数学分析答案

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数学分析第09章答案

第九章再论实数系§1 实数连续性的等价描述1．求数列}{n x 的上、下确界（若}{n x 无上（下）确界，则称)(-∞∞+是}{n x 的上（下）确界）：（1）nx n 11-=；（2）])2(2[n n n x -+=；（3）)3,2,1(11,122 =+==+k k x k x k k ；（4）nn x n n 1])1(1[+-+=；（5）nn n nx )1(21-+=；（6）32cos 11πn n n x n +-=．解（1）0}inf{,1}sup{==n n x x ；（2）-∞=+∞=}inf{,}sup{n n x x ；（3）1}inf{,}sup{=+∞=n n x x ；（4）0}inf{,3}sup{==n n x x ；（5）1}inf{,5}sup{==n n x x ；（6）21}inf {,1}sup{-==n n x x ． 2．设)(x f 在D 上定义，求证： (1) )}({inf )}({sup x f x f Dx Dx ∈∈-=-；(2) )}({sup )}({inf x f x f Dx Dx ∈∈-=-．证明 (1)设a x f =)}(inf{，则D x ∈∀，都有a x f ≥)(，因而a x f -≤-)(，又由于0>∀ε，都D x ∈∃ε，使得εε+<a x f )(，因而εε-->-a x f )(，因此)}({inf )}({sup x f x f Dx Dx ∈∈-=-.(2) 设b x f Dx =∈)}({sup ，则D x ∈∀有b x f ≤)(，从而b x f -≥-)(，又由于,0>∀ε都D x ∈∃ε，使得εε->b x f )(，从而εε+-<-b x f )(，因此)}({sup )}({inf x f x f Dx Dx ∈∈-=-.3．设E sup =β，且E ∉β，试证自E 中可选取数列}{n x 且n x 互不相同，使β=∞→n n x lim ；又若E ∈β，则情形如何？证明由已知条件知E sup =β且E ∉β，因而(1) E x ∈∀，有β<x ；(2) 0>∀ε，都存在E x ∈ε，使得εβε->x ．由(1)、(2)知：对1=ε，存在E x ∈1，使得ββ<<-11x ；对},21min{1x -=βε，E x ∈∃2，使得ββ<<-221x 并且112)(x x x =-->ββ；对},31min{2x -=βε，E x ∈∃3，使得ββ<<-231x 并且223)(x x x =-->ββ；…如此继续下去，得数列}{n x 且n x 互不相同，并且β=∞→n n x lim ．若E ∈β，则结论不真，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n E 1，则1s u p =E ，但没有n x 互不相同的数列}{n x ，使1lim =∞→n n x ．4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于∞+的数列必有下确界，趋于∞-的数列必有上确界．证明 (1) 由于收敛数列是非空有界数列，且既有上界又有下界，因而有确界定理知其必有上确界和下确界；(2) 设+∞=∞→n n x lim ，则N ∃，当N n >时0>n x ，因而}0,,,,min{21N x x x 是数列}{n x 的下界，由确界原理知数列}{n x 存在下确界；(3) 设-∞=∞→n n x lim ，则N ∃，当N n >时0<n x ，因而}0,,,,max{21N x x x 是数列}{n x 的上界，由确界定理知数列}{n x 存在上确界．5．试分别举出满足下列条件的数列：（1）有上确界无下确界的数列；（2）含有上确界但不含有下确界的数列；（3）既含有上确界又含有下确界的数列；（4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．解（1）有上确界无下确界的数列，如}{}{n x n -=有上确界1}sup{-=n x ，但无下确界；（2）含有上确界但不含有下确界的数列，如取⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n x n 1}{，则该数列含有它的上确界1}sup{=n x ，但下确界0}inf{=n x ，该数列不含有0；（3）既含有上确界又含有下确界的数列，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n x n n )1(1}{，既含有上确界1，又含有下确界0；（4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限，如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-∈+==++.,213;,121Z k k n nZ k k n n x n则数列}{n x 有上确界3和下确界0，该数列}{n x 上含其上、下确界3和0．§2 实数闭区间的紧致性1．利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4．证明设数列}{n x 有界，即存在R b a ∈,，使得对N n ∈∀，都有b x a n ≤≤．下证}{n x 有收敛子列．（1）若}{n x 存在子列}{k n x 是常数列，则}{k n x 是}{n x 的收敛子列．（2）若}{n x 不存在是常数列的子列，下证}{n x 有收敛子列，为此设}|{N n x X n ∈=，则X 是无限点集．反设}{n x 没有收敛的子数列，则],[b a x ∈∀都不是}{n x 的任一子数列的极限，因此对],[b a x ∈∀，都存在开区间),(x x x v u I =，使得x I x ∈且X I x 是有限集（否则对包含x的任一开区间),(x x v u 都有X 的无穷项，则x 是}{n x 的某一子列的极限），因此所有开区间x I 构成闭区间],[b a 的一个开覆盖Ω，由有限覆盖定理知存在有限数m ，使i x mi I b a 1],[=⊂ ，因而有)()()()()(],[3211X I X I X I X I X I X b a m i x x x x x mi =⊂=，注意到上式右端每一项都是有限集，故X b a ],[为有限集，矛盾!综合（1）（2）知}{n x 必有一收敛的子数列． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限．证明设数列}{n x 单调递增且有上界，则}{n x 是有界数列，由紧致性定理知数列}{n x 必有收敛子数列}{k n x ，设c x k n k =∞→lim ，则由}{n x 单调递增知c 必为数列}{n x 的上界，且根据数列极限的定义知,,0K ∃>∀ε当K k >时，有ε<-c x k n ，即εε+<<-c x c k n ，特别地 ε->+c x K n 1，取1+=k n N ，则当1+=>k n N n 时，由数列}{n x 单调递增且c 为它的上界知εε+<≤≤<-+c c x x c n n K 1，即ε<-c x n ，从而c x n n =∞→lim ，即单调递增有上界数列必有极限．同理可证}{n x 单调递减有下界时必有极限，因而单调有界原理成立．3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．证明不妨假设数列}{n x 单调递增有上界（}{n x 单调递减有下界可同理证明)，即存在R b ∈，使得b x x x a n ≤≤≤≤≤= 21，下证数列}{n x 有极限．若b a =，则}{n x 为常驻列，故}{n x 收敛，因而以下假设b a <．取b b a a ==11,，二等分区间],[11b a ，分点为211b a +，若211b a +仍为}{n x 的上界，则令2,11212b a b a a +==；若211b a +不是}{n x 的上界，即存在m ，使211b a x m +>，则令12112,2b b b a a =+=. 二等分区间],[22b a ，分点为222b a +，若222b a +为}{n x 的上界，则令2,22323b a b a a +==；若222b a +不是}{n x 的上界，则令 .,223223b b b a a =+=依此类推得一闭区间套{}],[n n b a ，每一个区间的右端点都是}{n x 的上界，由闭区间套定理知存在唯一的R c ∈，使得c 属于所有闭区间，下证数列}{n x 的极限为c ．由于02lim)(lim 1=-=--∞→∞→n n n n n ab a b ，故根据数列极限的定义，0>∀ε，存在N ，当N n >时，都有2ε<-n n a b ，而],[n n b a c ∈，故),(],[εε+-⊂c c b a n n . （*）另一方面，由闭区间套的构造知K ∃，使得n K n b x a ≤≤，故对K n >∀，由于K n x x >，故n n K n b x x a ≤≤≤. 而由（*）知εε+<<-c x c n ，即ε<-c x n ，从而c x n n =∞→lim ，因而单调有界数列必有极限.4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样？若将条件⊃⊃],[],[2211b a b a 去掉或将条件0→-n n a b 去掉，结果怎样？试举例说明．分析（1）若将闭区间列改为开区间列，结果不真．