人教版数学高二-备课资料求曲线轨迹方程的五种方法
人教版数学高二-备课资料轨迹方程的求法
轨迹方程的求法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.本文结合具体实例对求曲线的轨迹方程的常用方法作一归纳。
一．直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.例1．AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜＝2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜＝｜MN ｜，求点P 的轨迹.解：以圆心O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图），则⊙O 的方程为x 2＋y 2＝a 2，设点P 坐标为（x ，y ），并设圆与y 轴交于C 、D 两点，作PQ ⊥AB 于Q ，则有||||OM OP ＝||||MN PQ . ∵｜OP ｜＝｜MN ｜，∴｜OP ｜2＝｜OM ｜·｜PQ ｜.∴x 2+y 2＝a ｜y ｜， 即 x 2＋（y ±2a ）2＝（2a ）2.轨迹是分别以CO 、OD 为直径的两个圆. 二．定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法.例2．某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r,则|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x －21)2+34y 2=1② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r=73)1412()149(2322=+-，故所求圆柱的直径为76 cm. 三．代入法 如果轨迹动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程.此法称为代入法.例3．如图所示，已知P(4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x,y)，则在Rt △ABP 中，|AR|=|PR|.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36O y A BP Q M N C D－(x 2+y 2) 又|AR|=|PR|=22)4(y x +-，所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=20,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.点评：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.四．参数法 如果轨迹动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.例4．过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y=k （x －1），代入y 2=4x ，得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2=0.设l 方程与抛物线相交于两点，∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， 根据韦达定理，有x 1+x 2=22)2(2k k +，从而y 1+y 2=k （x 1+x 2－2）=k 4. 设△AOB 的重心为G （x ，y ），则12120303x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，消去k ，得x=32+34（43y ）2， ∴y 2=34x －98.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB 的重心G （32，0），也适合y 2=34x - 98， 因此所求轨迹C 的方程为y 2=34x －98. 五．交轨法 所求动点是两条动直线（或动曲线）的交点且两动直（曲）线能用同一参数表示。
轨迹方程的五种求法
轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，，由2P AP B x =·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．5b ==∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta=+=--，． 两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD = ，1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①³②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |²|OB |²sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
求轨迹方程的五个步骤
求轨迹方程的五个步骤嘿，咱今儿个就来唠唠求轨迹方程的那五个步骤！这可是数学里的一块儿宝呢！你想想看，轨迹方程就像是给一个动点画出的专属路线图。
那怎么找到这条神奇的路线呢？第一步，设动点坐标。
就好像给这个小家伙起个名字，让它在数学的世界里有个明确的身份。
这一步可重要啦，没了这个名字，后面咋知道说的是谁呢？第二步，找关系。
这就好比是在动点的世界里找它和其他元素的联系，它们之间肯定有一些特殊的纽带呀。
就像人与人之间有各种关系一样，动点和其他条件之间也有它们的“小秘密”呢。
第三步，列式子。
这一步可有点像搭积木，把那些找到的关系一块一块地堆起来，慢慢就搭出了一个式子。
这个式子就是我们要找的轨迹方程的雏形啦。
