定义法求轨迹方程
轨迹方程的五种求法
轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，，由2P AP B x =·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．5b ==∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta=+=--，． 两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD = ，1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①³②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |²|OB |²sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
例谈动点的轨迹方程的四种求法
思路探寻求动点的轨迹方程问题经常出现在解析几何试题中，这类问题侧重于考查同学们的推理、分析以及运算能力.求解这类问题的主要方法有定义法、参数法、相关点法和交轨法.下面结合实例，谈一谈这四种方法的特点以及应用技巧.一、定义法定义法是指运用圆锥曲线的定义解题.若发现动点的轨迹形如椭圆、圆、双曲线、抛物线或其中的一部分曲线，就可以根据椭圆、圆、双曲线、抛物线的定义，确定定点、焦点、焦点与动点之间的关系，求得椭圆、圆、双曲线、抛物线方程中的各个参数，便可以快速确定曲线的轨迹方程.例1.如图1所示，已知圆C1：x2+（y+4）2=25和圆C2：x2+（y-4）2=1，某动圆C分别与圆C1和圆C2外切，求动圆圆心C的轨迹方程.图1解：由题意知两圆的圆心为C1(0,-4)，C2(0,4)，半径为r1=5，r2=1，设动圆C的半径为r，因为圆C分别与圆C1和圆C2外切，所以||CC1=r+5，||CC2=r+1，所以||CC1-||CC2=4<8，即点C到两定点C1、C2的距离之差为常数4，所以动圆圆心C的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的上支，可得2a=4，2c=||C1C2=8，所以b2=c2-a2=12.所以动圆圆心C的轨迹方程是y24-x212=1(y≥2).结合图形分析动圆C与圆C1、圆C2的位置关系，即可发现||CC1=r+5，||CC2=r+1，即可得出||CC1-||CC2=4<8，由此可联想到双曲线的定义，即平面内到两定点的距离之差为定值的点的轨迹，确定动点的轨迹，求得a、b、c值，即可求得动点的轨迹方程.二、参数法参数法是解答数学问题的重要方法.若动点受某些变量的影响，而我们又无法确定这些变量的取值，则需运用参数法，即用参数表示出变量，设出直线的斜率、点的坐标、曲线的方程等，然后将其代入题设中，建立关系式，通过恒等变换消去参数，即可求得动点的轨迹方程.例2.已知抛物线y2=4px(p>0)的顶点为O，A,B是抛物线上的两个动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程.解：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b，因为OA⊥OB，所以k=-xy，由ìíîy2=4px，y=kx+b，得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0，所以x1x2=-b2k2，y1y2=-4pb k，因为OA⊥OB，所以y1y2=-x1x2，所以-4pbk=-b2k2，即b=-4kp，所以直线AB的方程为y=kx+b=k(x-4p)，将k=-xy代入，得x2+y2-4px=0(x≠0)，即所求点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0).解答本题主要运用了参数法，即先引入参数x、y，49k 、b 、x 1、x 2、y 1、y 2，设出动点M 的坐标、直线AB 的方程以及A 、B 两点的坐标；然后将直线与抛物线的方程联立，根据一元二次方程的根与系数的关系建立关系式；最后通过恒等变换消去参数，得到关于x 、y 的方程，即为动点的轨迹方程.三、相关点法若两个动点之间存在某种特定的关系，则可以采用相关点法求解.先分别设出两个动点的坐标，并根据二者之间的关系，用所求动点的坐标表示另一个动点的坐标；然后根据另一个动点的几何关系，建立关于所求动点坐标的关系式，从而求得动点的轨迹方程.运用相关点法解题，要注意寻找两个动点之间的联系，并确定另一个动点所满足的几何关系.例3.如图2所示，在圆x 2+y 2=4上任意选取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，求线段PD中点M 的轨迹方程.图2解：设点M (x ,y )，P (x 0,y 0)，因为M 为线段PD 的中点，所以ìíîïïx =x 0，y =y 02，得{x 0=x ，y 0=2y ，又因为点P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=4上，所以x 02+y 02=4，将{x 0=x ，y 0=2y ，代入上述方程中，得x 24+y 2=1，所以点M 的轨迹为一个椭圆，其方程为x 24+y 2=1.本题中P 、M 均为动点，且点M 随着点P 的运动而变化，需采用相关点法求解，先分别设出P 、M 两点的坐标；然后用M 点的坐标表示P 的坐标；再将其代入点P 的轨迹方程，即可确定点M 的轨迹及其方程.四、交轨法当问题中所求的动点为两条动曲线的交点时，往往需采用交轨法，即将两条动曲线的方程联立，消去其中的参数，得到的关于x 、y 的方程即为所求的动点的轨迹方程.例4.