减治法堆排序
堆排序的几种方法
堆排序的几种方法堆排序是一种基于堆数据结构的排序算法，具有稳定且时间复杂度为O(nlogn)的特点。
本文将介绍堆排序的几种方法，包括建堆和调整堆两个关键步骤。
一、建堆建堆是堆排序的第一步，其目的是将无序的数组构建成一个堆。
堆是一种完全二叉树，分为大顶堆和小顶堆两种类型。
在大顶堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值；而在小顶堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
建堆的方法有多种，其中最常用的是从最后一个非叶子节点开始，依次向上调整每个节点的位置，直到根节点。
具体步骤如下：1. 从最后一个非叶子节点开始，向上遍历每个节点。
2. 对于当前节点，比较其与左右子节点的大小关系，如果子节点较大（或较小），则将当前节点与子节点交换位置。
3. 重复步骤2，直到当前节点满足堆的性质，或者到达叶子节点。
二、调整堆建堆完成后，数组的第一个元素一定是堆中的最大（或最小）值。
为了得到有序的数组，需要将第一个元素与最后一个元素交换位置，并对剩余元素进行堆调整。
这样，每次交换后，最大（或最小）值就会被放置在正确的位置上。
调整堆的方法有多种，其中最常用的是从根节点开始，依次向下调整每个节点的位置，直到叶子节点。
具体步骤如下：1. 将第一个元素与最后一个元素交换位置。
2. 缩小堆的范围，即排除已经有序的元素。
3. 对剩余元素进行堆调整。
从根节点开始，比较其与左右子节点的大小关系，如果子节点较大（或较小），则将当前节点与子节点交换位置。
4. 重复步骤3，直到当前节点满足堆的性质，或者到达叶子节点。
三、堆排序的优化方法除了基本的建堆和调整堆方法外，还有一些优化方法可以提高堆排序的效率。
以下是几种常见的优化方法：1. 堆的初始化：在建堆之前，先对数组进行预处理，将数组中的元素调整为局部有序，可以减少后续建堆的时间复杂度。
2. 堆的调整：在调整堆的过程中，可以使用迭代的方式代替递归，以减少函数调用的开销。
3. 堆的选择：在每次交换堆顶元素和最后一个元素后，可以选择将最后一个元素排除在堆的范围之外，从而减少调整堆的次数。
算法设计与分析部分算法伪代码
第三章 蛮力法1.选择排序SelectionSort(A[0..n-1])for i=0 to n-2 domin=ifor j=i+1 to n-1 doif A[j]<A[min]min=jswap A[i] and A[min]2.冒泡排序BubbleSort(A[0..n-1])// 输入：数组A，数组中的元素属于某偏序集// 输出：按升序排列的数组Afor i=0 to n-2 dofor j=0 to n-2-i doif A[j+1]<A[j] swap A[j] and A[j+1]3.改进的冒泡算法ALGORITHM BubbleSortImproved( A[0,…,n –1] )// 冒泡排序算法的改进// 输入：数组A，数组中的元素属于某偏序集// 输出：按升序排列的数组Afor i ← 0 to n – 2 doflag ← Truefor j ← 0 to n – 2 – i doif A[j+1] < A[j]swap(A[j], A[j+1])flag ← False// 如果在某一轮的比较中没有交换，则flag为True，算法结束returnif flag = True4. 顺序查找算法算法 SwquentialSearch2(A[0...n],k)//顺序查找算法的实现，它用了查找键来作限位器//输入：一个n个元素的数组A和一个查找键K//输出：第一个值等于K的元素的位置，如果找不到这样的元素就返回 -1A[n]<--ki<--0while A[i]!=K doi<--i+1if i<n return iElse return -15. 蛮力字符串匹配算法 BruteForceStringMatch(T[0...n-1],P[0...m-1])//该算法实现了蛮力字符串匹配代表一段文本//输入：一个n个字符的数组T[0...n-1]// 一个m个字符的数组P[0..m-1]代表一个模式//输出：如果查找成功的话，返回文本的第一个匹配字串中第一个字符的位置， // 否则返回-1For i<--0 to n-m doj<--0While j<m and P[j]=T[i+j]doj<--i+1If j=m return ireturn -1合并排序最差Θ(nlog2n)快速排序最优Θ(nlog2n)最差Θ(n2)平均Θ(1.38nlog2n)选择排序 Θ(n2)冒泡排序 