高二数学选修2-1曲线与方程
人教版【高中数学】选修2-1第二章曲线与方程的概念讲义
案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一曲线方程概念的理解1.在建立了平面直角坐标系之后,平面内的点和有序实数对之间就建立了一一对应关系,现在要求我们进一步研究平面内的曲线与含有两个变量的方程之间的关系.平面内的曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合(或轨迹)也就是说:(1)曲线上的每一个点都要符合某种条件;(2)每个符合条件的点都要在曲线上既然平面内的点与作为它的坐标的有序实数对之间建立了对应关系,那么对应于符合某种条件的一切点,它的坐标是应该有制约的,也就是说它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束,所以探求符合某种条件的点的轨迹问题,就变为探求这些点的横坐标与纵坐标应满足怎样的约束条件的问题,含两个变量x、y的方程F(x,y)=0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束.2.在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系(1)和(2)缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系(1)可知A⊆B,由关系(2)可知BCA;同时具有这两个关系,就有A=B.3.从充要条件的角度理解,即“某点在曲线上”与“点的坐标满足曲线的方程”之间是互为充要条件的.知识点二圆系方程1.曲线系:同时具有某一特征的一组曲线叫做一个曲线系;它们的共同方程叫做这个曲线系的曲线系方程2.圆系方程:(1)过两已知圆交点的圆系方程:两相交圆C:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.则过其交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).(2)过直线与圆交点的圆系方程:直线Ax+By+C=0与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交,则过其交点的圆系方程为:x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0. 典型例题分析题型1曲线的方程与方程的曲线 【例1】判断下列命题是否正确:①设点A(2,0)、B(0,2),则线段AB 的方程是x+y-2=0; ②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y=x -25; ③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x 2-y 2=0. 解析 根据曲线与方程的定义,逐条检验“两性”答案 命题①中方程x+y-2=0表示一条直线,坐标满足该方程的点如(-1,3)等不在线段AB 上,故命题①错误;命题②中到原点距离等于5的动点的轨迹方程为x 2+y 2=52,方程y=x -25表示的曲线是圆x 2+y 2=25除去x 轴下半部分的曲线,故命题②错误命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,满足x 2-y 2=0,反过来坐标满足方程x 2-y=0的点到两坐标轴的距离相等,故命题③正确规律总结 判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上【变式训练1】下列命题是否正确?若不正确,说明原因 (1)过点A(2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是|x|=2; (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x答案(1)错误,因为以方程|x|=2的解为坐标的点,不都在直线l 上,直线l 只是方程|x|=2所表示的图形的一部分(2) 错误,因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y=x 和y=-x,故y=x 不是所求的轨迹方程题型2曲线的交点【例2】求通过直线2x+y+4=0及圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,并且面积最小的圆的方程 解析 利用圆系公式可求出变圆的半径,参变量取适当值时可使变圆半径最小答案 设圆的方程是(x 2+y 2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0,即[x+(1+λ)2+(y+24-λ)=4161652+-λλ.设该圆半径为R,由圆面积公式S=πR 2,得R 2=4161652+-λλ取最小值的面积为最小.而R 2=45（λ-58）2+54,所以当λ=58时,圆面积最小.此时圆的方程是5x 2+5y 2+26x-12y+37=0.规律总结 最值问题要先列出目标函数,再利用合适的方法求最值【变式训练2】已知直线x+y+b=0与曲线x 2-1+y=0有公共点,则b 的取值范围是 .答案 联立两曲线方程,消去y 得x 2-x-(1+b)=0.由题意得△≥0,即1+4(1+b)≥0,解得b ≥-45规律 方法 总结1.判断方程是否是曲线方程,要从两方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上2.判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形,变形过程一定要注意与原方程的等价 性,否则变形的方程表示的曲线就不是原方程的曲线,另外,变形的方法还有配方法、因式分 解法等3.在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题, 而解决这类问题的解法称为代入法(或相关点法),而此法的关键是如何来表示出相关的点定时 巩固 检测基础训练1.如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C 上”是不正确的,那么下列命题中正确的是 ( ) A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C 上 B.曲线C 上的点的坐标不都满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C 上,有些不在曲线C 上D.至少有一个不在曲线C 上的点,其坐标满足f(x,y)=0 【答案】D(点拨:由简易逻辑推理可得)2.