如图3所示，已知双曲线C ：y 24-x 23=1与y轴交于点A 1(0,-2)与点A 2(0,2)，直线l ：y =m 与双曲线交于点P ,Q ，直线A 1P 与直线A 2Q 相交于点M ，试求点M 的轨迹方程.图3解：设P (x 1,m )，Q (-x 1,m )，M (x ,y )，因为点P 在双曲线上，所以m 24-x 123=1.当x 1≠0时，直线PA 1的方程为y +2=m +2x 1x ，直线QA 2的方程为y -2=2-m x 1x，可得y 2-4=4-m 2x 12x 2，所以x 12=3m 2-124，将其代入y 2-4=4-m 2x 12x 2，得y 2-4=-43x 2，化简整理得y 24+x 23=1.当x 1=0时，点M 的坐标满足方程y 24+x 23=1.综上所述，点M 的轨迹方程为y 24+x 23=1.仔细分析题意可知，M 为直线A 1P 与直线A 2Q 的交点，且点A 1、A 2、P 、Q 都满足双曲线的方程，于是采用交轨法，求得两动直线A 1P 与A 2Q 的方程，再将两方程联立，消去参数，即可求出交点M 的轨迹方程.总之，求动点的轨迹方程，关键是要根据题目中的几何条件，寻找动点的横坐标与纵坐标之间的关系，建立关于动点的横坐标与纵坐标的方程.求动点的轨迹方程的方法很多，同学们需熟练掌握一些常用方法的特点、适用情形、解题思路，才能将其灵活地应用于解题中.（作者单位：江苏省南通市海门实验学校）思路探寻50。
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程六种常用技法轨迹方程探求是解析几何中根本问题之一，也是近几年来高考中常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于提醒问题内部规律及知识之间相互联系，动辄就是罗列一大堆坐标关系，进展无目大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结与归纳探求轨迹方程常用技法，对提高学生解题能力、优化学生解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程常用技法。
1．直接法根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线距离公式，直线斜率公式等，直接列出动点满足等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．线段，直线相交于，且它们斜率之积是，求点轨迹方程。
解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，那么，设点坐标为，那么直线斜率，直线斜率由有化简，整理得点轨迹方程为练习：1．平面内动点到点距离与到直线距离之比为2，那么点轨迹方程是。
2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足点，求点轨迹方程。
3. 到两互相垂直异面直线距离相等点,在过其中一条直线且平行于另一条直线平面内轨迹是〔〕A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法通过图形几何性质判断动点轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹定义，如线段垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何一些性质定理。
例2．假设为两顶点，与两边上中线长之与是，那么重心轨迹方程是_______________。
解：设重心为，那么由与两边上中线长之与是可得，而点为定点，所以点轨迹为以为焦点椭圆。
所以由可得故重心轨迹方程是练习：4．方程表示曲线是〔〕A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦中点有关问题可用点差法，其根本方法是把弦两端点坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦中点坐标满足，且直线斜率为，由此可求得弦中点轨迹方程。
例3．椭圆中,过弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_________________。
轨迹方程的求法
解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标
原点，建立如图所示的直角坐标系，则B
（一a/2，0），C（a/2，0），设A（x，y）
则
由sinC－ sinB=
∴c-b=
1 2
a
1 2
sinA
A
B
C
即|AB|-|AC|=
1 2
a（定值）
些密如发丝的暗青色珠粒被烟一晃，立刻变成皎洁辉映的珠光，不一会儿这些珠光就闪烁着飞向罕见异绳的上空，很快在四金砂地之上 变成了隐隐约约的凸凹飘动的摇钱树……这时，宝石状的物体，也快速变成了树皮模样的湖青色胶状物开始缓缓下降……只见女政客
4、参数法 例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为
AP∶PB= 2∶l两部分，当A点在y轴上运动时， B点在x轴上运动，求动点P的轨迹方程。
解 ： 设 动 点 P （ x ， y ） ， AB 和 x 轴 的 夹 角 为 θ ，
|θ|≤
2
，作PM⊥x于M,
PN⊥y轴于N
∵|AB|= a, | AP | 2
皮肤时浓时淡渗出水睡朦胧般的晃动！接着玩了一个，飞蟒吊灯翻一千零八十度外加狐嚎排骨旋七周半的招数，接着又来了一出，怪体 牛蹦海飞翻七百二十度外加笨转四百周的尊贵招式……紧接着异常的如同原木一样的脚立刻蠕动变形起来……鲜红色酒罐耳朵闪出水绿 色的团团明烟……深灰色麦穗样的嘴唇闪出中灰色的点点神响。最后摆起多变的深黄色土堆模样的卷发一嚎，飘然从里面涌出一道佛光， 她抓住佛光冷峻地一颤，一件银晃晃、黄澄澄的咒符『蓝鸟骨怪火腿宝典』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边转化，一边发出“咝 咝”的神响。骤然间女政客Ｔ．克坦琳叶女士急速地弄了一个侧卧扭曲炸蛤蟆的怪异把戏，，只见她修长的淡灰色怪石一样的脑袋中，威
