2020-2021学年辽宁省实验中学高二(上)期末数学试卷
辽宁省实验中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题
辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期期中阶段测试高三年级数学试卷考试时间120分钟试题满分150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}2,5B =，则()U A B = ð（）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,32．若p ：(210x x ++≥，q ：2x ≥-，则p 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．幂函数()f x x α=（α是有理数）的图像过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的一个单调递减区间是（）A ．[)0,+∞B ．()0,+∞C ．(],0-∞D ．(),0-∞4．欧拉公式cos sin xie x i x =+（其中i 为虚数单位，R x ∈），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥。
依据欧拉公式，3ie π-的共轭复数为（）A ．1322i +B ．1322i -C ．1322i -+D ．1322--5．已知角α终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则的值为（）A ．1B ．75C ．95D ．1356．在平行四边形ABCD 中，23BAD π∠=，2AB =，1AD =，E 为AB 的中点，若BF BC λ= ，且AF DE ⊥，则λ=（）A ．1-B ．12C ．1D ．27．已知函数()11x x e f x e -=+，若对任意的正数a ，b ，满足()()220f a f b +-=，则21a b +的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．88．在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()2b a ac =+，则b ca+的取值范围为（）A ．()1,5B ．)1.5+C ．()2+D ．)2+二、多选题．本大题共4小题，每小题5分，甚20分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法正确的是（）A ．m ，n 是异面直线，若m α∥，m β∥，n α∥，n β∥，则αβ∥B ．若αβ∥，m α∥，则m β∥C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β∥，则αβ⊥10．关于函数()32sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．由()()120f x f x ==，可得12x x -必是23π的整数倍B ．()2cos 34f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭C ．()f x 图像可由2sin 3y x =向右平移34π个单位得到D ．()f x 在5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数11．《九章算术》是我国古代数学中的经典，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD a ==，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE ．以下结论正确的有（）A ．DE ∥平面PAB B ．四面体EBCD 是鳖臑C ．若阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，则124V V =D ．若四面体EBCD 的外接球的体积为32a ，则CD =．12．定义在R 上的函数()f x 满足：()21f x +为奇函数，且()()448f x f x x =-+-，则（）A ．()f x 的图象关于()1,0对称B ．4是()f x 的一个周期C ．()20234048f =D ．()10132024f =第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．函数()3ln 2xf x =+的导函数()f x '=______．14．已知动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD （不含端点）上．设11D PD Bλ=，若APC ∠为钝角，则实数λ的值为______．15．如图是两个直角三角形板拼成的平面图形，其中90BAD BCD ∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，30BDC ∠=︒，1BC =，则AC BD ⋅=______．16．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒．若1AB =，则三棱锥E ABC -的外接球的表面积为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且113a =，113n nn a a n++=（1）证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 前n 项的和nS 18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a c BC b-=，（1）求角B 的大小；（2）若3a =，c =sin C 的值19．某职称考试有A ，B 两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称。
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7} 2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．2803．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.511．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜112．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5，7}，A∩∁U B＝{2，7}．故选：A．2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．280解：计算抽样比例为，所以不到35岁的应抽取125×＝25（人），所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56＝19（人）．故选：A．3．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＜1，解得x＜0，由x＜0，可得x＜1，反之不成立．∴“x＜1”是“2x＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．解：设上等稻禾x斗/束，中等稻禾y斗/束，下等稻禾z斗/束，由已知得：，解得：，故一束上等稻禾是斗．故选：D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，∴＝1，则a+2b＝（a+2b）（）＝＝．当且仅当且＝1，即a＝b＝时取等号．∴a+2b的最小值为．故选：B．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1解：根据题意，函数f（x）＝+x，则f（﹣x）＝+（﹣x）＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝（+x）+（﹣x）＝2，即有f（m）+f（﹣m）＝2，若f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝3，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞解：对于A：令a＝0，b＝﹣1，显然错误；对于B：若a＞b，则＞，故B正确；对于C：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；对于D：若b＞a＞0，m＞0，则bm＞am，则ab+bm＞ab+am，则b（a+m）＞a（b+m），则＞，故D正确；故选：AC．