一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件

一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件
在上面第1楼的帖子中，证明了这样一个定理：
第1楼帖子中定理 正整数 M 能表示成两个整数平方和的充分必要条件是：M 的素因子分解式中，所有形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数。

注意，这个定理中说的是“整数平方和”，不是“正整数平方和”，所以，像 22039+=，
2
2
0749+= ，2
2
021441+= 这样的两整数平方和，都算是符合定理要求的。

如果我们希望把上面这种带 0 的整数平方和的例子排除在外，把定理中的“整数平方和”改为“正整数平方和”，那么，定理又会是怎么样的呢？ 为了证明这样的定理，下面先证明一个引理。

引理 若有 222z y x =+ ，其中 z y x ,, 都是正整数，1),(=y x ，
则必有正整数 q p , ，1),(=q p ，而且 q p , 一奇一偶，使得 2
2
q p z += 。

证 y x , 不会都是奇数，否则 22y x + 是形为 24+n 的数，不可能等于 2z 。

又因为
1),(=y x ，y x , 也不会都是偶数，所以 y x , 必定一奇一偶，不妨设 x 是奇数，y 是
偶数，这时 z 显然也是奇数，而且 x z > ，1),(=z x 。

因为 x z , 都是奇数，x z > ，所以
2
x z + ，
2
x z - 显然都是正整数。

这时有
2
2
22
2
2
)2
(2
2
)2
)(
2
(y y x z x z x z ==
-=
-+ 。

因为 y 是偶数，所以
2
y
是整数。

又因为 1),(=z x ，所以 1)2,2(
=-+x
z x z ，所以2)2(y 中的任何一个素因子，或者全部在 2x z + 中，或者全部在 2x z - 中。

由于 2
)2
(y 中
的素因子的幂次都是偶数，所以
2
x z + ，
2
x z - 中的素因子的幂次也都是偶数，可见
2
x z + ，
2
x z - 都是完全平方数。

设 2
x z p +=
，2
x z q -=
，因为
2
x z + ，
2
x z - 都是完全平方数，所以 q
p ,都是正整数，而且有 z x z x z q p =-+
+=
+2
2
2
2
，x x z x z q p =--
+=
-2
2
2
2。

假如 1),(>=d q p ，则 1),(222>=d q p ，22q p z += ，22q p x -= 就有公因子 12>d ，与 1),(=z x 矛盾，所以必有 1),(=q p 。

假如 q p , 都是奇数或 q p , 都是偶数，则 22q p z += ，22q p x -= 显然都是偶数，与 1),(=z x 矛盾，所以 q p , 必定是一奇一偶。

定理 正整数 M 能表示成两个正整数平方和的充分必要条件是要满足下列两条： （1）M 的素因子分解式中，所有形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数。

（2）如果 M 的素因子分解式中，不含有形为 14+n 的素因子，则必有 M 22z = ，其中 z 是正整数。

证 先证明充分性。

如果 M 中不含有形为 14+n 的素因子，则 M 22z =22z z += ，显然这时 M 可以表示成两个正整数的平方和。

如果 M 中含有形为 14+n 的素因子，再加上已知 M 中形为 14-n 的素因子的幂指数都是偶数，只要仿照第1楼帖子中定理的推导过程，就可证明这时 M 能表示成两个正整数的平方和。

再证明必要性。

设已知 M 能表示成两个正整数的平方和，有 M 22y x += 。

由第1楼帖子中定理可知，这时 M 中所有形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数。

所以只要证明“如果 M 中不含有形为 14+n 的素因子，则必有 M 22z =”就可以了。

因为 M 中不含有形为 14+n 的素因子，而所有形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数，所以，M 只有两种可能：或者有 M 22z = ，或者有 M 2z = 。

下面用反证法证明：
当 M 中不含有形为 14+n 的素因子时，不可能有 M 2
2y x +=2z = 。

假设有 M 2
2y x +=2z = ，其中 z y x ,, 都是正整数。

设 d y x =),( ，将 z y x ,, 都除以 d ，则有 2
22)()()(d
z d y d x =+ ，1),
(
=d
y d
x 。

所以，下面只要考虑 1),(=y x 的情形就可以了。

在满足 2
2
y x +2z =，z y x ,, 都是正整数，1),(=y x 的解中，总可以找到 z 最小的一组解。

显然 1≠z ，所以必有 2z z < 。

因为 22
y x +2
z =，z y x ,, 都是正整数，1),(=y x ，所以根据上面的引理，可知必
有正整数 q p , ，1),(=q p ，而且 q p , 一奇一偶 ，使得 22q p z += 。

因为 q p , 一奇一偶，所以 22q p z += 是奇数，不含有因子2 。

因为 M 2z = 中不含形为 14+n 的素因子，所以 z 中也不含形为 14+n 的素因子。

又因为 z 可以表示为两个正整数的平方和，由第1楼帖子中定理可知，这时，z 中形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数。

由此可见，z 是一个完全平方数，所以必有正整数 1z ，使得 2221q p z z +== 。

由于 221z z z <= ，所以 z z <1 ，这就与“在满足 22y x +2z = ，1),(=y x 的解中，z 最小”发生矛盾。

因此，假设 M 22y x +=2z = 不能成立，这时只可能有 M 22z = 。