已知圆C 的方程f(x,y)=0,点A(x 0,y 0)在圆外,点B(x ´,y ´)在圆上,则f(x,y)-f(x 0,y 0)+f(x ´,y ´)=0表示的曲线是 ( ) A.就是圆C B.过A 点且与圆C 相交的圆 C.可能不是圆 D.过A 点与圆C 同心的圆 【答案】D(点拨:由点B(x ´,y ´)在圆上, ∴f(x ´,y ´)=0,即方程为f(x,y)-f(x 0,y 0)=0, ∴方程过点A(x 0,y 0) 又f(x 0,y 0)为常数,∴f(x,y)-f(x 0,y 0)=0仍为圆的方程.)3.已知A(1,0),B(-1,0),动点M 满足|MA|-|MB|=2,则点M 的轨迹方程是 ( ) A.y=0(-1≤y ≤1) B.y=0(x ≥1) C.y=0(x ≤-1) D.y=0(|x|≥1) 【答案】C(点拨:由|MA|-|MB|=2可设M(x,y),则()()222211y x y x ++-+-=2整理得:y=0,又|MA|-|MB|>0,∴x ≤-1.)4.点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,则a= . 【答案】31(点拔:将点代入方程中即可.) 5.已知两定点A(-1,0),B(2,0),动点P 满足21=PB PA,则P 点的轨迹方程是 . 【答案】x 2+4x+y 2=0(点披：将|PA|与|PB|用距离公式表示出整理即可,)6.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l ,交x 轴于A 点,2l 交y 轴于B 点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】如下图,设M 点的坐标为(x ，y),则A(2x,0),B(0,2y)∵1l ⊥2l ,2l P(2,4),∴PA ⊥PB,k PA ·k PB =-1,而k PA =x x -=-12224(x ≠1),k PB =2042--y =2-y, ∴x-12·(2-y)=-1,整理得x+2y-5=0(x ≠1). ∵当x=1时,A(2.0),B(0,4∴AB 的中点M(1，2)也满足方程x+2y-5=0,综上所述,点M 的轨迹方程为x+2y-5=07.线段AB 的长度为10.它的两个端点分别在x 轴,y 轴上滑动，则AB 的中点P 的轨迹是什么? 【答案】解法一：由题意可知AB 的中点P 恒满足到原点(0,0）的题离为5,所以点P 的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆.解法二:设P 点的坐标为(x,y),由中点坐标公式知A(2x ，0),B(0,2y),因为|AB|=10,所以2244y x +=10,即x 2+y 2=25,所以点P 的轨为以原点为圆心,以5为半径的圆能力提升8.如图所示的曲线方程是 （ ）A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.y x =0D.yx -1=0【答案】B(点拔:A 中y ≥0与图形不符,C 、D 中都不满足y= 0,而图形过原点,所以排除C 、D,只有B 符合题意.) 9.(1)方程(x+y-1)1-x =0表示什么曲线?(2)方程2x 2+y 2-4x+2y+3=0表示什么曲线? 【答案】(1)由方程(x+y-1)1-x =0可得⎩⎨⎧=-+≥-010,1y x x 或⎩⎨⎧=-≥-.01,01x x 即x+y-1=0(x ≥1)或x=1,表示直线x=1和射线x+y-1=0(x ≥1).(2)方程左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0,∵2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0)1(,0)1(222y x 得⎩⎨⎧-==,1,1y x∴方程表示的图形是点A(1,-1).10.求经过两圆C 1：x 2+y 2+6x-16=0,C 2:x 2+y 2-4x-5=0的交点,且过点(2,1)的圆的方程. 【答案】 设圆的方为x 2+y 2+6x-16+λ（x 2+y 2-4x-5)=0又因为圆过点(2,1),代入方程得λ=81,所以所求圆的方程为x 2+y 2+6x-16+81(x 2+y 2-4x-5)=0.即9x 2+9y 2+44x-133=0.（点拨:过相交的两个圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0,C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0的交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1).11.设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为定值a(a>0),试求点P 的轨迹方程,并探求点P 的轨迹 【答案】设动点P 的坐标是(x ，y),由PBPA =a(a>0)得2222)()(yc x y c x +-++=a,简得(1-a 2)x 2+2c(1+a 2)x+c 2(1-a 2)+(1-a 2)y 2=0.当a ≠1时,得x 2+221)1(2aa c -+x+c 2+y 2=0,整理得22211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c a a x +y 2=2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ac ；当a=1时，化简得x=0,所以当a ≠1时,P 点的轨迹是以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0,1122c a a 为圆心，122-a ac为半径的圆:当a=1时,P 点的轨迹是y 轴.。
选修2-1课件2.1.1曲线与方程
R
M
O Q
x
图2.5 3
证明 1 如图 2 . 5 3 , 设 M x0 , y0 是轨迹上的任意一点.因为点 M 与 x 轴的距离为 | y0 |, 与y轴的距离为 | x0 |, 所以 | x0 | | y0 | k .
即x0 , y0 是方程 xy 的解.
2 设点M 1的坐标 x1 , y1
又如, 以a, b 为圆心、r 为半径的圆的方程是
y
x a 2 y b2 r 2
x a y b r 2 .这 就是说, 如果M x0 , y0 是
2 2
Mx 0 , y0
x
圆上的点, 那么它到圆心 O 的距离一定等于半径, 即
积为常数 k k 0 的点的轨迹方程 .
