等距节点插值公式
2.2.2,2.2.3牛顿插值法
f0 f [ x0 , x1 ,, xk ]( x x j ) f [ x , x0 , x1 ,, xn ]( x x j )
k 1 j 0 j 0
华长生制作 12
n
k 1
n
N n ( x) f [ x , x0 , x1 ,, xn ]( x x j )
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
f k f k f k 1
k 1,2 ,, n
为f ( x)在 xk 处的一阶向后差分
2 fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
华长生制作
j 0
n
Nn ( x) Rn ( x)
f ( n1) ( ) n1 ( x) f [ x, x0 , x1 ,, xn ]n 1 ( x) 因此 Rn (x) (n 1)!
一般
Rk (x) f [ x0 , x1 ,, xk 1 ]k 1 ( x)
(3) 当f（k ) ( x)在包含节点 0 , x1 ,, xk的区间存在时 x ,
在x0 , x1 ,, xk 之间必存在一点 , 使得
f [ x0 , x1 ,, xk ]
华长生制作
f
(k )
( ) k!
用余项的 相同证明
7
差商的计算方法(表格法):
xk f ( xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
kn
f ( n 1) ( ) 另外 f [ x , x0 , x1 ,, xn ] ( n 1)!
f ( k ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xk ] k!
差分与等距节点插值法
∆k f 0 [ k!
∏ (t − j )]
j =0
k −1
其余项 化为
f ( n +1) (ξ ) ω n +1 ( x) Rn (x ) = (n + 1)! f ( n + 1 ) (ξ ) n + 1 h ∏ (t − j ) Rn ( x0 + th ) = ( n + 1)! j =0
n
∇k fk = k!⋅hk
7
Ｎewton向前(差分)插值公式
如果节点 x0 , x1 ,⋯ , xn是等距节点,即 b−a xk = x0 + kh , k = 0 ,1,⋯ , n , h = n
Newton插值公式为
N n (x ) = f 0 + ∑ f [ x0 , x1 ,⋯ , xk ]ω k ( x )
(k ) 1
xk ≤ x ≤ xk + 1
k = 0 ,1,⋯ , n − 1
f ′′(ξ ) ω 2 ( x ) ≈ f [ xk , xk + 1 , xk + 2 ]ω 2 ( x ) R ( x) = 2!
( (2) N 2k ) ( x) = f k + f [ xk , xk + 1 ]( x − xk ) + f [ xk , xk + 1 , xk + 2 ]( x − xk )( x − xk + 1 )
k −1
插值余项为
f (ξ ) n + 1 h ∏ (t + j ) Rn ( xn + th ) = ( n + 1)! j =0
( n + 1)
11
第三章 2等距节点插值和差分
§2 等距节点插值和差分摘要：在等距节点情况下，通过使用差分可减少Newton 插值公式的计算量。
本节首先介绍等距节点下的差分公式、差分与差商之间关系，根据待估值点x 的位置不同，引入表初公式、表末公式和Bessel 公式，最后说明在使用差分计算插值时需注意的两点：（1）不宜用高阶差分公式；（2）差分公式是一个不稳定的计算公式。
等距节点：1,1,2,,i i x x h i n +-==，h 称为步长2.2.1 差分概念一阶差分：()()()1i i i f x f x f x +∆=- 二阶差分：()()()21i i i f x f x f x +∆=∆-∆ … … … …k 阶差分：()()()111k k k i i i f x f x f x --+∆=∆-∆()()()()()()()()()123110231(1)(1)ki i k i k i k i k k k i i kk jk j j k k f x f x kf x f x x kf x f x k f x j ++-+-+--+-+=⎛⎫⎛⎫∆=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2.2.2 差分与差商关系定理2.2.1 在等距节点的情况下 ()()1121,,,,!k k k k f x f x x x x h k +∆=.利用归纳法证明这个公式是在Newton 公式中使用差商的基础 2.2.3 差分表()()()()()()()()()()()()()()()11221233212344321234554321x f x x f x f x x f x f x f x x f x f x f x f x x f x f x f x f x f x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆2.2.4 根据待估值点x 的位置不同选择不同的计算公式 给定等距节点组：{}12,,,n x x x● 表初公式：如果x 在节点中最小的那个节点附近 节点选取：1213111,,2,,.k x x x h x x h x x kh +=+=+=+x 的表示：1x x ph =+牛顿公式：()(1)(1)(1)2111112!!10.p p p p p k k k kjj P x ph f p f f f p f j --⋅⋅-+=+=+∆+∆++∆⎛⎫=∆ ⎪⎝⎭∑例2.2.1 有函数表x 0.5 0.6 0.7 0.8 f(x) 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 求f(0.54).