10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.5解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．故选：AD．11．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜1解：函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，即有两个根，问题即转化为y＝b与g（x）＝的有两个不同交点．做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知，整理得：，C对；④由③得，所以x2＞0，B错．故选：ACD．12．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．解：易知，当k＝1时，方程只有一个根1，满足题意；当k≠1时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．对于方程①，显然x≠0，即x2﹣x+k﹣1＝0只有一个非零实根，所以，解得．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2．解：原式＝3lg2+2lg5﹣lg2＝2lg2+2lg5＝2（lg2+lg5）＝2．故答案为：2．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝+＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是{x|x≤1}．解：∵函数f（x）＝，∴当x﹣1≥0即x≥1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1+（x﹣1）≤2⇒x≤1，故x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1﹣（x﹣1）≤2⇒2≤2，故x＜1；∴不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是：{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．解：（1）甲班样本的平均值为：＝（9+11+13+20+24+31）＝18．乙班样本的平均成绩为：＝（11+12+18+20+22+25）＝18．（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，基本事件总数n＝＝6，抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p＝＝＝．（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，基本事件总数n＝6×6＝36，恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m＝＝16，∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P＝＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．解：（1）因为f（x）＝x2+2ax+1的对称轴x＝﹣a，开口向上，当﹣a≤1即a≥﹣1时，g（a）＝f（1）＝2+2a，当﹣a≥3即a≤﹣3时，g（a）＝f（3）＝10+6a，当1＜﹣a＜3即﹣3＜a＜﹣1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，故g（a）＝．（2）证明：h（x）＝＝x++2a，设0＜x1＜x2＜1，则h（x1）﹣h（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（）＞0，∴h（x1）＞h（x2），∴h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．解：（1）由题意，Q（10）•P（10）＝50（10+）＝505，即k＝1；（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故Q（x）＝a|x﹣m|+b，则，解得a＝1，m＝10，b＝50．故函数解析式为Q（x）＝|x﹣10|+50；（3）由（2）可知，Q（x）＝|x﹣10|+50＝，则f（x）＝P（x）•Q（x）＝．当1≤x≤10时，f（x）＝600﹣1+，该函数为单调减函数，f（x）min＝f（10）＝505；当10＜x≤30时，f（x）＝400+1+10x+，在（10，30]上为增函数，则f（x）＞505．综上，该工艺品的日销售收入f（x）的最小值为505元．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．解：（1）由f（x）是偶函数得：f（x）﹣f（﹣x）＝ln（e x+1）+kx﹣ln（e﹣x+1）﹣（﹣kx）＝＝＝（2k+1）x＝0恒成立，故2k+1＝0，即k＝﹣．（2）由（1）知f（x）＝ln（e x+1）x．由f（x）＝x+b得b＝ln（e x+1）﹣x，x∈[﹣1，0]．令g（x）＝ln（e x+1）﹣x＝，x∈[﹣1，0]．当x∈[﹣1，0]时，∈[2，1+e]，故ln（1）∈[ln2，ln（1+e）]．故b∈[ln2，ln（1+e）]时，方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根．即b的取值范围是[ln2，ln（1+e）]．。
辽宁省五大名校(辽宁实验中学等)2020-2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷
2020—2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷命题学校：辽宁省实验中学命题人：高三数学组 校对人：高三数学组一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合AA ={xx |xx 2≤4}，BB ={xx ||xx |>1}，则AA ∩BB =( )AA . {xx |1<xx ≤2} BB . {xx |−2<xx <−1或1<xx <2} CC . {xx |−2≤xx <−1} DD . {xx |−2≤xx <−1或1<xx ≤2} 2.复数zz 满足：zz (1+ii )=1−ii ，则zz 的虚部等于（ ） AA . −ii BB . −1 CC .0 DD . 13. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为1m ，2m ；标准差分别为1s ，2s ，则下面正确的是( )AA . 12m m >，12s s > BB . 12m m >，12s s < CC . 12m m <，12s s <DD . 12m m <，12s s >4.设0.45a =，0.4log 0.5b =，5log 0.4c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） AA . a b c << BB . c a b <<CC .c b a << DD . b c a <<5. 已知α是第二象限角，54sin =α，则=α2sin （ ） AA . 2524− BB . 2524 CC .2512− DD . 25126. 四个人排一个五天的值班表，每天一人值班，并且每个人至少值班一次，则有（ ）种不同的排班方式.AA . 240 BB . 480 CC .420 DD . 360 7.已知抛物线CC ：yy 2=2ppxx (pp >0)，过焦点FF 的直线ll 交抛物线CC 于PP 、QQ 两点，交yy 轴于点AA ，若点PP 为线段FFAA 的中点，且|FFQQ |=2，则pp 的值为( )AA .32 BB . 34CC . 2 DD . 3 8.在底面边长为1的正四棱柱1111ABCD A B C D −中，侧棱长等于2，则（ ）AA . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有一个BB . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有两个CC . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有三个DD . