因式分解之提取公因式法
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
提取公因式法分解因式的步骤
提取公因式法分解因式的步骤公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多个代数式的公因式，将其进行合并简化，从而得到原始代数式的因式分解形式。
下面将介绍公因式法分解因式的具体步骤。
1.观察多项式中的各个项，寻找它们之间的公因式。
公因式是指可以同时整除多个项的代数式。
2.将找到的公因式提取出来，并用括号括起来。
提取公因式时，需要将公因式的系数和变量一同提取出来。
3.将原始多项式中的每一项除以提取出来的公因式。
这一步可以通过将每一项的系数与公因式的系数进行除法运算来实现。
4.将提取出来的公因式与上一步得到的商相乘，并将结果写在括号外面。
这一步是将公因式和商相乘，重新得到原始多项式。
5.最后，将括号外面的结果与原始多项式进行比较，确保两者相等。
这一步是为了验证因式分解的正确性。
通过以上步骤，我们可以完成对多项式的因式分解。
下面通过一个具体的例子来说明公因式法的应用。
假设我们要对多项式3x^2 - 6x进行因式分解。
第一步，观察多项式中的各个项，发现它们之间的公因式是3x。
第二步，将公因式3x提取出来，并用括号括起来，得到3x( ).第三步，将原始多项式中的每一项除以公因式3x，得到(3x^2)/(3x) - (6x)/(3x)。
第四步，将提取出来的公因式3x与上一步得到的商相乘，并将结果写在括号外面，得到3x((3x^2)/(3x) - (6x)/(3x))。
第五步，化简括号内的表达式，得到3x(x - 2)。
将括号外面的结果与原始多项式进行比较，发现它们相等，因此得到的因式分解形式为3x(x - 2)。
通过以上步骤，我们成功地将多项式3x^2 - 6x分解为公因式3x和商(x - 2)的乘积形式。
总结起来，提取公因式法分解因式的步骤包括观察多项式中的各个项，寻找公因式，提取公因式并用括号括起来，将每一项除以公因式得到商，将公因式与商相乘得到因式分解形式，最后验证分解结果的正确性。
这一方法简单实用，可以帮助我们快速进行因式分解运算。
9.13因式分解-提取公因式法
因式分解---提取公因式法一、教材分析：（一）教材所处的地位学习因式分解一是为解高次方程作准备，二是学习代数式恒等变形。
它是在学生学习了整式运算的基础上提出的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系。
同时也是后续学习分式化简、解方程、解不等式等内容的基础，因此，分解因式这一章在代数部分起到了承上启下的作用。
另外，分解因式体现了“化归”、“整体”以及“逆向”的数学思想，是数学学习的重点。
根据《课标》的要求，介绍最基本的4种分解因式的方法，而运用提公因式法分解因式，作为本部分内容的起始课，具有重要的意义。
（二）说教学目标知识与技能目标理解因式分解的意义；掌握提公因式法，并能够运用提公因式法进行因式分解。
过程与方法目标经历探索提公因式法分解因式的过程,提高学生的观察分析能力、判断能力以及计算能力，同时渗透化归、整体的数学思想。
情感与价值观目标体验运用数学知识解决问题的成就感；引导学生养成积极思考、独立思考的良好学习习惯，同时培养学生合作交流的团队精神。
二、重点、难点分析：本着数学新课程标准的要求，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重点和难点：教学重点：找出多项式的公因式，并运用提公因式法分解因式。
教学难点：迅速找出多项式的公因式。
