球谐分析
最新球谐分析
球谐分析，带谐，田谐，瓣谐球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。
球谐函数表示为：球谐分析（如重力场）是将地球表面观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：其中，theta为余纬，lambda：经度如重力位可表示为：带谐系数：coefficient of zonal harmonics地球引力位的球谐函数展开式中次为零的位系数。
In themathematicalstudy ofrotational symmetry, the zonal spherical harmonics are specialspherical harmonicsthat are invariant under the rotation through a particular fixed axis. （故m=0，不随经度方向变化）扇谐系数：coefficient of sectorial harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次相同的位系数。
田谐：coefficient of tesseral harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次不同的位系数。
The Laplace spherical harmonics can be visualized by considering their "nodal lines", that is, the set of points o n the sphere where.Nodal lines of are composed of circles: some are latitudes and others are longitudes.One can determine the number of nodal lines of each type by counting the number of zeros of in the latitudinal and longitudinal directions independently.For the latitudinal direction, the associated Legendre polynomials possess ℓ−|m| zeros, whereas for the longitudinal direction, the trigonometric sin and cos functions possess 2|m| zeros.When the spherical harmonic order m is zero(upper-left in the figure), the spherical harmonic functions do not depend upon longitude, and are referred to as zonal. Such spherical harmonics are a special case ofzonal spherical functions.When ℓ = |m| (bottom-right in the figure), there are no zero crossings in latitude, and the functions are referr ed to as sectoral.For the other cases, the functionscheckerthe sphere, and they are referred to as tesseral.More general spherical harmonics of degree ℓ are not necessarily those of the Laplace basis, and their nodal se ts can be of a fairly general kind.[10]360阶（EGM96）分辨率为0.5分的来历：纬向180°、360=0.5°。
球谐函数表
球谐函数表
球谐函数表是一种数学工具，用于描述球体上的函数。
球谐函数表将球体上的函数分解为一系列基本的函数，这些函数称为球谐函数。
球谐函数在物理学、化学、地球科学等领域中有广泛的应用。
球谐函数表通常包含了一系列球谐函数的值和公式。
这些函数可以用来描述球体上的各种物理量，例如温度、压力、电场、磁场等。
球谐函数表中的函数可以通过计算机程序进行计算，因此在实际应用中非常方便。
球谐函数表中的函数是通过对球体上的函数进行分解得到的。
这种分解方法称为球谐分解。
球谐分解是一种将球体上的函数分解成一系列基本函数的方法，这些基本函数称为球谐函数。
球谐函数的特点是它们在球体上具有对称性。
球谐函数表在物理学、化学、地球科学等领域中有广泛的应用。
例如，在化学中，球谐函数可以用来描述原子轨道的形状；在地球科学中，球谐函数可以用来描述地球表面的形状和重力场。
因此，球谐函数表是一种非常重要的数学工具。
基于三维扫描和球谐分析的骨料和再生骨料颗粒形状表征