Θ(n2)插入排序最差Θ(n2)最优 Θ(n)平均 Θ(n2)第四章 分治法合并排序算法 MergeSort(A[0..n-1] )排序 // 递归调用mergesort来对数组 A[0...n-1]// 输入：一个可排序数组A[0..n-1]// 输出：非降序排列的数组A[0..n-1]if n > 1n/2 -1]copy A[0.. n/2 -1] to B[0..n/2 -1]copy A[ n/2 ..n-1] to C[0..MergeSort( B )MergeSort( C )Merge( B,C,A )两个数组合并的算法算法 Merge(B[0..p-1],C[0..q-1],A[0..p+q-1])//将两个有序数组合并成一个有序的数组和C[0...q-1]//输入：两个有序数组B[0...p-1]//输出：A[0..p+q-1]中已经有序存放了B和C中的元素 i=0,j=0,k=0;while i<p and j<q do≤C[j]if B[i]A[k]=B[i], i=i+1elseA[k]=C[j], j=j+1k=k+1if i=pcopy C[j..q-1] to A[k..p+q-1]elsecopy B[i..p-1] to A[0..p+q-1]快速排序算法QuickSort(A[l..r])// 使用快速排序法对序列或者子序列排序或者序列本身A[0..n-1]// 输入：子序列A[l..r]// 输出：非递减序列Aif l < rs ← Partition( A[l..r] )QuickSort( A[l..s-1] )QuickSort( A[s+1..r] )//s是中轴元素/基准点，是数组分区位置的标志实现分区的算法Partition( A[l..r] )// 输入：子数组A[l..r]// 输出：分裂点/基准点pivot的位置p ← A[l]i ← l; j ← r+1repeat≥ prepeat i ←i + 1until A[i]≤ prepeat j ← j – 1 until A[j]swap( A[i], A[j] )≥ juntil iswap( A[i], A[j] )swap( A[l], A[j] )return j折半查找BinarySearch( A[0..n-1], k )// 输入：已排序大小为n的序列A，待搜索对象k// 输出：如果搜索成功，则返回k的位置，否则返回-1 l=0,r=n-1;While l≤rmid= (l+r)/2if k = A[mid] return midelse if k < A[mid] r=m-1else l=m+1return -1Strassen矩阵Strassen方法M1=A11(B12-B22)M2=(A11+A12)B22M3=(A21+A22)B11M4=A22(B21-B11)M5=(A11+A22)(B11+B22)M6=(A12-A22)(B21+B22)M7=(A11-A21)(B11+B12)第五章 减治法插入排序ALGORITHM InsertionSort( A[0..n-1] )// 对给定序列进行直接插入排序// 输入：大小为n的无序序列A// 输出：按非递减排列的序列Afor i ← 1 to n-1 dotemp ← A[i]j ← i-1while j ≥ 0 and A[j] > temp doA[j+1] ← A[j]j ← j –1A[j+1] ←temp深度优先查找算法 BFS（G）//实现给定图的深度优先查找遍历//输入：图G=<V,E>//输出：图G的顶点，按照被DFS遍历第一次访问到的先后次序，用连续的整数标记，将V中的每个顶点标记为0，表示还“未访问”count =0//记录这是第几个访问的节点标记为 unvisitedmark each vertex with 0//∈ V dofor each vertex vif v is marked with 0dfs(v)dfs(v)//递归访问所有和v相连接的未访问顶点，然后按照全局变量count的值//根据遇到它们的先后顺序，给它们附上相应的数字count = count + 1mark v with countv dofor each vertexw adjacent toif w is marked with 0dfs(w)广度优先BFS(G)/实现给定图的深度优先查找遍历//输入：图G=<V,E>//输出：图G的顶点，按照被BFS遍历第一次访问到的先后次序，用连续的整数标记，将V中的每个顶点标记为0，表示还“未访问”count =0mark each vertex with 0for each vertex