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有四个二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分. 9.已知等比数列{aa nn }的前nn 项和为SS nn ，公比qq >1，nn ∈NN +，则（ ）AA . {aa nn }一定是递增数列 BB . {aa nn }可能是递增数列也可能是递减数列CC . aa 3、aa 7、aa 11仍成等比 DD . ∀nn ∈NN +,SS nn ≠010.定义在实数集RR 上的函数ff (xx )满足ff (1+xx )=−ff (1−xx )，且xx ≥1 时函数ff (xx )单调递增则（ ）AA . ff (1)=0 BB .ff (xx )是周期函数CC .方程ff (xx )=0有唯一实数解 DD .函数ff (xx )在(−∞,0)内单调递减11.为了得到)32sin(2π−=x y 的图像只需把函数)62cos(2π+=x y 的图像（ ） AA .向右平移2πBB .向左平移2πCC .关于直线xx =4π轴对称 DD .关于直线xx =6π轴对称12.方程ee xx +xx −2=0的根为xx 1，ln xx +xx −2=0的根为xx 2，则（ ） AA . xx 1xx 2>12BB .xx 1ln xx 2+xx 2ln xx 1<0CC .ee xx 1+ee xx 2<2ee DD . xx 1xx 2<√ee 2三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知21,F F 为双曲线191622=−y x 的左、右焦点，则||21F F =14.已知正实数aa 、bb 满足aa +2bb =1，则2aa +1bb的最小值为15.某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球、篮球、排球、羽毛球四个兴趣小组，要求每一名学生选择其中的两个小组参加.现有D C B A ,,,四位同学，已知AA 与BB 没有选择相同的兴趣小组，CC 与DD 没有选择相同的兴趣小组，BB 与CC 选择的兴趣小组恰有一个相同，且BB 选择了足球兴趣小组.给出如下四个判断：①CC 可能没有选择足球兴趣小组；②AA 、DD 选择的两个兴趣小组可能都相同； ③DD 可能没有选择篮球兴趣小组；④这四人中恰有两人选择足球兴趣小组； 其中正确判断是16.已知c b a ,,是平面向量，c a ,是单位向量，且3,π>=<c a ，若02092=+⋅−c b b ，则最大值是四、解答题：本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)在①74=ac ②sin BB =2sin AA ③csin AA =√3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求c 值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在∆AABBCC ，它的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且bb cos AA +aa cos BB +2cc cos CC =0，∆AABBCC 的面积是32， ？18.(本小题满分12分)某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为XX ，求XX 的分布列和数学期望；（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．19. (本小题满分12分)在四棱锥PP −AABBCCDD 中，PPDD ⊥底面AABBCCDD ，底面AABBCCDD 是菱形，PPDD =AADD =4， 60=∠BAD ，点FF 在棱PPDD 上. （1）若PD PF 21=，在棱BBCC 上是否存在一点EE ，使得CCFF //平面PPAAEE ，并说明理由； （2）若直线AAFF 与平面BBCCFF 所成的角的正弦值是1015，求二面角AA −FFBB −CC 的余弦值.20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且，31=a11−=+n n a S ，数列{}n b 为等差数列，42b a =，且752b b b =+，（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若()12++=n nn nb n b ac ，求{}n c 的前n 项和n T .21. (本小题满分12分)已知椭圆Γ中心在坐标原点，焦点FF 1、FF 2在x 轴上，离心率21=e ，经过点)3,(−c M (cc 为椭圆的半焦距).(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)21MF F ∠的平分线l 与椭圆的另一个交点为N ，O 为坐标原点，求直线OOOO 与直线OONN 斜率的比值.22. (本小题满分12分)设函数x e ax x f 2)1()(−+=，曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程为1+−=x y . （1）求实数a 的值.（2）求证：当[]1,0∈x 时，)6cos 4(2)(22−+≥−x x x x f .。
辽宁省实验中学2024-2025学年高三上学期期中阶段测试数学试卷
辽宁省实验中学2024-2025学年高三上学期期中阶段测试数学试卷一、单选题1．已知集合103x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}ln 10B x x =-<，则A B = （）A ．[)1,2-B ．()1,2C ．[]1,3-D ．[)1,3-2．已知数列{}n a 为等比数列，20231a =，202716a =，则2025a =（）A ．4B ．4-C ．4±D ．16±3．计算()()ln 2025ln ln 20242025ln2024-=（）A ．0B ．1C ．1-D ．202520244．已知函数()cos2sin cos xf x x x=-，则下列说法错误的为（）A ．直线ππ4x k =+，Z k ∈为对称轴B ．()f x 的值域为⎡⎣C ．ππ,04k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈为对称中心D ．()f x 在3ππ(2π,2π)44k k -++，Z k ∈单调递减5．等边ABC V 的边长为1，D ，E 分别是边BC 和AC 上的点，且2BD DC = ，2CE EA =，BE 与AD 交于点F ，则CF CA ⋅=（）A ．37B ．715C ．914D ．19306．已知()()sin cos2sin αβααβ-=+，则()tan αβ-最大值为（）A ．4B ．2C ．4D 7．已知a ，b 为正实数，x b ∀>-，不等式()1x ax b -+≥恒成立，则11b a b++的最小值为（）A ．3B ．5C ．112D ．2+8．设ABC V 的外心为O ，重心为G ，并且满足222sin sin sin OA A B C =++，则当OG 最大时，ABC V 的外接圆半径为（）A．4B ．34C．2D ．32二、多选题9．已知复数1z ，2z ，则下列说法正确的是（）A ．若12=z z ，则2212z z =B ．120z z ->是12z z >的充要条件C ．12z z ∈R 是12z z =的必要不充分条件D ．11z =，21z =，121z z -=，则12z z +=10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()11323161n n n n S n S n S +-++-=+（n ∈N ，且2n ≥），若112a =，215a =，则下列说法正确的是（）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B ．数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的最小项为12C ．数列()11nn n a a +⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前2n 项和2n T 为21812n n+D ．若n *∀∈N ，21n n S S m +-≤恒成立，则1340m ≥11．已知x ，y 满足()222222x x y x y +--=，满足此等式x ，y 的取值范围分别为集合M ，N ，则下列正确的是（）A ．