1-1LP模型的结构及建模步骤及标准型
模型制作方法
模型制作方法
1. 确定模型尺寸和比例，根据实际需求确定模型的尺寸和比例，可以通过测量或计算来确定模型的大小，确保模型与实际对象或概念的比例一致。
2. 准备材料和工具，根据模型的要求，准备相应的材料和工具，例如木材、塑料、胶水、剪刀、刀具等。
确保材料和工具的质量和适用性。
3. 制作模型框架，根据模型的结构和形状，利用合适的材料制作模型的框架，可以采用拼接、粘合、雕刻等方法进行制作，确保框架的稳固和准确。
4. 添加细节和装饰，根据实际对象或概念的特征，添加模型的细节和装饰，可以采用绘画、贴纸、雕刻等方法进行装饰，使模型更加逼真和生动。
5. 完善模型表面处理，对模型的表面进行处理，可以进行打磨、涂装、上光等工艺，使模型的表面光滑、均匀、美观。
6. 完成模型组装，将各部分制作好的模型组装在一起，确保各部分之间的连接稳固，整体结构完整。
7. 检查和修正，完成模型制作后，进行全面检查，发现问题及时修正，确保模型的质量和准确度。
以上就是模型制作的基本步骤，通过这些步骤，我们可以制作出符合要求的模型。
当然，不同类型的模型制作方法会有所不同，但总体的制作思路是相似的。
希望以上内容对您有所帮助，谢谢阅读！。
LP数学模型
【LP数学模型】max/min z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn满足(a1,1)x1+ (a1,2)x2+...+ (a1,n)xn≤（≥,=）b1(a2,1)x1+ (a2,2)x2+...+ (a2,n)xn≤（≥,=）b2...(am,1)x1+ (am,2)x2+...+ (a1,m)xn≤（≥,=）bmxj≥0，对一切j本章单纯形算法，将针对目标为求极小值且约束都转换为等式的问题而设计。
【算法思想】一、求最优解１. 找出线性规划问题的初始基本可行解x，列出初始单纯形表。
单纯形表的特点是，解的变量对应的约束方程系数构成单位矩阵。
如有线性规划问题min z=-40x1-45x2-24x3满足 2x1+3x2+x3+x4 =1003x1+3x2+2x3 +x5=120xj≥0, j=1,2,3如果约束全部都是“≤”型，那么松驰变量的约束系数恰构成单位矩阵，即松驰变量构成了基变量。
如果表中没有单位矩阵，则可加入人工变量，以形成单位矩阵。
但需保证在最优解中不包含任何人工变量。
其初始单纯形表为━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━cj -40 -45 -24 0 0━━━━━━━┳━━━━━━━━━━━━━━c′ x′ b ┃ x1 x2 x3 x4 x5━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━0 x4 100 ┃ 2 3 1 1 0x5 120 ┃ 3 3 2 0 1━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━z ┃ 0 0 0 0 0cj-zj ┃40 45 24 0 0━━━━━━━┻━━━━━━━━━━━━━━２. 判别x是否已达到最优。
判断的准则是：如果还存在任一非基变量，将它引入基内，即令它取大于零的值，能使目标函数值有所改进，那么x就不是最优解。
即对于求极小值问题，存m在xj，有cj-Σ ci'aij＜0，则现行基本可行解x尚未达到最优。
i=1式中ci,为第i行基变量目标函数系数。
第1章LP数学模型
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可
行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
线性规划问题的数学模型
例1.6 下面为某线性规划的约束
x1 2 x2 x3 1
2
x1
x2
x4 3
x1
,
, x4 0
请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2
3.约束条件：
5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
x1， x2≥0
线性规划问题的数学模型
例1.2 已知资料如下表所示， 问如何安排生产才能使利润 最大？或如何考虑利润大， 产品好销。
设备
产品
AB C
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
原问题 min z 2 x1 x2 3 x3
5 x1 x2 x3 7
x1 x2 4 x3 2 3 x1 x2 2 x3 5
解：本例中，A
1 2
2 1
1 0
10 ，A中的2阶可逆子阵有
1 B1 0
0 1
，其相应的基向量为P3
,
P4
,
基变量为x3
,
x4 B2 2
2 1
，其相应的基向量为P1
,
P2
,
基变量为x1
,
x2
,
X
B2
x1 x2
1-1LP模型的结构及建模步骤及标准型
单位时耗(小时/吨) 资源设备 搅拌机 成型机
Ⅰ
Ⅱ
每天现 有工时 15 5
3 2
4 1
烘箱
利润(百元/吨)
2
5
2
4
11
约束条件
例1中建模的过程(小结)
(1)决策变量：x1为饼干I的生产数量，x2为饼干II的生产数量。 (2)目标函数：目标是企业利润最大化 max Z= 5x1 +4x2 (3)约束条件：生产受设备能力制约，能力需求不能突破有效供给量。 搅拌机的工时限制的约束条件表达为 3x1+ 4x2 ≤15 同理，成型机的工时限制约束条件表达为 2x1+ x2 ≤5 烘箱的工时限制，其约束条件为 2x1+ 2x2 ≤11 非负约束：产品的产量为非负
为了达到该目标 ，怎么利用现有 资源才最好呢?
