(完整word版)蝴蝶定理的八种证明及三种推广

蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。

设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。

则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。

证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。

又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。

证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。

对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CFME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。

[2]2 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。

图 2图 3图4图 5证法 4 （Steven 给出）如图5，并令DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x yαβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由FCM AME EDM FMBFCM EDM FMB AMES S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=，即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδαγβδ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅化简得 ()()()()222222MF CF FB QF FP ME AE ED PE EQ a y a y a y a x a x a x -+⋅⋅-====⋅⋅-+- 即 222222x y a y a x -=-，从而 ,ME MF x y ==。

证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对MBC ∆和MAD ∆分别应用张角定理，有()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MAαβαββαβα++=+=+，上述两式相减，得()()()11sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD MA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪⋅⋅⎝⎭设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有()()MB MA 2MH 2OM cos 902OMsin MD MC 2MG 2OM cos 902OMsin ββαα-==︒-=-==︒-=于是 ()11sin 0MF ME αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，而180αβ+≠︒，知()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为()222x y a R ++=。

直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为2y k x=。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为()()()222120x y a R y k x y k x μλ⎡⎤++-+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()222120k k x a R μλμ++-=，由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即12x x =-，故ME=MF 。

[5]证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为()222x a y r -+=直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x=。

又设A B C D 、、、的坐标为(),,1,2,3,4i i x y i =，则14x x 、分别是二次方程()()2222222212,x a k x r x a k x r -+=-+=的一根。

AD 在y 轴上的截距为()()241111214411111214141k x k x x k k x x y y y x k x x x x x x x ----⋅=-=---。

同理，BC 在y 轴上的截距为()122332k k x x x x --。

注意到12x x 、是方程()22221120k xax a r +-+-=的两根，34x x 、是方程()22222120k x a x a r +-+-=的两根，所以34122212342x x x x ax x a r x x ++==-，从而易得341212340x x x x x x x x +=--，即ME MF =。

证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。

因C F B 、、三点共线，令BMx CMx αβ∠=∠=，，则()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即 ()C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ-=- ○1 ()A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ-=- ○2图 8作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。

注意到A B C D ρρρρ= ○3 由Rt OUM ∆与Rt OVM ∆可得D CB A cos cos ρρρραβ--=- ○4将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=，即ME=MF 。

二 蝴蝶定理的推广和猜想（一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P 、 Q 分别是 ED 、 CF 和AB 的交点. 如果 P 、 Q 分别是 CE 、 DF和AB 延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM .推论 1 过圆的弦 AB 的中点M 引任意两条弦 CD 与 EF, 连结 CE 、 DF 并延长交 AB 的延长线于 P 、 Q. 求证: PM = QM.证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD 的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsin α · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF ·QD ·M P 2= PC·PE·MQ2. ②又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.[3]（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM 是 AB 的垂线 (O 是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB 的前提下将圆 O 的弦 AB 移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .推论 2 已知直线 AB 与 ⊙O 相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M 作 ⊙O 任意两条割线 MC, M E 分别交 ⊙O 于 C, D 和 E, F. 连结DE,FC 并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM. 证明：过 F 作 FK ∥AB, 交直线 OM 于 N,交 ⊙O 于 K .连结 M K 交 ⊙O 于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M 在 FK 的垂直平分线上) .又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③ 又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK 知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C 四点共圆. 所以 ∠MGQ =∠MCQ.又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤ 由 ③、 ④、 ⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.（三）猜想 3 既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有PM = QM .推论 3设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD 和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM. 证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用△MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用△MAE≌△MBF 知 M平分 EF.在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用△M EP ≌△M FQ知 PM = QM。