《§211正弦定理》导学案
高中数学正弦定理导学案（一）
⾼中数学正弦定理导学案（⼀）正弦定理（⼀）导学案年级：⾼⼀学科：数学【学习⽬标】通过已学过的直⾓三⾓形的边⾓关系，特别是在直⾓三⾓形中正弦与边之间的关系，探讨⼀般三⾓形中⾓的正弦与边的关系，发现并掌握正弦定理及其证明⽅法；理解正弦定理在讨论三⾓形边⾓关系时的作⽤，理解⽤正弦定理讨论三⾓形解的情形，能根据正弦定理解斜三⾓形。
【学习重点】正弦定理的猜想与证明；正弦定理的简单运⽤【学习难点】正弦定理的猜想与提出过程．学习过程：⼀、知识链接(1)在我国古代就有嫦娥奔⽉的神话故事.明⽉⾼悬,我们仰望夜空,会有⽆限遐想,不禁会问,⽉亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你⽶尺和量⾓设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?我们这⼀节所学习的内容就是解决这些问题的有⼒⼯具.⼆、学习内容【定理的推导】1.回忆⼀下直⾓三⾓形的边⾓关系?2.猜想⼀般三⾓形的边⾓关系：3.证明猜想的结论：思考：还有其它的证明⽅法吗？ABAB Cc baB ACa bcB ACbca【典例剖析】例1. 在ABC ?中，已知3=a ，2=b ，045=B ，求C A ,和c .跟踪练习：在ABC ?中，已知334=b ，22=c ，060=C ，求A .例2. 在ABC ?中，已知10=c ，045=A ，030=C ，解三⾓形.变式练习：若上题中把030=C 改为030=B ，结果⼜如何呢？跟踪练习：在ABC ?中，已知22=c ，1010cos = A ，55cos =B ，求b a ,三、课堂巩固1. 在ABC ?中，已知3π=A ，3=a ，1=b ，则=c2. 在ABC ?中，已知3=b ，33=c ，030=B ，则=a3. 在ABC ?中，若bBa A cos sin =，则B 的度数为四、学习反思：正弦定理（⼀）达标检测。
北师大版必修5高中数学2.1正弦定理(1)导学案
根据下列情况判断三角形解的个数
（1）a=7 b=14 A=30。.;(2) a=30 b=25 B=150。
（3 a=72 b=50 A=135。（4）a= 30 b=40 A=26。
（三）当堂检测
[A]1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ）
高中数学2.1正弦定理(1)导学案
北师大版必修5
【学习目标】
1.熟记并写出正弦定理的内容
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题
【学习重点】
正弦定理的证明及其基本应用
【学法指导】
通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律
【使用说明】
[B]2.（1）正弦定理的内容是什么？写出来。
（2）正弦定理使用于任意三角形吗？R的几何意义是什么？
（3）你能进行证明吗？试试看！！
（课本4 5页用向量进行了证明，试着用其他方法证明）
（二）学习探究
探 究一
[A]在△ABC中，(1)若A＝45°，B＝30°，a＝2，求b，c与C；
（2若A＝30°，C＝105°，b＝8，求a. c与B
A.2 B.3 C.2 D.3
[A]2.已知△ABC中，a=1,b= ,∠ A=3 0°,则∠B=（ ）
A. B. C. 或 πD. π或
[B]3.在△ABC中，若b=1,c= ,∠C= ,则a=.
