左孝凌离散数学1.5重言式与蕴含式PPT课件

A
B
互为充分必要条件
X Y X （X Y）（X Y）（X Y）（X Y）
A
B
A
B
00 1
1
1
1
01 1
1
1
1
10 0
0
0
1
11 0
1
1
1
• 例2 ：证明（（Q → P） ∧ （ ﹁ P→Q ） ∧（QQ） ） P T
证明： 直接证明该式T 很长 根据定理1.5.3，只需证
（（Q → P） ∧ （ ﹁ P→Q ） ∧（QQ） ） P 左 （ ﹁ Q ∨ P） ∧ （ P ∨ Q ） ∧T
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
1.5.1 命题公式的分类 1.5.2 重言式与矛盾式的性质 1.5.3 蕴含式
3
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
1.5.1 命题公式的分类 重言式或永真式 矛盾式或永假式 可满足式
Q P 。 • 4）等价代换法：即利用等价代换证明PQ为永真
13
P Q P Q
01
1
11
1
10
0
00
1
直接证法： 要想让P →Q 为永真，那 么当P为真时， Q只能为真
间接证法：要 想让P →Q为永 真，那么当Q 为假时，只能 P只能为假
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
（ ﹁ Q ∨ P） ∧ （ Q ∨P ） P ∨（ ﹁ Q ∧ Q） P ∨F P
小结： 证明A B的方法
按定义。即根据真值表，二者具有相同真值 要证明 A B T 只需证明A B 即可，反之亦然 用等价代换推导法A …… B
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
原命题 逆换式 反换式 逆反式
PQ QP P Q Q P
• 它们之间具有如下关系: PQ Q P 由P21 表1-5.1 QP P Q 可以得出
• 因此, 要证明P Q有四种方法: • 1)真值表法:即列出PQ的真值表,观察其是否为永真。 • 2)直接证法:假定前件P是真，推出后件Q是真。 • 3)间接证法:假定后件是假，推出前件是假,即证
从而┐Q（P→Q）为假.源自②若Q为假，则┐Q为真，P→Q为假，
从而┐Q（P→Q）为假.
根据① ②，所以 ┐Q（P→Q）┐P
4）法4： （┐Q（P→Q）） → ┐P
• 定理1.5.3： A,B是两个命题公式，A B的充要条件是A B
为重言式。
证明: 若AB为重言式， 则AB永为T，即A，B的真值表相同， 所以AB。 反之，若A B，则A，B真值表相同， 所以AB永为T，所以AB为重言式。举例
8
例如：验证（X Y）（X Y）与
A
B
（X Y）（X Y） T
4
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
判别命题公式的类型有两种方法: 真值表法和等值
演算法.
等值演算法是将所给命题公式通过等值演算化为最
简单的形式, 然后再进行判别.
例1.判别下列命题公式的类型.
(1). Q∨┓((┓P∨Q)∧P) (重言式)
离散数学( ) Discrete Mathematics
1
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言
式与蕴含式(Tautology and Implication)
一、命题公式的分类 二、蕴含式 三、蕴含式的性质
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
•例题1 证明((P∨S)∧R)V┐((P∨S)∧R)为重言式。
证明： 因为PV┐PT（否定律，）为重言式，根据定理1.5.2
如以((P∨S)∧R)置换P即得 ((P∨S)∧R)V┐((P∨S)∧R) T
-
7
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
式与蕴含式(Tautology and Implication)
1.5.3 蕴含式( Implication)（一类特殊的重言式）
•定义1.5.2：当且仅当P Q是一个重言式时，我们称“P蕴含Q”， 并记作P Q.
例如：（P ∧Q ）→Q ﹁ （P ∧Q ） ∨Q ﹁ P ∨（ ﹁ Q ∨ Q） ﹁ P ∨T T，故（P ∧Q ） Q
得）
证明:设A和B为两个重言式,则不论A和B的分量指派任何真值,总有A为 T,B为T,故A ∧ B T,A ∨ B T
• 定理1.5.2: 一个重言式(矛盾式),对同一分量都用任何合式公式置换,其结果
仍为一重言式(矛盾式).
证明: 由于重言式(矛盾式)的真值与对变元的赋值无关，故对同一变 元以任何合式公式置换后，重言式(矛盾式)的真值仍永为T（F）。举例6
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
例: 证明┐Q（P→Q）┐P
1) 法1：真值表 即证明（┐Q（P→Q）） → ┐P为永真
2) 法2：若 ┐Q(P→Q)为真，
则 ┐Q，P→Q均为真，
所以Q为假，P为假，所以┐P为真。
3) 法3：若┐P为假，
则P为真，再分二种情况：
①若Q为真，则┐Q为假, （P→Q）为真
定义1.5.1 设A为任一命题公式， （1）若A在其各种赋值下的取值均为真，则称A是重言
式或永真式, 记为T或1。 （2）若A在其各种赋值下的取值均为假，则称A是矛盾
式或永假式, 记为F或0。 （3）若A不是矛盾式则称A为可满足式(satisfiable)。注:
由定义可知,重言式一定是可满足式,反之不真.
(2). (P∨┓P) (Q∧┓Q)∧R (矛盾式)
(3). (P Q)∧┓P.
(可满足式)
5
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
1.5.2 重言式与矛盾式的性质 • 定理1.5.1: 任何两个重言式的合取或析取,仍然是一重言式.（由幂等律立