如开区间列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0满足001lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n 且 ⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊃⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 1,031,021,011,0，但不存在r ，使r 属于所有区间．（2）若将定理其它条件不变，去掉条件 ⊃⊃],[],[2211b a b a ，则定理仍不成立，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n n 1,是闭区间列，且0→-n n a b ，但显然不存在r ，使r 属于所有区间．（3）若去掉定理条件0→-n n a b ，则定理仍不成立，如闭区间序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n n 13,11满足 ⊃⊃],[],[2211b a b a ，此时区间]3,1[内任意一点都属于闭区间序列的任何区间，与唯一性矛盾．5．若}{n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列∞→k n x ,a x k m →（a 为有限数）．证明由于}{n x 无界，故N k ∈∀，都存在k n x ，使得k x k n >，因而∞=∞→k n k x lim ．又由于}{n x 不是无穷大量，根据无穷大量否定的正面陈述知0M ∃，对0>∀K ，存在K m k >，使得0||M x k m <. 从而对于0>∀K ，数列}{k m x 为有界数列，从而必有收敛子列}{k m x ．故结论成立．6．有界数列}{n x 若不收敛，则必存在两个子列b x a x k k m n →→,)(b a ≠．证明由于}{n x 为有界数列，由紧致性定理知数列}{n x 必有收敛的子列}{k n x ，不妨设)(∞→→k a x k n ，又因为数列}{n x 不收敛于a ，故从}{n x 中去掉}{k n x 后所得的项还有无穷多项(否则数列}{n x 就收敛于a )．记其为数列}{k n x ，又因为}{k n x 为有界数列，故有收敛子列，设此子列的极限为b ，则b a ≠，而此子列也是}{n x 的子列，故设其为}{k m x ，因而)(lim b a b x k m k ≠=∞→.7．求证：数列}{n a 有界的充要条件是，}{n a 的任何子数列}{k n a 都有收敛的子数列．证明必要性：由紧致性定理知结论成立．充分性：反设数列}{n a 无界．若}{n a 是无穷大量，则}{n a 的任何子列都不存在收敛的子列，矛盾；若}{n a 不是无穷大量，则由第5题知}{n a 有一子列}{k n a 是无穷大量，从而}{k n a 没有收敛的子数列，也矛盾．因而数列}{n a 有界．8．设)(x f 在],[b a 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：)(x f 在],[b a 上有界．证明对],[b a t ∈∀，由于)(x f 在t 处的极限存在，故设A x f tx =→)(lim ，则对01>=ε，存在0>t δ，x ∀，当t t x δ<-<||0时，有1)(=<-εA x f ，从而1||)(+<A x f ，取{}1||),(max +=A t f M ，则),(t t t t x δδ--∈∀，都有M x f <)(，即)(x f 在区间),(t t t t δδ--上有界．对所有],[b a t ∈，在1=ε下所取的t δ为半径的开区间{}],[|),(b a t t t t t ∈+-δδ构成闭区间],[b a 上的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在],[,,,21b a t t t n ∈ ，使得),(],[1i i t i t i ni t t b a δδ+-⊂= ，而)(x f 在每个区间),(i i t i t i t t δδ+-),,2,1(n i =上有界，又由于区间个数有限，故)(x f在],[b a 上有界．9．设)(x f 在],[b a 无界，求证：存在],[b a c ∈，对任意0>δ，函数)(x f 在],[),(b a c c δδ+-上无界．证明反设结论不真，即],[b a c ∈∀，0>∃c δ，函数)(x f 在],[),(b a c c c c δδ+-上有界，则对所有的c ，{}],[|),(b a c c c c c ∈+-δδ构成区间],[b a 的一个开覆盖，由有限覆盖定理知其有有限子覆盖，即],[,,,21b a c c c n ∈∃ ，使),(],[1i i c i c i ni c c b a δδ+-⊂= ，由于函数在每一个],[),(b a c c i i c i c i δδ+-有界，而n 是有限数，故)(x f 在],[b a 有界，矛盾．因此结论成立.10．设)(x f 是),(b a 上的凸函数，且有上界，求证：)(lim ),(lim x f x f bx ax -+→→存在．证明由于)(x f 在),(b a 上有上界，故0>∃M ，对M x f b a x ≤∈∀)(),,(．先证明)(lim x f bx -→存在. 在区间),(b a 中任取一点0x ，并令 00)()()(x x x f x f x g --=，则由)(x f 是),(b a 上的凸函数知)(x g 在),(0b x 上递增，在),(0b x 中任取一点1x ，考察区间),(1b x ，),(1b x x ∈∀，由于1000)()()()(x x x f M x x x f x f x g --≤--=，即)(x g 在),(1b x 上有上界，从而)(x g 在),(1b x 上单调递增且有上界，由定理3．12知)(lim x g b x -→存在，不妨令A x g bx =-→)(lim ，则 )()()()()()(lim )(lim 000000x f x b A x f x x x f x f x x x f b x b x +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⋅-=--→→，即)(lim x f bx -→存在．再证明)(lim x f ax +→存在. 由于)(x f 是),(b a 上的凸函数，从而)(x g 在),(0x a 上递增，在),(0x a 中任取一点2x ，考察区间),(2x a ，),(2x a x ∈∀，由于ax Mx f x x x f x f x x x f x f x g --≥--=--=000000)()()()()()(，即)(x g 在),(2x a 上有下界，从而)(x g 在),(2x a 上单调递增且有下界，由定理3．12的推论知)(lim x g ax +→存在，设B x g ax =+→)(lim ，则 )()()()()()(lim )(lim 000000x f B x a x f x x x f x f x x x f a x a x +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⋅-=++→→，即)(lim x f ax +→也存在． 11．设)(x f 在],[b a 上只有第一类间断点，定义)0()0()(--+=x f x f x ω.求证：任意εωε≥>)(,0x 的点x 只有有限多个．证明反证法，使用区间套定理. 根据结论，反设存在00>ε，在],[b a 上使0)(εω≥x 的点有无限多个．记],[],[11b a b a =，二等分区间],[11b a ，则在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+111111,2,2,b b a b a a 中至少有一个区间含有无限多个x 使0)(εω≥x ，记此区间为],[22b a ，再二等分区间],[22b a ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+222222,2,2,b b a b a a 中至少有一个区间含有无限多个x 使0)(εω≥x ，记此区间为 ],,[33b a ，如此继续下去，得闭区间套],[n n b a ，且每个区间],[n n b a 中含有无限多个x 使0)(εω≥x ．由区间套定理可知存在唯一 ,2,1],,[=∈n b a r n n由于)(x f 在],[b a 上只有第一类间断点，而],[b a r ∈，故)0(+r f 和)0(-r f 存在，设B r f A r f =-=+)0(,)0(，则对上述00>ε，存在),(,011δδ+∈∀>r r x 时，有2)(0ε<-A x f ，即2)(2εε+<<-A x f A ，从而由极限不等式知，当),(1δ+∈r r x 时，0)(εω<x ；同理存在),(,022r r x δδ-∈∀>时，0)(εω<x ．取{}21,min δδδ=，则在),(δδ+-r r 上满足0)(εω≥x 的点至多只能有r 一个点．而根据区间套性质知，N n N >∀∃,时，都有),(],[δδ+-⊂r r b a n n ，从而在],[n n b a 中最多只能有一个点，使得0)(εω≥x ，这与区间套的构造矛盾．故原结论成立．12．设)(x f 在],0[+∞上连续且有界，对),(+∞-∞∈∀a ，a x f =)(在),0[+∞上只有有限个根或无根，求证：)(lim x f x +∞→存在．证明由)(x f 在],0[+∞上有界知)(x f 在],0[+∞上既有上界又有下界，不妨设上界为v ，下界为u ，若v u =，则v u x f x ==+∞→)(lim ，结论必然成立，故以下假定v u <．