v∈ V dobfs(v)bfs(v)//递归访问所有和v相连接的未访问顶点，然后按照全局变量count的值//根据遇到它们的先后顺序，给它们附上相应的数字count = count + 1mark v with countinitialize queue with vwhile queue is not empty doa = front of queuefor each vertex w adjacent to a doif w is marked with 0count = count + 1mark w with countadd w to the end of the queueremove a from the front of the queue拓扑排序第六章 变治法Gauss消去法GaussElimination(A[1..n], b[1..n])// 输入：系数矩阵A及常数项 b// 输出：方程组的增广矩阵等价的上三角矩阵for i=1 to n doA[i][n+1] =b[i]for j= i+1 to n dofor k = i to n+1 do– A[i][k]*A[j][i]/A[i][i]A[j][k] = A[j][k]堆排序堆排序主要包括两个步骤：对于给定的数组构造相应的堆。
C++减治法查找范围整数
while(x<k1-1||y>k2-1) { int temp; int f1,f2;//存储最小和最大数的下标 f1=x; f2=y; for(int i=x; i<=y; i++) { if(a[f1].data>a[i].data) f1=i; if(a[f2].data<a[i].data) f2=i; } if(x<k1-1) { temp=a[x].data; a[x].data=a[f1].data; a[f1].data=temp; a[x].flag=0; x++; } if(y>k2-1) { temp=a[y].data; a[y].data=a[f2].data; a[f2].data=temp; a[y].flag=0; y--; } } } void Show(Mat &a,int n,int k1,int k2)
四、实验结果：
该算法的时间复杂度取决于n的大小和输入的 K1、K2的情况，最好情况是K1、K2恰好在输入的 无序列表的两端，此时不做运算，直接输出，时间 复杂度为O(0)。最坏情况是K1=K2=n/2时，此时做 n/2次运算，时间复杂度为O(n/2)。
{ cout<<"第"<<k1<<"小到"<<k2<<"小之间的所有整数有:"; for(int i=0; i<n; i++) { if(a[i].flag) cout<<a[i].data<<" "; } cout<<endl; } void main() { int choice; cout<<" 1: 执行程序！ 2: 退出程序！"<<endl; do { cout<<"请选择你的操作:"; cin>>choice; switch(choice) { case 1: { int n; int k1,k2; cout<<"请输入无序列表n的大小:"; cin>>n; cout<<"请输入无序列表中的所有整数:"; for(int i=0; i<n; i++) { a[i].flag=1; cin>>a[i].data; } cout<<"请输入k1，k2的值:"; cin>>k1>>k2;
减治法解决堆排序
算法分析实验报告减治法-堆排序学生姓名：专业：班级：学号:指导教师：2017年6月12日目录一、实验题目 (2)二、实验目的 (2)三、实验要求 (2)四、实现过程 (3)1、实验设计： (3)2、调试分析： (6)3、运行结果：........ 错误!未定义书签。
4、实验总结： (7)五、参考文献 (7)一、实验题目减治法-堆排序二、实验目的1、了解和掌握减治法的设计思想。
2、了解各种经典问题的减治思想。
三、实验要求1.[问题描述]：应用堆排序方法对一个记录序列进行升序排列。
2.[算法]：减治法：减治法是把一个大问题划分为若干个子问题，但是这些子问题不需要分别求解，只需求解其中的一个子问题，因而也无需对子问题的解进行合并。
减治法将原问题分解为若干个子问题，并且原问题（规模为n）的解与子问题（规模通常是n/2或n-1）的解之间存在某种确定的关系，这种关系通常表现为：（1）原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中；（2）原问题的解与其中一个较小规模的解之间存在某种对应关系。
