解法欧拉方程是特殊的变系数方程
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微分方程例题精讲
1 C1 ( 2 ) dx x x
C 2 xe
C1 x
.
二、高阶微分方程的计算
题型2 高阶线性微分方程
[解题思路]特征方程，待定系数法。 常系数线性微分方程： 齐次：特征根法；非齐次：待定系数法。 可化为常系数的微分方程：变量代换。 线性微分方程解的理论。
例9 求特解
y 2 y y xe e , y (1) y(1) 1
显然S(0)=0。因此S(x)满足初值问题
x y xy , y(0) 0 2
3
一阶线性
(II)
x3 y xy , y(0) 0 2
一阶线性
常数变易法
对应的齐次方程为: y xy 0.
dy xdx ln | y | x ln | C | y Ce y 2
可分离变量
u sin u cos u du dx 两边积分 2u cos u x C 所求通解为 xy cos y C u cos u 2 x x
还原
例4 求通解 xy 2 y 3 x y
3
4 3
解: 原式可化为 y 2 y 3x y
2
4 3
x
n
此方程的一般形式为
可分离变量
分离变量解得
1 P C1 y
2
dy P C1 y 1 即 C1 y 1 dx
可分离变量
还原
故方程的通解为
2 C y 1 x C 2 C1 1
例8 求方程 yy y 0 的通解
2
d ( yy) 0 解: 将方程写成 dx
故有 yy C1
求解方程 y 4 y 1 ( x cos 2 x) 例10 2
微分方程欧拉方程
微分方程欧拉方程欧拉方程是微分方程的一种特殊形式，它是描述物理现象和自然现象的重要数学工具。
本文将介绍欧拉方程的定义、特点以及一些典型的应用。
欧拉方程是指具有以下形式的微分方程：\[a_nx^n y^{(n)} + a_{n-1}x^{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 x y' + a_0 y = 0\]其中，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数，\(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\)是给定的常数。
欧拉方程的特点是含有自变量x和因变量y的多项式系数，并且在x=0处可能出现奇点。
这使得求解欧拉方程需要特殊的方法。
针对不同的n值，欧拉方程的解法也不同。
当n=2时，欧拉方程称为二阶欧拉方程。
二阶欧拉方程的一般形式为：\[a_2 x^2 y'' + a_1 x y' + a_0 y = 0\]对于二阶欧拉方程，可以进行一些简化。
首先，假设解为y=x^r，其中r是一个常数。
对y=x^r求导，可得到：\[y' = rx^{r-1}\]\[y'' = r(r-1)x^{r-2}\]将y、y'和y''的表达式代入原方程，可以得到一个关于r的代数方程，称为欧拉特征方程。
解欧拉特征方程可以得到r的值，进而得到y的表达式。
当r是实数时，解为y=x^r。
当r是复数时，解为y=x^αcos(βlnx)+x^αsin(βlnx)，其中α和β是常数。
除了二阶欧拉方程，欧拉方程还可以推广到更高阶的情况。
不同阶数的欧拉方程具有不同的特点和解法，需要根据具体问题进行分析和求解。
欧拉方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在弹性力学中，弹性梁的挠度满足四阶欧拉方程，在电路理论中，电阻、电容和电感的组合电路中的电流满足二阶欧拉方程。
欧拉方程还可以应用于一些经济学和生物学领域。
例如，在经济学中，经济增长模型可以用欧拉方程来描述经济变量之间的关系；在生物学中，种群增长模型也可以用欧拉方程来描述种群数量随时间的变化。
欧拉方程
欧拉方程
第六节、欧拉方程
因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还 没有一般的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的 线性微分方程——欧拉方程，通过变量替换可以化为 常系数的线性微分方程，因而容易求解. 形如 xny(n)+p1xn－1y(n－1)+…+pn－1xy′+pny=f(x) （6-33n为常数.
代入原方程，得 a=1/3,
即 y =1/3x2,
所以欧拉方程的通解为 y=1/3x2+C1/x+C2x.
谢谢聆听
第六节、欧拉方程
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其 乘积因子自变量的幂次相同. 当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=ln x，有
第六节、欧拉方程
如果来用记号D表示对自变量t求导的运算d/dt，则上述结 果可表示为
xy′=Dy，
一般的，有 xky(k)=D(D－1)…(D－k+1)y.（6-34）
当自变量x<0时，作变换x=－et，可得类似结果. 将式（6-34）代入欧拉方程，则方程（6-33）化为以t为自变 量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，回代t=ln x， 即得到原方程的解.