令],[],[11v u v u =，二等分区间],[11v u ，分点为211v u +，由于2)(11v u x f +=在),0[+∞上只有有限个根或无根，而且)(x f 连续，因而11,0X x X >∀>∃时，有2)(11v u x f +>或2)(11v u x f +<．若2)(11v u x f +>，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=11122,2],[v v u v u ，若2)(11v u x f +<，则令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2,],[11122v u u v u ，因此1X x >∀时，],[)(22v u x f ∈，即22)(v x f u ≤≤．二等分区间],[22v u ，分点为222v u +，由于2)(22v u x f +=在),0[+∞上只有有限个根或无根且)(x f 连续，故212,X x X X >∀>∃时，有2)(22v u x f +>或2)(22v u x f +<．若2)(22v u x f +>，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=22233,2],[v v u v u ，反之令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2,],[22233v u u v u ，因此2X x >∀时，],[)(33v u x f ∈，即33)(v x f u ≤≤. 依此类推，得一区间套]},{[n n v u ，而且由区间套的构造知，n n n X x X X >∀>∃-,1时，n n v x f u ≤≤)(．由区间套定理知存在唯一的 ,2,1],,[=∈n v u r n n ，下证r x f x =+∞→)(lim ．事实上，对0>∀ε，由闭区间套]},{[n n v u 的构造知，存在N ，N n >∀时，有),(],[εε+-⊂r r v u n n ，特别地取1+=N n ，则),(],[11εε+-⊂++r r v u N N ，按区间套的构造知11,++>∀∃N N X x X 时，),(],[)(11εε+-⊂∈++r r v u x f N N ，即εε+<<-r x f r )(，从而ε<-r x f )(，即r x f x =+∞→)(lim ，也就是说)(lim x f x +∞→存在．§3 实数的完备性1．设)(x f 在),(b a 连续，求证：)(x f 在),(b a 一致连续的充要条件是)(lim x f ax +→与)(lim x f b x -→都存在．证明 )⇒必要性由)(x f 在),(b a 一致连续知，0,0>∃>∀δε，),(,b a x x ∈'''∀且δ<''-'||x x 时，都有ε<''-')()(x f x f .特别地，当),(,δ+∈'''a a x x 时，δ<''-'x x ，故ε<''-')()(x f x f ，由Cauchy 收敛原理知)(lim x f a x +→存在．同理可知)(lim x f b x -→也存在．)⇐充分性证法1 0>∀ε，由)(lim x f a x +→存在知1δ∃，),(,1δ+∈'''∀a a x x 时，ε<''-')()(x f x f ，又由于)(lim x f b x -→也存在，故2δ∃，),(,2b b x x δ-∈'''∀时，ε<''-')()(x f x f ．取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,2,2min 21a b δδδ，则由以上两条知)(x f 在),[],,(b b a a δδ-+上一致连续，而又因为)(x f 在],[δδ-+b a 上连续，因而一致连续，因此)(x f 在],(δ+a a 、],[δδ-+b a 、),[b b δ-上均一致连续，因此)(x f 在),(b a 一致连续．证法2 由已知)(lim x f ax +→与)(lim x f bx -→ 都存在，设B x f A x f bx ax ==-+→→)(lim ,)(lim ，令⎪⎩⎪⎨⎧=∈==.);,()(;)(b x B b a x x f a x Ax F则)(x F 在],[b a 连续，因而一致连续，从而)(x F 在),(b a 一致连续，而)(x F 在),(b a 上就是)(x f ，因而)(x f 在),(b a 上一致连续．2．求证数列nx n 1211+++= ，当∞→n 时的极限不存在．证明利用Cauchy 收敛原理的否定形式证明．取0,0210>∀>=N ε，任取N n >，则N n >2，从而 nn n x x n n 2121112+++++=-021212121212111ε==+++>+++++>n n n n n n ，由Cauchy 收敛原理的否定知数列nx n 1211+++= 当∞→n 时的极限不存在．3．利用Cauchy 收敛原理讨论下列数列的收敛性．（1）)||,1||(2210M a q q a q a q a a x k n n n ≤<++++= ；（2）n n n x 2sin 22sin 21sin 12++++= ；（3）nx n n 1)1(312111+-+-+-= ．解（1）0>∀ε，由1||<q 知0lim 1=+∞→n n q，从而N ∃，N n >∀时，有εMq qn ||1||1-<+，对上述N m n N >∀,,时（不妨n m >），有m n n m n n m n x x x x x x x x +++≤+++=-++++ 2121++=++++≤++++++221121||||||||n n n n m n n q a q a x x x ()εε=-⋅-<-=++≤+++Mq q M q q M q q M n n n ||1||1||1||||||121.由Cauchy 收敛原理知数列}{n x 收敛．（2）这是(1)中21,sin ,10===q k a a k 的特殊情形，由于21||,1<≤q a k ，故数列}{n x 收敛．（3）证法1 利用Cauchy 收敛原理.0>∀ε，由01lim=∞→n n 知，N ∃，N n >∀时ε<n1，对上述N m n N >∀,,时（不妨n m >），有 mn n x x m n n m n 1)1(21)1(11)1(132+++-+++-++-=- mn n n m 1)1(21111---+++-+=. 由于01)1(21111>-+++-+--mn n n m ，故 mn n x x n m m n 1)1(21111---+++-+=- .若n m -为偶数，则mn n x x n m m n 1)1(21111---+++-+=- m m m n n n 11121312111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+= ε<+≤11n . 若n m -为奇数，则mn n x x n m m n 1)1(21111---+++-+=- ⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=m m n n n 111312111 ε<+≤11n . 因而由Cauchy 收敛原理知数列}{n x 收敛．证法2 先考虑数列}{n x 的偶子列}{2n x ，由于22131211221)1(3121132)1(2+--+-=+-+-+-=++n n x n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221121211214131211n n n nn x n n 2211214131211=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-> ，故偶子列}{2n x 是单调递增的数列，又由于1211213121121)1(31211122<⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-+-=+n n n x n n ，因而偶子列}{2n x 是单调上升且有上界的数列，由单调有界原理知}{2n x 必有极限存在，设a x n n =∞→2lim . 又由于121212++=+n x x n n 且0121lim =+∞→n n ，从而 a n x x n n n n n =++=∞→∞→+∞→121lim lim lim 212. 于是我们证得数列}{n x 的奇、偶子列均收敛而且极限相同，故数列}{n x 收敛.4．证明：极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是：对任意给定0>ε，存在0>δ，当δ<-'<00x x ,δ<-''<00x x 时，恒有ε<''-')()(x f x f .证明 )⇒必要性设A x f x x =→)(lim 0，则δδε<-<∀>∃>∀00,,0,0x x x ，就有2)(ε<-A x f ，因此由δ<-'<00x x ,δ<-''<00x x 知ε<-''+-'<-''--'=''-'A x f A x f A x f A x f x f x f )()())(())(()()(，因而必要性成立.)⇐充分性设}{n x 是任意满足0lim x x n n =∞→且0x x n ≠的数列，由已知0,0>∃>∀δε，只要δ<-'<00x x ，δ<-''<00x x 时，有ε<''-')()(x f x f .对上述0>δ，由于0lim x x n n =∞→，且0x x n ≠，故N n N >∀∃,时，有δ<-<||00x x n ；N m >∀时，有δ<-<||00x x m ，于是ε<-)()(m n x f x f ，即)}({n x f 是基本列，由实数列的Cauchy 收敛准则知)(lim n n x f ∞→存在．