由于原问题的解与较小规模的子问题的解之间存在这种关系，所以，只需求解其中一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。
减治法只对一个子问题求解，并且不需要进行解的合并。
应用减治法（例如减半法）得到的算法通常具有如下递推式：T(n)={0；n=1 T(n/2)+1 ；n>1}分治法需要对分解的子问题分别求解，再对子问题的解进行合并，而减治法只对一个子问题进行求解，并且不需要进行解的合并。
所以，通常来说，应用减治法处理问题的效率是很高的，一般是O(logn)数量级。
四、实现过程1、实验设计：1.堆排序是利用堆得特性进行排序的方法，其基本思想是：首先将待排列的记录序列构造成一个堆，此时，堆顶记录是堆中所有记录的最大者，将它从堆中移走，然后将剩余记录再调整成堆，这样又找出了次大记录，依次类推，直到堆中只有一个记录为止。
2.图解过程3.算法实现void SiftHeap(int r[],int k,int n) {int i,j,temp;i=k;j=2*i+1;while(j<n){if(j<n-1&&r[j]<r[j+1])j++;if(r[i]>r[j])break;else{temp=r[i];r[i]=r[j];r[j]=temp;i=j;j=2*i+1;}}}void HeapSort(int r[],int n)int i,temp;for(i=(n-1)/2;i>=0;i--)SiftHeap(r,i,n);for(i=1;i<=n-1;i++){temp=r[0];r[0]=r[n-i];r[n-i]=temp;SiftHeap(r,0,n-i);}}2、调试分析：算法Sift将根结点与左右子树的根结点进行比较，若不满足堆的条件，则将根结点与左右子树根结点的较大者进行交换，所以，每比较一次，需要调整的完全二叉树的问题规模就减少一半，因此，其时间性能是O（㏒₂n）。
第7章 减治法(《算法设计与分析(第3版)》C++版 王红梅 清华大学出版社)
比较对象，若 k 与中间元素相等，则查找成功；若 k 小于中间元素，则在中间元
算 法 设
计
素的左半区继续查找；若 k 大于中间记录，则在中间元素的右半区继续查找。不
与 分
析
断重复上述过程，直到查找成功，或查找区间为空，查找失败。
（ 第
版 ）
k
清 华
大
学
[ r1 … … … rmid-1 ] rmid [ rmid+1 … … … rn ] （mid=(1+n)/2）
Page 4
3
7.1.2 一个简单的例子——俄式乘法
【问题】俄式乘法（russian multiplication）用来计算两个正整数 n 和 m 的乘积
，运算规则：如果 n 是偶数，计算 n/2×2m；如果 n 是奇数，计算(n-1)/2×2m＋
m；当 n 等于 1 时，返回 m 的值。
算
法
俄式乘法的优点？
与 分 析
2. 测试查找区间［low，high］是否存在，若不存在，则查找失败，返回 0；
（ 第
3. 取中间点 mid = (low+high)/2; 比较 k 与 rmid，有以下三种情况：
版 ）
3.1 若 k < rmid，则 high = mid - 1；查找在左半区进行，转步骤2；
清 华
3.2 若 k > rmid，则 low = mid + 1；查找在右半区进行，转步骤2；
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7.2.2 选择问题
【想法】假定轴值的最终位置是 s，则： （1）若 k=s，则 rs 就是第 k 小元素； （2）若 k<s，则第 k 小元素一定在序列 r1 ~ rs-1 中； （3）若 k>s，则第 k 小元素一定在序列 rs+1 ~ rn 中。
关于清除五堆实施方案
关于清除五堆实施方案清除五堆实施方案。
为了改善环境质量，保护生态环境，提升城市形象，我们制定了清除五堆实施方案。
五堆指的是乱堆、乱倒、乱扔、乱堆放、乱搭建。
这些不文明行为严重影响了城市的整体形象和环境卫生，需要采取有效措施进行清除和整治。
首先，我们将加强宣传教育工作，提高市民的环保意识和文明素质。
通过举办环保知识讲座、宣传栏、社区宣传等方式，让市民了解乱堆、乱倒等行为对环境和城市形象的危害，引导他们养成良好的环境卫生习惯，自觉抵制乱堆行为。
其次，我们将加大执法力度，加强对乱堆、乱倒等行为的监督和处罚。
建立健全相关执法制度，加强巡查和监督力度，对发现的乱堆、乱倒等行为进行严肃处理，依法处以相应的罚款或行政处罚，形成震慑效应，减少此类行为的发生。
同时，我们将加强环境整治工作，对城市中已存在的乱堆、乱倒等现象进行清理和整治。