利用定义法求轨迹方程!!!!!!!!
1. 若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是_________________________________.2. .动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 x 225＋y 216＝13.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( ) A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解析 (1)连接QA . 由已知得|QA |＝|QP |.所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.4.已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答案 D解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．5.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．解由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2＝|MN|.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．一、选择题(共10小题,每小题5.0分,共50分)1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆2.已知动点P(x，y)满足5√(x−1)2+(y−2)2＝|3x＋4y－11|，则P点的轨迹是() A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆3.若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线4.动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P ，F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为( )A ． 椭圆B ． 双曲线C ． 抛物线D ． 直线5.点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆上一点，过点F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是( )A ． 圆B ． 椭圆C ． 双曲线D ． 抛物线6.若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·＝0，则P 点的轨迹是( ) A ． 圆B ． 椭圆C ． 双曲线D ． 抛物线7.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为坐标原点，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C ．x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1 8.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( )A ． 直线B ． 圆C ． 椭圆9.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．4x221－4y225＝1B．4x221＋4y225＝1C．4x225－4y221＝1D．4x225＋4y221＝110.自圆x2＋y2＝1外动点P作该圆的两条切线，切点分别为A，B.若∠APB＝π2，则动点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝2C．x24＋y2＝1D．x22＋y2＝1分卷II二、填空题(共1小题,每小题5.0分,共5分)11.过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过原点O作OM⊥AB，垂足为M，则点M的轨迹方程是________.三、解答题(共3小题,每小题12.0分,共36分)12.点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，求圆心M的轨迹方程.13.一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线.14.在直角坐标平面内，已知两点A(－2,0)及B(2,0)，动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P.证明|PA|＋|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；答案解析1.【答案】A【解析】由条件知|PM|＝|PF|.∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.2.【答案】A，即动点P(x，y)到定点(1,2)和定直线【解析】由已知，得√(x−1)2+(y−2)2＝|3x+4y−11|53x＋4y－11＝0的距离相等，而定点(1,2)在直线3x＋4y－11＝0上，所以P点的轨迹是过点(1,2)且与直线3x＋4y－11＝0垂直的直线.3.