第四步，化简。
哎呀呀，就跟收拾房间似的，把那些式子整理得干干净净、整整齐齐的。
把不必要的东西都去掉，留下最精华的部分。
第五步，检验。
这可不能马虎呀！就好比你做好了一件东西，得检查检查有没有瑕疵。
万一有什么遗漏或者错误，那可不行呢。
你说这五个步骤像不像一场奇妙的冒险？每一步都充满了挑战和惊喜。
要是少了一步，那可就像走在路上丢了一只鞋，别扭得很呢！比如说，有个动点在那跑来跑去，你要是不先设它的坐标，你都不知道该咋描述它。
然后呢，不找关系，那它就孤零零的，和周围都没联系。
不列式子，那就更没法把它的轨迹表示出来啦。
不化简，式子乱糟糟的，谁看得懂呀。
不检验，万一有错误，那不就前功尽弃啦。
所以呀，这五个步骤一个都不能少，它们就像五个好兄弟，一起合作才能找到那神奇的轨迹方程。
咱学数学呀，就得像这样，一步一个脚印，慢慢地去探索，去发现其中的奥秘。
你说是不是这个理儿？咱可不能小瞧了这五个步骤，它们可是打开数学大门的钥匙呢！以后再遇到求轨迹方程的问题，咱就按照这五个步骤来，肯定能轻松搞定！加油吧！。
求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧===来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
人教版数学高二-备课资料求轨迹方程常见的几种策略
求轨迹方程常见的几种策略求轨迹方程问题，是同学们在圆锥曲线学习中经常遇到的一类问题.面对此此类问题，同学们往往束手无策，难以顺利解决.下面结合几个实例谈谈这类问题的求解策略，以供参考.一、直接法如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.例1 动点与两点A(a,0)、B(-a,0)连线的斜率之积为k(k ≤0),求点P 的轨迹方程,并从k 值的变化讨论轨迹是什么曲线. 解: 设P(x,y)是轨迹上任一点,根据题意有y y k x a x a ⋅=-+ 整理得轨迹方程22221x y a ka⋅=-. 当k<-1时,焦点在y 轴上的椭圆;当-1<k<0时,焦点在x 轴上的椭圆;当k=-1时,圆心在圆点,半径为|a|的圆;当k=0时,即y=0,它表示直线.分析: 本题的轨迹方程是容易得到的,当k 值变化时, 轨迹代表什么曲线,讨论时,一定要全面.二、定义法如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可用曲线定义写出方程,这种方法称为定义法.例2 在∆ABC 中,BC=24,AC 、BC 上的两条中线之和为39,求∆ABC 的轨迹方程.分析：建立适当的坐标系，利用重心坐标公式得到重心坐标(x,y)的关系.解: 以BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系如图1,M 为重心,由重心到顶点的距离等于中线长的23,可知|BM|+|CM|=23×39=26. 由椭圆的定义知,M 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆.其中C=12，a=13.∴22b a c =-∴所求∆ABC 的轨迹方程为22116925x y +=. 三、代入法如果轨迹点P(x,y)依赖于另一动点Q(a,b),而 Q(a,b)又在某已知曲线上,则可先列出关于x,y,a,b 的方程组,利用x,y 表示出a,b,把a,b 代入已知曲线方程便的动点P 的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称转换法或相关点法）.例 3 已知△ ABC 的顶点 B （－3，0）、 C （1，0），顶点 A 在抛物线 y=x 2上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹方程．分析：用动点 G （x ，y ）的坐标来表示已知曲线上的相关点 A （x o ，y o）的坐标，再代入已知曲线方程． 解： 设 G （x ，y ）， A （x o ，y o ），由重心公式，得 003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 又 A(x o ，y o)在抛物线 y=x 2上，∴200y x =．③ 将①，②代入③，得 3y=(3x ＋2)2(y ≠ 0) ， 这就是所求曲线方程．评注:用代入法求轨迹的步骤是: (1)设所求轨迹上的动点P(x,y),再设具有某种运动规律f(x,y)=0上的动点Q('',x y );(2)找出P\Q 之间坐标关系式,并表示为'1'2(,)(,)x x y y x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (3) 将'',x y 代入f(x,y)=0,即得所求轨迹方程.四、参数法如果轨迹动点P(x,y)的坐标之间的关系不容易找到,也没有相关可用时,可先考虑将x ，y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为参数法.例 4 如图2所示，点B 在直线x=5上滑动，等腰△OPB 的顶角∠OPB=23π，求顶点P 的轨迹方程.分析：由于OB 绕着原点运动，且命题有与三角知识有关，因此选择∠Box=θ为参数是比较好的想法.解：设∠Box=θ，|OP|=t ，P(x,y)， ∴cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩① ∵∠OPB=23π，由余弦定理得3， 而∠Box=θ6π±，设直线x=5与x 轴交于点A ，则|OA|=5. ∴3tcos (θ6π±)=5， 即33cos sin 52t t θθ=. ② ①代入②得P 点的轨迹方程为33100x ±-=.评注：“角”也是使用得比较多的参数之一，若直线(或点)绕着一个定点作旋转性的变化，或命题与三角知识有关，应分析选择“角”作参数是否有利.例 5 已知线段 'AA =2a ，直线垂直平分'AA 于O ，在上取两点 P ， P ˊ，使有向线段OP →，'OP →满足OP →⋅'OP →=4，求两直线 AP ， A ˊ P ˊ的交点 M 的轨迹方程．