沈阳建筑大学学报(自然科学版)Journal of Shenyang Jianzhu University (Natural Science)2 02 0年9月第36卷第5期Sep 2020Vol. 36, No. 5文章编号：2095 -1922(2020)05 -0827 -09 doi ：10.11717/j. issn ：2095 -1922.5220.55.57基于三维扫描和球谐分析的骨料和再生骨料颗粒形状表征苏栋吴炯7肖政健7黄聪7(1.深圳大学土木与交通工程学院，广东深圳517066；2.滨海城市韧性基础设施教育部重点实验室(深圳大学)，广东深圳517060)摘要目的探讨骨料颗粒的表征方法，研究点云数据的点数对表征参数的影响，以 及普通混凝土骨料颗粒和再生混凝土骨料颗粒几何特性的异同.方法利用数字光学投影(Digital Lighu Projection,DLP )成像技术对混凝土骨料颗粒进行三维扫描，获取 颗粒表面点的三维几何坐标，基于球谐函数分析(Spherical Harmouio Analyses )对不 规则颗粒进行三维重构和表征分析.结果重构的普通和再生骨料颗粒的最优点数分 别是30 000和55 000，两种骨料的球形度指标基本相同，但再生骨料的凸性较小；两种骨料的轴比指标接近，大部分骨料都属于球体形.结论数字光学三维扫描结合球谐函数计算可以对骨料颗粒进行精确重构和表征分析.关键词骨料颗粒;形状表征;三维扫描;球谐函数;最优点数中图分类号TU52文献标志码AGeometrical Characterization of Natural and RecycledAggregate Particles Based on 3D Scanning andSpherical Harmonia AnalyseeSU Dong 1，，WU Jiong 1 ,XIAO Zhengjian 1 , HUANG Cong 1(1 . Collepc of Civil ani 丁0血)0081100 Engineering ， Shenzhen University ， Shenzhen ， Chinl, 5 1 2066； 2. Unnernroond Polls Acalemy , Shenzhen University , Shenzhen , Chirm , 5 1 9060)Abstract ：3D scanning o f cencreta anhspata particles wrn performer by nsinnLighi Projection tecenolooy , ald 3D heometUc ceoOinates oO the particle snrface points were obuined. Sphericel harmonic functioo wcs nsen ta cendnct accurate tUree-dimensioucl recenshnction anZ characterizatioo oO 11X0)11110 particOs. Geemethc parameters oO reccustmcten parhcOs,he inOnence oO the numbes oO cloon points on particle characteOzation , as well as the similarities and differences in h^cmetric features oO 0x 0010 and receded anhspates are disetssed. The resnlts show that the收稿日期：2022 -04 -12基金项目：国家自然科学基金项目(5193202,51272416)作者简介:苏栋(1977—),男，教授，博士研究生导师，主要从事颗粒几何形态表征、土与结构相互作用等方面研究.828沈阳建筑大学学报（自然科学版）第36卷optimal numbes oO points are30000anZ50000foe ordinarf and receded achepates,resnectively. There is no significanr hiffednee in the sphedcith oO the two tyyes oO achopates,bet the ccnvexity oO receded achopates is henedOe smalleo.The asnect ratios oO the two tyyes oO achopates are closs and mosh oO he particles belonz to spheoiV.Key wordt:ceucrete achopate；hepmewic chaoctedzation；tUree-dimedsional scanninz；sphedcal harmonic functioo；the000x1101numbes骨料颗粒是建造行业重要的原材料，需求量大且质量要求较高，再生骨料的使用对绿色建筑的发展有重大意义，是混凝土行业实现可持续发展的重要途径[1-2].骨料在混凝土中主要起骨架和填充作用,同时可以减少混凝土硬化过程中因干缩湿胀引起的体积变化，而在硬化后，混凝土骨料颗粒的三维几何特征对混凝土的力学性能起重要作用卩-1.目前,国内外对混凝土骨料颗粒的几何特性研究虽然为数不少,但是很长一段时间都集中在混凝土骨料颗粒的二维几何特性方面,在三维层面上的研究的方法较为局限,研究手段单一，研究成果也较少.J.M.R.Fernlund等⑸提出了一种基于图像分析的粗骨料颗粒形状测定方法,该方法通过颗粒平躺和站立姿态的两张图像分析颗粒的长厚比、长宽比和宽厚比,其结果与片状和形状指数试验的测试结果接近.D.ASAHNA等⑷利用三维激光扫描仪（LS）经典投影面积法（PAM）和现代X射线计算机断层扫描（CT）,对同一套岩石进行扫描，获得岩石表面点的坐标，并估算出其体积、比表面积和密度.D.SU等⑺和付茹等⑻通过“XCT试验，获取砂土颗粒的三维像素信息，并基于球谐函数对砂土颗粒的几何形态进行了分析和表征.