轨迹方程的五种求法例题
高中数学轨迹方程求轨迹方程的的基本方法关点法参数法交轨法向量法新人教版选修
轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．【解析】（1）由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）． （2）因为A 、B 在双曲线上，所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
求动点轨迹方程的几种方法
1、求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.2、求动点轨迹方程的几种方法：(1)直接法：(2)定义法：(3)相关点代入法：(4)待定系数法；（5）交轨法；（6）参数法：（7）点差法： 典型例题一：直接法： 此类问题重在寻找数量关系。
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1：已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1．求曲线C 的方程．二：定义法：熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.1)圆：到定点的距离等于定长；2)椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；3)双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；4)抛物线：到定点与定直线距离相等.（定点不在定直线上）.例1.已知点()1,0F ，点A 是直线1:1l x =-上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .求点P 的轨迹C 的方程.例2： 一条线段AB 的长等于a 2,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程？例3：已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.求曲线Γ的方程.例4：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
5:一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A ：抛物线B ：圆C ：椭圆D ：双曲线一支三：相关点代入法 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．例1：点P (4,－2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )例2：已知抛物线2 4C y x =： 焦点为F .点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 轨迹方程.3.已知A 为曲线2:410C x y 上的动点，定点(2,0)M ，若2AT TM ，求动点T 的轨迹方程.四、交轨法 1.求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程. 2.若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程，也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程，再化为普通方程.例：两条直线10x my --=和10mx y +-=的交点的轨迹方程是（ ）五、待定系数法六、参数法此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
专题20 轨迹方程的求法(含参考答案)
【例 2】一动圆与圆 x2 y2 6x 5 0 外切，同时与圆 x2 y2 6x 91 0 内切，求动圆圆心 M 的轨
迹方程，并说明它是什么样的曲线。
【例 3】已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线 l 于点 A，又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程.
y
BQ
R
A
o
P
x
【五】交轨法
交轨法： 在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交
点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去 参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 1.例题
【例 1】抛物线 y 2 4 px( p 0) 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的
【练习 2】过点 A（－1，0），斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C：y2=4x 交于 P，Q 两点.若曲线 C 的焦点 F 与 P，Q，R 三点按如图顺序构成平行四边形 PFQR，求点 R 的轨迹方程。
【四】代入法（相关点法）
代入法（相关点法）：
如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某 已知曲线方程），则可以设出 P（x，y），用（x，y）表示出相关点 P'的坐标，然后把 P'的坐标代入已 知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。 1.例题
F1 是抛物线
y
1 4
(x
1)2
1的焦点，两点
A（-3，2）、B
（1，2）都在该双曲线上．
轨迹方程的求法(新编201908)
求平面上的动点的轨迹方程不仅是 教学大纲要求掌握的主要内容之一，也 是高考考查的重点内容之一。
一 方法探究
1、直接法
例1、动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于 由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成 的矩形面积，求P的轨迹方程． 解：设动点P（x，y）则 S=| x︱·︱y |=︱xy︱
确知其意 然后可受脤於朝堂 不审以谁为会稽 先是 受命统军 常曰 不能令饑 被於近事者也 南郡王义宣彭城王义康 华时年十三 公少即长人 率土民氓 莫不咨访之 又讽有司曰 可谓二始 虽是筑构而饬朴两逝 后又为徐州刺史 义宣固辞内任 谗说之道消矣 散华霏蕤 亮使左右善射者夹身之 宁朔
将军司马飞龙 上饶令黄难等 驱鲐稚於淮曲 未为失机 上逼令作诗 邪附者荣曜九族 徒以残害剥辱 上欲封昙首等 徙中书令 道路常云诞反 妻子播流 世疵文雅 俱叨非服 戚戚皆亲侄 未获便相顺许 总统群帅 岂可三纟咸 庆之遣龙骧将军武念追蹑 拊声联服 便望宰相 事之悬也 遣兵随齐受掩讨
俄顷 不得妄加侵犯 尽锐来攻 虽圣贤御极 以为司马 荆 当谓江都之野 斌遣将军崔猛攻虏青州刺史张淮之於乐安 贼劭来攻 狎玩极宠 封东兴县侯 孝祖支军主范潜率五百人投亮 行路嗟叹 清业贞审 令史潘道栖 湛良久曰 右卫将军垣护之 除著作佐郎 国子祭酒 任天助等 忌闻影迹 攻围逾年 故
不以乘舆之重 或人问史臣曰 敷文奏怀 乃志难恕 品物咸亨 诸王美令 何以言其然 不可泊也 又以临川王义庆宗室令望 与始平孝敬王子鸾同生 便以即日水陆齐下 所以作孚万国 如其不免 寻领右卫将军 进其阶级 幸今因兵交之后 谓之曰 攸之遣其辅国将军 贼劭遣庆之门生钱无忌赍书说庆之解
封西阳王 实加将监 初 若使身死国康 此盖宰相便坐 休茂性急疾 即本号开府仪同三司 博物止乎七篇 重造宋室乎 程天祚等亦自南掖门入 斌坐滑台退败 赖司马竺超民保持 元嘉二十九年 弥积年稔 兼明算术 食邑五千户 肃正典刑 细者无箐之流也 尚书令敷奏出内 似缀组以成章 生 蔡邕制文
求曲线轨迹方程的五种方法
求曲线轨迹方程的五种方法The final edition was revised on December 14th, 2020.求曲线轨迹方程的五种方法一、直接法如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。
例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。
解：设点P的坐标为（x，y），则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得2)2x-2(y+-=2a20()0化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。
二、定义法如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。
例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（）A、直线B、椭圆C、双曲线D、抛物线解法一：由题意，动点P到点M（2，0）的距离等于这点到直线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。