2012年9月8日9时15分
如何利用现有资源才最好？
光华食品厂主要生产葱油饼干（Ⅰ型）和苏打饼干（Ⅱ型）。设 根据销售部门提供的信息可知，目前这两种饼干在市场上都很备 畅销，该厂能生产多少，市场就能卖出多少。但从生产部门得， 知，有三种关键设备即搅拌机、成型机、烘箱的生产能力，限现 制了该厂的饼干生产。该公司每天生产这两种饼干的量应为多有 少，可使其利润最大。其具体数据如表所示： 工 时 辨认哪些是决策的关 受 单位时耗(小时/吨） Ⅰ Ⅱ 每天现有工时 键影响因素？在选取 资源设备 限 这些关键因素时存在 3 4 15 制 搅拌机
LP模型：
m a x Z 5 x1 4 x 2 3 x1 4 x 2 1 5 2 x1 x 2 5 s.t. 2 x1 2 x 2 1 1 x , 2012年9月8日9时15分 1 x2 0
线性规划基本概念及模型构建
LP （Linear Programming）Alex 有一个家庭农场。
除了农场上的农作物以外，他还饲养了一些猪拿到市场上出售，猪可获得的饲料及其所含成分如下表：Alex如何喂养猪更好？成分/每公斤玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物蛋白质维他命成本(美分)903010842080207240606060200180150问题1：科学养猪线性规划建模（猪饲料的配方）饲养成本最小--- 每天玉米、槽料、苜蓿各喂多少公斤？--- 必须满足要求12--- 追求成本最低 Min. 84x 1+ 72x 2+ 60x 33x 1x 2x 3知识点 建模三要素决策变量约 束目标 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 20030x 1+ 80x 2+ 60x 3 ≥ 18010x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150x i ≥0 , i =1，2，3成分/每公斤玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物蛋白质维他命成本(美分)903010842080207240606060200180150s.t. 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 20030x 1 + 80x 2+ 60x 3 ≥ 18010x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150x i ≥0 , i =1,2,3Min . 84x 1+ 72x 2+ 60x 3目标函数约束函数符号中必含等号符号的右侧为常数线性--变量均为1次方Max. 或 Min.线性--所有变量均为1次方常规约束：变量非负！知识点 模型表示？线性规划模型能求解出来吗？能！--- 万能的单纯形法结合软件 QSB应用知识点 线性规划建模三步骤领任务—需要你拍板定方案（决策变量）有啥规定吗（约束函数）若干方案满足规定，怎么评价谁好（目标函数）Alex 经营着一个幼儿园。
市场上可获得的食材成分如下表：Alex 如何养孩更好？成分/每公斤牛肉（1）西红柿（2）…山药（108）每日需求量限制碳水化合物（1）蛋白质（2）…维他命（56）成本(元)9030…10642080…205……………4060…6018不低于200不超过180…刚好150（配餐方案）饲养成本最小知识点 线性规划建模训练1—科学养孩决策变量 --- 每天牛肉、西红柿、…、山药各喂多少公斤？约束 --- 必须满足要求。
模型构建法基础知识点总结
模型构建法基础知识点总结本文将从模型构建的基本流程、常用的模型类型、模型评估以及一些常用的模型构建工具等方面展开介绍，希望能为初学者提供一些帮助。
一、模型构建的基本流程模型构建的基本流程一般包括数据收集、数据清洗和预处理、特征工程、模型选择和训练、模型评估等步骤。
下面将对每个步骤进行具体介绍。
1. 数据收集数据收集是模型构建的第一步，它涉及到从各种数据源中获取数据。
常见的数据源包括数据库、文本文件、网络数据等。
在数据收集过程中需要注意数据的完整性和准确性，以确保后续模型构建的质量。
2. 数据清洗和预处理数据清洗和预处理是模型构建的重要环节。
在这个阶段需要处理缺失值、异常值、重复值等问题，同时还需要对数据进行标准化、归一化、转换等处理。
这些工作能够提高数据的质量，减少模型构建的干扰。
3. 特征工程特征工程是模型构建的关键环节，它涉及到从原始数据中提取和选择最能代表现象或者对预测目标有帮助的特征。
常见的特征工程包括特征选择、特征变换、特征组合等。