【答案】D【解析】依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线.4.【答案】D【解析】如图所示，设三个切点分别为M，N，Q.∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PM|＋|F2N|＝|F1N|＋|F2N|＝|F1F2|＋2|F2N|＝2a，∴|F2N|＝a－c，∴N点是椭圆的右顶点，∴CN⊥x轴，∴圆心C的轨迹为直线.5.【答案】A【解析】如图，延长F2M交F1P的延长线于点N.∵|PF2|＝|PN|，∴|F1N|＝2a.连接OM，则在△NF1F2中，OM为中位线，|F1N|＝a，∴点M的轨迹是圆.则|OM|＝126.【答案】A【解析】∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴PM ⊥PN .∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆. 7.【答案】A【解析】设A (0，a )，B (b,0)，由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3，得a 2＋b 2＝9. 设P (x ，y )，由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x ，y )＝13(0，a )＋23(b,0). 所以{b =32x,a =3y.又a 2＋b 2＝9，则9y 2＋94x 2＝9，即x 24＋y 2＝1，故选A. 8.【答案】B【解析】设P (x ，y )，则√(x +2)2+y ＝2√(x −1)2+y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16>0，所以动点P 的轨迹是圆.9.【答案】D【解析】M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |， ∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5＞|CA |＝2，故M 的轨迹为椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.10.【答案】B【解析】四边形PAOB 为正方形，故|OP |＝√2.所以点A 的轨迹是从原点为圆心，从√2为半径的圆.11.【答案】x 2＋y 2－2x ＝0【解析】如图，∵OM ⊥AB ，∴∠OMF ＝90°，∴点M 的轨迹是以OF 为直径的圆，其圆心为(1,0)，半径为1. ∴方程为x 2＋y 2－2x ＝0.12.【答案】已知圆为(x －3)2＋y 2＝64，其圆心为C (3,0)，半径为8， 由于动圆M 过P 点，所以|MP |等于动圆的半径r ，即|MP |＝r . 又圆M 与已知圆C 相内切，所以圆心距等于半径之差，即|MC |＝8－r ， 从而有|MC |＝8－|MP |，即|MC |＋|MP |＝8.根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |， 所以动点M 的轨迹是椭圆，并且2a ＝8，a ＝4；2c ＝6，c ＝3；b 2＝16－9＝7， 因此M 点的轨迹方程为x 216＋y 27＝1. 【解析】13.【答案】如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，设已知圆的圆心分别为O 1，O 2，将圆的方程分别配方，得图O 1：(x ＋3)2＋y 2＝4，图O 2：(x －3)2＋y 2＝100,当动圆与圆O 1相外切时，有|O 1M |＝R ＋2. ①当动圆与圆O 2相内切时，有|O 2M |＝10－R . ②将①②两式相加，得|O 1M |＋|O 2M |＝12>|O 1O 2|，∴动圆圆心M (x ，y )到点O 1(－3,0)和O 2(3,0)的距离和是常数12， ∴点M 的轨迹是焦点为O 1(－3,0)，O 2(3,0)，长轴长等于12的椭圆. ∴2c ＝6,2a ＝12，∴c ＝3，a ＝6，∴b 2＝36－9＝27，∴圆心M 的轨迹方程为x 236＋y 227＝1，轨迹为椭圆. 【解析】14.【答案】连接PB .∵线段BQ 的垂直平分线与AQ 交于点P ，∴|PB |＝|PQ |，又|AQ |＝6， ∴|PA |＋|PB |＝|PA |＋|PQ |＝|AQ |＝6(常数). 又|PA |＋|PB |>|AB |，从而P 点的轨迹T 是中心在原点，以A ，B 为两个焦点，长轴在x 轴上的椭圆，其中，2a ＝6,2c ＝4，∴P 点的轨迹T 的方程为x 29＋y 25＝1. 【解析】。
与椭圆有关的轨迹方程的求法
与椭圆有关的轨迹方程的求法一.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，可用定义直接探求.例1：已知两圆169)4(:221=+-y x C ，9)4(:221=++y x C ，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式 解：设动圆圆心),(y x M ，半径为r 如图所示，由题意:圆Ｍ内切于圆C 1，∴r MC -=131， 圆Ｍ外切于圆C 2 ，∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ,∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且82,162==c a ，48222=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x 。
