复函(2.1---2.4)

f [ g ( z )] f ( w ) g ( z ). 其中 w g ( z ) (6)
(7) 1 f ( z ) , 其中 w f ( z )与 z ( w )是 ( w )
两个互为反函数的单值 函数 , 且 ( w ) 0
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致.
以上定理的证明, 可利用求导法则.
根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
P(z) ( 2 ) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q(z) 零的点的区域内是解析 的 , 使分母为零的点是 它的奇点 .
三、小结与思考
理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法.
810 y 6 4 2 u=0 2 4 6 1 1 1 1
v
10
v=10 8 6 4 2 2 4 6 8 10
8
x
10
10
u
10
• 解析函数退化为常数的几个充分条件： • (a)函数在区域内解析且导数恒为零； • (b)解析函数的实部、虚部、模或辐角中有 一个恒为常数； • (c) 解析函数的共轭在区域内解析。
dw d w f ( z 0 ) z f ( z 0 ) d z , 即 f ( z 0 ) d z z z0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
域 D 内解析的充要条件是 : u( x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微 , 并且满足柯西－黎曼方 程 .
解析函数的判定方法:
(1) 如果能用求导公式与求 导法则证实复变函 数 f ( z ) 的导数在区域 D 内处处存在 , 则可根据 解析函数的定义断定 f ( z ) 在 D 内是解析的 .
三、小结与思考
在本课中我们得到了一个重要结论—函数
解析的充要条件:
u( x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微 , 并且满足柯西－ 黎曼方程
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z 0 及 z 0 的邻域内处处可 导 , 那末称 f ( z ) 在 z 0 解析 .
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数 ).
思考题
复变函数 f ( z ) 在点 z0 可导与在 z0 解析有无区别 ?
思考题答案
f ( z ) 在点 z 0 解析必在 z 0 可导 , 反之不对.
例如 f ( z ) z 在 z0 0 处可导 ,
但在 z 0 0 处不解析 .
2
第二节 函数解析的充要条件
一、主要定理
二、典型例题
第二章 解析函数
• 第一节 • 第二节 • 第三节 解析函数的概念 函数解析的充要条件 初等函数
第一节
解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
二、解析函数的概念 三、小结与思考
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D , z 0 为 D 中的一 点 , 点 z 0 z 不出 D 的范围 ,
例4 讨论 w f ( z ) z
解：
w z f ( z z ) f ( z ) z
2
的可导性。
z z z z
2 2


( z z )( z z ) z z
z 0:
w z
z
z z z
z z
z 0
( z 0) f (0) 0
f ( z0 z ) f ( z0 ) 如果极限 lim 存在 , z 0 z
那末就称 f ( z ) 在 z0可导 .这个极限值称为 f ( z ) 在 z 0 的导数 ,
记作 dw f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z 0 ) lim . d z z z0 z 0 z
柯西介绍
黎曼介绍
根据定理一 , 可得函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在 点 z x yi 处的导数公式 :
u v 1 u v f ( z ) i . x x i y y
函数在区域 D 内解析的充Fra bibliotek条件定理二 函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在其定义
z 0
[解] 这里 lim
f ( z z ) f ( z )
取z iy 0 , lim
x 2yi x yi
z 0
lim
2y y
z 0
2.
所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.）
z = 0 是它的一个奇点。
例6 研究函数 f ( z ) z Re( z ) 的可导性与解析性 .
定理
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g ( z ) 的 和、差、积、商 (除去分母为零的点 )在 D 内解析 .
( 2 ) 设函数 h g ( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析 , 函数 w f ( h ) 在 h 平面上的区域 G 内解析 . 如果 对 D 内的每一个点 z , 函数 g ( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w f [ g ( z )] 在 D 内解析 .
ux ku k v u y
vx v y
vy C R u y
uy v y
1, 得证。
例如 f z z 2 x 2 y 2 i 2 xy , f z 2 z 0 z 0 . 两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲 线x2y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。
2. 奇点的定义
如果函数 f ( z ) 在 z 0 不解析 , 那末称 z 0 为 f ( z ) 的奇点 .
根据定义可知:
函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.
但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的 概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.
在定义中应注意:
z 0 z z 0 (即 z 0 )的方式是任意的 .
即 z 0 z在区域 D 内以任意方式趋于 z 0时 , f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z ) 在区域内 D 可导.
( 2) 如果复变函数 f ( z ) u iv 中 u , v 在 D 内 的各一阶偏导数都存在 、连续 (因而 u , v ( x , y ) 可微 )并满足 C R 方程 , 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f ( z ) 在 D 内解析 .
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:
f ( z 0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z 0 的微分 , 记作 dw f ( z 0 ) z .
如果函数在 z 0 的微分存在 , 则称函数 f ( z ) 在 z 0 可微 .
特别地,
当 f ( z ) z 时,
d w d z f ( z 0 ) z z ,
三、小结与思考
一、主要定理
定理一
设函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域 D 内, 则 f ( z ) 在 D 内一点 z x yi 可导的充要条 件是 : u( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微 , 并且在该 点满足柯西－黎曼方程 u v , x y u v . y x
区域 D 内为一常数 .
例7
f ( z ) u iv是区域D内的解析函数， 且 f ( z ) 0
是区域内的正交 曲线族。
u ( x , y ) C1 , v ( x , y ) C 2 C1 , C 2为任意常数
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 ) ux 证：u ( x , y ) C1在 ( x , y )处切线的斜率 k u ， uy vx v ( x , y ) C 2 在 ( x , y )处切线的斜率 k v vy
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.
3.求导法则:
求导公式与法则:
0, 其中c为复常数 . (1) ( c ) ( 2 ) ( z n ) nz n 1 , 其中n为正整数 .
( 3) (4)
定义 设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z ,
式中 lim ( z ) 0, ( z )z 是 z 的高阶无穷
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分.
求 f ( z ) z 2的导数 . 例1
例2
讨论 f ( z ) Im z的可导性 . 问 f ( z ) x 2 yi 是否可导？