()4,M +∞⊆B ．()0,2M ⊆C ．()1,2N⊆D ．(),0N-∞⊆三、填空题12．已知向量()3,1a =- ，()2,1b =r ，则a 在b方向的投影向量为.13．数列{}n a 满足2121n n a a +=-，且1sin70a =︒，则123a a a =.14．函数()()1e 1xf x mx mx =-++有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为.四、解答题15．甲乙两人进行()2,n n n *≥∈N 场羽毛球比赛，甲每场比赛获胜的概率为p ，乙每场比赛获胜的概率为1p -，记事件A 为“n 比赛中既有甲获胜也有乙获胜”，事件B 为“n 比赛中甲至多获胜一场”(1)若13p =，3n =，求()P AB 和()|P B A ；(2)若12p =，证明：事件A ，B 独立的充要条件为3n =.16．已知函数()ln 2x x f x x++=，(1)求函数()f x 的最大值；(2)若()1ex a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.17．在锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，c ，a b +成等比数列.(1)求证：2C A =；(2)求c ab-的取值范围；(3)证明：cos cos cos A B C ++>3.60555≈）18．数列{}n a 满足12a =，142n n a a n ++=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ；数列{}n b 的前n 项和为n T 且满足341n n T b =-.(1)分别求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若134n n n nn c a a b ++=⋅⋅，求数列{}n c 的前n 项和；(3)证明：18k n∑=<19．设正整数a ，b 的最大公约数为(),g a b ，已知正整数3n ≥(1)求()26,91g 和();65,26g (2)数列{}n a 是严格单调递增正整数数列，证明：()111,n i i n i g a a a -+=<∑；(3)设12,,k b b b ⋅⋅⋅是n 所有不同约数从小到大的排列，是否存在λ，使得()1111,k i i i i i g b b b b λ-+=+≤∑对于任意正整数3n ≥均成立，若存在，求出λ的最小值；若不存在，请你说明理由.。
2024-2025学年辽宁省沈阳市辽宁省实验中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)
2024-2025学年辽宁省实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若p ：lo g 2(a−1)<1,q ：3a−1<9，则p 是q 的( )条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.若sinθ=−2cosθ，则sinθ(sinθ+cosθ)=( )A. −65B. −25C. 25D. 653.已知函数f(x)=ln(x 2−ax−3+a 2)在[1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. (−∞,−1)C. (−∞,2]D. (2,+∞)4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinAk =sinB3=sinC4(k 为非零实数)，则下列结论错误的是( )A. 当k =5时，△ABC 是直角三角形B. 当k =3时，△ABC 是锐角三角形C. 当k =2时，△ABC 是钝角三角形D. 当k =1时，△ABC 是钝角三角形5.耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪(如图所示)，已知噪音的声波曲线是y =3cos2x ，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是y =Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，0≤φ<2π)，则φ=( )A. π3B. π2C. πD. 3π26.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递减，若实数a 满足f(log 3a)+f(log 13a)≤2f(2)，则a 的取值范围是( )A. [19,9]B. (−∞,19]C. [12,2]D. (0,19]∪[9,+∞]7.已知正数x ，y ，z ，满足3x =4y =6z ，则下列说法不正确的是( )A. 1x +12y =1zB. x >y >zC. 1x +1z <2yD. 3x <4y <6z8.设函数f(x)=2sin(ωx−π6)−1(ω>0)在[π,2π]上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是( )A. [32,+∞) B. [32,73]∪[52,+∞)C. [136,3]∪[196,+∞)D. [12,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
辽宁省实验中学2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷
2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每题5分）磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（）A ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．903211,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫± ⎪⎝⎭D ．()45,162±二、多选题（每题5分）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,1,0A B -．点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为E ，下列结论正确的是（）A ．曲线E 的圆心坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．443PB ≤≤C ．曲线E 的周长为πD ．曲线E 上的点到直线10x y +-=的最小距离为()4213-10．已知曲线C 的方程为222113x y m m +=--（1m ≠±且3m ≠），则下列结论正确的是（）A ．当2m =时，曲线C 是焦距为4的双曲线B ．当4m =时，曲线C 是离心率为22的椭圆C ．曲线C 可能是一个圆D ．当3m =-时，曲线C 是渐近线方程为320x y ±=的双曲线11．已知点()1,1A ，点P 是双曲线22:197x y C -=左支上的动点，Q 是圆221:(4)4D x y ++=上的动点，则（）A ．C 的实轴长为6B ．C 的渐近线为377y x =±C ．PQ 的最小值为12D ．PA PD -的最小值为610-三、填空题（每题5分）四、解答题答案第1页，共1页。