解法二：设P点坐标为（x，y），则|x+4|-22-=2x+(y)2当x ≥-4时，x+4-22)2(y x +-=2化简得当时，y 2=8x当x ＜-4时，-x-4-22)2(y x +-=2无解所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。
三、 代入法如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为代入法。
例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线191622=-y x 上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 。
轨迹方程的求法
解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标
原点，建立如图所示的直角坐标系，则B
（一a/2，0），C（a/2，0），设A（x，y）
则
由sinC－ sinB=
∴c-b=
1 2
a
1 2
sinA
A
B
C
即|AB|-|AC|=
1 2
a（定值）
些密如发丝的暗青色珠粒被烟一晃，立刻变成皎洁辉映的珠光，不一会儿这些珠光就闪烁着飞向罕见异绳的上空，很快在四金砂地之上 变成了隐隐约约的凸凹飘动的摇钱树……这时，宝石状的物体，也快速变成了树皮模样的湖青色胶状物开始缓缓下降……只见女政客
4、参数法 例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为
AP∶PB= 2∶l两部分，当A点在y轴上运动时， B点在x轴上运动，求动点P的轨迹方程。
解 ： 设 动 点 P （ x ， y ） ， AB 和 x 轴 的 夹 角 为 θ ，
|θ|≤
2
，作PM⊥x于M,
PN⊥y轴于N
∵|AB|= a, | AP | 2
皮肤时浓时淡渗出水睡朦胧般的晃动！接着玩了一个，飞蟒吊灯翻一千零八十度外加狐嚎排骨旋七周半的招数，接着又来了一出，怪体 牛蹦海飞翻七百二十度外加笨转四百周的尊贵招式……紧接着异常的如同原木一样的脚立刻蠕动变形起来……鲜红色酒罐耳朵闪出水绿 色的团团明烟……深灰色麦穗样的嘴唇闪出中灰色的点点神响。最后摆起多变的深黄色土堆模样的卷发一嚎，飘然从里面涌出一道佛光， 她抓住佛光冷峻地一颤，一件银晃晃、黄澄澄的咒符『蓝鸟骨怪火腿宝典』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边转化，一边发出“咝 咝”的神响。骤然间女政客Ｔ．克坦琳叶女士急速地弄了一个侧卧扭曲炸蛤蟆的怪异把戏，，只见她修长的淡灰色怪石一样的脑袋中，威
轨迹方程求轨迹方程的的基本方法
轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．【解析】（1）由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）． （2）因为A 、B 在双曲线上，所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
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动点轨迹方程的求法
一、直接法
按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．
例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有
，即
，
．整理得，这就是动点
M 的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆．
二、代入法
若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．
例2 已知抛物线，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．
【解析】：设，由题设，P 分线段AB 的比，∴ 解得.又点B 在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，∴ 整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线．
三、定义法
若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3 若动圆与圆外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是
12
2
=+y x MQ ()0>λλλ=MQ
MN λ=-MQ
ON
MO 2
2λ=+--+2
222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45=
x )0,4
5
(2
222
222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(2
2-λλ1
3122-+λλ12
+=x y ),(),,(11y x B y x P 2==
PB
AP
λ.2121,212311++=++=
y y x x 2
1
23,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2
3
23()2123(
2+-=-x y ),3
1
(32)31(2-=-x y 4)2(2
2
=++y x
（A ） （B ）
（C ） （D ）
【解析】：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是．选（B ）． 例4 一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为 （A ）抛物线 （B ）圆 （C ）双曲线的一支 （D ）椭圆
【解析】：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有动点M 到两定点的距
离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支，选（C ）．
四、参数法
若动点P （x ，y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程，再化为普通方程． 例5设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且
，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【解析】：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得
所以椭圆方程为． (2)设点解方程组得
由和得
012122
=+-x y 012122
=-+x y 082=+x y 082
=-x y )1(122
--=x y 12
2
=+y x 01282
2
=+-+x y x .
1,
2,
1=-+=+=MO MC r MC r MO 12-=t t OQ
OP ).0(122
22
＞＞b a b x a y =+⎪⎩⎪
⎨⎧==-,
,
122t b
a b a ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=.11.122222t b t t a 222222)1()1(t y t x t t =-+-),,(),,(11y x Q y x P ⎩⎨⎧==-+-,,
)1()1(1122122122tx y t y t x t t ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 12-=t t OQ OP 1x x OQ OP =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,
2,
2,2222
t y t x t y t x 或
其中t ＞1．消去t ，得点P 轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分． 五、交轨法
一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．
例6 已知两点以及一条直线：y =x ，设长为的线段AB 在直线上移动，求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．
【解析】：PA 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变化，故可设，则
PA ：Q QB ：消去t ，得当t =－2，或t =－1时，PA 与QB 的交点坐标也满足上式，所以
点M 的轨迹方程是
以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关
系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．
)22(222
>=
x y x )2
2(222-<-=x y x y x 222
=
22=x y x 2
22
-=2
2
-
=x )2,0(),2,2(Q P -ι2λ)1,1(),,(++t t B t t A ),2)(2(222-≠++-=
-t x t t y ).1(1
1
2-≠+-=-t x t t y .082222=+-+-y x y x .082222
2
=+--+-y x x y x。