各种分布的随机数的生成

2 望和方差。设 X 服从对数正态分布，均值为 x ，方差为 x ，则 Y ln X 服从正态分
2 布，设其均值为 y ，方差为 y 。由 X 和 Y 的关系，可得方程
y e y 2 x 2 2 y 2 y y 2 ( e 1 ) e x
计算。 2 均匀分布 2.1 定义 若连续随机变量的概率密度为
1 , 当a x b f ( x) b a 其它 0,
ab (b a) 2 则称服从均匀分布， 记为~ (a, b) ， 数学期望 E ， 方差 D 。 2 12
2.2 随机数列的生成 如果 为[0,1]区间均匀分布的随机数列，则令
标准正态分布的累积分布函数能够被一个叫做误差函数的特殊函数表示，
1 F ( x) 2
其中 erf x
e

x

x2 2
1 x dx 1 erf 2 2
2

e x
2
2k x 2 k 1 k 0 ( 2k 1)!!

正态分布的累积分布函数图形曲线见图 3。
各种分布的随机数的生成
1 基本方法 在计算机中都备有可直接使用的均匀分布随机函数或程序， 一般是用数值转换中 的求余法得到的，这样产生的随机数列，是根据确定的算法递推出来的，严格地讲并 不是随机的，因此称为伪随机数。不过如果计算方法选得恰当，它们近似于相互独立 和均匀分布，在一定的置信度下，能通过统计检验中的参数检验、独立性检验、连检 验等，因此可以把它们当作真正的随机数使用 在一般情况下， 计算机中的随机函数所产生的数列为[0,1]区间均匀分布的随机数 列，有时就需要转换成其它分布的随机数列，如正态分布、瑞利分布等，下面讨论如 何从[0,1]区间均匀分布的随机数列 1 , 2 ,, n 得到任意分布的随机变量抽样。 设所求的任意分布的随机变量 的概率密度函数为 f ( x) ，其累积分布函数为
1 (2 ln 1 ) cos 2 2 2 (2 ln 1 ) 2 sin 2 2
均为服从 N (0,1) 标准正态分布的独立随机变量，它在整个区域上都是精确的，只 取决于 1 和 2 的随机性和独立性。
1
1 2
4.4 标准正态分布转换为一般正态分布 如果随机变量 服从标准正态分布，则令
x x2 2 , ( x 0) ( 0) f ( x) 2 e 0, ( x 0)
2
则称服从对数正态分布，记为 ~ R( ) ，并且 E
4 2 ， D 2 2
瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络 统计时变特性的一种分布类型。两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。 其累积分布函数为
图3
正态分布的累积分布函数（颜色与概率密度函数同）
它的反函数被称为反误差函数，为
F 1 ( x) 2 erf 1 (2 x 1)
正态分布的累积分布函数 F ( x) 没有初等函数表达式，它的值可以通过数值积分、 泰勒级数或者渐进序列近似得到。 虽然正态分布函数的积分不能用初等函数表达出来，
F ( ) f ( x)dx
a

a
ba
于是得
(b a) a
即为[a,b]区间均匀分布的随机数列。
3 指数分布 3.1 定义 指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔， 比如旅客进机场的时间间 隔。 若连续随机变量的概率密度为
e ( x ) f ( x) 0 (x ) ， (x )

12 k k i k i 1 2
其中，k 为[0,1]区间均匀分布的随机变量的个数。k 值可以根据计算精度来选取，若 取 k=12，则 i 6 。此时算得的 将不超过(-6,6)的范围，这对于一般可靠度
i 1 12
的计算已达足够精度。 4.3 Box-Muller 算法 在 4.2 节给出的方法是一种近似算法，是用多项式估计正态分布，Box-Muller 算 法则给出了一种精确的生成方法。Box-Muller 算法隐含的原理较为复杂，但结果却是 相当简单：如果 1 、 2 是在[0,1]区间上均匀分布的随机变量，则
F ( x) ，且 F ( x) 在[0,1]区间是单调递增的连续函数，则有随机变量
F ( )
是[0,1]区间上的均匀分布的随机变量。 由（1）式可得
（1）
F 1 ( )
（2）
（2）式表示可用求累积分布函数的反函数的方法来产生任意分布的随机数。若
F ( ) 不是某种典型的分布函数而是由统计得到的数值表，则用数值法作随机抽样的
累积分布函数
指数分布的概率密度函数和累积分布函数
F ( ) 1 e ( )
于是得

1

ln 1
即服从指数分布的随机数列。
4 正态分布 4.1 定义 若连续随机变量的概率密度为
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
x
x 就是服从 N ( , ) 分布的随机变量的抽样。 5 对数正态分布 5.1 定义 若连续随机变量的概率密度为
f ( x) 1 x 2 e
(ln x ) 2 2 2
( 0)
则称服从对数正态分布，记为 ~ Ln( , ) ，并且 E e
2
解得
x ln y 2 2 1 x x 2 2 y ln 1 x x


再按照第 4 节给出的方法生成正态分布的随机数列 Y，代入 x e y 中，即得服从 对数正态分布的随机数列 X。 6 瑞利分布 6.1 定义 若连续随机变量的概率密度为
（ 0 ）
则称服从指数分布，记为 ~ e( , ) ，数学期望 E 其累积分布函数为
1 e ( x ) F ( x) 0 (x ) (x )
1

，方差 D
1
2
概率密度函数 图1 3.2 随机数列的生成 如果 为[0,1]区间均匀分布的随机数列，则令
( 0)
则称服从正态分布，并记为 ～N ( , ) ，并且 E ， D 2 特别的，当 0 ， 1时，称为标准正态分布，记为 ～N (0,1) ，此时
1 2 f ( x) e 2
x2
正态分布的概率密度函数曲线见图 2。
图2
正态分布的概率密度函数（绿色为标准正态分布）

2 2
， D (e 1)e 2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
概率密度函数 图4 5.2 随机数列的生成
累积分布函数
对数正态分布的概率密度函数和累积分布函数
对数正态分布的随机数列的可由正态分布的随机数列生成， 对数正态分布和正态 分布的关系为：如果 X 是正态分布的随机变量，则 e X 为对数正态分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 ln Y 为正态分布。 首先应根据对数正态分布的随机数列的数学期望和方差， 求出正态分布的数学期
x 1 e 2 2 F ( x) 0
2
( x 0) ( x 0)
6.2 随机数列的生成 如果 为[0,1]区间均匀分布的随机数列，则令
F ( ) 1 e
于是得

2 2 2
2 2 ln(1 )
即服从瑞利分布的随机数列。
但我们还可以采用其它的方法来生成正态分布随机数。 4.2 根据中心极限定理生成正态分布随机数列 中心极限定理为： 设 1、 2、 、 n、 为 相 互 独 立 具 有 相 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， E n 、
D n 2 （ n 0,1,2,) ，则
1 lim P n n 1 k x 2 k 1
n
e

x
1 t2 2
dt
中心极限定理说明， 无穷多个具有相同分布的随机变量之和是服从标准正态分布 的。相应的，如果多个随机变量均为[0,1]区间的均匀分布，则生成标准正态分布的式 子为：