通过组织环卫工人和志愿者开展环境整治行动，清理城市中的乱堆、乱倒垃圾和废弃物，改善城市环境卫生状况，提升城市整体形象。
此外，我们还将加强监督管理，建立健全长效机制，加强对城市环境卫生的监督和管理。
建立环境卫生督查制度，加强对环卫工作的监督检查，及时发现和解决环境卫生问题，确保城市环境卫生工作的持续改善。
最后，我们将加强与社区和居民的沟通和合作，形成良好的环保氛围。
通过开展环保主题活动、建立环保志愿者队伍等方式，积极引导和组织居民参与环保行动，共同维护城市环境卫生，共建美丽家园。
综上所述，清除五堆实施方案是一项全方位、多措并举的工作，需要全社会的共同努力和参与。
只有通过持续不懈的努力，才能彻底改变城市环境卫生状况，建设更加美丽宜居的城市。
让我们携起手来，共同为清除五堆，美化城市环境而努力！。
分冶法
f ( n) n 1 ( n ), d 1
d
T (n) 2T (n / 2) ( n 1)
a b 2, d 1, a b
d
d
T ( n) ( n lg n)
解递推方程得精确解： T (n) n log2 n n 1
10:39
13／42
减一技术
原问题(规模 n) (1) 子问题(n-1) (n-1)解 (n) 解 扩展解
无解
折 半 查 找
原问题解
插 入 排 序
10:39
22／42
插入排序（Insertion Sort）
任务：对 n 个元素作插入排序（规模 n） 减一策略 ——自顶向下：规模减小 ① 规模减小：规模减一，即 n-1 ② 求解：解 n-1规模子问题 ③ 扩展解：n-1规模解扩展为 n规模解 扩展方法的不同，有不同的插入排序 减一过程递归进行，直到 规模 = 1或0 为止 实现方法 —— 自底向上：规模增大 为便于实现，规模从 0 或 1 增加到 n
1, n 2 T ( n) k 2T ( n / 2) 1, n 2
10:39
7／42
分治法的一般时间效率分析 规模 n , 每次分为 a 个子问题，子问题规模相等 n/b 为简化分析, 不妨设 n = bk, k = 1, 2, 3, ...
通用分治递推式
c , n t 常量时间（基本操作次数） T ( n) aT ( n / b) f ( n), n t , a 1, b 2, c 0 f (n) : 分解时间 + 合并时间
平均 Tavg (n) 2n ln n 1.38n log2 n (n log2 n) 效率
智慧树知道网课《算法分析与设计(山东联盟)》课后章节测试满分答案1
第一章测试1【判断题】(10分)一个问题的同一实例可以有不同的表示形式A.错B.对2【判断题】(10分)同一数学模型使用不同的数据结构会有不同的算法，有效性有很大差别。
A.错B.对3【判断题】(10分)问题的两个要素是输入和实例。
A.对B.错4【单选题】(10分)算法与程序的区别是（）A.有穷性B.确定性C.输出D.输入5【单选题】(10分)解决问题的基本步骤是（）。
（1）算法设计（2）算法实现（3）数学建模（4）算法分析（5）正确性证明A.(3)(1)(5)(4)(2)B.(3)(4)(1)(5)(2)C.(1)(2)(3)(4)(5)D.(3)(1)(4)(5)(2)6【单选题】(10分)下面说法关于算法与问题的说法的是（）。
A.算法是一种计算方法，对问题的每个实例计算都能得到正确答案。
B.证明算法不正确，需要证明对任意实例算法都不能正确处理。
C.如果一个算法能应用于问题的任意实例，并保证得到正确解答，称这个算法解答了该问题。
D.同一问题可能有几种不同的算法，解题思路和解题速度也会显著不同。
7【多选题】(10分)下面关于程序和算法的说法正确的是（）。
A.算法的每一步骤必须要有确切的含义，必须是清楚的、无二义的。
B.程序总是在有穷步的运算后终止。
C.程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。
D.算法是一个过程，计算机每次求解是针对问题的一个实例求解。
8【多选题】(10分)最大独立集问题和（）问题等价。
A.最大团B.稳定匹配问题C.区间调度问题D.最小顶点覆盖9【多选题】(10分)给定两张喜欢列表，稳定匹配问题的输出是（）。
A.完美匹配B.最大匹配C.稳定匹配D.没有不稳定配对10【单选题】(10分)问题变换的目的有（）。
(1)复杂变简单(2)未知变已知(3)隐式变显式(4)难解变易解（5）以上都是。
A.（5）B.（1）C.（2）D.（3）E.（4）11【单选题】(10分)按照霍纳法则，计算p(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x1+a0的数量级为____。