5-导数的简单应用
高中数学_导数的简单应用教学设计学情分析教材分析课后反思
《导数的简单应用》教学设计教材分析：教材的地位和作用,导数的简单应用”是高中数学人教A 版教材选修2-2第一章的内容，它是中学数学与大学数学一个的衔接点。
导数的应用我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具 通过本节的学习可以使学生具有树立利用导数处理问题的意识。
根据新课程标准的要求如下：（1）知识与技能目标：能利用导数求函数的单调区间；能结合函数的单调区间求参数的取值范围。
（2） 情感、态度与价值观目标：培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。
3.教学重点与难点：教学重点：(1)函数单调性的判断与单调区间的求法；(2)利用函数的单调性求参数的取值范围。
教学难点：（1）含参函数的单调区间的求法；（2） 构造函数求参数的取值范围。
针对这节复习课的特点我设计了 （一） 必备知识（二）典例分析（三）要点总结（四）课堂达标四个主要教学环节.环节（一）：必备知识：我设计了三个问题（1）由给定某函数图像，让学生观察函数的图像，体会导数与函数单调性，当如果)(x f '>0,与函数y=f(x)在这个区间内单调递增，如果)(x f '<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减的直观印象。
而且直接从图象入手，以直观形象带动学生对知识的回忆，学生在观察原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，既能充分调动学生参与课堂的积极性，又加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。
（2）由给定导函数图像，让学生亲自动手画出原函数的图像，既能充分调动学生参与课堂的积极性，而且直接从问题入手，以问题带动学生对知识的回忆，学生在动手画原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。
（3）通过判断正误，深化学生对概念的理解与掌握，增强学生对概念掌握的准确性与持久性。
高等数学中导数的求解及应用
高等数学中导数的求解及应用摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。
然而导数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。
本文详细地阐述了导数的求解方法和在实际中的应用。
关键词：高等数学导数求解应用导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习导数的重要性是不言而喻的。
然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。
我通过自己的学习和认识，举例子说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。
一、导数的定义1.导数的定义设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）-f（x0）。
若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。
2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。
如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。
根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。
二、导数的应用1.实际应用假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时的产量。
解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和：总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量）总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000边际收入R(x)Γ=30边际成本C(x)=0.02x+20边际利润I(x)=-0.02x+20令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。
导数的简单应用
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【考纲要求】
1. 导数的概念及其几何意义
(1)了解导数概念的实际背景．
(2)解导数的几何意义．
2.导数的运算
（1）能根据导数的定义，求函数y=c,y=x,y=x2,y= 1 的导数. x
（2）能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则
求简单函数的导数.
【拓展提升】 1.求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤 第一步：求导数f′(x); 第二步：求方程f′(x)=0的根x0; 第三步：检查f′(x)在x=x0左右的符号： ①左正右负⇔f(x)在x=x0处取极大值； ②左负右正⇔f(x)在x=x0处取极小值.
2.求函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值的步骤 第一步：求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)； 第二步：将y=f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大 的一个为最大值，最小的一个为最小值.
3.(交汇新)已知函数f(x)的定义域为［-2, +∞),部分对应值如下表：f′(x)为f(x)的 导函数，函数y=f′(x)的图象如图所示.若 两正数a，b满足f(2a+b)＜1，则 2b 6 的取值范围是( )
a3
A(6 ,14)
53
C( 4 ,12)
35
B(12 , 8)
73
2 A．（-1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）
2.(2012·洛阳模拟) 已知函数f(x)＝(－ax2－2x＋a)·ex(a∈R).
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在[－1，1]上单调递减，求实数a的取值范围.