2019-2020学年辽宁省实验中学高一(下)期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年辽宁省实验中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.tan(−675°)的值为()A. 1B. −√22C. √22D. −12.已知锐角α,β满足sinα=2√55,sinβ=3√1010，则α+β=()A. π4B. 3π4C. π4或3π4D. 5π43.在ΔABC中，关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1−x2)sinC=0有两个不等的实数根，则角A为()A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不存在4.已知向量a⃗=(x,−1)，b⃗ =(1,√3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗|=()A. √2B. √3C. 2D. 45.将函数y=cos(2x−π4)的图象向右平移π8个单位，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)的表达式可以是()A. f(x)=−sin2xB. f(x)=cos(2x−π8)C. f(x)=cos(2x−3π8) D. f(x)=sin2x6.已知a⃗，b⃗ 是单位向量，a⃗⋅b⃗ =√32，则|a⃗+t b⃗ |(t∈R)的最小值为()A. 14B. 12C. √32D. 17.给出下列四个命题，其中正确的命题是()①若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，则△ABC是等边三角形；②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；③若cosAcosBcosC<0，则△ABC是钝角三角形；④若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形．A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示，则f(5π6)= ()A. −√22B. √22C. √32D. −√329. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列，且cosA =23，则sinC =( )A. −2√3+√56B. 2√3+√56C. 2√3−√56D. −2√3−√5610. 已知函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x ，x ∈R ，则( )A. f(x)的最大值为1B. f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x)的最小正周期为π2D. x =π3为f(x)图象的一条对称轴11. 半径为10，中心角为π5的扇形的面积为( )A. 2πB. 6πC. 8πD. 10π12. 已知函数f(x)=sin x +√3cos x 在x =θ时取得最大值，则cos (2θ+π4)=( )A. −√2+√64B. −12C. √2−√64D. √32二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点P 是线段BC 上的动点，则(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______ ．14. 若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在[0,4]上与x 轴有9个交点，则ω的取值范围是________． 15. 函数y =cosx+2cosx+1的值域为____．16. 若sin(π6−α)=14，则cos(2α−π3)的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)已知tanα=2，求值：y =4sinα−2cosα5cosα+3sinα；(2)化简f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−π−α)sin(−π−α)．18.已知sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，求cos2α的值．19.已知向量a⃗=(sinωx,1)，b⃗ =(√3,−cosωx)，ω>0，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，且f(x)的最小正周期是π．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间．20.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=√3acosB．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若b=2√3，求ac的最大值．21.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a2−b2=bc，2sinB−sinC=0，求角A的大小．22.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角，点Q在OA上，点M,N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB=θ．(1)若矩形MNPQ是正方形，求tan θ的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT(宽度不计)，使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：tan(−675°)=−tan675°=−tan(720°−45°)=tan45°=1．故选：A．直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数求值，考查计算能力．2.答案：B解析：本题考查两角和与差的三角函数及同角关系式，属于基础题．先求cosα，cosβ，然后求cos(α+β)的值，根据α，β为锐角，求出α+β的值．解析：解：α，β为锐角且满足sinα=2√55,sinβ=3√1010，所以cosα=√55，cosβ=√1010，cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−√22，又0<α+β<π，所以α+β的值等于3π4．故选B．3.答案：A解析：∵(1+x2)sinA+2xsinB+(1−x2)sinC=0，∴(sinA−sinC)x2+2xsinB+(sinA+sinC)=0，∵sinA−sinC≠0，∴Δ=4sin2B−4(sinA−sinC)(sinA+sinC)>0，sin2B−sin2A+sin2C>0，sin2B+sin2C>sin2A，即b2+c2>a2，∵cosA=b2+c2−a22bc >0，∴A∈(0,π2)，故选A．4.答案：C解析：解：根据题意，向量a⃗=(x,−1)，b⃗ =(1,√3)，若a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =x−√3=0，解可得x=√3，则a⃗=(√3,−1)，故|a⃗|=√3+1=2；故选：C．根据题意，由a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =x−√3=0，解可得x的值，即可得向量a⃗的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量的坐标运算，关键是掌握向量垂直与向量的数量积之间的关系．5.答案：D解析：解：函数y=cos(2x−π4)的图象向右平移π8个单位，得到函数：f(x)=cos[2(x−π8)−π4]，=cos(2x−π2)=sin2x故选：D．直接利用平移变换和诱导公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换问题，符合“上加下减”的性质，诱导公式的应用，属于基础题型．6.答案：B解析：本题考查单位向量的概念，以及数量积的运算，二次函数最值的求法，属于基础题．根据a⃗,b⃗ 为单位向量及a⃗⋅b⃗ =√32即可求出|a⃗+t b⃗ |2=t2+√3t+1，然后可求出二次函数t2+√3t+ 1的最小值，从而得出|a⃗+t b⃗ |的最小值．解：a⃗,b⃗ 是单位向量，a⃗⋅b⃗ =√32；∴|a⃗+t b⃗ |2=a⃗2+2t a⃗⋅b⃗ +t2b⃗ 2 =1+√3t+t2；∵t2+√3t+1的最小值为4−34=14；∴|a⃗+t b⃗ |的最小值为12．故选：B．7.答案：C解析：解：对于①，∵A−B∈(−π,π)，B−C∈(−π,π)，C−A∈(−π,π)，∴−1<cos(A−B)≤1，−1<cos(B−C)≤1，−1<cos(C−A)≤1．∵cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，∴cos(A−B)=cos(B−C)=cos(C−A)=1，∴A−B=B−C=C−A=0，∴A=B=C，∴△ABC是等边三角形，故①正确．对于②，若A=120°，B=30°，显然sinA=cosB，但△ABC不是直角三角形，故②错误．对于③，若cosAcosBcosC<0，则cos A，cos B，cos C中必有一个小于0，即必有一个角为钝角，故③正确．对于④，若sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A+2B=π，∴A=B或A+B=π2．∴△ABC是等腰三角形或是直角三角形，故④错误．故选：C．根据三角函数的性质和角的范围进行判断．