第六节、欧拉方程
【例1】
求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解. 解 作变换x=et(设x>0),原方程化为
D(D－1)y+Dy－y=e2t, 即
D2y－y=e2t 或
方程（6-35）所对应的齐次方程为
其特征方程为
r2－1=0,
（6-35） （6-36）
第六节、欧拉方程
特征根为 r1,2=±1,
所以齐次方程（6-36）的通解为 Y=C1e－t+C2et=C1x+C2x.
第六节、欧拉方程
因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还 没有一般的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的 线性微分方程——欧拉方程，通过变量替换可以化为 常系数的线性微分方程，因而容易求解. 形如 xny(n)+p1xn－1y(n－1)+…+pn－1xy′+pny=f(x) （6-33n为常数.
代入原方程，得 a=1/3,
即 y =1/3x2,
所以欧拉方程的通解为 y=1/3x2+C1/x+C2x.
谢谢聆听
第六节、欧拉方程
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其 乘积因子自变量的幂次相同. 当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=ln x，有
第六节、欧拉方程
如果来用记号D表示对自变量t求导的运算d/dt，则上述结 果可表示为
xy′=Dy，
一般的，有 xky(k)=D(D－1)…(D－k+1)y.（6-34）
当自变量x<0时，作变换x=－et，可得类似结果. 将式（6-34）代入欧拉方程，则方程（6-33）化为以t为自变 量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，回代t=ln x， 即得到原方程的解.
第六节、欧拉方程
【例1】
求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解. 解 作变换x=et(设x>0),原方程化为
D(D－1)y+Dy－y=e2t, 即
D2y－y=e2t 或
方程（6-35）所对应的齐次方程为
其特征方程为
r2－1=0,
（6-35） （6-36）
第六节、欧拉方程
特征根为 r1,2=±1,
所以齐次方程（6-36）的通解为 Y=C1e－t+C2et=C1x+C2x.
一类欧拉方程特解的求解
2 具体求法
1 预备知识
定 义1 若 函 数f（x）的 原 函 数 能 用 初 等 函 数 表
乙%
示，则称不定积分 f（x）dx 是可积的；否则，不定积 %
定义2 以r为未知数的一元二次代数方程
r2+（a－1）r+b=0
（8）
称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程。 其特征方
程（8）的根r1和r2称为方程（2）的特征根[5，6]。
βt
的右端将转化为keateλχ ，则方程（3）的特解是很难求
出的。 在此，我们将给出方程（3）为可积方程的一个
充分条件，并在此充分条件下用初等积分法求方程
（3）的特解。
本文中的可积方程是指其通解可以用初等函数
表示出来的常微分方程。 这不同于一般教材或文献
对可积方程的定义。
乙%
分 f（x）dx 是不可积的。 %
育出版社, 2003.
Construction of Mathematical Model about NBA Schedule Analysis and Evaluation
ZENG Yu-hua YANG Xu-xin CHENG Xia-yan (Hunan First Normal College, Changsha 410205)
曾玉华，杨徐昕，成夏炎：NBA赛程分析与评价数学模型的构建
南赛区二等奖。 ）
参考文献 [1] 徐玖平,胡知能,王委. 运筹学(第二版)[M]. 北京：科学出版
社 ，2004. [2] 韩旭里,万中. 数值分析与实验[M]. 北京：科学出版社，2006. [3] 姜启源,谢金星,叶俊. 数学模型(第三版)[M]. 北京：高等教
β=2，k=2，λ=2且 α－r1 =1， α－r2 =2，由定 理 知 其 为 可
欧拉方程
欧拉方程是一种特殊的变系数微分方程，其解法关键在于通过变量代换将其转化为常系数微分方程。具体步骤包括：首先，作变量变换，将自变量x换为t，令x=e^t或t=ln x。然后，利用链式法则求出y关于t的各阶导数，并用D表示对t的求导运算。将这些结果代入原欧拉方程，即可得到一个以t为自变量的常系数线性微分方程。解出这个常系数方程后，再将t换回ln x，即可得到原欧拉方程的解。需要注意变量的方次数相同。通过掌握欧拉方程的解法，可以有效地解决一类特殊的微分方程问题。
6-7欧拉方程,方程组
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p1 x y pn1 xy pn y f ( x ) 的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数) 叫欧拉方程. x y
n ( n) n 1 ( n 1 )
形如
上述结果可以写为 xy Dy, 2 d y dy 2 x y 2 ( D 2 D ) y D( D 1) y , dt dt 3 2 d y d y dy 3 x y 3 3 2 2 dt dt dt ( D 3 3 D 2 2 D ) y D( D 1)( D 2) y ,
例3.