例2．在周长为定值的ABC ∆中,已知|AB |6=，且当顶点C 位于定点P 时,C cos 有最小值为257，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程. 解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,设 )3(2>=+a a CB CA 为定值，则C 点的轨迹是以B A ,为焦点的椭圆， 焦距62==AB c ，因为：1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥， 由题意得 25,25718122==-a a，此时，PB PA =，P 点坐标为)4,0(±， 所以C 点的轨迹方程为：)0(1162522≠=+y y x 。
例3．已知圆16)1(:22=++y x B 及点)0,1(A ，C 为圆B 上任一点，求线段AC 的垂直平分线l 与线段BC 交点P 的轨迹方程。
求曲线轨迹方程的方法
四、参数法求曲线方程
若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为________．
四、参数法求曲线方程
【审题】 斜率存在时，点斜式设l1的方程→得l2的方程→ 联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率不存在时将
三、相关点法求曲线轨迹方程
基本思路：
①设点：设被动点的坐标 M (x, y)，主动点的坐标 P(x0, y0；) ②求关系式：用被动点的坐标M (x, y) 表示主动点的坐标 P(x0, y0 )，即
得关系式
xy00
g(x, h(x,
y) y)
③代换：将上述关系式带入主动点满足的方程，化简整理可得所求动 点的轨迹方程。
三、相关点法求曲线轨迹方程
x 例 在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作 轴的垂线段PD，
D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设M (x, y), P(x0 , y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x带入上式得：x2 4 y2 4.
二：定义法求轨迹方程
思路：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲 线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓 住曲线定义的特征。 要点：四种曲线定义及成立条件
方法：建系设点 定型（思考几何关系，进而寻求数量关系） 定方程 定范围
二：定义法求轨迹方程
圆的定义： |PC|=r (r>0) 椭圆的定义：
一：直接法（直译法）求轨迹方程
例 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
轨迹方程的求法
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法（待定系数法）：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
此方法又称为待定系数法。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
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6y
4
2
A
B
-5
o
5
x 10
-2
-4
（1）
6y
4
A: ( x 5)2 y2 1（2）
8 6
M
2
B:(x5)2 y2 16
4
M 2
A
B
A
-5
o
5
x 10
-5
B
5
10
-2
-2 -4
4x2
-4 4y2
1 (X<0)
9 91
（3）
6
4
4x2
-6
4y
2
1
(X>0)
庖丁 解牛
例1. 一动圆与圆O1 : (x 3)2 y2 4外 切,同时与圆O2 : (x 3)2 y2 100 内切, 求动圆圆心P的轨迹。
y
P
O1
O2
PO1 2 R
PO2 10 R x PO1 PO2 12 O1O2 6
方程为x2 y2 1 36 27
例2:一动圆与圆O1: (x+3)2+y2=4外 庖丁 切，同时与
小试 牛刀
在平面内 ,讨论：
(1)已知A(2,3)且PA 3,则点P的轨迹是什么？
(2)已知ABC的一边 BC的长为 2, 周长为8, 则顶点 A的 轨迹是什么？
(3)若A(3,0), B(3,0),且 MA MB 4,则点M的轨迹是 什么？ (4)过点(1, 0)且与直线x=-1相切的圆的圆心的轨迹 是什么？
9 91 10
（4）
8
6
M
2
A
-10
-5
-2
B
5
10
4
M
2
A
B
-5
5
10
-2
4x2 4y2-4
-6 1(X<0)
25 75
4x2
-4
4y
2
1(X>0)
25 75
解练：习当3点：M在已y知轴右圆侧O或1原: (点x运-2动)2时+y2=4,动圆M与圆 O1外切，且与y轴相切，求动圆圆心M的轨 迹方程.
因此合理应用定义是寻求解题捷径的 一种重要方法,灵活运用圆锥曲线的定义 常常会给解题带来极大方便.
山重水复 柳暗花明
一.复习提问：
1.圆的定义
平面内到定点O的距离等于定长r的点的轨迹 O叫做圆心
r叫做半径
(x a)2 ( y b)2 r2
O
M
r
确定圆的标准方程需要知道什么条件？ 圆心（a,b），半径r
中心，焦点位置M，2a和2c 确定椭圆的标准
方程F1x
a
2 2
F1by22
1或
y2 a2
Fbx2F222
1
方程需要知道什 么条件？
3.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差 的绝对值
等于常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
·F
定直线 l 叫做抛物线的准线.