由}{n x 的取法知任意趋向于0x 而不等于0x 的实数列}{n x 都有极限)(lim n n x f ∞→存在．下证它们的极限都相等．反设)(lim ),(lim 0000x x x x x x x x n nn n n n ≠'='≠=∞→∞→，但)(lim )(lim n n n n x f x f '≠∞→∞→，则定义一个新的数列},,,,{}{2211 x x x x y n ''=，由}{n y 的构造知)(lim 00x y x y n n n ≠=∞→，但)(lim n n y f ∞→有两个子序列极限不相等，故极限)(lim n n y f ∞→不存在，矛盾．从而任意趋向于0x 而不等于0x 的实数列}{n x 构成的数列)(n x f 都有极限存在．而且它们的极限都相等．由Heine 归结原则知)(lim 0x f x x →存在．5．证明)(x f 在0x 点连续的充要条件是：任给0>ε，存在0>ε，当δ<-'0x x ，δ<-''0x x 时，恒有ε<''-')()(x f x f .证明 )⇒必要性由)(x f 在0x 点连续知)()(lim 00x f x f x x =→，故δδε<-∀>∃>∀0,,0,0x x x ，就有2)()(0ε<-x f x f ，因此由δ<-'0x x ，δ<-''0x x 知))()(())()(()()(00x f x f x f x f x f x f -''--'=''-'ε<-''+-'≤)()()()(00x f x f x f x f .因而必要性成立. )⇐充分性设}{n x 是任意满足0lim x x n n =∞→的数列，由已知0,0>∃>∀δε，只要δ<-'0x x ，δ<-''0x x 时，就有ε<''-')()(x f x f ．对上述0>δ，由于0lim x x n n =∞→，故N n N >∀∃,时，有δ<-||0x x n ，N m >∀时，有δ<-||0x x m ，于是ε<-)()(m n x f x f ，即)}({n x f 是基本列，由实数列的Cauchy 收敛准则知)(lim n n x f ∞→存在．由}{n x 的取法知任意趋向于0x 的实数列}{n x ，)(lim n n x f ∞→存在．下证它们的极限都相等．反设)(lim ),(lim 0000x x x x x x x x n nn n n n ≠'='≠=∞→∞→，但)(lim )(lim n n n n x f x f '≠∞→∞→，则定义一个新的数列},,,,{}{2211 x x x x y n ''=，由}{n y 的构造知0lim x y n n =∞→，但)(lim n n y f ∞→有两个子序列极限不相等，故极限)(lim n n y f ∞→不存在，矛盾．从而，任意趋向于0x 的实数列}{n x 构成的数列)(n x f 都有极限存在，而且极限都相等，由Heine 归结原则知)(lim 0x f x x →存在．特别地，取}{n x 为恒为0x 的常数列，则可得)()(lim 0x f x f n n =∞→，即)()(lim 00x f x f x x =→，从而)(x f 在0x 点连续．6．证明下列极限不存在：（1）32cos11πn n n x n +-=；（2）nn n nx )1(21-+=；（3）)sin(2n n x n +=π；（4）n x n cos =；（5）n x n tan =.解（1）取}{n x 的两个子序列，当k n 3=时，131336cos 13133+-=+-=k k k k k x k π，从而可以得到1lim 3=∞→k k x ．而当13+=k n 时，233213)13(2cos 23313+⋅-=++=+k k k k k x k π，从而21lim 13-=+∞→k k x .}{n x 的两个子序列极限不等，故}{n x 的极限不存在．（2）对}{n x 的奇子列，由于121212211+++⎪⎭⎫⎝⎛+=k k k x ，而且12lim 12=+∞→k k ，故1lim 12=+∞→k k x ；对}{n x 的偶子列，由于k k k x 22221+=，而222212222→⋅≤+≤k k k ，故2lim 2=∞→k k x ．原数列的奇子列与偶子列极限不同，故}{n x 的极限不存在．（3）由于()21lim2=-+∞→n n nn ，故取41=ε，则存在00,N n N >∀时 41212=<--+εn n n ，从而 4121412<--+<-n n n ，即 43412+<+<+n n n n ，从而 ()πππππ43412+<+<+n n n n .当n 为偶数时，由于ααπsin )sin(=+n ，从而由上式知()1sin 222≤+=≤n n x n π；当n 为奇数时，由于ααπsin )sin(-=+n ，从而()22sin 12-≤+=≤-n n x n π．因此取220=ε，对N ∀，任取},max{0N N n >，则},max{10N N n >+，而且n x 和1+n x 一个在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,22内，另一个在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22,1内，从而0122ε=>-+n n x x ，由Cauchy 收敛原理的否定形式知数列}{n x 极限不存在．（4）取1sin 20=ε，对N ∀，由阿基米德公理知，存在+∈N k ，使得142+>+N k ππ，在⎪⎭⎫⎝⎛++432,42ππππk k 区间上，由于区间长度12>π，从而存在N n >，使得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∈+432,421ππππk k n ，对于n 和2+n ，有1sin )1sin(222sin 22sin2cos )2cos(+=-+++=-+n nn n n n n 01sin 21sin 222ε==⋅≥，由Cauchy 收敛原理的否定形式知数列}{cos }{n x n =极限不存在．（5）取0330>=ε，对N ∀，由阿基米德公理知，存在+∈N k ，使得N k >π，由于⎪⎭⎫⎝⎛++2,6ππππk k 的区间长度13>π，从而在⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,6ππππk k 中有一个或两个大于N 的正整数点．若在⎪⎭⎫⎝⎛++2,6ππππk k 中只有一个正整数点n ，则 ⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∈+ππππππππ)1(,2)1(22,21k k k k n ，从而0336tantan )1tan(tan tan )1tan(επ==>>+-=-+n n n n n ；若在⎪⎭⎫⎝⎛++2,6ππππk k 中有两个大于N 的正整数点，则取较大的正整数为n ，同样，⎪⎭⎫⎝⎛+-+∈+πππ)1(,2)1(1k k n ，从而0336tantan )1tan(tan tan )1tan(επ==>>+-=-+n n n n n . 由Cauchy 收敛原理的否定形式知数列}{tan }{n x n =极限不存在．7．设)(x f 在),(+∞a 上可导，|)(|x f '单调下降，且)(lim x f x +∞→存在，求证：0)(lim ='+∞→x f x x .证明由于)(lim x f x +∞→存在，由Cauchy 收敛原理，0,0>∃>∀X ε，当X x>2时，也有X x >，从而22)(ε<⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f x f ．又因为)(x f 在),(+∞a 可导，故)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛x x ,2上满足Lagrange 中值定理条件，因而⎪⎭⎫⎝⎛∈∃x x ,2ξ，使得2)(2)(x f x f x f ξ'=⎪⎭⎫⎝⎛-，从而)(2)(2ξf x x f x f '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-，又根据)(x f '单调下降得εεξξ=⋅<⎪⎭⎫⎝⎛-='='≤'='222)(2)()()()(x f x f f x f x x f x x f x ，因此0)(lim ='+∞→x f x x .8．设)(x f 在),(+∞-∞可导，且1)(<≤'k x f ，任给0x ，令),2,1,0()(1 ==+n x f x n n ，求证：(1) n n x +∞→lim 存在；(2) 上述极限为)(x f x =的根，且是唯一的．证明（1）0>∀ε，取k x x k N ln )1(ln1--=ε，N m n >∀,，不妨m n <，下证ε<-||n m x x .由已知)(x f 在),(+∞-∞可导，故由Lagrange 中值定理得1111))(()()(---+-≤-'=-=-n n n n n n n n x x k x x f x f x f x x ξ，同理 ,211----≤-n n n n x x k x x ，依此类推得011x x k x x nn n -≤-+，因此n n m m n n m m m n m x x x x x x x x x x x -++-≤-+-+-=-+-+--11111011101011)(x x k k k x x k x x k n n m n m -+++=-++-≤+--010111)(x x kk x x kk nn n--=-++<+ .