2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

2016年湖南省普通高中学业水平考试试卷
数 学
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 图1是某圆柱的直观图，则其正视图是
A ．三角形
B ．梯形
C ．矩形
D ．圆
2. 函数cos ,y x x R =∈ 的最小正周期是
A ．2π
B ．π
C ．2π
D ．4
π 3. 函数()21f x x =- 的零点为
A ．2
B ．12
C ．12
- D ．2- 4. 执行如图2所示的程序框图，若输入a, b 分别为4, 3，
则输出的S =
A ．7
B ．8
C ．10
D ．12
5. 已知集合{|13},{|25}M x x N x x =<<=<< ，
则M N =
A ．{|12}x x <<
B ．{|35}x x <<
C ．{|23}x x <<
D ．φ
6. 已知不等式组4,0,0x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩
表示的平面区域为Ω ，则下列坐标对应的点落在区域Ω内
的是
A ．(1,1)
B ．(3,1)--
C ．(0,5)
D ．(5,1)
7. 已知向量(1,)a m =，(3,1)b =， 若a b ⊥，则m =
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
8. 已知函数()y x x a =- 的图象如图3所示，则不等式()0x x a -<的解集为
A ．{|02}x x ≤≤
B ．{|02}x x <<
C ．{|0x x ≤或2}x ≥
D ．{|0x x <或2}x >
9. 已知两直线20x y -=和30x y +-= 的交点为M ，
则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是
A ．22(1)(2)1x y +++=
B ．22
(1)(2)1x y -+-=
C ．22(2)(1)1x y +++=
D ．22(2)(1)1x y -+-=
10. 某社区有300户居民，为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年每月的用水量(单位：t)进行分析，得到这
些住户月均用水量的频率分布直方图（如
图4），由此可以估计该社区居民月均用
水量在[4,6) 的住户数为
A ．50
B ．80
C ．120
D ．150
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分2，0分.
11. 若sin 5cos αα=，则tan α=____________.
12. 已知直线1:320l x y -+= ，2:10l mx y -+=. 若12//l l ，则m =________.
13. 已知幂函数y x α=（α为常数）的图象经过点(4,2)A ，则α= ________.
14. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 若2a =，3b =，1cos 4
C =- ，则c =_______.
15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集若干数据，并对数据进行分析，得到加工时间(min)y 与零件数x （个）的回归方程为0.6751y x =+ . 由此可以预测，当零件数为100个时，加工时间为__________.
三、解答题：本大题共5小题，满分40分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分6分)
从一个装有3个红球123,,A A A 和2个白球12,B B 的盒子中，随机取出2个球.
（1）用球的标号列出所有可能的取出结果；
（2）求取出的2个球都是红球的概率.
17. (本小题满分8分)
已知函数2()(sin cos ),f x x x x R =+∈ .
（1）求()4
f π
的值； （2）求()f x 的最小值，并写出()f x 取最小值时自变量x 的集合.
18. (本小题满分8分)
已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a += .
（1）求1a 及n a ；
（2）若等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =， 求数列{}n n a b +的前n 项的和n S .
19. (本小题满分8分)
如图5，四棱锥P ABCD - 的底面是边长为2的菱形，PD ⊥ 底面ABCD .
（1）求证：AC ⊥ 平面PBD ；
（2）若2PD = ，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45 ，求四棱锥P ABCD -的体积.
20. (本小题满分10分)
已知函数()log a f x x = (0a >，且1a ≠ )，且(3)1f = .
(1) 求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；
(2) 设()(1)(1)g x f x f x =+-- ，判断()g x 的奇偶性，并说明理由；
(3) 若不等式(4)(2)x x
f t f t ⋅≥- 对任意[1,2]x ∈ 恒成立，求实数的取值范围.
2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题4分，满分40分)
1. C
2. A
3. B
4. D
5. C
6. A
7. A
8. B
9. D 10. C
二 、填空题(每小题4分，满分20分)
11. 5 12. 3 13. 12
14. 4 15. 118 三 、解答题(满分40分)
16. 【解析】(1) 所有可能的取出结果共有10个： 12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，
21A B ，22A B ，31A B ，32A B ，12B B . …… 3分
（2）取出的2个球都是红球的基本事件共有3个：12A A ，13A A ，23A A .
所以，取出的2个球都是红球的概率为
310
. …… 6分 17. 【解析】()12sin cos 1sin 2f x x x x =+=+ . (1) ()1sin 242f ππ
=+= . …… 4分
(2) 当sin 21x =- 时，()f x 的最小值为0，此时222x k π
π=-+ ，即
()4x k k Z π
π=-+∈ .
所以()f x 取最小值时x 的集合为{|,}4x x k k Z π
π=-+∈. …… 8分
18. 【解析】(1) 由126a a +=，得126a d +=. 又2d =，所以12a =，… 2分 故22(1)2n a n n =+-= . …… 4分
(2) 依题意，得122,24b b q ===，即2q =，所以2n n b =. 于是22n n n a b n +=+ .
故2(242)(222)n n S n =+++++++212 2.n n n +=++- ……… 8分
19.【解析】(1) 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥ .
又因为PD ⊥ 底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥.
故 AC ⊥ 平面PBD . …… 4分
(2) 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PBD ∠是直线PB 与平面ABCD 所成的角.
于是45PBD ∠=，因此2BD PD == ，又2AB AD == ，所以菱形ABCD 的面积为sin 602 3.S AB AD =⋅⋅=
故四棱锥P ABCD -的体积13V S PD =⋅= …… 8分 20.【解析】(1) 由(3)1f = ，得log 31a = ，所以3a = . …… 2分
函数3()log f x x =的定义域为(0,)+∞. …… 4分
(2) 33()log (1)log (1)g x x x =+--，定义域为(1,1)-.
因为33()log (1)log (1)()g x x x g x -=--+=-，所以()g x 是奇函数. …… 7分
(3) 因为函数3()log f x x =在(0,)+∞上是增函数，所以. 不等式(4)(2)x x f t f t ⋅≥-
对任意[1,2]x ∈ 恒成立，等价于不等式组
40,()20,
()42.()
x x x x t i t ii t t iii ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅≥-⎩对任意[1,2]x ∈ 恒成立. 由()i 得0t >；由()ii 得2x t <，依题意得2t <；由()iii 得2114122x x x x
t ≥=++. 令2x u =，则[2,4]u ∈. 易知1y u u =+ 在区间[2,4]上是增函数，所以1y u u
=+在区间[2,4]上的最小值为52，故1122
x x +的最大值为25，依题意，得25t ≥. 综上所述，t 的取值范围为225
t ≤<. …… 10分。