即:
若︳︳MMNF
︳
︳ 1,
则点M的轨迹是抛物线。
确定抛物线的标准方程需要知道什么条件？ 顶点、对称轴、焦点、p值
方程y2 2 px，y2 2 px，x2 2 py，x2 2 py
定义法求轨迹方程的基本步骤：
1.用几何方法论证动点的轨迹是某种圆锥曲线. 2.根据已知坐标判定该曲线的方程是标准方程. 3. 算出标准方程中所需的数据. 4. 写出方程，注意范围.
庖丁 解牛
例1. 一动圆与圆O1 : (x 3)2 y2 4外 切,同时与圆O2 : (x 3)2 y2 100 内切, 求动圆圆心P的轨迹。
例2.一动圆与圆O1: (x+3)2+y2=4外切， 同时与 圆O2: (x-3)2+y2=9外切，求动圆圆心 M的轨迹方程.
例3.一动圆M与圆C: (x-2)2 + y2=1 外切, 且与直线x+1=0相切,求圆心M的轨迹方 程是_________.
M
| |MF1| - |MF2| | = 2a（2a<|F1F2|=2c）
F1
oF
2
确定双曲线的标准方程
需要知道什么条件？
中心，焦点位置，2a和2c
方程
x2 a2
y2 b2
1或
y2 a2
x2 b2
1
4.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
l
· N M
定点 F 叫做抛物线的焦点,
定义法求轨迹方程
郸城二高：牛少华
2015.01.06
求轨迹方程的一般步骤：
（1）建系设点 （2）列式 （3）代换 （4）化简 （5）证明（一般省略不写）
在解题中,有的同学能自觉地根据问 题的特点应用公式, 定理, 法则; 但对 数学定义往往未加重视,以至不能及时地 发现一些促进问题迅速获解的隐含条件, 造成舍近求远,舍简求繁的情况.
解牛
圆O2: (x-3)2+y2<=︱9O外1O切2 ︱，求动圆圆心 ∴ 点M的轨M迹的是以轨O迹1 、方O程2 为.焦点的双曲线的左支
解：∴∴∴∵设a︱2b︱︱=a动2M=M=M2圆11OcOOM2212-︱的a︱2︱c2c—半===23r6︱径++33rM4为5Or,1依︱题=1可得
y
M
∴轨迹方程为：
2（Βιβλιοθήκη 3，0O）1Ox2—
1
y2 35 =1(
X<0
)
44
（3，O02）
x
3
例3：一动圆M与圆C: (x-2)2 + y2=1
庖丁 解牛
外切,且与直线x+1=0相切,求圆心M的
轨迹方程是_y_2___8__x__.
y
N
M
oC
x
练习1.∆ABC顶点为A(0，-2),C(0，2),三边长 BC,AC,BA成等差数列，公差d<0,求动点B的轨迹 方程。
练习.已知圆A: ( x 5)2 y2 1 ， 圆 B : ( x 5)2 y2 16 ，若动圆 M 与圆 A、B 都
相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程
练习3.已知圆O1: (x-2)2+y2=4,动圆M与圆O1 外切，且与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹 方程.
练习2.ABC顶点为A(0, 2),C(0, 2),三边长a,b, c
方程(x a)2 ( y b)2 r 2
2.椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. |MF1|+|MMF2|=2a（2a>|F1F2|=2c>0）
成等差数列,公差d 0,求动点B的轨迹方程. 解：由题意 BC BA 2 AC 8且 BC BA
动点B的轨迹是以A、C为焦点，以8为长轴长
的椭圆在y轴右边的部分，故所求轨迹方程为
x2 y2 1 x 0
16 12
y a
B
C
bc x
A
2、已知圆 A: ( x 5)2 y2 1 ， 圆 B : ( x 5)2 y2 16 ，若动圆 M 与圆 A、B 都