研究表明,通过CT试验获取颗粒几何形态数据的成本较高,且适用的粒径范围较窄;而基于球谐函数分析，可准确表征三维颗粒不同层级的几何特性.基于上述分析，笔者通过数字光学投影（Digital Light Projection,DLP）成像技术对混凝土骨料颗粒和再生骨料颗粒进行非接触式三维扫描,获取颗粒表面的点云数据;利用基于球谐函数的计算几何分析，得到颗粒三维几何特性参数，包括表面积、体积、球形度、凸性和主要尺寸（长轴、中轴和短轴）等；基于计算结果，对混凝土骨料和再生骨料颗粒的几何形态进行了对比研究.结果表明:两种骨料颗粒的球形度指标基本相同,但再生骨料的凸性较小;两种骨料的轴比指标接近,大部分颗粒都属于球体形.1骨料颗粒三维扫描和颗粒表面点云模型的建立1.1骨料颗粒预处理及三维扫描从某建筑材料堆放场随机选取190个普通骨料颗粒（颗粒编号1~100）和190个再生混凝土骨料颗粒（颗粒编号191-220）进行三维扫描以获取颗粒表面的点云数据.首先浸泡、洗净混凝土骨料颗粒,保持样本混凝土骨料颗粒表面的洁净和真实，再将混凝土骨料颗粒烘干；由于DLP技术对所扫描的混凝土骨料亮度有一定的要求，因此扫描前利用着色剂对混凝土骨料颗粒进行着色处理,如图1所示.图1着色处理后的混凝土骨料颗粒Fig.l A cencreta aggogata particle aOco celoringWeatment第5期苏栋等:基于三维扫描和球谐分析的骨料和再生骨料颗粒形状表征829笔者采用华朗三维扫描仪（型号：HL- 3DX + ）对混凝土骨料颗粒进行三维扫描，该 扫描仪基于数字光学投影原理，并配备了两种模式的摄像头和高质量的投影仪，确保了云点的高分辨率.基于三角测量原理，三维扫描仪放映机对扫描对象发出格栅光线，经过物体反射后通过立体相机接收其反射光束，将获 得的两条光线信息建立立体投影关系,通过两个摄像头的和投影扫描点构成了一个三角形,运用三角测距原理来对被测物体进行坐标点 的解算，最后得到了被测点的三维坐标.该扫 描仪可以扫描几毫米到几十米大小的物体，通过扫描软件的全自动智能拼接功能可实现骨 料颗粒表面三维点云模型的建立（见图9）.图2颗粒三维点云模型Fig. 2 3D point cloud model of a particle1.2骨料颗粒三维点云模型的精简通过三维扫描得到各颗粒的点云数据一般超过290 000个点，这些点云数据虽然精度高,但数据密度也比较大，存在大量的冗余 数据，且不同颗粒的点云数据存在一定差异, 在使用程序处理和计算不同数量点的颗粒表面特征时,运行的时间有较大的区别.因此,在保留点云数据特征点的情况下,对这些点云数据进行数据精简处理，以提高计算效率,减少存储空间.笔者把1 ~ 100号混凝土骨料颗粒的点云精简成100 000、82 000 ,55 000、30 000、29 000、10 000、8 000、5 000、3 000 个点，把10 1 ~290号再生混凝土骨料颗粒的点云精简成 105 000,100 000,80 000,55 000 ,30 000,22 000,10 000个点进行分析计算,以找到能表征骨料颗粒三维几何特性最适合的点云数量.图3给出了一颗普通混凝土骨料在点云精简过程中的模型变化.2骨料颗粒三维形态的重构获得骨料颗粒的精简模型后，提取各个精简模型数据点的三维几何坐标,再基于球谐函数重构颗粒的三维形态.三维颗粒表面 形态的重构包括以下步骤J ）确定颗粒中心的坐标和主惯性轴的方向;2）将坐标系的原点移至颗粒中心，旋转颗粒，使颗粒的三个主惯性轴方向分别与坐标系的x 轴,y 轴和z 轴一致;3）计算颗粒表面每个数据点的在坐标系中的极角和方位角；4）利用颗粒点云的极图3普通混凝土骨料在点云精简过程中的模型变化Fig. 3 Model evolutiou during the process of cloud poinireductiou230沈阳建筑大学学报(自然科学版)第36卷角和方位角和三维直角坐标进行球谐分析和颗粒表面形态重构•重构颗粒表面的顶点坐标集表示为X二(c,,)，通过球谐分析，其将表示为相应极角和方位角的函数,即：X(0,°)二(x(0,°),y(0,°),)(0,卩)).(1)式中2和分别极角和方位角⑺•对于三维星形颗粒，由于颗粒表面任何一点到原点的距离(即半径)是0和cp的单值函数，因此只需要对半径厂进行球谐展开，即：8g厂(O,p)=Y Y c：n Y：(0,p)•(2)=0m=-g式中2篇为球谐函数系数；(0,p)定义为加M0时，Y(%)槡2；；99儒!乜(us”coss m p).(3)加＜0时，Y m(o,p)二/(2g+1)(g-Iml)!槡4n(g+ImI)!P g mI(110)cas(I ml p).(4)式中:Pm(case)为与g度、m阶有关的勒让德函数(Lepeddre functioo),勒让德函数的表达式为P m(c)=(-1)m(1-x2)"f m P g()•(5)d x式中:P“()是g次勒让德多项式.需指出，式(2)中g的取值决定了颗粒重构模型的精度⑺，一般g值越大，精度越高,但重构过程中的计算量越大，本研究取二1进行骨料颗粒表面的重构和几何形态分3三维骨料颗粒几何形态表征分析基于球谐函数和计算几何，对重构骨料颗粒的三维几何形态进行表征,计算并比较的几何特性参数包括表面积、体积、球形度、凸性、主尺度(长轴、中轴和短轴)等.