2 2 2 2
y
x a 2 y b2 r 2
r 的解, 即 x0 a
Mx 0 , y0
x
y0 b 2 r 2 , 也就是 x0 a 2 y0 b 2
O
图2.5 2
r , 即以这个解为坐标的点到点 a, b 的 距离为r , 它一定在以a, b 为圆心r为半径 的圆上 圆 2.5 2 .
2 2
图2.5 2
x0 a y0 b r , 2 2 也就是 x0 a y0 b r 2 , 这说明它的坐 2 2 2 标 x0 , y0 是方程 x a y b r 的解 ;
反过来, 如果 x0 , y0 是 方程 x a y b
2 .1. 1 曲线与方程
前面我们研究了直线、圆、圆锥 曲线的方程 , 讨论了这些曲线( 包 括直线)和相应的方程的关系下面 . 进一步研究一般曲线( 包括直线 ) 和方程的关系.
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
最新人教版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》本章综述
第二章圆锥曲线与方程
本章综述
本章的内容是：曲线与方程，椭圆，双曲线，抛物线.重点是圆锥曲线标准方程及其性质的研究.难点是已知曲线求方程.
根据已知条件选择适当的坐标系，借助数和形的对应关系建立曲线方程，把形的问题转化为数的研究，再把数的研究转化为形来讨论，这是解析几何的基本思想和方法.用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯，也是学习其他科学技术的基础，而学习圆锥曲线，需要综合运用过去学过的数学知识，因此，学习这一章，起着承前启后的作用．圆锥曲线是解析几何的重点内容.要深入理解曲线与方程的有关概念与相互关系，重点抓住两个基本问题：一是根据曲线方程研究曲线的基本性质；二是根据曲线的几何特征求曲线的方程.学习本章常用的方法有直接法、代入法、几何法、定义法、交轨法、参数法等. 圆锥曲线方程的应用和开放题在教材的例题和习题中有多处涉及，在各地的高中会考和高考模拟试卷中也有逐年增加的趋势，这类试题一般都紧扣课本内容，贴近生活，具有跨学科的特点.在高考中圆锥曲线占总分的15%左右，分值一直保持稳定.选择题、填空题重视基础知识和基本方法，而且具有一定的灵活性与综合性；解答题注重基本方法、数学思想的理解掌握和灵活运用，通常又不单独考查，多数情况是与函数、向量、数列结合起来，综合性强，难度较大，常被安排在试题最后.。
【数学】2.1.1《曲线与方程》课件(新人教A版选修2-1)
例子：(2)画出函数 y
y 8
= 2x
2
(-1≤x≤2) 的图象C.
y
y = 2x 2
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
8
-1
O
2
x
-1
O
2
x
符合条件①不符合条件②
符合条件②不符合条件 ①
例子：(2)画出函数 的图象C.
y 8
y = 2x
2
(-1≤x≤2)
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
-1
O
2
x
y 1 -1 0 x 1 y 1 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 -1 0 1 2 x
图3
例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆 上.
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点 的距离等于5，所以 x 0 2 + y 0 2 = 5 , 也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解.
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
集合的 观点
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 P( x0 , y0 ) 在曲线C上的充要条件 是 f ( x0 , y0 ) = 0
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 例2证明：圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是 y x2 + y2 = 25 5 M 1 (3,−4)、M（ − 2 5， 是否在圆上 2） 并判断 2 变式训练： 变式训练：写出下列半圆的方程
人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程
2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。
高中数学选修21圆锥曲线与方程市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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顶点 A 可在直线 BC 上方，也可在下方. 1 分
若点 A 在 BC 上方，设 H(x，y)，则 A(x,2)．
当 x≠±1 时，kAC＝x－2 1，kBH＝x＋y 1，
4分
由 AC⊥BH，得 kAC·kBH＝－1，即x－2 1·x＋y 1＝－1，化简
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第二章 圆锥曲线与方程
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求曲线方程的普通环节
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第二章 圆锥曲线与方程
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对的认识求曲线方程的普通环节 求曲线方程的五个环节构成一种有机的整体，每一步都 有其特点和重要性．第一步在具体问题中有两种状况． (1)所研究的问题中已给定了坐标系，此时就在给定的 坐标系中求方程即可；
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(2)对称性：用－y 代 y 方程不变，曲线关于 x 轴对称．
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(3)单调性：设 0≤x1≤x2<1,0≤x21<x22， ∴1－x1>1－x2>0，故1－x12x1<1－x22x2， 即 y21<y22. ∴曲线在第一象限单调递增，在第四象限单调递减，如 图所示．
(2)已知方程 x2＋y2＝5 表示的曲线 F 经过点 A( 2，m)， 求 m 的值．
人教版 高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题
人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。
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思考
（1）说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是︱x︱=2吗？为什么？
①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上 结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y 到y轴距离等于2的点的轨迹方程是x=2吗？ （2）已知曲线C的方程为y=x2-2x+A4,问点A(3,1), B(2,4), C(1,3) 是否在曲线C上？如何判断0 ？ 2 x
（1）曲线：到两条坐标轴距离相等的点的轨迹；
× 方程：|x|-y=0.