导数在物理中的应用举例
导数在物理中的应用举例引言在物理学中，导数是一种非常重要的概念，它描述了物理量随着时间或空间的变化率。
导数的应用广泛，可以帮助我们理解和解决许多物理问题。
本文将以几个具体的例子来说明导数在物理中的应用。
1. 速度和加速度一个最经典的例子是描述物体的速度和加速度。
在物理学中，速度是位置随时间的导数，即速度是位置的变化率。
类似地，加速度是速度随时间的导数，即加速度是速度的变化率。
这两个概念在描述动态物体的运动时非常重要。
考虑一个简单的例子：一个投掷物体在重力作用下自由下落。
我们可以通过计算高度和时间之间的关系来确定物体的速度和加速度。
通过求解位移公式和时间的导数，我们可以得到物体的速度和加速度。
这些数值可以帮助我们分析物体的运动轨迹，并预测其未来的位置和速度。
2. 力和功另一个应用导数的例子是描述力和功。
在物理学中，力是物体受到的作用，而功是力在物体上所做的功。
通过力和功的关系，我们可以计算物体所受的力以及力所做的功。
考虑一个简单的情况：一个物体以恒定的力推动另一个物体。
我们可以通过计算作用力和位移之间的关系来确定所做的功。
通过计算力对时间的导数，我们可以得到力对时间的变化率，也就是力的大小。
同时，通过计算位移对时间的导数，我们可以得到物体的速度。
这些数值可以帮助我们理解力的作用方式，并计算力所做的功。
3. 电路中的电流和电压导数在电路中的应用也非常重要。
在电路中，电流和电压是两个关键的物理量。
电流是电荷随时间的导数，而电压是电势随时间的导数。
电流和电压的知识可以帮助我们理解电路的行为，并计算电路中的能量转换和传输。
考虑一个简单的电路：一个直流电流通过一个电阻。
我们可以通过计算电势差和电阻之间的关系来确定电路中的电流。
通过计算电荷对时间的导数，我们可以得到电流的大小。
同时，通过计算电势差对时间的导数，我们可以得到电压的大小。
这些数值可以帮助我们分析电路的特性，并进行电能计算。
4. 光学中的折射定律导数也在光学中发挥着重要的作用。
导数在生活中应用例子
导数在生活中的应用如下：导数是微分学的重要组成部分，是研究函数性质、曲线性态的重要工具,也是解决实际生活中某些优化问题的重要方法。
探讨了运用导数求解实际生活中有关用料、成本、利润及选址方面问题的方法。
导数（Derivative)也叫微商，是一种特殊的极限，它反映了函数中因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，是微积分中重要的基础概念是联系初等数学与高等数学的桥梁。
在研究几何、证明不等式等方面起着重要的作用，在探究函数性质、寻求函数极值与最值以及描绘函数图形等方面也起着重要的作用，同时，也为解决某些实际应用问题提供了重要的方法。
在实际生活中经常出现的一些谋求利润最大、耗材最少、或效率最高、位置最佳等与经济或科学研究有关的问题，这些问题称之为优化问题，如何找到解决该类问题的最佳方案是求解该类问题的关键，而利用导数就可以简捷地解决这些问题，从而真正解决我们的实际生活问题。
运用导数求解优化问题的方法与注意事项：实际生活中的优化问题，如选址最佳、用料最省、利润最大等问题，本质上就是最值问题，这些问题与求函数的最值问题有着密切的联系，而这些问题可以转化为函数问题，利用导数知识得以简捷的解决。
解决优化问题的方法：首先对现实问题进行分析，找出各个变量之间的关系，建立相对应的函数关系式，将实际问题转化为用函数表示的数学问题。
再结合实际情况确定自变量的定义域，创造函数在闭区间上求最值的情景，通过对函数求导、确定驻点和不可导点、比较函数在区间端点、极值点和不可导点处的函数值，获得所求函数的最大（小）值，最后将数学问题回归到现实问题，根据数学问题的答案回答优化问题最佳方案或策略。
导数在经济发展中具有重要的作用。
随着经济的飞速发展，经济学家们面对共享经济下的各种复杂竞争，对其进行了深入研究。
导数对于经济学的研究具有重要的意义，例如经济学中的边际问题、弹性问题等等都可以利用导数来解决。
利用导数解决经济学中的一些复杂问题，能够将复杂问题简单化。
保分专题(三) 导数的简单应用
考点一 考点二 考点三 专题过关检测
第(1)问： 欲讨论 f(x)的单 调性，应先求 f(x)的定义 域及导数 f′(x)，再讨论 f′(x)的符号；
第一部分 用
层级二
导数的简单应
结 束
(二)建桥——寻关键点
有什么
信息①：已知 f(x)的解析式
想到什么
保分专题(三) 导数的简单应用
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别 卷Ⅰ 2017 考查内容及考题位置 导数的几何意义·T14
第一部分 用
层级二
导数的简单应
结 束
命题分析 1．此部分内容 是高考命题的热点内 容．在选择题、填空 题中多考查导数的几 何意义，难度较小． 2．应用导数研 究函数的单调性、极 值、最值，多在选择 题、填空题最后几题 的位置考查，难度中 等偏上，属综合性问 题．有时也常在解答 题的第一问中考查， 难度一般．
考点一 考点二 考点三 专题过关检测
[典例]
x2＋a (1)已知曲线 f(x)＝ 在点(1， f(1))处切线的斜 x＋1 ( )
第一部分 用
层级二
导数的简单应
结 束
率为 1，则实数 a 的值为 3 A．－ 4 3 C． 2 B．－1 D．2
[解析]
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它有着广泛的几何意义和应用。
在本文中，我们将探讨导数的几何意义，并介绍一些导数在几何中和实际应用中的具体应用。
导数的几何意义可以通过对函数图像的观察得到。
对于一个函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，代表了函数曲线在某一点处的斜率。