分析：首先应根据对称性建立直角坐标系．其次，要正确理解有向线段数量的意义．再引进参数（越少越好），刻划 P 点的纵坐标，则 P ˊ点坐标可求，两条动直线方程亦可求．进而消去参数，得所求轨迹方程．解： 如图3，以'AA 所在直线为 x 轴，以'AA 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设点 P （0，t ）（t ≠0），则'4(0,)P t．由点斜式得直线 AP 、A ˊP ˊ的方程分别为 ．两式相乘，消去 t ，得． 这就是所求点 M 的轨迹方程．评注：用参数法求轨迹方程，关键有二：一是选参，容易写出动直线方程．二是消参．消参的途径灵活多变，有时从一个方程中解出参数，再代入另一个方程中消参；有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出 x ， y ，再消参；有时直接或作适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参．小结：轨迹问题是解析几何的重要内容之一，它综合考查了学生逻辑推理能力，运算能力，分析问题解决问题的能力.求曲线方程（轨迹方程）的常用方法有：直接法，参数法，转移法，几何法等，求曲线方程时应根据题意选择适当的方法．。
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
求曲线轨迹方程的五种方法
求曲线轨迹方程的五种方法一、直接法如果题目中的条件有明显的等量关系,或者可以利用平面几何知识推出等量关系,求方程时可用直接法;例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程;解：设点P的坐标为x,y,则A2x,0,B0,2y,由|AB|=2a得2)2x-2(y+-=2a20()0化简得x2+y2=a,即为所求轨迹方程点评：本题中存在几何等式|AB|=2a,故可用直接法解之;二、定义法如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可用曲线定义写出方程,这种方法称为定义法;例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M2,0的距离之差等于2,则点P的轨迹是A、直线B、椭圆C、双曲线D、抛物线解法一：由题意,动点P到点M2,0的距离等于这点到直线x=-2的距离,因此动点P的轨迹是抛物线,故选D;解法二：设P点坐标为x,y,则|x+4|-22-=2x+(y)2当x ≥-4时,x+4-22)2(y x +-=2化简得当时,y 2=8x当x ＜-4时,-x-4-22)2(y x +-=2无解所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程,明显,解法一优于后一种解法,对于有些求轨迹方程的题目,若能采用定义法,则优先采用定义法,它能大量地简化计算;三、 代入法如果轨迹点Px,y 依赖于另一动点Qa,b,而Qa,b 又在某已知曲线上,则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组,利用x 、y 表示出a 、b,把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程,此法称为代入法;例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线191622=-y x 上运动,则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 ;解：设Px 0,y 0,Gx,y,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=)00(31)4(3100y y x x x 即⎩⎨⎧==y y x x 3300,代入 191622=-y x 得19916922=-y x 即116922=-y x 由于G 不在F 1F 2上,所以y ≠0四、 参数法如果轨迹动点Px,y 的坐标之间的关系不易找到,也没有相关的点可用时,可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法;例4 已知点M 在圆13x 2+13y 2-15x-36y=0上,点N 在射线OM 上,且满足|OM|·|ON|=12,求动点N 的轨迹方程;分析：点N 在射线OM 上,而同一条以坐标原点为端点的射线上两点坐标的关系为x,y 与kx,kyk ＞0,故采用参数法求轨迹方程;解：设Nx,y,则Mkx,ky,k ＞0由|OM|·|ON|=12得)(222y x k +·22y x +=12∴kx 2+y 2=12,又点M 在已知圆上,∴13k 2x 2+13k 2y 2-15kx-36ky=0由上述两式消去x 2+y 2得5x+12y-52=0点评：用参数法求轨迹,设参尽量要少,消参较易;五、 交轨法若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点方程,此法称为交轨法;例5 已知A 1A 是椭圆12222=+by a x a ＞b ＞0的长轴,CD 是垂直于A 1A 的椭圆的弦,求直线A 1C 与AD 的交点P 的轨迹方程;解：设Px,y,Cx 0,y 0,Dx 0,-y 0,y 0≠0∵A 1-a,0,Aa,0,由A 1、C 、P 共线及A 、D 、P 共线得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=+ax ya x y a x y a x y 0000 两式相乘并由1220220=+b y a x ,消去x 0,y 0,得,所求轨迹方程为12222=+b y a x y ≠0点评：交轨法的难点是消参,如何巧妙地消参是我们研究的问题;。
求轨迹方程的常用方法