4. 模型选择和训练模型选择和训练是模型构建的核心环节。
在这一阶段需要根据业务需求选择合适的模型类型，然后使用训练数据对模型进行训练。
常见的模型类型包括线性模型、决策树、神经网络、支持向量机等。
5. 模型评估模型评估是模型构建的最后一步，它涉及到使用测试数据对训练好的模型进行评估。
常见的评估指标包括准确率、精确率、召回率、F1值等。
二、常用的模型类型在模型构建中，常见的模型类型包括线性回归模型、逻辑回归模型、决策树模型、随机森林模型、支持向量机模型、神经网络模型等。
下面将对每种模型类型进行具体介绍。
1. 线性回归模型线性回归模型是一种用来描述自变量和因变量之间线性关系的模型。
它的表达式为y =w1*x1 + w2*x2 + ... + wn*xn + b，其中w1, w2, ..., wn和b是模型参数。
2. 逻辑回归模型逻辑回归模型是一种用来描述分类问题的模型。
1-1一般LP问题的数学模型
1. 目标函数为求极大值； 2. 约束条件全为等式； 3. 约束条件右端常数项全为非负； 4. 决策变量取值非负。
s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn ＝b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn ＝bm x1, x2, ……, xn ≥0
Max z=2x1+3x2 s.t. x1+x2≤3 x2≤1 x1, x2≥0
(A)
Min z’=-2x1-3x2 s.t. x1+x2≤3 x2≤1 x1, x2≥0
(B)
它们的最优解都是x1=2, x2=1，但(A)的最大化的目标函数 值为max z=7，(B)的最小化的目标函数值为min z’=-7
一、 线性规划模型的举例
1、生产计划问题
例1 某厂生产甲乙两种产品，生产工艺路线为：各自的零部
件分别在设备A、B加工，最后都需在设备C上装配。经测算 得到相关数据如表所示。应如何制定生产计划，使总利润为 最大。 产品 工时消耗 生产能力 h 设备 甲 乙 A 2 0 16 B 0 2 10 C 3 4 32
max(min) z CX s.t . AX ( , )b X ()0, Free
MaxZ =CX s.t. AX=b X≥0
5.线性规划问题的标准化 ①极小化目标函数转化为极大化 ②小于等于约束条件转化为等号约束
③大于等于约束条件转化为等号约束
1.1 数学模型 1.2 图解法
2.5m 1.3m Ⅰ 3 0 Ⅱ 2 2 Ⅲ 1 4 Ⅳ 03
0.2
设按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根数分别为xj (j=1， 2,3,4)，可列出下面的数学模型：
例：某商场决定：营业员每周连续工作 5天后连续休息2天，轮流 休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1-2所示。
表1-2 营业员需要量统计表
星期 一
需要人数 300
星期 五
需要人数 480
二
三 四
300
350 400
六
日
600
550
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员 最少。
解: 设xj(j=1，2，…，7)为星期j 开始上班的营业员人数，则这个 问题的线性规划模型为
（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
1.1 数学模型
Mathematical Model 生产计划问题 人力资源分配问题 套裁下料问题
配料问题
投资问题
1. 生产计划问题。
例：某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别 要在A、B、C、D四种不同的设备上加工。按工艺资 料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如 下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业 总的利润最大？
5 投资问题 某投资公司拟将5000万元的资金用于国债、地 方国债及基金三种类型证券投资，每类各有两种。每种证 券的评级、到期年限及每年税后收益率见下表。
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单位时耗(小时/吨) 资源设备 搅拌机 成型机 烘箱 利润(百元/吨)
Ⅰ
Ⅱ
每天现 有工时 15 5 11
3 2 2 5
4 1 2 4
约束条件