三、教法分析学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导着、合作者。
因此在教学过程中，我以激发学生积极性、主动性、凸显学生主体地位为出发点，采用启发式教学法。
具体地，我将通过引导发现、实例探究、讲练结合等教学过程，让学生积极主动地参与到教学活动中，经历完整的知识形成过程，从而使学生“知其然”，还“知其所以然”。
四、说学法有这样一句话--“现代的文盲不是不懂字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而，我在教学过程中特别重视学法的指导。
让学生从“学会”向“会学”转变，成为学习的真正的主人。
这节课主要采用自主探索、合作交流结合的研讨式学习方式。
学生思考问题，获取知识，掌握方法，同时培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体.五、教学过程设计六、板书设计八、结束语本节课我根据初二年级学生的心理特征及其认知规律，采用直观教学和活动探究的教学方法，放手让学生自主探索的学习，主动地参与到知识形成的整个思维过程，力求使学生在积极、愉快的课堂气氛中提高自己的认识水平，从而达到预期的教学效果。
数学提取公因式
数学提取公因式数学中，提取公因式是一种常见的运算方法。
它在代数表达式中起到化简的作用，使得复杂的表达式可以简化为较为简单的形式。
本文将介绍提取公因式的概念、方法和应用。
一、概念提取公因式是指从一个代数表达式中找出多个项的公因子，并将其提取出来，使得原表达式可以被简化。
公因子是指能够同时整除多个项的因子，通常是其中的最高次项。
二、方法提取公因式的方法是通过因式分解来实现的。
具体步骤如下：1. 观察代数表达式中各项的系数和字母部分，找出它们的最大公因子。
2. 将最大公因子提取出来，放在括号外面。
3. 将原表达式中的每一项除以最大公因子，得到括号内的新表达式。
三、示例下面通过几个示例来说明提取公因式的方法。
示例1：将表达式2x+4y提取公因式。
观察到2x和4y的最大公因子是2，因此将2提取出来，得到2(x+2y)。
示例2：将表达式3a^2b-6ab^2提取公因式。
观察到3a^2b和6ab^2的最大公因子是3ab，因此将3ab提取出来，得到3ab(a-2b)。
示例3：将表达式5x^2-20xy+15y^2提取公因式。
观察到5x^2、20xy和15y^2的最大公因子是5，因此将5提取出来，得到5(x^2-4xy+3y^2)。
四、应用提取公因式在数学中有广泛的应用。
它可以简化代数表达式，使得计算更加简便和高效。
同时，提取公因式也是解决代数方程和不等式的重要步骤之一。
例如，在解二次方程时，首先需要将方程化简为标准形式(ax^2+bx+c=0)，其中提取公因式的方法可以用来化简方程。
通过提取公因式，可以将方程变为a(x^2+bx/a+c/a)=0，进一步化简为(x^2+bx/a+c/a)=0。
这样，原方程可以被简化为一个更加简单的形式，从而更方便地进行求解。
除了解方程外，提取公因式还可以应用于因式分解、求导、积分等数学问题的解决过程中。
它不仅可以使得计算更加简单，还可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
提取公因式是一种重要的数学运算方法，它可以简化代数表达式，使得计算更加简便和高效。
因式分解提公因式法非常好用
(5) (m n)22(m n)〔(m+n)〕
(6)3(xy)26(xy)4〔3(x+y)2〕
(7 )4 a (a b )3 2 a(a b b )〔2a (a+b)〕
变式：2x(xy)4 (yx)
运用新知之初学乍练
例1：把8a3b2+12ab3c 分解因式.