[A]4在△ABC中，B＝45°，C＝6 0°，c＝1，则最短边的边长等于_______ _．
个性笔记
1.阅读课本45-47页内容，规范完成导学案内容，用红笔,C三个层 次，其中A,B层次必 须每一位同学都完成，C层次供学有余力的同学完成。
正弦定理导学案(必修五)
§1.1.1正弦定理学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验 ：固定ABC的边CB及B ，使边AC绕着顶点C 转动．思考 ：C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学 ※ 学习探究探究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ， AC=b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asin A ，bsin B ，又 sin C1 c ，ccc从而在直角三角形ABC 中，ab csin Asin B ．sin C探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义，有 CD= asin B b sin A ，则 a bsin A ，sin B同理可得 c b a b csin C sin B ，从而 sin B ．sin A sin C类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导 .新知 ：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即a b csin Asin B．sin C试试 ：（ 1）在 ABC 中，一定成立的等式是（）．A ． asin A bsinB B . acos A b cosBC. a sinBbsin A D. acosB b cosA（ 2）已知△ ABC 中， a ＝ 4， b ＝ 8，∠ A ＝ 30°，则∠ B 等于．[ 理解定理 ]（ 1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使a k sin A，， c ksin C ；（ 2）a b c，c b a c．sin A sin B等价于sin C sin B，sin C sin C sin A（ 3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a b sin A ；b．sin B②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A asin B ；sinC．A,B,C 和它们的对边a, b,c叫做b（ 4）一般地，把三角形的三个角.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做．※ 典型例题例 1. 在ABC 中，已知A45o， B 60o， a42 cm ，解三角形．变式：在ABC 中，已知B45o， C 60o，a12cm，解三角形．例 2. 在ABC中， c6, A 45o ,a2,求b和 B, C ．变式：在ABC中， b3, B 60o, c1,求 a和 A, C ．三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理：a b c sin A sin B sin C2．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展a b c2R ，其中2R为外接圆直径. sin A sin B sin C学习评价※ 当堂检测1．根据下列条件，解△ABC.(1) 已知 b=4， c=8， B=30 o；(2)已知B=30o，b=2 ，c=2；(3)已知b=6，c=9，B=45o.2.在△ ABC中，解三角形(1)a=3 ， b=2， A=30o；(2)a=2，b= 2 ，A=45o；(3)a=5 ， b=2， B=120 o；(4)a= 3 ，b= 2 ，B=45o.3.在△ ABC中， a:b:c=1:3:3，求 2sin A sin B 的值.sin C4.在 ABC 中，若cos A b ，则ABC 是（） . cos B aA ．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D ．等边三角形5.已知△ ABC 中， A∶ B∶C＝ 1∶ 1∶ 4，则 a∶ b∶ c 等于（） .A ．1∶1∶4B． 1∶1∶ 2C． 1∶1∶ 3D．2∶2∶ 36.在△ ABC 中，若sin A sinB ，则 A 与 B 的大小关系为（） .A. A BB.ABC. A ≥BD. A 、 B 的大小关系不能确定7.已知ABC 中，sin A :sin B :sin C1: 2:3 ，则 a :b : c =．8.已知ABC 中，A60 ，a3，则 a b c=． (合比性质 )sin B sin Csin A9.在△ ABC中 ,a=5,b=3,C=120 o, 则 sinA:sinB 的值是（）A. 5B.3C.3D.5357710. 已知△ ABC外接圆半径是2cm， A=60o, 求 BC边长 .2211. 在△ABC中， a tan B b tan A ，试判断△ ABC的形状 .12.已知a cos A bcosB ，试判定△ABC形状.课后作业1.已知△ ABC 中， AB＝ 6，∠ A＝30°，∠ B＝120，解此三角形．2. 已知△ ABC 中， sinA∶sinB∶ sinC＝ k∶( k＋ 1)∶2k (k≠0)，求实数k 的取值范围为．。
高三数学《正弦定理》导学案
高三数学《正弦定理》导学案高三数学《正弦定理》导学案教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：一、复习准备：1.讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2.由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？→引入课题：正弦定理二、讲授新课：1.教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA=sinB=sinC=1即c=.②能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有,则.同理，（思考如何作高？），从而.③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=.两边同除以即得：==.证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴，同理=2R，＝2R.证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于，由+=边同乘以单位向量得…..④正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2.教学例题：①出示例1：在中，已知，，cm，解三角形.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两角一边②出示例2：.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两边及一边对角③练习：.在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）④讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3.小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：1.已知ABC中，A=60°，，求.2.作业：教材P5练习1(2)，2题.第二课时1.1.2余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点：向量方法证明余弦定理.教学过程：一、复习准备：1.提问：正弦定理的文字语言？符号语言？基本应用？2.练习：在△ABC中，已知，A=45?，C=30?，解此三角形.→变式3.讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？二、讲授新课：1.教学余弦定理的推导：①如图在中，、、的长分别为、、.∵，∴.即，→②试证：，.③提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示，…等；→基本应用：已知两边及夹角④讨论：已知三边，如何求三角？→余弦定理的推论：，…等.⑤思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？2.教学例题：①出示例1：在ABC中，已知，，，求b及A.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范求b→讨论：如何求A？（两种方法）（答案：，）→小结：已知两边及夹角②在ABC中，已知，，，解三角形.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→分三组练习→小结：已知两角一边3.练习：①在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.②在ΔABC中，已知a＝2，b＝3，C＝82°，解这个三角形.4.小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.。
《正弦定理》导学案1
第二章 解三角形
同步书·数学(必修5-第二章)
.固 . 思 导.学
第1课时 正弦定理
同步书·数学(必修5-第二章)
.固 . 思 导.学
1.掌握正弦定理及其证明过程.
2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.
3.知道正弦定理可以解决那些三角形问题.
.固 . 思 导.学
目标1:
1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对 的角的正弦的比相等,即
.固 . 思 导.学
3.证明正弦定理.