对于天然骨料，以100000个数据点的颗粒模型的分析结果为基准,其他精简模型的分析结果与其对比，以找出能表征骨料颗粒三维几何特性最优(最少)的数据点个数.3・1表面积利用基于球谐重构的表面网格计算骨料颗粒的表面积，其为所有微面元面积的总和⑻，即卩s a=Y1n x质•(6)式中:S a为骨料颗粒表面积;•和C o分别为第o个面元所包含的顶点.对比基于各精简模型与基于100000数据点模型计算出的表面积，计算误差百分比,以混凝土骨料颗粒的标号为横坐标,表面积误差百分比为纵坐标，结果如图4所示.从图中可以看出,3000个数据点模型所计算出的表面积中有个别骨料颗粒的误差较大，最大的一个超过3%，这说明在该模型中，颗粒较多局部特征已经丢失，导致个别形状比较特殊的骨料颗粒在计算中出现较大的误差.图4同时表明，当数据点超过5000时,表面积计算误差基本低于15%，超过30000点时,计算误差已经基本小于1%.图4各精简模型表面积计算误差Fn4Calculatiou erroo oO sprfaca aree based ou each simplified100134体积采用球谐函数的实数表达形式,可通过式(7)计算重构骨料颗粒的体积⑼:y=\[((O,p)siZd0dp.(7)第5期苏栋等:基于三维扫描和球谐分析的骨料和再生骨料颗粒形状表征831对比基于各精简模型与基于100000数据点模型计算出的体积，计算误差百分比，结果如图5所示.基于各精简模型计算的体积与100000点模型体积的误差均低于】％,当数据点超过5000时，计算误差基本低于0.8%,超过30000点时,计算误差已经基本小于0.4%.对比图4和图5,各精简模型的体积误差小于表面积误差，说明体积指标比表面积指标对精简点数量不同而产生误差的敏感度低.0102030405060708090100混凝土骨科颗粒编号图5各精简模型体积计算误差Fig.2Calcelatiou errut of volumv based ou each simplified modvC3.2主要尺寸主要尺寸包括长轴Q、中轴b和短轴c,它们是直接描述颗粒形状或评估其他形状描述指标的重要参数3一⑵.为了评估主要尺寸,首先基于主成分分析确定重建颗粒表面的主轴的方向.旋转重建骨料颗粒以使主轴与笛卡尔轴对齐,然后即可测量主尺寸Qb 和c⑴-⑷.对比基于各重构模型与100000数据点模型计算出的长轴、中轴和短轴，计算误差如图6、图7和图8所示.由图6可知，3000个数据点模型所计算出的长轴有个别骨料颗粒的误差较大，最大的一个超过12%，这说明在该模型中，由于较多局部特征的丢失，颗粒形状与原形状已经出现较大的区别.当模型数据点超过30000时，计算误差基本低于4%,0000数据点模型的长轴误差基本低于】％•由图7和图8可知，中轴和短轴的计算误差规律与长轴基本一致.Fig.6Calcelatiou errot of major axicFig.2Calcelatiou evoe of intermediate axicFig.2Calcelatiou errot of migot axis3.2球形度球形度(S)用来衡量颗粒与球体的接近程度•将球形度定义为等同球体(具有与被研究颗粒相同体积)的表面积与颗粒表面积的比值［⑸:S槡36nU2()对比基于各精简模型与基于100000数据点模型计算出的球形度，计算误差百分比,结果如图9所示.3000个数据点模型所计算出的球形度有个别骨料颗粒的误差较大，最大的一个接近3%.当数据点超过5000时,误差基本低于04%，超过3。
地 磁场球谐系数
地磁场球谐系数地球是一个巨大的磁球体，周围环绕了一个强大的磁场。
这个磁场驱动了地球上每一粒磁性物质的运动，同时还起到了保护地球免受太阳风暴和宇宙射线的影响的作用。
但是，地球磁场的复杂性和变化性导致我们难以完全理解它的本质。
地磁场可以用球谐函数来展开，这种方法可以将地磁场分解成不同频率的振动。
球谐函数是一种标准的数学工具，它可以分解出几乎所有交换对称性球形界面上的函数。
球谐函数是球坐标系下的函数，它们可以描述任何一个旋转对称的物理场。
用球谐函数展开地磁场，可以帮助我们更好地研究地球磁场的性质和变化。
地磁场球谐系数表示每个球谐函数的振幅，它们可以用来描述地球磁场的强度、方向和形状等特性。
地磁场球谐系数可以通过在地球表面或磁层中的磁力计观测得到。
在地球磁场的球谐系数中，一些重要的系数被称为“国际地球磁场参考场（IGRF）”，它们被广泛应用于地球物理、导航和卫星通信等领域。
IGRF包括10个球谐系数，分别是g1^0、g2^0、g3^0、g4^0、g5^0、h1^1、h2^1、h3^1、h4^1和h5^1。
其中g1^0表示零阶球谐系数，表征地球磁场在赤道上的强度。
g2^0和g3^0表示一级和二级球谐系数，表征地磁场在磁北极和磁南极附近的强度。
g4^0和g5^0表示三级和四级球谐系数，表征地磁场在高纬度区域的强度。
h1^1、h2^1、h3^1、h4^1和h5^1都是一级球谐系数，它们表示地磁场的方向和形状等特性。
地磁场球谐系数的测量和研究对于深化我们对地球磁场的认识有着重要的作用。
通过测量和观察球谐系数的变化，我们可以更好地理解地球磁场的演化过程，甚至可以为我们预测太阳爆发和地球磁暴等天文事件带来的可能影响。
总之，地球磁场球谐系数是地球磁场研究中至关重要的参数。
它们可以帮助我们更好地了解地球磁场的本质和变化，为我们研究地球磁场的机理和应用地球磁场提供基础和依据。
除了帮助我们理解地球磁场的本质和变化，地球磁场球谐系数还可以在很多应用中发挥着关键作用。
球谐函数小结
球谐函数小结
球谐函数是描述球面上的函数，球面上的函数可以表示为一组基函数的线性组合，球谐函数是一组正交归一的基函数。