由于k x x k N n ln )1(ln1--=>ε，而1<k ，从而01)1(lnln x x k k n --<ε，故ε<--=-011x x kk x x nn m ，因此由Cauchy 收敛原理知n n x +∞→lim 存在.（2）由于)(x f 在),(+∞-∞可导，因而连续，在)(1n n x f x =+两边同时对∞→n 取极限，则)lim (lim n n n n x f x +∞→+∞→=，即n n x +∞→lim 是)(x f x =的根，下证唯一性．反设有)(,b a b a ≠，且)(a f a =，)(b f b =，则b a b a k b a f b f a f b a -<-≤-⋅'=-=-)()()(ξ，矛盾，故根是唯一的．9．设)(x f 在],[b a 满足条件：（1）10],,[,,)()(<<∈∀-≤-k b a y x y x k y f x f ；（2）)(x f 的值域包含在],[b a 内．则对任意],[0b a x ∈，令),2,1,0()(1 ==+n x f x n n ，有（1）n n x +∞→lim 存在；（2）方程)(x f x =的解在],[b a 上是唯一的，这个解就是上述极限值．证明（1）0>∀ε，取k x x k N ln ||)1(ln01--=ε，N m n >∀,，不妨m n <，下证ε<-n m x x .由已知)(1n n x f x =+，而],[0b a x ∈且)(x f 的值域包含在],[b a 内，因而对n ∀，都有],[b a x n ∈，从而01111)()(x x k x x k x f x f x x n n n n n n n -≤-≤-=---+，因此n n m m n n m m m n m x x x x x x x x x x x -++-≤-+-+-=-+-+--11111011101011)(x x k k k x x k x x k n n m n m -+++=-++-≤+--ε<--=-++<+010111)(x x kk x x kk nn n.因此由Cauchy 收敛原理知n n x +∞→lim 存在.（2）设方程)(x f x =在],[b a 上有两个不同的解d c ,，则d c d c k d f c f d c -<-<-=-)()(，矛盾，故根是唯一的．§4 再论闭区间上连续函数的性质1．设)(x f 在],[b a 上连续，并且最大值点0x 是唯一的，又设],[b a x n ∈，使)()(lim 0x f x f n n =+∞→，求证0lim x x n n =+∞→．证明不妨设),(0b a x ∈，当a x =0或b x =0时同理可证．对任意},min{000x b a x --<<ε，由于)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[0ε-x a 、],[00εε+-x x 、],[0b x ε+上连续，由闭区间连续函数的最值定理，)(x f 在],[0ε-x a 、],[00εε+-x x 、],[0b x ε+上均有最大值，显然)(x f 在],[00εε+-x x 上的最大值为)(0x f ，设)(x f 在],[0ε-x a 和],[0b x ε+上的最大值为M ，由最大值点的唯一性可知M x f >)(0．取02)(0>-Mx f ，由)()(lim 0x f x f n n =+∞→知N n N >∀∃,时，2)()()(00Mx f x f x f n -<-，即 M Mx f M x f x f x f n >+=-->2)(2)()()(000，而)(x f 在],[0ε-x a 和],[0b x ε+上的最大值为M ，故),(00εε+-∈x x x n ，即ε<-||0x x n ，从而0lim x x n n =+∞→．2．设)(x f 在],[b a 上连续，可微；又设 (1) )(max )(min x f p x f bx a bx a ≤≤≤≤<<；(2) 如果p x f =)(，则有0)(≠'x f ，求证：p x f =)(的根只有有限多个．证明利用区间套定理．反设p x f =)(在],[b a 上有无穷多个根，设],[],[11b a b a =，二等分区间],[11b a ，则在两个子区间中必有一个区间含有p x f =)(的无穷多个根，设此区间为],[22b a ，再二等分区间],[22b a ，则在两个子区间中必有一个区间含有p x f =)(的无穷多个根，设此区间为 ],,[33b a ．依此类推得一区间套]},{[n n b a ，由区间套的构造知p x f =)(在任意],[n n b a 有无穷多个根.由区间套定理知],[b a r ∈∃，使得对于任意],[,n n b a r N n ∈∈+．若p r f ≠)(，则令p x f x g -=)()(，)(x g 也在],[b a 连续，且0)()(≠-=p r f r g ，从而由保号性知),(,δδδ+-∈∀∃r r x 时，都有0)(≠x g ，即p x f ≠)(，而由区间套知N n N >∀∃,时),(],[δδ+-⊂r r b a n n ，即p x f =)(在],[n n b a 无根，这与区间套的构造矛盾．若p r f =)(，则0)(≠'r f ，即0)()(l i m ≠--→rx r f x f rx ，从而x ∀'∃,δ，当δ'<-<||0r x 时，有0)()(≠--rx r f x f ，即p x f ≠)(，从而在),(δδ'+'-r r 上)(x f 只有一个根r ，而由区间套知N n N >∀∃,时),(],[δδ+-⊂r r b a n n ，即p x f =)(在],[n n b a 只有一个根，这与区间套的构造矛盾．因此p x f =)(在],[b a 上只有有限多个根．3．设)(x f 在],[b a 上连续，0)(,0)(><b f a f ，求证：存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf 且)(0)(b x x f ≤<>ξ．证明令],[|{b a x x E ∈=且}0)(=x f ，由于0)(,0)(><b f a f ，且)(x f 在],[b a 上连续，由介值性定理知φ≠E ，从而E 为非空有界数集，由确界原理知E 有上确界，设E sup =ξ，下证0)(=ξf ．事实上，由于E sup =ξ，由本章第一节习题3知可以在E 中选取数列}{n x ，使ξ=∞→n n x lim ，又由)(x f 连续知0)(lim )lim ()(===∞→∞→n n n n x f x f f ξ，又对于],(b x ξ∈∀，由于E x ∉，从而0)(≠x f ，又根据0)(>b f 知0)(>x f ，因而结论成立．4．设)(x f 是],[b a 上的连续函数，其最大值和最小值分别为M 和)(M m m <，求证：必存在区间],[βα，满足条件：(1) m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα； (2) M x f m <<)(，当),(βα∈x ．证明由于)(x f 是],[b a 上的连续函数，且有最大值M 和最小值m ，故由最值定理知],[b a c ∈∃，使得M c f =)(；],[b a d ∈∃，使得m d f =)(，由于M m <，故d c ≠，令},min{d c =α，},max{d c =β，则在区间],[βα上满足：（1）m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα；（2）对),(βα∈∀x ，由于m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα，而m M ,分别为],[b a 上的最大值和最小值，故M x f m <<)(．5．设)(x f 在]2,0[a 上连续，且)2()0(a f f =，求证：存在],0[a x ∈，使)()(a x f x f +=．证明考虑辅助函数)()()(a x f x f x g +-=，],0[a x ∈.若)()0(a f f =，根据已知条件)2()0(a f f =可知，取0=x 或a x =时，均有)()(a x f x f +=，命题已证．若)()0(a f f ≠，则)()0()0(a f f g -=，)0()()2()()(f a f a f a f a g -=-=，从而)0(g 与)(a g 符号相反，由零点定理知],0[a x ∈∃，使0)(=x g ，即)()(a x f x f +=．6．设)(x f 在],[b a 上连续，且取值为整数，求证≡)(x f 常数．证明反设)(x f 不恒为常数，则],[,21b a x x ∈∃，使得)()(21x f x f ≠，又由于)(x f 取值为整数，故)(),(21x f x f 均为整数，在)(),(21x f x f 之间任取一非整数c ，则由介值性定理知],[b a ∈∃ξ，使得c f =)(ξ，这与)(x f 取值为整数矛盾．7．设)(x f 在),(b a 一致连续，±∞≠b a ,，证明：)(x f 在],[b a 上有界．证明由于)(x f 在],[b a 上一致连续，故取01>=ε，则0>∃δ，当δ<-21x x 时，有1)()(21<-x f x f . 取定11,b a ，其中δ+<<a a a 1，b b b <<-1δ，则],(1a a x ∈∀，有δ<-1a x ，故1)()(1<-a f x f ，因而1)()(1+<a f x f ；同理),[1b b x ∈∀，有δ<-1b x ，故1)()(1<-b f x f ，因而1)()(1+<b f x f ，因此)(x f 在区间],(1a a 和区间),[1b b 均有界. 另一方面，由于)(x f 在],[11b a 上一致连续，根据闭区间上连续函数的性质可知存在01>M ，使得111)(],,[M x f b a x <∈∀.