轨迹（曲线）方程的求法求轨迹方程问题是高中数学的一个难点，求轨迹方程的常用方法有：1）直接法；2）待定系数法；3）定义法；4）代入法；5）参数法；6）交轨法. 下面分别介绍以上六种方法：（1）直接法 —— 直接利用条件通过建立x 、y 之间的关系式f (x ，y )＝0，是求轨迹的最基本的方法. 课标教材(人教版)²高中数学 选修2﹣1（以下所称教材都是指该教材）的《§2.1.2 求曲线的方程》中介绍了此法.直接法求轨迹（曲线）方程一般有五个步骤：① 建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M 的坐标为（x ，y ）； ② 写出点M 运动适合的条件P 的集合：P={M ｜P(M)}； ③ 用坐标表示条件P(M)，列出方程 f (x ，y )=0； ④ 化方程 f (x ，y )=0 为最简形式；⑤ 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 一般地，步骤(5)可省略，如有特殊情形，可以适当说明.教材推导圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程，都是使用直接法. 教材中还配有大量练习题（如：教材P.37练习/3，习题2.1/A 组/2、3，B 组/1、2；P.41例3，P.42练习/4，P.47例6，P.49习题2.2 / B 组/3；P.59例5，P.62习题2.3 / B 组/3；P.74习题2.4 / B 组/3；P.80复习参考题/ A 组/10，B 组/5）.例1. 如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a （a >0），|CD|=2b (b>0)，动点P 满足|PA|²|PB|=|PC|²|PD|. 求动点P 的轨迹方程.解：以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A （－a ，0），B （a ，0），C （0，－b ），D （0，b ）， 设P （x ，y ），由题意知 |PA|²|PB|=|PC|²|PD|，∴22)(y a x ++²22)(y a x +-=22)(b y x ++²22)(b y x -+，化简得 x 2－y 2=222b a -.故动点P 的轨迹方程为 x 2－y 2=222b a -.【练习1】 1、已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN |²|MP |＋MN ²NP =0，求动点P （x ，y ）的轨迹方程.2、如图所示，过点P （2，4）作互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程.（2）待定系数法 —— 当已知所求曲线的类型（如：直线，圆锥曲线等）求曲线方程，可先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定方程中的系数(待定系数)，代回所设方程即可.要注意设出所求曲线的方程的技巧.（如：教材P.40例1，P.42练习/2，P.46例5，P.48练习/3、4，P.49习题2.2/A 组/2、5、9；P.54例1，P.55练习/1，P.58例4，P.61练习/2、3，P.61习题2.3 / A 组/2、4、6，B 组/1；P.67练习/1，P.68例3，P.72练习/1，P.73习题2.4 / A 组/4、7；P.80复习参考题/ A 组/1）.例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线41622y x -=1有公共焦点，且过点（32，2）. （2）与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且过点（－3，23）； 解： (1)设双曲线方程为2222by a x -=1. 由题意易求c=25.∵双曲线过点（32，2）， ∴()2223a －24b=1. 又 ∵a 2＋b 2=(25)2， ∴解得 a 2=12，b 2=8.故 所求双曲线的方程为 81222y x -=1. （2）设所求双曲线方程为16922y x -=λ(λ≠0)， 将点（－3，23）代入得λ=41，∴ 所求双曲线方程为16922y x -=41， 即49422y x -=1. 【练习2】 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），但|AF|＋|BF|=8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程.（3）定义法 —— 如果根据已知能够确定动点运动的条件符合某已知曲线的定义，则可由该曲线的定义直接写出动点轨迹方程.（如：教材P.49习题2.2/A 组/1、7，B 组/2；P.54例2，P.62习题2.3/A 组/5，B 组/2）例3. 已知动圆过()1,0，且与直线1x =-相切. (1) 求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设动圆圆心为M ，定点()1,0为F ，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知： MF MN =即动点M 到定点F 与到定直线1x =-的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线， 其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为 x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+= △216160k k =->，01k k ∴<>或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=， 即()()21212110ky y y y --+=，整理得 2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，∴ 