如图所示,向量 在y轴的 ' 射影的绝对值均等于 | OC | ，即： ' | OC | = | AC |cos( A - 90° )=bsinA
AC 与 BC
C
y (C') x O (A) B
a b c = = sinA sinB sinC
.ห้องสมุดไป่ตู้
2.解三角形: 已知三角形的几个元素求其他元素 的过程
5
.固 . 思 导.学
1
在 ABC中,c=4,a=2,C=45°,求sinA的值。
2
在 ABC中，A=60°，B=45°，BC= 3 2 ，则 AC=（ ）
3
在 ABC中，A=75°，B=45°,c=1,解三角形.
y (C') C
| OC ' | = | BC |sin B=asinB
asinB=bsinA
a c 同理 = 。 sin A sin C
a b 即 = 。 sin A sin B
x O (A)
y (C') C
B
a b c 所以 = = 。 sin A sin B sin C
《正弦定理》教案（精选5篇）
《正弦定理》教案（精选5篇）《正弦定理》篇1通过正弦定理让我们更容易的了解数学，正弦定理的教学内容有哪些呢?以下是小编为大家整理的关于《正弦定理》教案，给大家作为参考，欢迎阅读!一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等知识在三角形中的具体运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
二、学情分析对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等知识，具有一定观察分析、解决问题的能力;但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。
三、设计思想：培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。
”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不仅是通过教师传授得到的，更重要的是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。
四、教学目标：1、在创设的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，探索和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨性.2、理解三角形面积公式，能运用正弦定理解决三角形的两类基本问题，并初步认识用正弦定理解三角形时，会有一解、两解、无解三种情况。
《正弦定理》导学案
训 练 检 测
2．在△ABC 中，已知 A＝30°，B＝120°，b＝12，求 a＋c 的值.
学生在课堂上独立 完成，老师巡视．每组第 一个完成的学生老师给 判，该学生负责给本组其 它成员判，一是达到了练 习的目的，二是老师了解 了学生对知识的掌握情 况，为下一步的教学工作 打好了基础．
-3-
总 结 升 华
1．正弦定理的探究过程与证明方法； 2．正弦定理的内容与能解决的问题； 3．正弦定理的简单应用． 1．正弦定理内容拓展：
课后 再 研究
a b c 2R (其中R为ABC外接圆半径)； sin A sin B sin C 1 2．三角形面积公式： S ab sin C ． 2
3．用正弦定理解三角形，什么时候有一个解，什么时候有两个解，什么时候无解？
[研究成果] 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a b c ． sin A sin B sin C
[证法交流] 学生把课前收集到的 《正弦定理》 的证明方法在课堂上与大家交流共 享． [师生协作] o o 例． 在△ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 若 A=45 ， B=105 ，
西安高新第三中学导学案
学科 数学 年级 高二 课题 主备人 张霁 备课组长 张霁 学 生 评价 小组 使用时间 编 号
班 级 一、二班
第 1 课时
课题：正弦定理
1.知识与技能： 掌握正弦定理，并能用正弦定理解决简单的解三角形问题． 教 学 目 标 2.过程与方法： 通过对特殊三角形边角间数量关系的研究， 探索发现正弦定理， 初步学会运用由特殊到一般的思 想方法发现数学规律． 3.情感、态度与价值观： 在利用向量证明正弦定理的过程中， 体会向量工具在解三角形的度量问题中的作用， 进一步认识 和体会数学知识之间的普遍联系与辩证统一． 重点 难点 四 步 1．正弦定理的探索和证明； 2．用正弦定理解决简单的解三角形问题． 学习内容及流程设计 1．阅读课本 P43 的章前序言，了解本章内容的背景和正、余弦定理能 解决的问题． O O O O 2．知识储备：sin0 = , sin30 = , sin45 = , sin60 = , O O O O O sin90 = , sin15 =sin165 = , sin75 =sin105 = ； 师生活动设计
关于正弦定理数学教案5篇
关于正弦定理数学教案5篇关于正弦定理数学教案5篇本节内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识。
下面给大家分享正弦定理数学教案，欢迎阅读！正弦定理数学教案【篇1】一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。
在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。
它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。
因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。
二、教学目标根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。
能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方法。
情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。
三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。
教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。
即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。
学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。
五、教学过程本节知识教学采用发生型模式：1、问题情境有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。
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《§2.1.1 正弦定理》导学案
使用说明： 1．自学45~47页内容，提高自学能力；
2．限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，准备课上讨论探究，学有余力的学生可提前完成其他部分。
【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
【重点难点】1正弦定理的探索和证明及其基本应用.2. 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
预习案
课前准备
试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？
新课导学
※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c
==，
从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==．
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，
有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B =， 从而sin sin a b A B =sin c C =．
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
sin sin a b A B =sin c C
=． 探究案。