取0}1)(,1)(,max{111>++=b f a f M M ，则),(b a x ∈∀，均有M x f <)(，因而)(x f 在),(b a 上有界．8. 若函数)(x f 在),(b a 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件，即存在常数K ，使得x x K x f x f ''-'≤''-')()(，),(,b a x x ∈'''.证明：)(x f 在),(b a 上一致连续．证明 ,0>∀ε 取,21εδK=则对δ<''-'∈'''∀x x b a x x ),,(,，由Lipschitz 条件知εε<⋅<''-'≤''-'KK x x K x f x f 21)()(，因而依定义知)(x f 在),(b a 上一致连续．9．试用一致连续的定义证明：若函数)(x f 在],[c a 和],[b c 上都一致连续，则)(x f 在],[b a 上也一致连续．证明对0>∀ε，由函数)(x f 在],[c a 一致连续知01>∃δ，对],[,21c a x x ∈∀而且121δ<-x x ，就有2)()(21ε<-x f x f ；又根据函数)(x f 在],[b c 上一致连续知02>∃δ，],[,21b c x x ∈∀且221δ<-x x 时，就有2)()(21ε<-x f x f ．取},min{21δδδ=，则],[,21b a x x ∈∀且δ<-21x x 时，若21,x x 同属于],[c a ，有εε<<-2)()(21x f x f ；若21,x x 同属于],[b c ，也有εε<<-2)()(21x f x f ；若21,x x 一个属于],[c a ，另一个属于],[b c ，则由δ<-21x x 知δδ<-<-c x c x 21,，从而εεε=+<-+-≤-22)()()()()()(2121x f c f c f x f x f x f .因而],[,21b a x x ∈∀且δ<-21x x 时，ε<-)()(21x f x f . 因此由一致连续的定义可知)(x f 在],[b a 上一致连续.10．设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，且极限)(lim x f x -∞→与)(lim x f x +∞→存在．证明：)(x f 在),(+∞-∞上一致连续．证明对0>∀ε，由于)(lim x f x -∞→存在，根据Cauchy 收敛原理知，存在01>X ，任意121,X x x -<时，就有ε<-)()(21x f x f ；又由于)(lim x f x +∞→存在，故存在02>X ，任意221,X x x >，就有ε<-)()(21x f x f .由于)(x f 在),(+∞-∞上连续，故)(x f 在区间]1,1[21+--X X 上连续，因而在]1,1[21+--X X 上一致连续，由一致连续的定义知，对上述0>ε，存在01>δ，任意]1),1([,2121++-∈X X x x ，只要112δ<-x x ，就有ε<-)()(21x f x f ．取0}1,min{1>=δδ，则),(,21+∞-∞∈∀x x ，只要δ<-21x x ，则21,x x 同属于区间),(1X --∞、]1),1([21++-X X 或),(2+∞X ，由上述讨论知，不管在哪种情况下，都有ε<-)()(21x f x f ，因而)(x f 在),(+∞-∞上一致连续．11．若)(x f 在区间X （有穷或无穷）中具有有界的导数，即M x f ≤')(，X x ∈，则)(x f 在X 中一致连续．证明对0>∀ε，取Mεδ=，则对任意X x x ∈21,，只要δ<-||21x x ，根据Lagrange中值定理，存在ξ在21,x x 之间，且εδξ=<-≤-'=-M x x M x x f x f x f 212121|))((|)()(，从而)(x f 在X 中一致连续．12．求证：x x x f ln )(=在),0(+∞上一致连续．证明由于x x x f ln )(=，故xx x xxx f 2ln 2ln 211)(+=+='，xx x x f 4ln )(-=''，令0)(=''x f 得1=x ，故1=x 是)(x f '的稳定点，当0)(),1,0(>''∈x f x ，从而)(x f '单调递增；而当0)(),,1(<''+∞∈x f x ，故)(x f '单调递减，因此1=x 是)(x f '的极大值点，也是最大值点，而1)1(='f ，从而对),0(+∞∈∀x ，1)(≤'x f ．再令0)(='x f 得2-=e x ，在区间),[2+∞-e 上，由于0)(≥'x f ，因而在),[2+∞-e 上1)(0≤'≤x f ，即1)(≤'x f ，由上题结论知)(x f 在),[2+∞-e 上一致连续．此外，由于0ln lim )(lim 00==++→→x x x f x x ，若令 ⎩⎨⎧=>=.00,0ln )(x x xx x g则)(x g 在]2,0[连续，因而一致连续，从而)(x g 在]2,0(上一致连续，即)(x f 在]2,0(一致连续．对0>∀ε，由)(x f 在),[2+∞-e 上一致连续知，01>∃δ，对任意),[,221+∞∈-e x x 且121δ<-x x ，都有ε<-)()(21x f x f ；又由)(x f 在]2,0(上一致连续知，02>∃δ，对任意]2,0(,21∈x x 且221δ<-x x ，也有ε<-)()(21x f x f ．取0}1,,min{21>=δδδ，则当),0(,21+∞∈x x 且δ<-21x x 时，要么],2,0(,21∈x x 要么),[,221+∞∈-e x x ，从而ε<-)()(21x f x f ．因此x x x f ln )(=在),0(+∞上一致连续．13．设)(x f 在),(+∞a 上可导，且+∞='+∞→)(lim x f x ，求证：)(x f 在),(+∞a 上不一致连续．证明取10=ε，对0>∀δ，由于+∞='+∞→)(lim x f x ，故0>∃X ，当X x >时，有δ2)(>'x f ，任取X x >1，X x x >+=212δ，虽然有δδ<=-221x x ，但根据lagrange中值定理知，存在)2,(11δξ+∈x x ，使得02121122)()()(εδδξ==⋅>-⋅'=-x x f x f x f . 根据一致连续的否定定义知)(x f 在),(+∞a 上不一致连续．14．求证：x x x f ln )(=在),0(+∞上不一致连续．证明由于+∞=+='+∞→+∞→)1(ln lim )(lim x x f x x ，由上题结论知结论成立．§5 可积性1. 判断下列函数在区间]1,0[上的可积性：（1）)(x f 在]1,0[上有界，不连续点为),2,1(1==n nx ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎪⎭⎫⎝⎛=;0,0],1,0(,sin sgn )(x x x x f π （3）⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=;0,0],1,0(,11)(x x x x x f（4）[]⎪⎩⎪⎨⎧=∈=.0,0],1,0(,1)(1x x x f x解（1）由于)(x f 在]1,0[上有界，故存在0>M ，对]1,0[∈∀x ，都有M x f ≤)(，故在区间]1,0[的任何子区间上，)(x f 的振幅M 2≤ω.对任给0>ε，由于04lim=∞→n M n ，故N n N >∀∃,时，都有24ε<n M ，特别地取10+=N n 时，也有240ε<n M . 由于)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,10n 上只有有限个间断点，因而是可积的，即01>∃δ，使得对区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,10n 的任何1)max(δλ<∆='i x 的分法，都有∑<∆'''2i i i x εω．取⎭⎬⎫⎩⎨⎧=011,min n δδ，对]1,0[的任意δλ<∆=)max(i x 的分法，下证εω<∆∑=n i i i x 1.由于)1,0(10∈n ，故对上述任意分法，都存在分点00,1i i x x -，使得00011i i x n x <≤-，因而∑∑∑∑∑+=-=+==-=∆++∆≤∆+∆+∆=∆ni i iii i i ni i iii i n i i i iiiixM x M xx xx o 11111110000022ωδωωωωεεεε=+<++≤222121200n M n M，这里最后一项210εω<∆∑+=ni i i i x 是由于[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊂+1,11,010n x i ，而)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,10n 可积，故函数在区间[]1,10+i x 可积，因而210εω<∆∑+=n i i iix ．因此0lim 1=∆∑=→ni iix ωλ，即)(x f 在]1,0[上可积．（2）由于)(x f 在]1,0[上有界，且不连续点为),2,1(1==n nx 和0=x ，根据（1）的证法知)(x f 在]1,0[上可积．（3）由于)(x f 在]1,0[上有1)(≤x f ，故)(x f 有界，而且)(x f 的不连续点为0=x 和),2,1(1==n nx ，由（2）的证法知，)(x f 在]1,0[可积．（4）由于)(x f 在]1,0[上有1)(0≤≤x f ，故)(x f 有界，而且)(x f 的不连续点只有。