2224(1)40k k k k k +-⋅+=， 解得4k =-或0k =（舍去）， 又 40k =-<，∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=【练习3】 1、已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2=1和圆C 2：(x －3)2＋y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.2、在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B （－2a ，0），C （2a，0）且满足条件x =sinC －sinB=21sinA ，则动点A 的轨迹方程是 （ ） A. 2216a x －221516a y =1（y ≠0)B. 2216a y －22316a x =1（x ≠0)C. 2216a x －221516a y =1（y ≠0)的左支 D. 2216a x －22316ay =1（y ≠0)的右支（4）代入法（也叫相关点法或转移法） ——若动点P(x ，y )随另一动点Q(x 1，y 1)的运动而运动，并且Q(x 1，y 1)又在某已知曲线上运动，则求点P 的轨迹方程问题常用此法.代入法求轨迹（曲线）方程一般有以下几个步骤：① 设所求点P 的坐标为 (x ，y ) (称之为从动点)，动点Q 的坐标为(x 1，y 1) (称之为主动点) ② 找出点P 与点Q 的坐标关系；③ 用从动点的坐标x 、y 的代数式表示主动点的坐标x 1、y 1； ④ 再将x 1、y 1代入已知曲线方程，即得要求的动点轨迹方程.(如：教材P.41例2，P.50习题2.2 / B 组/1；P.74习题2.4 / B 组/1)例4. 设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN =2MP ，PM ⊥PF ，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程. 解设N （x ，y ），M （x 1，0），P （0，y 0），由MN =2MP 得（x －x 1，y ）=2（－x 1，y 0），∴11022x x x y y -=-⎧⎨=⎩，即1012x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.∵PM ⊥PF ，PM =(x 1，－y 0)，PF =(1，－y 0)， ∴(x 1，－y 0)·（1，－y 0）=0，∴x 1＋y 2=0. ∴－x ＋42y =0，即y 2 = 4x .故所求的点N 的轨迹方程是 y 2 = 4x .【练习4】 如图所示，已知P （4，0）是圆 x 2＋y 2=36 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.（5）参数法 ——当动点P （x ，y ）的横坐标x 、纵坐标y 之间的关系不易直接找到时，可以考虑将x 、y 都用一个中间变量（参数）来表示，即得参数方程，再消去参数就可得到普通方程.例5. 如图所示，已知点C 的坐标是（2，2），过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B. 设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.解 方法一（参数法）：设M 的坐标为（x ，y ）.若直线CA 与x 轴垂直，则可得到M 的坐标为（1，1）. 若直线CA 不与x 轴垂直，设直线CA 的斜率为k ，则直线CB 的斜率为－k1， 故直线CA 方程为：y =k(x －2)＋2，令y =0得x =2－k2，则A 点坐标为(2－k2，0).CB 的方程为：y =－k1(x －2)＋2，令x =0，得y =2＋k2， 则B 点坐标为（0，2＋k 2），由中点坐标公式得M 点的坐标为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=-=+-=k k k k 112022112022y x ①， 消去参数k 得到x ＋y －2=0 (x ≠1)， 又∵ 点M （1，1）在直线x ＋y －2=0上， 综上所述，所求轨迹方程为x ＋y －2=0.方法二（直接法）设M （x ，y ），依题意A 点坐标为（2x ，0），B 点坐标为（0，2y ）.∵|MA|=|MC|， ∴22)2(y x x +-=22)2()2(-+-y x ， 化简得x ＋y －2=0.方法三（定义法）依题意 |MA|=|MC|=|MO|，即：|MC|=|MO|，所以动点M 是线段OC 的中垂线，故由点斜式方程得到：x ＋y －2=0.（6）交轨法 —— 当所求轨迹上的动点是两动曲线的交点时，只要把两动曲线（族）的方程分别求出：0),,(=t y x f 与0),,(=t y x g（t 为参数），然后消去参数t ，即得所求轨迹方程.例6. 如图，过圆224x y +=与x 轴的两个交点A 、B 作圆的切线AC 、BD ，再过圆上任意一点H 作圆的切线，交AC 、BD 于C 、D 两点，设AD 、BC 的交点为R ，求动点R 的轨迹E 的方程.