解：差分表(1)(1)(2)23!0.540.5,0.1,0.4(0.54)0.47940.0852(0.0056)(0.0008)0.5142p p p p p x ph h p P p ---==+===+⨯+-+-=● 表末公式：如果x 在最大节点附近 节点选取与编号：010200(max),,2,,.k x x x h x x h x x kh ---=-=-=-x 的表示：0x x ph =-牛顿公式：()()(1)(1)(1)200122!!0()(1)1.p p p p p k kk kk kjjj j P x ph f x p f f f p f j --⋅⋅-+----=-=-∆+∆++-∆⎛⎫=-∆ ⎪⎝⎭∑● 贝塞尔(Bessel)公式：如果x 在中间节点附近 节点选取与编号：121012,,,,,,,,k k k x x x x x x x -+-+-第一种组序：01122(1),,,,,,k k x x x x x x x ----，Newton 公式1：()1121200011212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--==++-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 第二种组序：()10211,,,,,,k k x x x x x x ---Newton 公式2：()112120110111212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--+==+-+-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ Bessel 公式：（Newton1+Newton2）/2()12101002211111/222211.22k j j j j jk j j j p j f f p P x ph f j j f f p j j -+-=---+=+-⎛⎫+-+=+∆+ ⎪+⎝⎭∆+∆+-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑Bessel 公式适合计算01,01x x x p <<<<，特别是12p =.()2244011021102132821282f f f f f f P x h ---+∆+∆∆+∆+=-++ 例 2.2.2 表2.10求()f 0.525Bessel 公式的截断误差：取2n 个节点()()22(2)22(1)11111(1),2!2222n n n nf R x n n h n x x ξξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<< 2.2.5 差分公式的缺点1）高阶差分容易造成有效数字的丢失，见表2.10 原因？2）差分容易扩大传播误差3322321123230012323411012332422110232433201123364x y x y y x y y y x y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y εεεεεεεεεεεεε------------------∆∆∆+∆+∆+∆+∆-∆-∆-∆-∆∆+∆-∆+∆∆-∆∆-。
第四节差分与等距节点插值公式
第四节差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值是数值计算中常用的一种插值方法，它使用离散的节点以及节点处的函数值，通过差分运算得到函数的近似值。
在本节中，将介绍差分和等距节点插值的基本思想和公式，并给出一些具体的例子和应用。
差分与等距节点插值的基本思想是利用函数在节点上的值来近似函数在其他点上的值，而节点之间的间隔是相等的。
具体来说，我们可以通过计算函数在节点上的导数来近似函数在其他点上的导数，进而得到函数在其他点上的近似值。
一维差分插值的基本公式是拉格朗日插值公式。
设函数f(x)在等距节点x0, x1, ..., xn上的值分别为y0, y1, ..., yn，则拉格朗日插值公式可以表示为：f(x) ≈ P(x) = ∑[(x - xi) / (xj - xi)] * yj其中，i ≠ j，∑表示对j的求和，xi表示节点的值，xj表示其他任意点的值，yj表示其他节点处函数的值。
多维差分插值的基本公式也是类似的。
设函数f(x1, x2, ..., xn)在等距节点(xi1, xi2, ..., xin)上的值分别为yij，则多维拉格朗日插值公式可以表示为：f(x1, x2, ..., xn) ≈ P(x1, x2, ..., xn) = ∑[∏(xk - xik) / (xjk - xik)] * yij其中，∏表示对k的连乘，i ≠ j，xi1, xi2, ..., xin表示节点的值，xj1, xj2, ..., xjn表示其他任意点的值，yij表示其他节点处函数的值。
差分与等距节点插值在实际应用中有广泛的用途。
例如，在数值微分中，我们可以使用差分公式来近似计算函数在特定点上的导数。
其中，常用的差分公式有中心差分公式、向前差分公式和向后差分公式。
中心差分公式通过函数在相邻两个节点上的值来近似计算函数在中间点的导数。
向前差分公式通过函数在当前节点和下一个节点上的值来近似计算函数在当前点的导数。
3.差分与等距节点的插值公式解析
f(xn) △f(xn-1)
计算方法四③
4/58
向后差分表
x x0 y f(x0) 一阶差分 二阶差分 ...... n阶差分
x1
x2 x3 ... xn
f(x1) ▽f(x1)
f(x2) ▽ f(x2) f(x3) ▽ f(x3) ... ...... f ( x n) ▽ f ( x n) ▽ 2f(x2) ▽ 2f(x3) ...... ▽ 2f(xn)
▽fi=fi –fi-1
...... ...... ...... ▽ nf ( x n)
计算方法四③
5/58
例3:
已知函数y=sinx的如下函数表， xi sin(xi) 0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.6 0.56464
建立差分表 解: x y 0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.6 0.56464
f(0.6)
计算方法四③
向前差分表 一阶差分
f(0.4)
向后差分表 二阶差分
▽ 2f(0.6) -0.00480 △2f(0.4)
▽f(0.5) 0.09001 △f(0.4)
0.08521
▽f(0.6)
▽ 2f(0.6)
6/58
例4 证明当节点xi是等距离(xi=x0+ih,yi=f(xi)) 时，差分与差商存在如下关系： n
x
x0 x1 x2 x3
y
f ( x 0)
一阶差分 二阶差分
△fi=fi+1 -fi △2f(x0) △2f(x1)
......
n阶差分
f(x1) △f(x0) f(x2) △f(x1) f(x3) △f(x2) ......