考研数学分析真题答案

考研数学分析真题答案一、选择题1. 根据极限的定义，下列哪个选项是正确的？A. \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\)B. \(\lim_{x \to 0} \sin x = 1\)C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1\)D. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)答案：A2. 函数 \(f(x) = \sin x + x^2\) 在 \(x = 0\) 处的导数是多少？A. 1B. 2C. 0D. -1答案：A二、填空题1. 函数 \(y = \ln x\) 的定义域是 _________。

答案：\((0, +\infty)\)2. 若 \(\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}\)，那么\(\int_{0}^{1} x^3 dx\) 的值是 _________。

答案：\(\frac{1}{4}\)三、解答题1. 证明：对于任意正整数 \(n\)，\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}\)。

证明：首先，我们可以将求和式拆分为部分和的形式：\[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]通过观察，我们可以看到这是一个望远镜求和，大部分项会相互抵消，最终只剩下：\[1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) 在 \(x = 2\) 处的泰勒展开式，并计算其近似值。

解：首先，我们计算函数在 \(x = 2\) 处的各阶导数：\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2, \quad f''(x) = 6x - 6, \quad f'''(x) = 6\]在 \(x = 2\) 处，\(f(2) = 0\)，\(f'(2) = -2\)，\(f''(2) =6\)，\(f'''(2) = 6\)。

数学分析试卷及答案6套

f ( x1 ) f ( x2 ) .
g ( x) ,x 0 九. (12 分)设 f ( x) x 且 g (0) g (0) 0 , g (0) 3 , 求 f (0) . 0, x 0
答案参见我的新浪博客：/s/blog_3fb788630100muda.html
lim
h 0
1 h

x
a
[ f (t h) f (t )] dt f ( x) f (a).
六 (10 分 ) 求椭圆区域 R : (a1 x b1 y c1 ) 2 (a2 x b2 y c2 ) 2 1 (a1b2 a2b1 0) 的面积 A . 七 (10 分) 设 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 ) dx dy dz ，其中 V : x 2 y 2 z 2 t 2 (t 0) ，
四. (12 分)证明函数 f ( x)
五. (12 分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10 分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12 分)确定 a, b 使 lim ( x 2 x 1 ax b) 0 .
x
1 5 八. (14 分)求函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 在 [ , ] 的最大值与最小值. 4 2
x x0
x x0
1 1 . f ( x) b
三. (10 分)设 an 0 ,且 lim
an l 1 , 证明 lim an 0 . n n a n 1
四. (10 分 ) 证明函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 一致连续 f ( x) 在 ( a, b) 连续 , 且

数学分析课后习题答案2.1

所以,任给 ε > 0 ,取 N = max{2, [ ] + 1} ,则当 n > N 时有
1
ε
3n 2 + n 3 3n 2 + n 3 , 故 lim = − < ε n →∞ 2n 2 − 1 2 2n 2 − 1 2
(3) 因为
n! 1 2 3 n 1 1 − 0 = ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ ≤ , 从而对任给的 ε > 0 , 取 N = [ ] + 1 , 则当 n > N n n n n n n ε n
(3) 对给定的 ε 是否只能找到一个 N ? 解: (1)当 ε 1 = 0.1 时,要使 a n − 0 =
1 + (−1) n 2 ≤ < 0.1 ,只要取 N 1 = 20 ; n n
当 ε 2 = 0.01 , ε 3 = 0.001 时, 只要取 N 2 = 200 , N 3 = 2000 即可.
1
所以任给 ε > 0 ,可取 N = [ ] + 1 ,则当 n > N 时有
ε
1+ 2 +3+ n 1 ≤ <ε n n3
故 lim
n →∞
1+ 2 +3+ n =0. n3
(3)由 {a n } 的定义知: 当 n 为奇数时,有 a n − 1 =
n2 + n −1 = n
n2 + n − n = n
n →∞ n →∞
证明:若 lim a n = a ,则由定义知: 任给 ε > 0 ,存在 N ,则当 n > N 时有 a n − a < ε
n →∞
于是当 n > N 时, n + k > n > N ,所以 a n + k − a < ε , 故 lim a n + k = a .

数学分析课后习题答案

习题1．验证下列等式（1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时,y 的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数解由推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。

因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷ ⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22⑻ C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2⑼ C x x dx x x dx xx xx dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀ C x dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁ C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂ C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴ C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹ C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼ C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1ππππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇ C x dx x xxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot(21) ⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解令t x =61, 则6t x =, 56t dx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵ C x x x dx xx x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln ⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸ C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻ ⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼ ⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以 C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-，同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n m习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得31=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材例9或关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dx cos 35解令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总练习题求下列不定积分： ⑴C x x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵ ]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷ ⎰⎰⎰⎰===x x x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sinC x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸ C x e C e u e du u e u x dx ex u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，C xC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿ ⎰+dx x )1arctan(解令u x =+1，du u dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄ ⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I。

(整理)数学分析答案

2、无穷积分的性质与收敛判别1、证明定理11.2及其推论1定理11.2（比较法则）设定义在[),+∞a 上的两个函数f 和g 都在任何区间],[u a 上可积，且满足),[),(|)(|+∞∈≤a x x g x f ，则当⎰+∞adx x g )(收敛时，⎰+∞adx x f |)(|必收敛（或者，当⎰+∞adx x g )(收敛，所以a A >∃，当A u u >>12时，有⎰<21)(u u dx x g ε。

由于)(|)(|x g x f ≤，),[+∞∈∀a x ，因此更有 ⎰⎰<≤2121)(|)(|u u u u dx x g dx x f ε故⎰+∞adx x f |)(|收敛。

推论1 若f 和g 都在任何],[u a 上可积，1)(>x g ，且c x g x f x =∞→)(|)(|lim，则有（I ）当+∞<<c 0时，⎰+∞adx x f |)(|与dx x g a⎰+∞)(同敛态；（ii ）当0=c 时，由⎰+∞adx x g )(收敛可推知，dx x f a |)(|⎰+∞出收敛；（iii ）当+∞=c 时，由⎰+∞adx x g )(发散可推知⎰+∞adx x f |)(|也发散。

证（I ）因为+∞<=<+∞→c x g x f x )(|)(|lim0，所以)(0c <>∀εε存在a A >，使得当A x >时，有εε+<<-<c x g x f c )(|)(|0 即dx x g c x f x g g c )()(|)(|)(()(0εε+<<-< （*）从而，若⎰+∞adx x g )(收敛，那么⎰+∞+Adx x g c )()(ε收敛。

于是由⎰⎰+∞+=AaAdx x f dx x f dx x f |)(||)(||)(|收敛。

数学分析考研试题及答案

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。

12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。

数学分析习题答案(陈纪修第二版)

(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解（1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设
f
⎜⎛ ⎝
x
x −
并且或者 x ∈ B ，或者 x ∈ D ，即 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，因此
A ∩ (B ∪ D) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) 。
2
（2）设 x ∈ ( A ∪ B)C ，则 x∈A ∪ B ，即 x∈A 且 x∈B ，于是 x ∈ AC ∩ BC ，因此
(A ∪ B)C ⊂ AC ∩ BC ；设 x ∈ AC ∩ BC ，则 x∈A 且 x∈B ，即 x∈A ∪ B ，于是 x ∈ ( A ∪ B)C ，因此
⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B ； (2) x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。
解（1）不正确。 x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。（2）不正确。 x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 并且源自x ∈ B 。nn2
2n2 2
（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
A = {x|x ≥ 0}；
B
=
⎨⎧sin ⎩
x|
0
<
x
<
2π 3
⎫ ⎬ ⎭
；
C
=
⎧n ⎩⎨ m

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数学分析答案1 反常积分分概念1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1）dxxex 2-∞+⎰；（2）dxxex 2-∞+∞-⎰；（3）dxex⎰+∞1；（4）⎰+∞+12)1(x x dx；（5）⎰+∞∞-++5442x x dx；（6）xdxe xsin 0-+∞⎰；（7）xdxe xsin ⎰+∞∞-；（8）⎰+∞+021xdx解（1）因为 ⎰+∞-=02dx xe x⎰⎰+∞-+∞→-=022limAx A x dxxe dx xe021lim 2Ae x A -+∞→-=21021212121lim 2=⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+∞→A A e故dxxex 2-∞+⎰收敛，其值为21。