1、提公因式 2、原多项式除以公因式
把以下各式分解因式：
1．2a－4b; 2．ax2+ax－4a; 3．3ab2－3a2b; 4．2x3+2x2－
6x; 5．7x2+7x+14; 6．－
12a2b+24ab2;
7.xy-x2y2-x3y3; 8．27x3+9x2y．
课Байду номын сангаас小结：
1、提取公因式法因式分解的步骤 先提公因式，再用原多项式除以公因式
ma+mb+mc=m(a+b+c)
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解，也叫做分解因 式．
判断以下各式是否因式分解
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)因；式分解
(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法
(3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；整式乘法
因式分解提公因式法非常好 用
问题导入
实验中学在校园改造中新建一块运动场地，它由 三个矩形组成，三个矩形的宽分别为a、b 、c，长都 是m.你能表示出这块场地的面积吗？
ma+mb+mc=m(a+b+c)
m
a
b
c
问题导入
实验中学在校园改造中新建一块运动场地，它由 三个矩形组成，三个矩形的宽分别为a、b 、c， 长都是m.你能表示出这块场地的面积吗？
因式分解-提取公因式法
因式分解是数学中的一种重要技巧，通过提取公因式，可以简化复杂的表达 式，更容易进行后续运算。
提取公因式法的定义
提取公因式法是一种因式分解的方法，通过找出表达式中的公因式，将其提取出来，从而简化表达式。
提取公因式法的基本原理
1 寻找公因式
观察表达式中的各项，找 出它们的共同因子。
将3x+6分解为3(x+2)。
练习二
将4y+8分解为4(y+2)。
练习三
将5z+10分解为5(z+2)。
其他因式分解方法的比较
提取公因式法
适用于有公因式的表达式，简 化运算。
配方法
适用于二次型的因式分解。
分组分解法
适用于四项的因式分解，通过 分组化简表达式。
提取公因式法的应用和意义
提取公因式法在代数表达式的化简、解方程、因式分解、展开式等方面有着 广泛的应用。它可以帮助简化运算、找出规律、化简复杂的代数式。
2 提取公因式
将公因式提取出来，得到 一个简化的表达式。
3 化简表达式
对去除公因式后的表达式 行进一步化简。
提取公因式法的步骤与例子
1
步骤一
观察各项中的公因子，将其提取。
2
步骤二
对剩余项进行化简，如需要可以应用其他因式分解方法。
3
例子
例如，将2x+4分解为2(x+2)。
提取公因式法的练习题
练习一
结论和总结
提取公因式法是一种简化代数表达式的重要工具，通过寻找和提取公因式，可以简化运算、化简表达式、发现 规律，并在各种数学问题中应用广泛。
提取公因式的方法
提取公因式的方法在代数表达式的化简和因式分解中，提取公因式是一种常见的方法。
通过提取公因式，可以简化表达式，使得计算更加方便和高效。
下面将介绍几种常见的提取公因式的方法。
首先，我们来看一元二次多项式的提取公因式。
对于形如ax^2 + bx + c的二次多项式，我们可以通过找出其中的公因式来进行提取。
例如，对于表达式3x^2 +6x，我们可以提取公因式3x，得到3x(x + 2)。
这样就将原来的二次多项式进行了因式分解，得到了更简化的表达式。
其次，对于多项式中的其他类型的提取公因式，我们可以利用公因式分解的原理来进行。
例如，对于表达式3a^3b + 6ab^2，我们可以提取公因式3ab，得到3ab(a^2 + 2b)。
同样地，对于更复杂的多项式，我们也可以通过找出其中的公因式来进行提取，使得表达式更加简化。
除了多项式外，对于分式表达式，我们同样可以利用提取公因式的方法进行化简。
例如，对于分式表达式(2x^2 + 4x)/(2x)，我们可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)/2x，进一步化简为x + 2。
这样就将原来的分式表达式进行了化简，得到了更简单的形式。
在实际应用中，提取公因式的方法常常用于简化代数表达式、解决方程和不等式等问题。
通过提取公因式，可以使得表达式更加清晰明了，从而更方便进行后续的计算和分析。
总之，提取公因式是一种常见且重要的代数方法，通过找出表达式中的公因式，可以使得表达式更加简化和方便计算。
在学习和应用代数知识时，我们可以灵活运用提取公因式的方法，从而更加高效地解决问题。
希望本文介绍的提取公因式的方法能够对大家有所帮助，也希望大家在学习和工作中能够灵活运用这一方法，提高解决问题的效率和准确性。
因式分解-提公因式法
提公因式法的应用场景
• 可提取公因式简化 多项式
• 需要进一步分解剩 余部分
配方法
• 适用于二次方程式 • 通过转化为平方完
成因式分解 • 适用范围有限
根式法
• 适用于含有平方根 的多项式
• 通过提取平方根进 行因式分解
• 限制较多
提公因式法的优点
简单易用
提公因式法是一种较为简单的因式分解方法，易于掌握和应用。
通用性强
因式分解-提公因式法
因式分解是一种重要的数学概念，提公因式法是常用的因式分解方法之一。
提公因式法的定义
提公因式法是一种通过找出多项式中的公因式，将其进行提取，从而达到进 行因式分解的目的的方法。
提公因式法的步骤
1. 找出多项式中的公因式 2. 提取公因式 3. 将剩余部分进行因式分解
示例：使用提公因式法进行因式分解
提公因减少计算量
通过提取公因式，可以简化多项式，减少计算的复杂度。
结论
提公因式法是一种重要的因式分解方法，能够帮助我们简化复杂的代数表达 式，解决方程，以及进行数学建模。
1 简化表达式
提公因式法可以帮助我们简化复杂的代数表达式，使计算更加简便。
2 解方程