等距节点Newton插值公式
等距节点Newton插值公式
插商与差分的关系
（1）用前插表示N(x)
在等距节点条件下有：
f [x0 , x1]
f
( x1 ) x1
f (x0 x0
)
1 h
f0
f [ x0 , x1,x2 ]
f [ x1, x2 ]) f [ x0 , x1]) x2 x0
1 h
f1
1 h
f 0
2h
1 2!h 2
数值计算方法
1)...(t
n)
f
( n 1)
(
),
(x0 , x0 h)
（2）用后插表示N(x)
如果将节点x0 , x1,...,xn到排序为：xn , xn1,...x0 , 则Newton插值公式为： Nn (x) f (xn ) (x xn ) f [xn , xn1]
(x xn )(x xn1) f [xn , xn1, xn2 ] ... (x xn )(x xn1)...(x x1) f [xn , xn1,...x1, x0 ] 同样有：
2 f0
一般有
f [ x0 , x1,...,xn ]
1 n!h n
n
f0
若令x x0 th,则Newton插值公式和余式具有形式
Nn (x) Nn (x0 th)
f0
t 1!
f0
t
(t 2!
1)
2
f0
.
.
.
t
(t
1)
...(t n!
n
1)
n
f0
Rn
(x)
h n 1 t(t
(n 1)!
0.032 585
-0.148 411
已知等距节点的插值型求积公式
已知等距节点的插值型求积公式等距节点的插值型求积公式是一种数值积分方法，它可以在一段区间上对函数进行积分。
这种方法使用等距节点，即在确定的区间上使用同样间隔的节点，然后通过插值方法来近似原函数，最终得到积分结果。
以下是已知等距节点的插值型求积公式的详细解释。
首先，我们需要确定插值点的数量和位置。
等距节点的插值型求积公式通常使用n个等距节点，每个节点的间距为h。
插值点的位置可以表示为x0, x1, x2... xn-1，其中x0是区间的左端点，xn-1是右端点。
接下来，我们需要使用Lagrange插值多项式来近似原函数。
Lagrange插值多项式是一个n次多项式，用于在n个给定点上插值。
对于等距节点的插值型求积公式，Lagrange插值多项式的形式为：L(x) = Σf(xi)Li(x)其中，f(xi)是在插值点xi处的函数值，Li(x)是拉格朗日插值基函数。
拉格朗日插值基函数可以表示为：Li(x) = Π(j=0,j!=i) ((x-xj)/(xi-xj))其中，Π代表乘积，j!=i表示j不等于i。
然后，我们需要对Lagrange插值多项式进行积分，从而得到插值型求积公式。
插值型求积公式的形式为：∫f(x)dx ≈∫L(x)dx = hΣf(xi)wi其中，wi是插值点xi处的权重，它们的值可以通过求解以下方程组得到：Σwi = nΣxiwi = 0Σ(x^2i)wi = (n^2-1)/3通过解方程组，我们可以得到每个插值点的权重，从而得到插值型求积公式。
该公式可以用于对函数进行数值积分，从而得到近似的积分值。
总之，已知等距节点的插值型求积公式是一种使用n个等距节点的Lagrange 插值多项式来近似原函数，并通过对多项式进行积分得到的数值积分方法。
它可以用于对函数进行数值积分，从而得到近似的积分值。
差分与等距结点插值公式 共16页
向前差分 fkfk1fk
例 如f： [xk,xk1]
f(xk1)f(xk)fk
xk1xk
h
fk1 h
f[xk,xk1,xk2]
f[xk2,xk1]f[xk1,xk] xk2xk
h 1(fk1fk)
2h
22hf2k
h 1(fk2fk1) 2h
2 2h fk 22
xk fk=f(xk)
x0
f0
x1
f1
x2
f2
x3
f3
x4
f4
…
…
向前差分表
fk 2fk 3fk
f0
f1 2f0
f2 2f1 3f0
f3 2f2 3f1
…
…
…
4fk ……
4f0
…
…
向后差分表
xk fk=f(xk) ▽fk ▽2fk ▽3fk ▽4fk ……
x0
f0
x1
性质4：差分和导数的关系。 m f k m ! h m f [ x k , x k 1 , , x k m ] h m f ( m ) ( ) x k x k m
3、差分表的构造
f[x k ,x k 1 , ,x k m ] m ! 1 h m m fk m ! 1 h m m fk m(m 1 值的线性组合。
例如：