球谐函数在物理学和数学中有广泛的应用，特别是在量子力学、电磁学和地球物理学中。
球面上的函数可以表示为球谐函数的线性组合，球谐函数是一个连续谱，其参数为两个整数l和m，其中l表示角向量的长度，m表示角向量的方向。
球谐函数是通过对球面上的函数进行积分得到的。
球谐函数满足正交归一性的特性，即两个不同的球谐函数的内积为0，同一个球谐函数的内积为1。
这使得球谐函数可以用于展开球面上的函数，类似于傅里叶级数可以用于展开周期函数。
球谐函数具有良好的旋转不变性，即对球面上的旋转操作保持不变，这是由于球谐函数是由球面上的函数通过积分得到的。
这一特性使得球谐函数在物理学中有广泛的应用，特别是在描述自旋和轨道角动量的量子力学问题中。
球谐函数在电磁学中的应用包括描述电磁波的传播和散射，以及描述电磁场的边界条件。
球谐函数在地球物理学中的应用包括描述地球重力场和地球磁场的分布。
球谐函数还在计算机图形学中有广泛的应用，特别是在渲染和图像处理中。
球谐函数可以用于描述光照和材质的反射性质，
用于计算全局光照和间接光照的效果。
球谐函数也可以用于图像压缩和图像编辑等任务。
总结起来，球谐函数是一组正交归一的基函数，用于描述球面上的函数。
球谐函数具有正交归一性、旋转不变性和良好的连续性等特性，广泛应用于物理学、数学、计算机图形学等领域。
通过对球谐函数的理解和应用，可以更好地理解和解决与球面上的函数相关的问题。
球谐分析方法确定重力场
m =0 N max n=m N max N max n=m * Pnm (cos θ ) + sin mλ ∑ C nm N max n=m
∑ Dnm Pnm (cosθ )]
（5-1-8）
~ 显然，上式中只需要 2( N + 1) 次计算三角函数。记
A(m, θ ) =
改进的计算方法
以下给出不同的勒让德函数的计算方法。首先由勒让德函
数的递推公式
Pn ,m + 2 ( x) = 2(n + 1)
令 m = n −1得
x 1− x2
Pn , m +1 ( x) − (n − m)(n + m + 1) Pn ,m ( x)
Pn , n −1 ( x) =
又上式可以变化为
以用递推公式（5-1-11）式计算，也可以用以下结果计算。
可以导得相应的规格化的递推公式：
P0, 0 ( x) = 1 ，
Pn +1, n +1 ( x) =
P1,1 ( x) = 3 1 − x 2
（5-1-11） （5-1-12）
2n + 3 1 − x 2 Pn ,n ( x) 2n + 2 Pn +1,m ( x) = a n x Pn ,m ( x) − bn Pn −1, m ( x)
（5-1-5） （5-1-6）
以上就是利用地球（引力或重力）位系数（亦称地球重力模型） C nm 、 D nm 计算大地 水准面高 N 和重力异常 ∆g 的公式。
常规计算方法 首先，在实际计算过程当中，大地水准面高 N 的计算公式
（ 5-1-7 ） 中 的 地 球 位 系数 的 个 数 不 可能 是 无 穷个 ， 它 总 是 一个 有 限 值， 设 为 ~ N max = N ，即（5-1-7）式可改写为
利用球谐系数计算函数值及利用EGM球谐系数计算重力异常
利⽤球谐系数计算函数值及利⽤EGM球谐系数计算重⼒异常球谐分析（如重⼒场）是将地球表⾯观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：其中，theta为余纬，lambda：经度⼀般地，Pnm为完全归⼀化的缔合勒让德多项式，其与⽆归⼀化的缔合勒让德多项式的Pnm0的关系为：Pnm=(-1)^m*sqrt(k*(2N+1)(N-M)!/(N+M)!)Pnm0其中k=1,当 m=0k=2,当m>0在Matlab中，有现成的缔合勒让德多项式：-----------------------------------------------------------------------------------LEGENDRE Associated Legendre function.P = LEGENDRE(N,X) computes the associated Legendre functionsof degree N and order M = 0, 1, ..., N, evaluated for each elementof X. N must be a scalar integer and X must contain real valuesbetween -1 <= X <= 1.If X is a vector, P is an (N+1)-by-L matrix, where L = length(X).The P(M+1,i) entry corresponds to the associated Legendre functionof degree N and order M evaluated at X(i).There are three possible normalizations, LEGENDRE(N,X,normalize)where normalize is 'unnorm','sch' or 'norm'.The default, unnormalized associated Legendre functions are:P(N,M;X) = (-1)^M * (1-X^2)^(M/2) * (d/dX)^M { P(N,X) },where P(N,X) is the Legendre polynomial of degree N. Note thatthe first row of P is the Legendre polynomial evaluated at X(the M == 0 case).SP = LEGENDRE(N,X,'sch') computes the Schmidt semi-normalizedassociated Legendre functions SP(N,M;X). These functions arerelated to the unnormalized associated Legendre functionsP(N,M;X) by:SP(N,M;X) = P(N,X), M = 0= (-1)^M * sqrt(2*(N-M)!