（2）曲线：等腰三角形ABC的底边BC的中线；
方程：x=0. × ppt课件
横纵坐标相等 的点的轨迹
到两坐标轴距 离相等的点的 轨迹
第一、二象限 的角平分线
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|y|=|x| y=|x| y=x
学习例题巩固定义
例3 已知两圆
0x
（1） l上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上 ppt课件
直线l与方程y=x的关系：
（1）l上任意一点M(x0,y0)的坐标都是方程y=x 的解； （2）以方程y=x的解(x0,y0)为坐标的点都在l上. 即：直线l上的点与方程y=x的解之间是 一一对应的.
的点一定在圆上。
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分析特例归纳定义
曲线的方程，方程的曲线
给定曲线C与二元方程 F(x，y)=0，若满足 （1）曲线上的点坐标都是这个方程的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程 F(x，y)=0叫做这条曲线C的方程，
这条曲线C叫做这个方程的曲线
y
F(x,y)=0
0x
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思考与讨论
上题中，若 1，那么得到的方程还是圆吗？
若不是，这个方程表示什么图形，与两个已知圆有什 么关系？
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• 曲线与方程的概念及其简单应用； • 数形结合的思想方法； • 由特殊到一般的归纳方法.
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√ F(x,y)=0。
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学习例题巩固定义
判断下列结论的正误并说明理由
对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 对（2）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为|xy|=1 错（3）已知定点A(-1,0),B(1,0)使∠AMB为指教的点M的轨迹方程 是x2+y2=1
例2 判断下列各方程是对应曲线的方程吗？若不是，请 说明理由。
C1:x2y26x160, C2:x2y24x50,
求证：对任意不等于-1的实数 ，方程
x 2 y 2 6 x 1 6 ( x 2 y 2 4 x 5 ) 0
是通过两个已知圆交点的圆的方程。
分析思路： （1）证明表示一个圆；（——复习学过的圆的表示形式） （2）证明此圆过两个圆的交点。
2.直线的方程与方程的直线
(1)以一个方程的解为坐标的点都在这条直线上； (2)这条直线上所有点的坐标都是这个方程的解.
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分析特例归纳定义1
求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满 足的关系
l 第一、三象限角平分线
点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0）
曲线
条件
方程
y l x-y=0 得出关系：
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判断正误
已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上 （1）若点M(x,y)的坐标是方程F(x,y)=0的解，则点M在
曲线上。× × （2）曲线C上的点的坐标都满足方程F(x,y)=0。 × （3）凡是坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上。
（4）不在曲线C上的点的坐标不一定不满足方程
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学习例题巩固定义
证明：方程
x 2 y 2 6 x 1 6 ( x 2 y 2 4 x 5 ) 0
可以变形为
( 1 ) x 2 ( 1 ) y 2 ( 6 4 ) x 1 5 6 0
因为 1, 得
(x31 2)2y292(1 9) 225
①
因为方程①中等号右端大于0，所以它是一个圆的 方程. 两圆交点的坐标满足两已知圆的方程，当然也满 足方程①，因此方程①表示的圆通过两圆的交点.
2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程
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• 主要内容：
• 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题
• 重点和难点：
• 曲线和方程的概念
？
曲线和方程之间有 什么对应关系呢？
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1.研究直线和圆的基本方法是什么？ 这种方法的思路是怎样的？
坐标法；借助坐标系，把点与坐标、曲线与方 程联系起来，再通过方程研究曲线的几何性质.
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明察秋毫
如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解，
那么（D ）
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
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说明
1. 概念是判断曲线的方程与方程的曲线的依据， 在概念 中①②两个关系必须同时成立，缺一不 可.
即曲线上的点与方程的解是一一对应的.
2. 如果曲线C的方程是F(x,y)=0, 则
M(x0,y0) ∈C
F(x0,y0Байду номын сангаас=0.
曲线C用集合的特征判断性是质否描述法，可以
描述为 C M (x ,在y ) 曲F 线(x 上,y ) 0 的依据
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分析特例归纳定义2
y
以原点为圆心，5为半径的圆 曲线
O
x
到原点的距离等于5
条件
满足关系：
x2+y2=25
方程
（1）、如果M (x0 , y0 )是圆上的点，那么 M (x0 , y0 ) 一定是这个方程的解
（2）、如果M (x0, y0 )是方程(xa)2(yb)2r2的解，那么以它为坐标