例1中建模的过程(小结) 中建模的过程(小结)
(1)决策变量 (1)决策变量：x1为饼干 的生产数量，x2为饼干 的生产数量。 决策变量： 为饼干I的生产数量 的生产数量， 为饼干II的生产数量 的生产数量。 (2)目标函数：目标是企业利润最大化 目标函数： max Z= 5x1 +4x2 (3)约束条件：生产受设备能力制约，能力需求不能突破有效供给量。 约束条件：生产受设备能力制约，能力需求不能突破有效供给量。 搅拌机的工时限制的约束条件表达为 3x1+ 4x2 ≤15 同理， 同理，成型机的工时限制约束条件表达为 2x1+ x2 ≤5 烘箱的工时限制，其约束条件为 烘箱的工时限制， 2x1+ 2x2 ≤11 非负约束： 非负约束：产品的产量为非负 x1 ≥0， x2 ≥0
2012年3月14日10时5分
如何安排生产 使利润最大
？
产品 I
产品 2
2012年3月14日10时5分
例1 资源利用问题
光华食品厂主要生产葱油饼干（Ⅰ型）和苏打饼干（Ⅱ型）， 销售利润分别为500元/吨和400元/吨。根据销售部门提供的信 息可知，目前这两种饼干在市场上都很畅销，该厂能生产多少， 市场就能卖出多少。但从生产部门得知，有三种关键设备即搅 拌机、成型机、烘箱的生产能力，限制了该厂的饼干生产。该 公司每天生产这两种饼干的量应为多少，可使其利润最大？其 具体数据如表所示：
xi1 + xi 2 + xi 3 = ai ; i = 1, 2
x1 j + x2 j = b j ; j = 1, 2,3
蕴含约束：数量非负 xij ≥ 0; i = 1, 2, j = 1, 2,3
2012年3月14日10时5分
建立数学模型
目标函数
min s.t.
∑∑ c x
i =1 j =1
单位时耗(小时 吨 单位时耗 小时/吨） 小时 Ⅰ 资源设备 Ⅱ
4 1 2 4
每天现有工时
15 5 11
2012年3月14日10时5分
搅拌机 成型机 烘箱 利润（百元 吨 利润（百元/吨）
3 2 2 5
例1 资源利用问题
max Z = 5 x1 + 4 x2 3 x1 + 4 x2 ≤ 15 2 x + x ≤ 5 1 2 s.t. 2 x1 + 2 x2 ≤ 11 x1 , x2 ≥ 0
哪些资源和环境的限 成型机 烘箱 ？ 制
利润（百元/吨）
2 2 5
1 2 4
5 11
2012年3月14日10时5分
Step.3
Step3 --表示约束条件 --表示约束条件
搅拌机的工时限制： 搅拌机的工时限制： 3x1 + 4x2≤15 成型机的工时限制： 成型机的工时限制： 2x1 +x2≤5 烘箱的工时限制： 烘箱的工时限制： 2x1 +2x2≤11 非负约束： 非负约束：产量非负 x1 ≥0, x2 ≥0
x 1
x2
2012年3月14日10时5分
为了达到该目标 ，怎么利用现有 资源才最好呢? 资源才最好呢
2012年3月14日10时5分
如何利用现有资源才最好？ 如何利用现有资源才最好？
光华食品厂主要生产葱油饼干（Ⅰ型）和苏打饼干（Ⅱ型）。设 根据销售部门提供的信息可知，目前这两种饼干在市场上都很备 畅销，该厂能生产多少，市场就能卖出多少。但从生产部门得， 知，有三种关键设备即搅拌机、成型机、烘箱的生产能力，限现 制了该厂的饼干生产。该公司每天生产这两种饼干的量应为多有 少，可使其利润最大。其具体数据如表所示： 工 时 辨认哪些是决策的关 受 单位时耗(小时/吨） Ⅰ Ⅱ 每天现有工时 键影响因素？ 键影响因素？在选取 资源设备 限 这些关键因素时存在 3 4 15 搅拌机 制
重点与难点： 重点与难点 如何建立线性
规划问题的数学模型？(建模条 件、步骤及相应的技巧)
教学目标：掌握建模的步骤 教学目标：
和方法，能根据实际背景抽象和 建立适当的线性规划模型。
2012年3月14日10时5分
例1 资源利用问题
光华食品厂主要生产葱油饼干（Ⅰ型）和苏打饼干（Ⅱ型）， 销售利润分别为500元/吨和400元/吨。根据销售部门提供的信 息可知，目前这两种饼干在市场上都很畅销，该厂能生产多少， 市场就能卖出多少。但从生产部门得知，有三种关键设备即搅 拌机、成型机、烘箱的生产能力，限制了该厂的饼干生产。该 公司每天生产这两种饼干的量应为多少，可使其利润最大？其 具体数据如表所示：
x 1
x2
2012年3月14日10时5分
Step.2
Step2 --定义目标函数 --定义目标函数
问题—>目标： — 光华食品厂每天生产这两种饼干的量应为多少， 可使其利润最大？
目标函数： 目标函数：max Z=5x1＋4x2
单位时耗(小时/吨） 资源设备 搅拌机 成型机 烘箱 利润（百元/吨） 3 2 2 5 4 1 2 4 15 5 11 Ⅰ Ⅱ 每天现有工时
2
3
ij ij