本题考查了三角函数的性质，解三角形，属于中档题．8.答案：B解析：解：由图象可知：T=2×2π3=2πω，解得ω=32．且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2．∴f(x)=sin(3π2x−π2)，∴f(5π6)=sin(3π2×5π6−π2)=sin3π4=√22．故选：B．由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32.且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2.即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：∵∠A 、∠B 、∠C 成等差数列， ∴∠A +∠C =2∠B ， 又∠A +∠B +∠C =π， ∴3∠B =π，则∠B =π3．∵cosA =23，可得：sinA =√1−cos 2A =√53，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√53×12+23×√32=√5+2√36． 故选：B ．直接由等差数列的性质结合三角形内角和定理得B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值．本题主要考查了等差数列的性质，考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，是基础题．10.答案：D解析：解：函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x =√3sin2x −cos2x =2(√32sin2x −12cos2x)=2sin(2x −π6)， 可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T =2π2=π，故A 、C 错误；由f(x)=0，可得2x −π6=kπ，k ∈Z ，即为x =kπ2+π12，k ∈Z ，可得f(x)在(0,π)内的零点为π12，7π12，故B 错误；由f(π3)=2sin(2π3−π6)=2，可得x =π3为f(x)图象的一条对称轴，故D 正确． 故选：D ．运用二倍角的正弦公式、余弦公式和辅助角公式，推得f(x)=2sin(2x −π6)，运用正弦函数的最值和周期公式，可判断A ，C ；由f(x)=0，可判断B ；由对称轴的特点，计算可判断D ．本题考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的图象和性质，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．11.答案：D解析：∵半径为10，中心角为π5，∴扇形的弧长l =π5×10=2π∴扇形的面积S =12lr =12×2π×10=10π12.答案：C解析：本题主要考查两角和差的三角函数公式的应用．利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f(x)═2sin (x +π3).由题意可得，k ∈Z ，求出θ，再代入求解即可．解：∵f(x)=sinx +√3cos x =2sin (x +π3)， 又f(x)在x =θ时取得最大值， ∴θ+π3=π2+2kπ(k ∈Z)， 即θ=π6+2kπ(k ∈Z)，于是cos (2θ+π4)=cos (π3+π4+4kπ)=cos (π3+π4)=12×√22−√32×√22=√2−√64， 故选C ．13.答案：−12解析：解：建立平面直角坐标系A −xy ，设P 点坐标为(2,x)， 则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−x)，x ∈[0,2]，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2−x)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2−x)，所以(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 2−6x +4=2(x −1.5)2+4−4.5， 因为x ∈[0,2]，所以x =1.5时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−0.5即−12； 故答案为：−12．建立平面直角坐标系A −xy ，设P 点坐标为(2,x)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−x)，x ∈[0,2]，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2−x)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2−x)，利用x 表示(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的函数求最值． 本题考查了向量的数量积以及二次函数闭区间的最值，关键是建立坐标系，将问题转化为二次函数的最值求法． 14.答案：[2π,9π4)解析：本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想．结合正弦函数的图象与性质可得4T ≤4<92T ，即8πω≤4<9πω，又ω>0，解不等式即可求解． 解：由题意，得T =2πω．因为函数f(x)在[0,4]上与x 轴有9个交点，所以4T ≤4<92T ，即8πω≤4<9πω， 因为ω>0，解得2π≤ω<9π4． 故答案为：[2π,9π4)．15.答案：{y|y ≥32}解析：本题主要考查了函数定义域与值域，属于基础题．解：已知函数y =cosx+2cosx+1，所以cosx =−y+2y−1，所以|−y+2y−1|≤1， 解得y ≥32，故答案为{y|y ≥32}.16.答案：78解析：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由已知可求sin(α−π6)的值，根据条件利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．解：∵sin(π6−α)=14，∴sin(α−π6)=−14， ∴cos(2α−π3)=1−2sin 2(α−π6)=1−2×(−14)2=78，故答案为78． 17.答案：解：(1)∵tanα=2，∴y =4sinα−2cosα5cosα+3sinα=4tanα−25+3tanα=611；(2)f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−π−α)sin(−π−α) =cosα⋅sinα⋅tanα−tanα⋅sinα=−cosα．解析：(1)利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；(2)直接利用诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 18.答案：解：若sinα=0，则cos 2α=1．若sinα≠0，则{sinα=2sinβsinαcosα=3sinβcosβ， 所以{12sinα=sinβ32cosα=cosβ，所以sin2α4+9cos2α4=1解得cos2α=38．综上得cos2α=1或cos2α=38．解析：本题考查了同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题.注意sinα=0，这种特殊情况．19.答案：解：(Ⅰ，，解得ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，令，k∈Z解得，k∈Z取其与[0,π]的交集，得，∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间为．解析：本题主要考查正弦函数的图象与性质以及辅助角公式的应用，属于基础题．(Ⅰ)直接将f(x)的解析式化简，利用即可；(Ⅱ)直接根据正弦函数的图象与性质，令，解得其与[0,π]的交集，即可．20.答案：解：(Ⅰ)因为bsinA=√3acosB，由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB．因为在△ABC中，sinA≠0，所以tanB=√3．又0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，因为B=π3，b=2√3，所以12=a2+c2−ac．因为a2+c2≥2ac，所以ac≤12．