具体来说，导数可以解释为函数图像在某一点上的瞬时变化率。
这意味着我们可以通过导数来描述函数图像的“陡峭程度”。
如果导数的值比较大，表示函数图像在该点的变化比较快，曲线比较陡峭；相反，如果导数的值比较小，表示函数图像在该点的变化比较慢，曲线比较平缓。
举个例子来说明导数的几何意义。
考虑一个简单的函数f(x) = x^2，它的导数可以表示为f'(x) = 2x。
我们可以观察到，在函数图像上，导数f'(x)的值代表了曲线在不同点上的斜率。
当x的值较小时，导数f'(x)的值也较小，表示函数图像变化较慢，曲线较平缓；而当x的值较大时，导数f'(x)的值也较大，表示函数图像变化较快，曲线较陡峭。
导数不仅在几何中有着重要意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。
其中一个常见的应用是在物理学中的位置-时间关系中。
根据经典物理学的定义，速度可以看作是位置关于时间的导数。
具体来说，如果我们有一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，那么它的导数dx/dt就表示了该物体在该时刻的瞬时速度。
同样地，加速度可以看作是速度关于时间的导数，即dv/dt。
这种通过导数来描述位置、速度和加速度之间的关系，能够帮助我们更好地理解物体在空间中的运动规律。
在经济学和金融学领域中，导数也有着广泛的应用。
例如，利润函数关于产量的导数可以告诉我们，当产量变化时，利润的瞬时变化率是多少。
这有助于公司和企业在制定生产策略和销售计划时进行决策。
此外，在金融学中，导数可以帮助我们理解和分析股票和债券价格的波动趋势，以及利率和汇率的变化对经济的影响。
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。
一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。
具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。
如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。
例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。
二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。
1. 用定义式计算。
根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。
这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。
2. 利用导数的性质计算。
导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。
例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。
3. 利用数值计算方法计算。
数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。
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(3) y x3 lnx
(4) y x 2x x 1
(5) y (x 1)(x 1)(x2 2)
(6) y cos x sinx cos x
典型习题
2、导数简单应用
例2 求切线方程.
(1)求y cos x在点A( , 1)处的切线方程.
32பைடு நூலகம்(2)求过定点A( 1 , 2)且与抛物线y x2相切的
天道酬勤 人道酬诚
乘法： f (x)g(x) f (x)g(x) g (x) f (x)
除法：
f (x)
g
(
x)
f (x)g(x) g(x) f (x) g 2 ( x)
典型习题
1、求函数的导数
例1 求下列函数的导数. (1) y x4 x3 x 6 (2) y sin x cos x
商南县高级中学
5 导数的简单应用 时间：2020年4月5日
复习
1、导数公式
函数
导函数
y C(C是常数) y x (为常数)
y 0 y x 1
y ax (a 0, a 1) y ax lna
y ex
y ex
y
log
x a
(a
0,
a
1)
y
1 x lna
1 x
logea
函数 y ln x
课堂小结
导数的应用主要是和直线斜率相关的题目， 这是由它的几何意义所决定的.典型题目是切线 问题，在处理时一定要注重理解，切线必须注 意两方面，即切点与斜率.
具体函数的求导也是必须要掌握的，这往 往是解题的第一步.在后续学习中我们会发现导 数其实是一个工具，研究函数性质的工具.
结束语 谢谢参与……
2 直线方程. (3)求过A(1, 1)的曲线y x3 2x的切线方程.
典型习题
2、导数简单应用
例3 已知直线l1，为曲线y x2 x 2在点(1, 0)处 的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1 l2. (1)求直线l2的方程； (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
y sin x y cos x y tan x y cot x
导函数
y 1 x
y cos x
y sin x
y
1 cos2
x
y
1 sin2
x
复习
2、导数的运算法则
加法： f (x) g(x) f (x) g (x)
减法： f (x) g(x) f (x) g (x)