解: 方程两边关于 x 求导 , 得
得初值问题
③ ④
d 令 x e , 记 D , 则 ③ 化为 dt [ D( D 1) D 4] y 5e t
t
即 ( D 2 4 ) y 5e t
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d2y t 即得微分方程 4 y 5 e , 2 dt
第六章
第七节 欧拉方程
常系数线性微分方程组
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结束
一、欧拉方程
形如
2 d y dy 2 x qy f ( x ) 2 px dx dx
的方程称为欧拉方程，其中 p, q 是常数。
作变量替换 则
x e t 或 t ln x ,
dy dy dt 1 dy d 2 y 1 d 2 y dy , 2 2 , 2 dx dt dx x dt dx x dt dt
例如， y ( n ) a1 y ( n1) an1 y an y f ( x ) 用记号 D 可表示为
p1 x y pn1 xy pn y f ( x ) 的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数) 叫欧拉方程. x y
n ( n) n 1 ( n 1 )
形如
上述结果可以写为 xy Dy, 2 d y dy 2 x y 2 ( D 2 D ) y D( D 1) y , dt dt 3 2 d y d y dy 3 x y 3 3 2 2 dt dt dt ( D 3 3 D 2 2 D ) y D( D 1)( D 2) y ,
例3.
解: 方程两边关于 x 求导 , 得
得初值问题
③ ④
d 令 x e , 记 D , 则 ③ 化为 dt [ D( D 1) D 4] y 5e t
t
即 ( D 2 4 ) y 5e t
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d2y t 即得微分方程 4 y 5 e , 2 dt
第六章
第七节 欧拉方程
常系数线性微分方程组
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结束
一、欧拉方程
形如
2 d y dy 2 x qy f ( x ) 2 px dx dx
的方程称为欧拉方程，其中 p, q 是常数。
作变量替换 则
x e t 或 t ln x ,
dy dy dt 1 dy d 2 y 1 d 2 y dy , 2 2 , 2 dx dt dx x dt dx x dt dt
例如， y ( n ) a1 y ( n1) an1 y an y f ( x ) 用记号 D 可表示为
欧拉方程解法课件
一阶线性欧拉方程的解
举例
(y' = 2xy) 的解为 (y = x^2)，通过分离变量法得到。
举例
(y' = frac{1}{x}) 的解为 (y = ln x)，通过变量代换法得到。
二阶常系数线性欧拉方程的解
举例
(y'' + 4xy = 0) 的解为 (y = c_1x^2 + c_2x^2)，通过特征值法得到。
应用示例
对于形如 (frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = f(x,y)) 的偏微分方程，可以 使用有限差分法、有限元法等数值解 法进行求解。
03
欧拉方程的解的性质
解的存在性和唯一性
存在性
对于给定的初值条件和边界条件，欧 拉方程存在一个解。
应用示例
对于形如 (u(x,y) = v(x)w(y)) 的函数，如果满足一定的条件，可以将方程分解为两个独立的常微分方程， 分别求解后再组合得到原方程的解。
积分因子法
01
总结词
通过引入一个积分因子，将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
02 03
详细描述
积分因子法是一种通过引入一个积分因子来简化偏微分方 程的方法。这种方法适用于具有特定对称性的偏微分方程 ，通过引入积分因子可以将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
并行计算
将计算任务分解成多个子 任务，利用多核处理器或 分布式计算资源并行处理， 加快计算速度。
THANKS
感谢观看
VS
举例
(y'' - 2y' + y = 0) 的解为 (y = c_1e^x + c_2e^{-x})，通过常数变易法得到。
欧 拉 方 程
欧拉方程
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘 积因子自变量的幂次相同.
当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=lnx，有
欧拉方程
欧拉方程
【例27】
求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解.பைடு நூலகம்解作变换x=et(设x>0),原方程化为
D(D－1)y+Dy－y=e2t, 即
D2y－y=e2t 或
(12-23) (12-24)
欧拉方程
其特征方程为r2－1=0, 特征根为r1,2=±1, 所以齐次方程(12-24)的通解为
谢谢聆听
欧拉方程
欧拉方程
因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还没有一般 的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的线性微分方程—— 欧拉方程，通过变量替换可以化为常系数的线性微分方程，因 而容易求解.
