课题研究数学家和函数32页PPT

《函数》PPT课件

函数连续性判断方法
01
02
03
定义法
根据函数在某点连续的定义，判断函数在该点是否连续。
极限法
通过计算函数在某点的左右极限，判断函数在该点是否连续。
定理法
利用连续函数的性质定理，如介值定理、零点定理等，判断函数的连续性。
闭区间上连续函数性质
01
有界性
闭区间上的连续函数一定有界。
02
最大值和最小值定理
切线斜率，反映了函数在该点的局部变化性质。
可导与连续的关系
可导必连续，连续不一定可导。
基本初等函数求导公式汇总
幂函数
y = x^n（n为实数），其导数为 nx^(n-1)。
对数函数
y = log_a x（a>0 且a≠1），其导数为1/(xlna)。
常数函数
y = c（c为常数），其导数为0。
闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。
03
介值定理
如果函数在闭区间的两个端点取值异号，则函数在该区间内
至少存在一个零点。
04
一致连续性
闭区间上的连续函数具有一致连续性。
04
导数与微分学基础
导数概念及几何意义
导数定义
函数在某一点的变化率，是函数值随自变量增量变化的极限。
导数的几何意义
体积计算
运用定积分或重积分求解立体（如由曲面和平面围成的立体）的体积，需熟悉体积公式及积分方法。
微分方程简介及在物理问题中应用
微分方程基本概念
介绍微分方程的定义、分类及解的概念，为后续应用打下基础。
一阶常微分方程求解
掌握一阶常微分方程的求解方法，如分离变量法、积分因子法等。

《函数》数学PPT课件

经济领域中常见问题建模为函数关系
供需关系
在经济学中，供给和需求是两个重要的概念，它们之间的关系可以用函数来表示。供给函数和需求函数的交点即为市场均衡点。
生产成本与产量的关系
在制造业中，生产成本通常与产量有关。随着产量的增加，单位产品的成本可能会降低，这可以通过一个递减的函数来表示。
投资回报与风险的关系
生活中常见问题建模为函数关系
路程、速度和时间的关系
s = vt，其中s是路程，v是速度，t是时间。这是一个典型的线性函数关系。
温度随时间的变化
在一天中，气温随时间变化而变化，可以建立一个以时间为自变量、气温为因变量的函数关系。
购物总价与数量的关系
总价 = 单价 × 数量。这也是一个线性函数关系，可以通过函数图像来表示。
三角函数定义
正弦、余弦、正切等函数的定义域、值域及基本性质。
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像及其特点，如周期性、振幅、相位等。
三角函数关系
同角三角函数关系式，如平方关系、倒数关系、商数关系等。
三角函数诱导公式和周期性质
诱导公式
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的诱导公式
当a>0时，二次函数有最小值，无最大值；当a<0时，二次函数有最大值，无最小值
在实际问题中，可以通过二次函数的最值来解决最优化问题
03
指数函数与对数函数
指数函数图像与性质
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。
指数函数图像
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x的增大而增大；当0<a<1时，图像在x轴上方，但随着x的增大而减小。

初中数学《函数》优质课ppt北师大版7

，sin )?
33
如何在直角坐标系中如何作点（
，sin
)?
33
y
P
( 3 , sin 3 )
3
o1 M AO
2
x
3
3
探究一：如何画出比较精确的函数
y =sinx, x[0,2]的图象？ y
2 3
2
3
1
5 6
. .
7
.o1 .
6
..
A
o
1 1
6
32
. 7 6
4 3
3 2
5 3
1 1 6
2
2 5
2
1
o
2
3
2
2 x
函数y=1+sinx, x∈[0, 2π]与函数 y=sinx,
x∈[0, 2π]的图象之间有何联系？ y=1+sinx, x∈[0, 2π]
2y
1
o
2
3
2
2 x
解：（2）按五个关键点列表
x cosx -cosx
0
2
1 0 -1
-1 0 1
3 2
2
01
0 -1
y
1
y= -cosx x[0,2]
1
4 3 2
o
1
2
3 4 x
试一试：你能得到函数y =sinx, x[-2,0]的图象吗？
那么，函数y =sinx, x[-4,-2]的图象呢?
利用诱导公式一：sin(x+2k)=sinx, kZ
只要将函数y=sinx, x[0,2]的图象向左、右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数y =sinx, x∈R的图象.

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• 函数的基本概念 • 函数的图像 • 一次函数 • 反比例函数 • 三角函数
01
函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
详细描述
函数是数学中一个基本的概念，它描述了两个变量之间的关系。在一个函数中，每一个自变量的值都有唯一一个因变量的值与之对应。这种关系使得我们可以通过自变量的变化来预测因变量的变化。
02
函数的图像
函数图像的绘制
确定函数表达式
首先需要确定函数的表达式，包括自变量和因
变量。
确定坐标系
选择适当的坐标系，如直角坐标系或极坐标系
。
描点
根据函数的表达式，在坐标系上描出对应的点
。
连线
将描出的点用平滑的曲线连接起来，形成函数
的图像。
函数图像的变换
01
02
03
04
平移
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。
伸缩
将函数图像沿x轴或y轴方向进行伸缩变换，可以放大或缩
小图像。
翻转
将函数图像沿x轴或y轴方向进行翻转，可以翻转图像的方
向。
旋转
将函数图像绕原点旋转一定的角度。
函数图像的应用
解决实际问题
通过函数图像可以直观地分析实际问题中变量之间的关系，
从而解决问题。
比较函数性质
通过比较不同函数的图像，可以直观地了解函数的性质，如增减性、极值等。
函数的表示方法
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法。
详细描述
函数的表示方法有多种，其中最常见的是解析法，即用数学表达式来表示函数。此外，我们还可以使用表格法和图象法来表示函数。表格法是通过列出一系列自变量和因变量的对应值来展示函数关系；图象法则是在坐标系中画出函数的图形，通过图形来直观地展示函数的变化趋势和规律。