（2）⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞-+=0222dxxe dx xedx xex x x=⎰+∞-=-00212dx xe x故dxxex 2-∞+∞-⎰收敛，其值为0。

（3）⎰⎰∞+-+∞→=02lim1Adx x A xedx e2lim 2A ex A -+∞→⋅-=2)22(lim 2=-=-+∞→A A e故dxex⎰+∞1收敛，其值为2。

（4）⎰⎰+∞+∞→+=+1122)1(lim)1(A A x x dxx x dx⎰⎪⎭⎫⎝⎛--+=+∞→AA dx x x x12111lim1)11)1(ln(lim Ax nx x A --+=+∞→ )1ln 11(lnlim +--+=+∞→A AA A A2ln 1-=因此⎰+∞+12)1(x x dx 收敛，其值为2ln 1-。

（5）⎰⎰+∞∞-+∞∞-++=++4)1(254422x dx x x dx⎰⎰∞+--∞-+++++=2121224)12(4)12(x dx x dx⎰⎰∞-∞++++=0202421421t dt t dt ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎰⎰∞-∞+02021141u du u du ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→0arctan 0arctan 41limA u A u A)]arctan([arctan lim 41A A A --=+∞→ 42241arctan 2lim 41ππ=⋅⋅==∞→A A所以⎰+∞∞-++5442x x dx收敛，其值为4π（6）因为⎰⎰----++-=-=xdxe x e x e xdx e x x x xcos sin sin sin⎰------=xdxe cox e x e x x x sin sin从而⎰++-=--c e x x xdx e xx2cos sin sin 故⎰∞+-+∞→-+-=00)2cos sin (lim sin Ae x x xdx e x A x⎪⎭⎫⎝⎛++-=-+∞→212cos sin lim A A e A A21=可见⎰+∞-0sin xdxe x 收敛，其值为21 （7）因为⎰⎰-=xdxe x e xdx e x x xcos sin sin⎰--=xdxe x e x e x x x sin cos sin所以⎰+-=c e x x xdx e xx2cos sin sin于是xdxe xdx e Ax A x⎰⎰+∞→+∞=0sin limsin02cos sin lim Aex x x A -=+∞→ 212cos sin lim+-=+∞→A A e A A因最后的极限不存在，故 ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0sin sin sin xdx e xdx e xdx e xx发散（8）⎰⎰∞++=+0202221sec 1πθθθtam d xdx⎰⎰==20202sec sec sec ππθθθθθd d|tan sec |ln lim 2A x A θθ+=→|tan sec |ln lim 2A A x A +=→因为最后的极限不存在，故⎰+∞+021xdx 不收敛2、讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1）⎰-bap a x dx )(；（2）⎰-1021xdx；（3）⎰-2|1|x dx ；（4）dxxx ⎰-121；（5）⎰1ln xdx ；（6）⎰-11dx xx；（7）⎰-12xx dx ；（8）⎰1)(ln px x dx ；解（1）当1=p 时，有⎰⎰-=-→b u b aa u p dxax a x dx 1lim )(uba x a a ||ln lim -=→|)|ln ||(ln lim a u a b au ---=→=||ln lim ||ln a u a b an ---→。

因最后的极限不存在，故当1=p 时，⎰-bapa x dx)(不收缴。

当1>p 时，有⎰-b apa x dx )(])()[(11lim11+-+-→---+-=p p a n a u a b p1)(1+--=+-p a b p故仅当1<p 时，⎰-b apa x dx)(收敛，其值为1)(1+--+-p a b p（2）因为⎰⎰-=-→1002121lim 1u u x dx x dx|1|ln |1|(ln lim 1u x x u ++-=→|)1|ln |1|(ln lim 1u u u ++-=→。

因最后的极限不存在，故⎰-1021xdx。

（3）因为⎰⎰⎰-+-=-212111|1|x dx xdx x dx⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=→u x u x u 2)1(20)1(2lim 21211 4])1(22)1(22[lim 21211=--+--=→u u u故⎰-2|1|x dx 收敛，其值为4。

（4）因为⎰⎰---=-→122121)1(21lim 1uu x x d dx xx]))1([lim 2121u x u --=→ 1]21)1(1[lim 21=--=→u u故⎰-121dxxx 收敛，其值为1（5）因为⎰⎰-===→→1101)1(ln lim ln lim ln uu u ux x xdx xdx 1)1(lim 0-=+--=→u ulu u因此⎰1ln xdx 收敛，其值为－1。

（6）因为⎰⎰∞++=-10022)1(21dt t t dx x x dt t t uu ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅=∞→0222)1(1112lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=∞→0)1tan (210tan lim 22u t t x axc u t axc u]121tan 21tan [lim 22+--=∞→u u u axc u axc u⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→121arctan 21lim 22u u u u22212ππ=⋅⋅=，故⎰-11dx xx 收敛，其值为2π。

（7）因为⎰⎰--=-1122)21(41x dx xx dx⎰--=12)]21(2[12x dx ⎰--=-=112))21(2(1x u u duππ=⋅=-=-=→22arcsin 21lim arcsin lim 1u u uu uu因此⎰-12xx dx 收敛，其值为π。

（8）当1=p 时，⎰→→+=1001)ln(ln lim )ln(ln lim ln e x u x x x dxu u ϕϕ)]ln(ln )[ln(ln lim )]ln(ln )[ln(ln lim 01εϕϕ-+-=→→u u u)(ln lim )ln(ln lim 01ε→→+=u u u 极限不存在。

当1>p 时，⎰-=-→101101)(ln lim )(ln up x x x dx p u ppu pu -=-→1)(ln lim11极限不存在。

当1<p 时，⎰-=-→101011)(ln lim)(ln up x x x dx p u ppu pu --=-→1)(ln lim10极限不存在。

综上可知：⎰10)(ln px x dx不收敛。

3、举例说明：瑕积分⎰badxx f )(收敛时，⎰badxx f )(2不一定收敛。

解在习题2中，令xx f 1)(=，则⎰⎰=11)(xdx dx x f 收敛，但⎰⎰=10102)(xdxdx x f发散。

4、举例说明：⎰+∞adxx f )(收敛且f 在),[+∞a 上连续时，不一定有0)(lim=+∞→x f x 。

解令⎪⎩⎪⎨⎧=为自然数不为然数x x x x f ,1 ,1)(2则⎰⎰+∞+∞→+∞→=-==1121]1[lim lim)(AAA A x xdx dx x f但极限)(limx f x +∞→不存在。

5、证明：若⎰+∞adxx f )(收敛，且存在极限Ax f x =+∞→)(lim则A=0证因⎰+∞adxx f )(收敛，从而由Cauchy 准则知：⎰+++∞→=1)(lim n a na n dx x f令]),1,[inf(+++=n a n a f a n)]1,([sup +++=n a n a f n β。

则由推广的积分中值定理知：存在],[n n na βλ∈使⎰+++1)(n a na dxx f =nλ因此0lim 8=→nn λ。

由于Ax f x =+∞→)(lim 所以aM >∃>∀,0ε，使得当M x >时，εε+<<-A x f A )(。

取N 使MN a >+，从而当Nn >时，]1,[+++∈∀n a n a x 有εε+<<-A x f A )(。

于是当N n >时有εβλε-≤≤≤≤-A a A n n n 。

可见)(∞→→n A nλ。

故0=A 。

6、证明：若f 在+∞,[a ]上可导，且⎰+∞adxx f )(与dxx f a)('⎰+∞都收敛，则)(lim =+∞→x f x 。

证由⎰+∞'adxx f )(收敛知，任给0>ε，存在a M >，当M x x >''',时，有ε<'⎰xxdx x f )(，即ε<''-'|)()(|x f x f所以，)(limx f x +∞→存在，若记Ax f x =+∞→)(lim，则由上题知0=A。