提公因式法可以用于解决一些复杂方程，帮助我们找到方程的根。
3 数学建模
提公因式法是数学建模中常用的一种方法，可以帮助我们更好地理解和描述实际问题。
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第六讲 因式分解之提取公因式法
一、知识要点
1、 因式分解：把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
（1） 多项式的乘法与多项式因式分解的区别
简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。
如：()()22b a b a b a -=-+，从左边到右边的变形属于整式乘法； ()()b a b a b a -+=-2
2，从左边到右边的变形属于因式分解； （2）因式分解的方法：
①提公因式法； ②运用公式法； ③十字相乘法； ④分组分解法
2、提公因式法：
（1）如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。
把多项式
化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）公因式：多项式ab ＋ac ＋ad 的各项ab 、ac 、ad 都含有相同的因式a ，a 称为
多项式各项的公因式。
公因式由两部份构成：
系数：各项系数的最大公约数
相同字母的指数：取最低次幂
（3）用提公因式法时的注意点：
① 公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。
如：
4a 2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；
② 当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号
外，使括号内的第一项的系数为正。
如：-2m 3+8m 2-12m= -2．
m(m 2-4m+6)； ③ 提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。
二、知识运用典型例题
例1、下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解，那些不是，为什么？
（1） ()()ab b a b a 422+-=+ （2）()()ab b a b a 42
2-+=- （3）()()22b a a b -=+- （4）()()2
2b a b a +=--
练习：下列式子从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
2233.236A a b ab a b ⋅= 2.(1)(1)1B x x x +-=-
()22.211C x x x ++=+ ()2.111
D x x x x ++=++
例2、 若多项式2x mx n ++分解因式的结果是()()65x x -+，则m = ，n = 。
练习：如果多项式218x mx --因式分解为()()63x x +-，则m 的值为（ ）
A 、3-
B 、3
C 、9
D 、9-
例3、下列各式中的公因式是什么？
()124a + ()2ma mb mc +- ()22323x x -
()45xy xyz + ()23325a b a b + ()3422639x y x y -
例4、将下列各式因式分解：
①c ab b a 323128- ②2363x xy x -+ ③3232215216a b a b a b -+-
练习：
①264xy xz xw ++ ②2432412x y x y - ③2410x x -+
④32212216a b a ab -+ ⑤ 223241228x y xy y --+
例5、知识点：1、 x y -= ()y x - x y --= ()x y +
2、()2x y -= ()2y x - ()3x y -= ()3y x -
3、 ()
2n x y -= ()2n y x - ()21n x y +-= ()21n y x +-（n 为正整数） 将下列式子因式分解：
①()()242x x x --- ②()()22x x x ---
③ ()()()()22a c a b a c b a +---- ④()()33a x y b y x ---
⑤()()y x xy y x y x +-+221812 ⑥()()
2322233624b a b a b a b a +-+
练习：① ()()44---x x x y ② ()()x y x y x y -+- ③()()22x y b y x a ---
④()()b a ab b a b a ---2264 ⑤()()
xy x xy x x 4422---
第6讲 知识运用课后训练 等级
1、下列式子从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A 、2()22a b c ab ac +=+
B 、()()2111x x x +-=-
C 、()()22m n m n m n -=+-
D 、()()242222x x x x x -+=+-+ 2、若多项式2x mx n ++分解因式的结果是()()65x x -+，则m = ；n = 。
3、将下列多项式因式分解：
()x x 10412+- ()y xy y --4322 ()32231221153ab b a b a +-
4、将下列多项式因式分解：
()()()1233x y x +-+
()()()2y x y x x y -+- ()()()3y x y x y x -+-
()()()246p q p q +-+
()()()225a x y b y x ---
()()()336a x y b y x ---。