xi1 + xi 2 + xi 3 = ai ; i = 1, 2
x1 j + x2 j = b j ; j = 1, 2,3
xij ≥ 0; i = 1, 2, j = 1, 2,3
2012年3月14日10时5分
线性规划模型--线性规划模型--- 运输问题
一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库 Ai ; i = 1,2 发送到零售点 B j ; j = 1,2,3,4 ，仓库 Ai 能供应的 产品数量为 ai ; i = 1,2 ，零售点 B j 所需的产品的数量为
b j ; j = 1,2,3,4 。假设供给总量和需求总量相等，且已知
从仓库 Ai 运一个单位产品往 B j 的运价为 cij 。 问应如何 组织运输才能使总运费最小？
2012年3月14日10时5分
分析
运输问题模型
决 策 变 量 ： 从 仓 库 Ai 运 往 B j 的 产 品 数 量
x ij ; i = 1,2, j = 1,2,3,4
max Z = 5 x1 + 4 x2 3x1 + 4 x2 ≤ 15 2 x + x ≤ 5 1 2 s.t. 2 x1 + 2 x2 ≤ 11 x1 , x2 ≥ 0
2012年3月14日10时5分
线性规划模型的三要素
总结பைடு நூலகம்
决策变量 问题中要确定的未知量，表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决定和控制。 一般取值要求非负 目标函数 目标函数是决策变量的线性函数 有的目标要实现极大，有的则要求极小 约束条件 指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制通常把 各种限制条件表达为一组等式或不等式称约束条件 约束条件是决策变量的线性函数 当数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不 等式时称此数学模型为线性规划模型。 2012年3月14日10时5分
2012年3月14日10时5分
线性规划问题建模步骤
总结
1. 确定决策变量
根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；
2. 写出目标函数
由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函 数；
3. 确定约束条件
由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的 约束条件。
2012年3月14日10时5分
运筹学的工作步骤
x1 = 1 （吨） , x2 = 3 （吨 ） , max Z = 1700 （元）
即：生产 葱油饼干(Ⅰ型) 1吨 苏打饼干(Ⅱ型) 3吨 企业利润：1700元
2012年3月14日10时5分
本节重点和难点及教学目标
Linear Programming problem and its Models
设为
目标：总运费最小 目标函数 min z= ∑ ∑ cij x ij
i =1 j =1 2 4
约束条件： 从仓库运出总量不超过可用总量， 运入零售点的数量不低于 需求量。由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即
x i1 + x i 2 + x i 3 + x i 4 = a i ; i = 1,2 x1 j + x 2 j = b j ; j = 1,2,3,4
max Z = 5 x1 + 4 x2 3 x1 + 4 x2 ≤ 15 2 x + x ≤ 5 1 2 s.t. 2 x1 + 2 x 2 ≤ 11 x1 , x 2 ≥ 0
2012年3月14日10时5分
LP模型： LP模型： 模型
用数学语言完整描述
解：用变量x1和x2分别表示光华食品厂生产饼干 用变量 I和饼干 的数量。 和饼干II的数量 和饼干 的数量。 目标函数 约束条件
种硫酸价格分别为400, 700, 1400, 1900, 2500元/t， 若5种硫酸价格分别为 种硫酸价格分别为 元 ， 如何使费用最小？ 如何使费用最小？
min Z = 400 x1 + 700 x2 + 1400 x3 + 1900 x4 + 2500 x5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 100 s.t. 0.3 x1 + 0.45 x2 + 0.73x3 + 0.85 x4 + 0.92 x5 = 0.8 ×100 x ≥ 0, j = 1, 2,...5 j