形如 xny(n)+p1xn-1y(n-1)+…+pn-1xy′+pny=f(x) (12-21) 的方程称为欧拉方程，其中p1，p2，…，pn为常数.
第十二章 欧拉方程【高等数学+同济大学】
特征方程的根为 r1 0, r2 1, r3 3.
所以齐次方程的通解为
Y
C1
C2etC3e3t
C1
C2 x
C3x3.
设特解为 y be2t bx2 ,
代入原方程，得 b 1 . 2
即 y x2 , 2
所给欧拉方程的通解为
y
C1
C2 x
用 D 表示对自变量 t 求导的运算 d ,
dt 上述结果可以写为
xy Dy,
x2 y d 2 y dy (D2 D) y D(D 1) y, dt 2 dt
x3 y d 3 y 3 d 2 y 2 dy dt 3 dt 2 dt
(D3 3D2 2D) y D(D 1)(D 2) y,
欧拉方程
一、欧拉方程
形如
xn y(n)
p x y n1 (n1) 1
pn1 xy
pn y
f (x)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常数) 叫欧拉方程.
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同．
解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
一般地， xk y(k) D(D 1)(D k 1) y.
将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后
把 t 换为 ln x ，即得到原方，程的解.
例 求欧拉方程
x3 y x2 y 4xy 3x2 的通解．
解 作变量变换 x et 或 t ln x,
欧拉方程 解
欧拉方程解
欧拉方程是一种常微分方程，它描述了一类特殊的物理现象，如弹性
力学、流体力学和电磁学等。
欧拉方程的形式非常简单，但它却是一
种非常重要的数学工具，被广泛应用于各个领域。
欧拉方程的一般形式为：
$$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$$
其中，$y$是未知函数，$y'$表示$y$的一阶导数，$y''$表示$y$的二
阶导数，$y^{(n)}$表示$y$的$n$阶导数。
$F$是一个关于
$x,y,y',y'',...,y^{(n)}$的函数。
欧拉方程的解法非常复杂，需要使用一些高级的数学工具。
一般来说，欧拉方程的解法可以分为两类：一类是使用变量分离法，将欧拉方程
转化为一些简单的微分方程，然后再求解；另一类是使用特殊函数，
如贝塞尔函数、超几何函数等，来求解欧拉方程。
在物理学中，欧拉方程被广泛应用于描述一些重要的物理现象。
例如，在弹性力学中，欧拉方程可以用来描述弹性杆的振动；在流体力学中，欧拉方程可以用来描述流体的运动；在电磁学中，欧拉方程可以用来
描述电磁场的变化。
总之，欧拉方程是一种非常重要的数学工具，被广泛应用于各个领域。
虽然欧拉方程的解法非常复杂，但是它却可以帮助我们更好地理解和
描述一些重要的物理现象。
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将自变量换为 t,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d2y dx2
1 x2
d2y
dt 2
dy , dt
d3y dx 3
1 x3
d3y dt 3
d2y 3
dt 2
2 dy , dt
用 D 表示对自变量 t 求导的运算 d ,
dt 上述结果可以写为
xy Dy,
x2 y d 2 y dy (D2 D) y D(D 1) y, dt 2 dt
x3 y d 3 y 3 d 2 y 2 dy dt 3 dt 2 dt
(D3 3D2 2D) y D(D 1)(D 2) y,
一般地， xk y(k) D(D 1)(D k 1) y.
将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后，
或
d 3 y 2 d 2 y 3 dy 3e2t . dt 3 dt 2 dt
(1)
方程(1)所对应的齐次方程为
d 3 y 2 d 2 y 3 dy 0, dt 3 dt 2 dt 其特征方程 r 3 2r 2 3r 0,
特征方程的根为 r1 0, r2 1, r3 3.
所以齐次方程的通解为
把 t 换为 ln x ，即得到原方程的解.
例 求欧拉方程
x3 y x2 y 4xy 3x2 的通解．
解 作变量变换 x et 或 t ln x,
原方程化为
D(D 1)( D 2) y D(D 1) y 4Dy 3e2t ,
即 D3 y 2D2 y 3Dy 3e2t ,
*第十一节 欧拉方程
形如
xn y(n)
p x n
f (x)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常数) 叫欧拉方程.
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同．
解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
作变量变换 x et 或 t ln x,
Y
C1
C2etC3e3t
C1
C2 x
C3x3.
设特解为 y be2t bx2 ,
代入原方程，得 b 1 . 2
即 y x2 , 2
所给欧拉方程的通解为
y
C1
C2 x
C3 x3
1 2
x2.