等于9，求k的值。 分析：OD:DB=1:2
OD:OB=1:3
(3,2)
面积比=1:9 S△OBA=9
E E
(6,4)
6 y x
S△ODE=1
K=2
例3.已知二次函数y=-x2+2x+3的图像分别交x轴、y轴于A、B、 C三点. （1）若D为抛物线上的一动点(点D与点C不重合)，且 S△ABD=S△ABC；求点D的坐标.
B (3,0)
x
y=-x2+2x+3
分析: yBC=-x+3 yMN=-x+b y抛物线=-x2+2x+3
M
判别式b2-4ac=0
- x2+2x+3=-x+b
y
(0,3)C
21 b 4
N
N
y MN x
21 4
(-1,0) A O
B (3,0)
y抛物线=-x2+2x+3
x
3 15 N点坐标为（ ， ） . 2 4 27 y=-x2+2x+3 S△ NBC 8
2.二次函数y=-x2+2x+3的图象交x轴于A、B 6 两点，交y轴于点C，△ABC的面积为_______.
k 的图象如图所示， x
D
3.反比例函数 y
点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，
-4 垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为______. 4.如图，已知半径为1的⊙A、⊙B关于原点O中心
y
(0,3) C
D1 ( 2 ,3 )
(-1,0) A
o
D3 ( 1 7,-3 )
B (3,0)
x
D2
( 1 7 ,-3 )
例3.已知二次函数y=-x2+2x+3的图象分别交x轴、y轴于A、B、 C三点. （2）已知点N为二次函数图象上的一个动点，且点N在直线 BC的上方（点N与B、C不重合），设点N的横坐标为m. ①用含m的代数式表示△NBC面积; y N ②求△NBC面积的最大值. (0,3)C 3 2 9
第1题
第2题
3.如图，抛物线 y
y轴交于C点，若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
1 2 3 x x 2 的图象与x轴交于A、B两点，与 2 2
M点坐标为﹙2，－3﹚时 △MBC的面积最大值为4
伟大的成功和辛勤的劳动是成正比 例关系的，有一分劳动，就会有一分收 获。双手向上就是开口向上的抛物线。 它告诉我们人生就如同抛物线，要一步 一步向上努力，不要放弃，虽然道路弯 曲，但最终定能看到广阔的天空。人生 哲理，一切尽在函数中…
中考数学专题复习
------函数图象中的面积问题
高邮市赞化学校 张菊秋
1.学会用代数法表示与函数图象相关的几何图 形的面积，并能用函数图象的性质解决相关 问题； 2.领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想 在函数问题中的应用.
1.直线y=-3x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，
6 则△ABO的面积是________．
S△NBC m m 2 2
3 3 27 (m )2 2 2 8
(-1,0) A O
B (3,0)
3 当m 时， 2
x
2 27 y=-x +2x+3 S△NBC 最大值为 8
解：S
△NBC
S四边形NBOC S△BOC
G
S△ONC S△OBN S△BOC
1 1 1 OC NG OB NH OC OB (0,3) C 2 2 2
y
N
3 2 9 m m 2 2
(-1,0)A O y=-x2+2x+3
H
B(3, S△BOC
y
C
S梯形NHOC S△BHN S△BOC
对称，则反比例函数 y 组成的阴影部分的面积等于_______（结果保留π）． π
k 的图象与⊙A、⊙B相交 x
例1.如图，直线y=-3x+6交x轴、y轴于A、B两点，直线y=x+2交
x轴、y轴于C、D两点,两直线交于点E.求四边形ODEA的面积．
y=-3x+6 y=x+2
D
E
C
F
k 例2．如图，已知点A在x轴上,∠0AB=90°,双曲线 y 与AB交 x 于点C,与OB交于点D.
NF= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m
S
△NBC
S△CNF S△BFN
1 1 NF CG NF BH 2 2
y=-x+3 y (0,3)C
N
G
1 NF (CG BH ) 2
F (-1,0)A O
H
1 NF OB 2 1 ( m 2 3m) 3 2 3 2 9 m m 2 2
本节课你有哪些收获？
1.如图，直线y=2x+3与直线y=-2x-1交于点C，两直线与y轴交
于A、B两点.则S△ABC=____________. 2
2.如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别 4 6 与反比例函数 y 和 y 的图象交于A、B两点．若点C是y x x 轴上任意一点，连接AC、BC，则S△ABC=_________. 5