离散数学版屈婉玲(答案)

《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑)
1.答：（2），（3），（4）
2.答：（2），（3），（4），（5），（6）
3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是
（4）是，T （5）不是（6）不是
4.答：（4）
5.答：⌝P ，Q→P
6.答：P(x)∨∃yR(y)
7.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))
8、
c、P→(P∧(Q→P))
解：P→(P∧(Q→P))
⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))
⇔⌝P∨P
⇔ 1 (主合取范式)
⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）
d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))
解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))
⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))
⇔ P∨Q∨R
⇔ M0 (主合取范式)
⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、
b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)
证明：
（1） P 附加前提
（2） Q 附加前提
（3） P→(Q→R) 前提
（4） Q→R （1），（3）假言推理
（5） R （2），（4）假言推理
（6） R→(Q→S) 前提
（7） Q→S （5），（6）假言推理
（8） S （2），（7）假言推理
d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P
证明、
(1) P 附加前提
（2） P→⌝Q 前提
（3）⌝Q （1），（2）假言推理
（4） Q∨⌝R 前提
(5) ⌝R （3），（4）析取三段论
(6 ) R∧⌝S 前提
（7） R （6）化简
（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取
所以该推理正确
10.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。

解：原式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x))→(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))
⇔⌝(∀x)(⌝F(x)∨G(x)) ∨(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))
⇔ (∃x)((F(x)∧⌝ G(x)) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)
⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)
⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀y) ⌝F(y)
⇔ (∃x) (∀y) (F(x) ∨G(x) ∨⌝F(y))
（集合论部分）
1、答：(4)
2.答：32
3.答：（3）
4. 答：（4）
5.答：（2），（4）
6、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：
a、A⋂ (B－C)＝(A⋂B)－(A⋂C)
证明：
(A⋂B)－(A⋂C)= (A⋂B)⋂~（A⋂C）=(A⋂B) ⋂（~A⋃~C）
=(A⋂B⋂~A)⋃(A⋂B⋂~C)= A⋂B⋂~C=A⋂（B⋂~C）
=A⋂（B-C）
b、(A－B)⋃(A－C)=A－(B⋂C)
证明：
(A-B)⋃(A-C)=(A⋂~B)⋃(A⋂⋂~C) =A⋂ (~B ⋃~C)
=A⋂~（B⋂C）= A-(B⋂C)
（二元关系部分）
1、答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}
2.答：R R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}
R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝
3.答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,
<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}
4.
答：R 的关系矩阵=⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000010000
00001 R 1
-的关系矩阵=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000010000000001
5、解：
（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};M R =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛001101000;它是反自反的、反对称的、
传递的；
（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};M R =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛011101110;它是反
自反的、对称的；
（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};M R =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛100001110;它既不是自反的、也
不是反自反的、也不是对称的、也不是反对称的、也不是传递的。

6、解：
R 诱导的划分为{{1,5},{2,4},{3,6}}。

7．画出下列集合关于整除关系的哈斯图.
(1){1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. (2){1,2,…..,9}.
并指出它的极小元，最小元，极大元，最大元。

在图（1）极小元，最小元是1，极大元，最大元是24；
在图（2）中极小元，最小元是1，极大元是5，6，7，8，9，没有最大元。

第5章 函数
1.解
(1){<1，a >，<2，a >
，<3，c >}的定义域为A ，值域为{a ，c }。

又由于它满足单值性，所以它是函数，但因为1和2都对应a ，它不是单射，{a ，c }≠B ，它不是满射。

(2){<1，c >，<2，a >，<3，b >}的定义域为A ，值域是B 。

又由于它满足单值性，所以它是函数，且是单射。

满射和双射。

(3){<1，a >，<1，b >，<3，c >}的定义域为A ，值域是B 。

由于它不满足单值性，所以它不是函数，更不是单射、满射和双射。

(4){<1，b >，<2，b >，<3，b >}的定义域为A ，值域是{b }。

由于它满足单值性，所以它是函数，因为1、2和3都对应b ，所以它不是单射，由于{b }≠B ，所以它不是满射。

2.解
(1)不同的函数共n m 个。

(2)显然当|m |≤|n |时，存在单射。

(3)显然当|n |≤|m |时，存在满射。

(4)显然当|m |＝|n |时，才存在双射。

3.解
因为g f (x )＝f (g (x ))＝f (3x ＋1)＝3(3x ＋1)＝9x ＋3，h g (x )＝g (h (x ))＝g (3x ＋2)＝3(3x ＋2)＋
1＝9x＋7，所以g f＝{<x，9x＋3>|x∈Z}，h g＝{<x，9x＋7>|x∈Z}。