/(N+M)!) * P(N,M;X), M > 0因此，由sch正交化得到⼤地测量中的完全正交化，需要乘以renorm,其中renorm为sqrt(2*N+1)NP = LEGENDRE(N,X,'norm') computes the fully-normalizedassociated Legendre functions NP(N,M;X). These functions areassociated Legendre functions NP(N,M;X). These functions arenormalized such that/1|| [NP(N,M;X)]^2 dX = 1 ,|/-1and are related to the unnormalized associated Legendrefunctions P(N,M;X) by:NP(N,M;X) = (-1)^M * sqrt((N+1/2)*(N-M)!/(N+M)!) * P(N,M;X)因此，由norm正交化得到⼤地测量中的完全正交化，需要乘以renorm,其中renorm=sqrt(2)，当m=0renorm=2,当m>0下⾯的函数使⽤matlab中的缔合勒让德函数legendre来由球谐系数计算球谐函数-----------------------------------------------------------------------------------例⼦1：确定CMB地形(数据来⾃Morelli,1987,nature)下⾯%{ %}注释掉的分别为使⽤matlab legendre函数的sch正交化和norm正交化，然后进⾏modify的结果。
球谐分析教学提纲
球谐分析球谐分析，带谐，田谐，瓣谐球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。
球谐函数表示为：球谐分析（如重力场）是将地球表面观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：其中，theta为余纬，lambda：经度如重力位可表示为：带谐系数：coefficient of zonal harmonics地球引力位的球谐函数展开式中次为零的位系数。
In themathematicalstudy ofrotational symmetry, the zonal spherical harmonics are specialspherical harmonicsthat are invariant under the rotation through a particular fixed axis. （故m=0，不随经度方向变化）扇谐系数：coefficient of sectorial harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次相同的位系数。
田谐：coefficient of tesseral harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次不同的位系数。
The Laplace spherical harmonics can be visualized by considering their "nodal lines", that is, the set of points on the sphere where.Nodal lines of are composed of circles: some are latitudes and others are longitudes.One can determine the number of nodal lines of each type by counting the number of zeros of in the latitudinal and longitudinal directions independently.For the latitudinal direction, the associated L egendre polynomials possess ℓ−|m| zeros, whereas for the longitudinal direction, the trigonometric si n and cos functions possess 2|m| zeros.When the spherical harmonic order m is zero(upper-left in the figure), the spherical harmonic functions do not depend upon longitude, and are referre