当且仅当a =c =2√3时，ac 取得最大值12． 解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题． (Ⅰ)因为bsinA =√3acosB ，由正弦定理求得tanB =√3，从而求得B 的值． (Ⅱ)由余弦定理求得12=a 2+c 2−ac ，再利用基本不等式求得ac 的最大值． 21.答案：解：在△ABC 中，∵2sinB −sinC =0，∴2b −c =0，即c =2b ． 由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，a 2−b 2=bc ，可得cosA =c 2−bc2bc =4b 2−2b 24b 2=12， ∴A =60°．解析：由条件利用正弦定理求得c =2b ，再由余弦定理以及a 2−b 2=bc ，求得cos A 的值，从而求得A 的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题． 22.答案：解：(1)在Rt △PON 中，PN =200sin θ,ON =200cos θ，在Rt △OQM 中， QM =PN =200sin θ，OM =QMtan 60°=√3=200√33sin θ ，所以MN =ON −OM =200cos θ− 200√33sin θ， 因为矩形MNPQ 是正方形，∴MN =PN ，所以200cos θ−200√33sin θ=200sin θ， 所以(200+200√33)sin θ=200cos θ，所以tan θ=11+√33=33+√3=3−√32 ．(2)因为∠POM =θ，所以，即PS +PT =200sin θ+200sin (60°−θ)=200(sinθ+√3cosθ−1sinθ) =200(12sin θ+√32cos θ)=200sin (θ+60°),因为0°<θ<60°，所以当θ+60°=90°，即θ=30°时，PS+PT最大，此时P是AB的中点．解析：本题考查三角函数模型的应用，属于较难题．(1)先求得PN和MN的三角函数式，再由MN=PN列出等式，即可得出tanθ的值；(2)由题可得PS+PT=200sin (θ+60°)，由三角函数的性质即可得出．。
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数，则的虚部为( )A. 1B.C. iD.2.设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是( )A. B.C. D.或3.已知圆：与圆：的位置关系是( )A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切4.已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且，则实数x 的值为( )A. B.C. D.5.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为( )A.B. C.D.或6.已知三棱锥中，，且，则直线PA 与底面ABC 所成角的正弦值为( )A.B.C. D.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知的顶点，，顶点B 在椭圆上，则( )A. B.C.D.8.设，过定点A 的动直线和过定点B 的动直线交于点，则的最大值是( )A. 4B. 10C. 5D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知方程表示双曲线，则此时( )A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的渐近线方程为C. 双曲线的一个焦点坐标为D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为110.设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则( )A. B.C. D.11.下列说法错误的是( )A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B. 直线的倾斜角的取值范围是C. 过，两点的所有直线的方程为D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为12.已知圆上到直线l：的距离等于1的点至少有2个，则实数a的值可以为( )A. B. C. 0 D. 2三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则x，y满足的关系式为______.14.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且，设向量，，，则______用表示15.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________.16.若直线与曲线没有公共点，则实数m的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
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2020-2021学年辽宁省实验中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（5分）若O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则( )A ．OA ，OB ，OC 共线 B ．OA ，OB 共线 C ．OB ，OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面2．（5分）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为( ) A ．77AB ．4343A A + C ．4343A A D ．4345A A3．（5分）已知ABC ∆的顶点分别为(1A ，1-，2)，(5B ，6-，2)，(1C ，3，1)-，则AC 边上的高BD 等于( ) A ．3B ．4C ．5D ．64．（5分）如图所示，设E 、F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱CD 上两点，且2AB =，1EF =，其中正确的命题为( )A ．异面直线11B D 与EF 所成的角为45︒ B ．异面直线11B D 与EF 所成的角为30︒C ．直线11BD 与平面1B EF 所成的角为45︒ D ．直线11B D 与平面1B EF 所成的角为60︒5．（5分）在50(2[3]3)的展开式中有理项的项数是( ) A ．9B ．8C ．7D ．66．（5分）已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3)A -，(2,1)B --，(6,1)C -，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( ) A ．221x y += B ．224x y +=C ．22165x y +=D ．221x y +=或2237x y +=7．（5分）已知抛物线24y x =上的点P 到2x =-的距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值是( ) A ．175B ．115C ．3D ．5 8．（5分）已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2||||AF CF =，则该双曲线的离心率是( )A ．53B 17C 17D ．94二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分） 9．（5分）过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为( ) A ．50x y +-=B ．240x y +-=C ．320x y -=D ．4250x y -+=10．（5分）正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论正确的有( ) A ．AD 与BC 所成的角为30︒ B ．AC 与BD 所成的角为90︒C ．BC 与面ACD 3D ．平面ABC 与平面BCD 211．（5分）在8(21)x -的展开式中，下列说法正确的有( ) A ．展开式中所有项的系数和为82B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448-12．