解：设点H 的坐标为（0x ，0y ），则20x ＋20y ＝4 由题意可知0y ≠0，且以H 为切点的圆的切线的斜率为0x y -， ∴切线CD 方程为 y －0y ＝0x y -(x －0x )，展开得 0x x ＋0y y ＝20x ＋20y ＝4， 即 以H 为切点的圆的切线方程为 0x x ＋0y y ＝4，∵A （－2，0），B （2，0），将x ＝±2代人0x x ＋0y y ＝4 可得 点C 、D 的坐标分别为C （－2，0042x y +），D （2，042x y -）， 则直线AD 、BC 的方程分别为AD l ：002424y x x y +=- …… ①， BC l ：002424y x x y -=+- …… ②将两式相乘并化简可得动点R 的轨迹E 的方程为 2244x y +=，即2214x y += 解法二：设点R 的坐标为（0x ，0y ）；直线AR 的方程分别为y ＝002y x +(x ＋0x )，与直线BD 的方程x ＝2联立，解得D （2，0042y x +），同法可得C （－2，0042y x --），则直线CD 斜率为002024x y x -， ∴直线CD 的方程为y －0042y x --＝002024x yx -(x ＋2)∵直线CD 与⊙O 相切， ∴圆心O 到直线CD 的距离等于圆半径2，000244x y y -＝2，化简得 (20x －4)2＋420x 20y ＝(420y )2整理得 (20x －4)2＋420y (20x －4)＝0， ∴20x －4＝0 （舍去）或20x －4＋420y ＝0即 动点R 的轨迹E 的方程为2244x y +=，即2214x y +=总结：求轨迹方程的方法：（1）求单个动点的轨迹问题，用直接法 或待定系数法 或定义法； （2）求两个动点的轨迹问题，用代入法；（3）求多个动点的轨迹问题，用参数法 或交轨法。
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求曲线轨迹方程的五种方法
一、直接法
如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。
例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。
解：设点P的坐标为（x，y），
则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得
2)
2
x-
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+
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2
0(
化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程
点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。
二、定义法
如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。
例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（）
A、直线
B、椭圆
C、双曲线
D、抛物线
解法一：由题意，动点P到点M（2，0）的距离等于这点到直线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。
解法二：设P点坐标为（x，y），则
|x+4|-2
2
-=2
x+
(y
)2
当x≥-4时，x+4-2
2
-=2化简得
x+
(y
)2
当时，y 2=8x
当x ＜-4时，-x-4-22)2(y x +-=2无解
所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x
点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。
三、 代入法
如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为代入法。
例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线19
1622=-y x 上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 。
解：设P （x 0，y 0），G （x ，y ），则有
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=+-=)00(31)4(3100y y x x x 即⎩⎨⎧==y y x x 3300，代入 191622=-y x 得19
91692
2=-y x 即116
922
=-y x 由于G 不在F 1F 2上，所以y ≠0
四、 参数法
如果轨迹动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的点可用时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。
例4 已知点M 在圆13x 2+13y 2-15x-36y=0上，点N 在射线OM 上，且满足|OM|·|ON|=12，求动点N 的轨迹方程。
分析：点N 在射线OM 上，而同一条以坐标原点为端点的射线上两点坐标的关系为（x ，y ）与（kx ，ky ）（k ＞0），故采用参数法求轨迹方程。
解：设N （x ，y ），则M （kx ，ky ），k ＞0
由|OM|·|ON|=12得
)(222y x k +·22y x +=12
∴k （x 2+y 2）=12，又点M 在已知圆上，
∴13k 2x 2+13k 2y 2-15kx-36ky=0
由上述两式消去x 2+y 2得
5x+12y-52=0
点评：用参数法求轨迹，设参尽量要少，消参较易。
五、 交轨法
若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点方程，此法称为交轨法。
例5 已知A 1A 是椭圆12222=+b
y a x （a ＞b ＞0）的长轴，CD 是垂直于A 1A 的椭圆的弦，求直线A 1C 与AD 的交点P 的轨迹方程。
解：设P （x ，y ），C （x 0，y 0），D （x 0，-y 0），（y 0≠0）
∵A 1（-a ，0），A （a ，0），由A 1、C 、P 共线及A 、D 、P 共线得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=+a
x y a x y a x y a x y 0000 两式相乘并由122
0220=+b y a x ，消去x 0，y 0，得，所求轨迹方程为12222=+b y a x （y ≠0）
点评：交轨法的难点是消参，如何巧妙地消参是我们研究的问题。