d to as zonal. Such spherical harmonics are a special case ofzonal spherical functions.When ℓ = |m| (bottom-right in the figure), there are no zero crossings in latitude, and the functions are referred to as sec toral.For the other cases, the functionscheckerthe sphere, and they are referred to as tesseral.More general spherical harmonics of degree ℓ are not necessarily those of the Laplace basis, and their nodal sets can be of a fairly general kind.[10]360阶（EGM96）分辨率为0.5分的来历：纬向180°、360=0.5°。
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球谐分析，带谐，田谐，瓣谐
球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。
球谐函数表示为：
球谐分析（如重力场）是将地球表面观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：
其中，theta为余纬，lambda：经度
如重力位可表示为：
带谐系数：coefficient of zonal harmonics
地球引力位的球谐函数展开式中次为零的位系数。
In themathematicalstudy ofrotational symmetry, the zonal spherical harmonics are specialspherical harmonicsthat are invariant under the rotation through a particular fixed axis. （故m=0，不随经度方向变化）
扇谐系数：coefficient of sectorial harmonics
地球引力位的球谐函数展开式中阶与次相同的位系数。
田谐：coefficient of tesseral harmonics
地球引力位的球谐函数展开式中阶与次不同的位系数。
The Laplace spherical harmonics can be visualized by considering their "nodal lines", that is, the set of points o n the sphere where.
Nodal lines of are composed of circles: some are latitudes and others are longitudes.
One can determine the number of nodal lines of each type by counting the number of zeros of in the latitudinal and longitudinal directions independently.For the latitudinal direction, the associated Legendre polynomials possess ℓ−|m| zeros, whereas for the longitudinal direction, the trigonometric sin and cos functions possess 2|m| zeros.
When the spherical harmonic order m is zero(upper-left in the figure), the spherical harmonic functions do not depend upon longitude, and are referred to as zonal. Such spherical harmonics are a special case ofzonal spherical functions.
When ℓ = |m| (bottom-right in the figure), there are no zero crossings in latitude, and the functions are referr ed to as sectoral.
For the other cases, the functionscheckerthe sphere, and they are referred to as tesseral.
More general spherical harmonics of degree ℓ are not necessarily those of the Laplace basis, and their nodal se ts can be of a fairly general kind.[10]
360阶（EGM96）分辨率为0.5分的来历：纬向180°、360=0.5°。
因此，different spherical harmonic degrees corresponds to different wavelength.。