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详细描述
详细描述
二次函数的图像是一个完整的抛物线，它有一个顶点，可以通过配方法或顶点式来表示。
二次函数的图像在平面坐标系中是一个连续的曲线，它可以出现在第一、第二或第三象限。
二次函数的性质
总结词
掌握二次函数的性质
详细描述
详细描述
详细描述
二次函数的最值性质：当 $a>0$时，二次函数有最小值；当$a<0$时，二次函数有最大值。最小值或最大值出现在顶点处。
一次函数的值域：根据k和b的值确定。
一次函数的定义域：全体实数。
一次函数的图像
图像是一条直线，通过坐标系上的两个点确定。
当k>0时，图像为上升直线；当k<0时，图像为下降直线。
b值决定了直线在y轴上的截距，b>0时，截距为b；b<0时，截距为-b。
一次函数的性质
01
02
03
斜率
表示函数图像的倾斜程度，k值越大，图像越陡峭。
详细描述
正比例函数具有对称性，其图像关于原点对称。此外，正比例函数还具有单调性，当 k > 0 时，函数在两个象限内单调递增；当 k < 0 时，函数在两个象限内单调递减。
05
二次函数
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义
详细描述
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$的函数，其中$a$、$b$、$c$是常数，且 $a neq 0$。
反比例函数的图像
总结词
直观、形象
详细描述
反比例函数的图像是双曲线，当 k > 0 时，图像为两个分支，分别位于第一象限和第三象限；当 k < 0 时，图像为两个分支，分别位于第二象限和第四象限。

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微分的概念
3 微分是函数在某一点处的
线性逼近，表示函数值随自变量微小变化时的近似值。
Part
04
函数的实际应用
函数在生活中的应用
函数在经济学中的应用
函数可以用来描写经济活动中的各种关系，例如供需关系、消费和收入的关系等，帮助我们理解经济规律和猜测未来的趋势。
函数在计算机科学中的应用
计算机程序中的算法和数据结构可以用函数来表示和实现，函数是计算机科学中实现复杂功能的基础。
通过分析函数图像的对称性、极值点、单调性等性质，可以解析出函数的性质。
利用图像解方程
利用图像研究实际问题
通过视察函数图像与x轴的交点，可以解出函数的方程根。
通过将实际问题转化为数学模型，并利用函数图像进行分析，可以解决一些实际问题。
THANKS
感谢您的观看
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。
伸缩变换
将函数图像在x轴或y轴方向上伸缩一定的比例
。
翻转变换
将函数图像沿x轴或y轴翻折。
旋转变换
将函数图像绕原点旋转一定的角度。
函数图像的辨认与解析
辨认函数类型
ห้องสมุดไป่ตู้
解析函数性质
通过视察函数图像的形状、趋势和特征，可以辨认出函数的类型（如一次函数、二次函数、三角函数等）。
复合函数的单调性
根据复合函数的单调性定理，判断复合函数的单调性。
函数的导数与微分
导数的概念
导数描写了函数在某一点
1
处的切线斜率，是函数值
随自变量变化的瞬时速度
。
微分的计算
4
通过微分的定义和基本初等函数的微分公式，计算函数的微分。

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06
函数的应用
生活中的函数应用
总结词：无处不在
详细描述：函数在日常生活中有着广泛的应用，如计算银行利息、预测天气变化、分析市场趋势等。通过生活中的实例，学生可以更好地理解函数的概念和意义。
数学中的函数应用
总结词：基础工具
详细描述：在数学领域，函数是解决各种问题的基础工具。例如，在几何学中，函数可以描述图形之间的关系；在统计学中，函数可以用来分析数据和预测趋势。
三角函数的性质和应用
三角函数的性质
三角函数具有周期性、对称性和有界性等性质。这些性质使得三角函数在解决实际问题时具有广泛的应用。
三角函数的应用
三角函数在物理学、工程学、经济学等领域都有应用。例如，在物理学中，三角函数用于描述振动、波动和交流电等现象；在工程学中，三角函数用于计算角度、长度和面积等。
05
反比例函数和三角函数
反比例函数的定义和图像
反比例函数的定义
反比例函数是一种函数，其函数形式为f(x)=k/x，其中k是常数且k≠0。当x取正数时，f(x)为正数；当x取负数时，f(x)也为负数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常在坐标系中表现为双曲线。当k>0时，图像位于第一和第三象限；当k<0时，图像位于第二和第四象限。
二次函数的性质和应用
总结词
二次函数的性质及其在实际问题中的应用。
详细描述
二次函数具有对称性、开口方向、顶点和与坐标轴交点等性质。在实际问题中，二次函数可以用于解决最优化问题、建模和预测等。例如，在物理学中，二次函数可以用于描述自由落体运动、振动等现象。在经济学中，二次函数可以用于分析成本、收益和利润等。
b的取值决定了直线在y轴上的截距，即y轴上的点（0

数学家与函数

数学是门高深的学科，它所涉及到的领域也很广，学好数学可以提高人们的逻辑推理思维能力和形成敏锐的洞察力，在这个世界上，有很多为数学做出贡献的科学家，他们这都是值得我们学习的人。

在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。

纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关。

正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化。

回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说，虽然不可能有较深的理解，但无疑对加深理解课堂知识、激发学习兴趣将是有益的。

最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。

最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如都叫函数。

以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。

1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。

”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数。

贝努利所强调的是函数要用公式来表示。

后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上。

只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准。

1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。

”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。

由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。

他认为：“函数是随意画出的一条曲线。

”当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度。

他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。

1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。