（5分）设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(03)y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则下述结论正确的是( ) A ．AF BF +为定值B ．ABF ∆的周长的取值范围是[6，12]C ．当2m =时，ABF ∆ 为直角三角形D ．当1m =时，ABF ∆ 的面积为6三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．14．（5分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点．用AB ，AD ，1OA 表示1OC ，则1OC = ．15．（5分）某地区高考改革，实行“321++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 .（用数字作答）16．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，点0(P x ，0)y 是直线20bx ay a -+=上任意点，若圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知7270127(1)mx a a x a x a x +=+++⋯+中，且335a =-．（1）求m 的值；（2）求1357||||||||a a a a +++的值．18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，BC AC ⊥，13AC BC CC ===，113AE AA =，1113C F CC =． （Ⅰ）求证：//CE 面11A FB ；（Ⅱ）求直线1AC 与面11A FB 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角11A FB A --的余弦值．19．（12分）已知直线l 过点(2,3)P 且与定直线:2l y x '=在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB ∆的面积为(S O 为坐标原点），点(,0)B a ． （1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，且2CD =，1AB =，22BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点．（1）求证：//AN 平面PBC ；（2）在直线PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 526，若存在，求出DMDP的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知动点M 到定点1(0,)4F 的距离比到x 轴距离大14．（1）求动点M 的轨迹方程C ；（2）过F 作互相垂直的直线l 与m 交轨迹(0)C y 于P 、Q 两点及S 、T 两点，A ，B 分别是弦PQ 、ST 的中点，当||1AB =时，求直线l 与m 的方程．22．（12分）已知曲线22122:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为2322:43C y x =，1C 的一个焦点在2C 的准线上． （1）求曲线1C 的方程；（2）设曲线1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，若过点1F 的直线l 与曲线1C 的y 轴左侧部分（包含1C 与y 轴的交点）交于A ，B 两点，直线2AF 与曲线2C 交于C ，D 两点，直线2BF 与曲线2C 交于E ，F 两点，试求||||CD EF +的取值范围．2020-2021学年辽宁省实验中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（5分）若O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则( )A ．OA ，OB ，OC 共线 B ．OA ，OB 共线 C ．OB ，OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面【解答】解：向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底， ∴向量OA ，OB ，OC 共面，因此O ，A ，B ，C 四点共面， 故选：D ．2．（5分）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为( ) A ．77AB ．4343A A + C ．4343A A D ．4345A A【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①将4名学生站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况； 则有4345A A 种排法； 故选：D ．3．（5分）已知ABC ∆的顶点分别为(1A ，1-，2)，(5B ，6-，2)，(1C ，3，1)-，则AC 边上的高BD 等于( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设AD AC λ=，又(0AC =，4，3)-．则(0AD =，4λ，3)λ-．(4AB =，5-，0)，(4BD =-，45λ+，3)λ-，由0AC BD ⋅=，得45λ=-，∴(4BD =-，95，12)5，||5BD ∴=．故选：C ．4．（5分）如图所示，设E 、F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱CD 上两点，且2AB =，1EF =，其中正确的命题为( )A ．异面直线11B D 与EF 所成的角为45︒ B ．异面直线11B D 与EF 所成的角为30︒C ．直线11BD 与平面1B EF 所成的角为45︒ D ．直线11B D 与平面1B EF 所成的角为60︒ 【解答】解：因为11//EF D C ，所以111B D C ∠是异面直线11B D 与EF 所成的角为45︒， 故选项A 正确，选项B 错误；在三棱锥11D B DC -中，设点1D 到平面1DCB 的距离为h ， 则有1111B D DC D DCB V V --=，所以11112222223232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得2h则直线11B D 与平面1B EF 21222=， 所以直线11B D 与平面1B EF 所成的角为30︒， 故选项C ，D 错误．故选：A ．5．（5分）在50(2[3]3)-的展开式中有理项的项数是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【解答】解：50(2[3]3)-的展开式的通项公式为50150(2)([3]3)rr r r T C -+=⋅⋅-， 故当50r -为偶数，且r 能被3整除时，即0r =，6，12，18，24，30，36，42，48时，展开式为有理项， 故选：A ．6．（5分）已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3)A -，(2,1)B --，(6,1)C -，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( ) A ．221x y += B ．224x y +=C ．22165x y +=D ．221x y +=或2237x y +=【解答】解：如图(2,3)A -，(6,1)C -，∴过A 、C 的直线方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程，240x y +-=． 点O 到直线240x y +-=的距离4515d ==>， 又22(2)313OA =-+=，22(2)(1)5OB =-+-=，226(1)37OC =+-=． ∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0,1)-或(6,1)-，∴圆的半径为1或37，则圆的方程为221x y +=或2237x y +=． 故选：D ．7．（5分）已知抛物线24y x =上的点P 到2x =-的距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离。