第2周 勾股定理应用(最短路径)
人教版八年级数学下册17.1勾股定理的应用-最短路径问题(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如通过直尺和三角板在纸上绘制直角三角形，并实际测量勾股定理的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的应用，特别是解决最短路径问题。
-重点讲解：
-勾股定理的推导过程及其证明。
-勾股定理在直角三角形中的具体应用，特别是求解最短路径问题。
-通过实际案例，让学生理解勾股定理在实际生活中的重要性。
-举例解释：以直角三角形ABC为例，假设a、b为直角边，c为斜边，讲解如何利用勾股定理（a²+b²=c²）求解斜边长。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用-最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找两点之间最短距离的情况？”比如从家到学校的最近路线。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径问题的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
人教部初二八年级数学下册 运用勾股定理解决最短路径问题 名师教学PPT课件
解题思路：按对称点实现“折”转“直”
例1 如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB= 90°，AC=BC=2，D是 BC边上的中点.若E是AB边上一 动点，求EC+ED的最小值.
A E
C
DB
例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC=2， D是BC边上的中点.若E是AB边上一动点，求EC+ED的最 小值.
所以∠CBF= ∠C'BF. 又∠CAB=∠CBA=45°
所以∠CBC'= 90°. 在Rt△BC'D中，∠DBC'=90°
5 所以C'D= BD2 C' B2 = 12 22 =
A
C'
所以CE+DE=C'E+DE=C'D=. 5
故EC+ED的最小值为 5
F E
C
D
B
初中数学 八年级第二学期
Hale Waihona Puke 最短路径问题的应用之 用勾股定理求两线段和的最小值
新疆和硕县第一中学 刘杨
学习目标: 用勾股定理求两线段和的最小值 （确定起点终点的最短路径问题）
问题概述：最短路径问题是图论研究中的一个 经典算法问题，旨在寻找图(由结点和路径组 成的)中两结点之间的最短路径算法 问题原型：“将军饮马”，
解答:先作出点C关于AB所在直线的对称点C'
连接CC'，交AB于点F，连接C'D,交AB于点E，
连接CE,BC'，
A
C'
如图所示，由对称性可知AB所在直线垂 直平分CC'
用勾股定理求几何体中的最短路线长课件
问题描述
问题定义
给定一个几何体，如长方体、球体等，求从一个顶点到另一个顶点的最短路线长 度。
问题分析
最短路线问题可以通过几何学中的勾股定理进行求解。勾股定理是直角三角形中 ，直角边的平方和等于斜边的平方。在三维空间中，可以利用勾股定理找到最短 路径。
02
勾股定理简介
勾股定理的定义
勾股定理：在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。即，如果 直角三角形的两条直角边长度分别为 a和b，斜边长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
用勾股定理求几何体中的 最短路线长ppt课件
• 引言 • 勾股定理简介 • 几何体的最短路线问题 • 用勾股定理求解最短路线长 • 结论
01
引言
目的和背景
目的
介绍如何使用勾股定理在几何体中寻找最短路线长度。
背景
几何体中的最短路线问题在实际生活中有着广泛的应用，如建筑、工程、机器 人等领域。通过解决这类问题，可以优化设计、提高效率、降低成本等。
THANKS
感谢观看
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中比较常见的是欧几里得证 明法。该证明方法利用了相似三角形的性质和边长之间的关 系，通过一系列的推导和证明，最终证明了勾股定理。
除了欧几里得证明法外，还有其他的证明方法，如利用代数 方法和微积分方法等。这些证明方法虽然不同，但都能够证 明勾股定理的正确性。
的性质和勾股定理得出的结论。
空间几何体中的最短路线问题
1 2 3
球面几何中的大圆弧最短
在球面几何中，两点之间的大圆弧是最短的路径 。大圆弧是指经过球心并与球面相切的圆弧。
圆柱体或圆锥体中的母线最短
在圆柱体或圆锥体中，从顶点到底面的母线是最 短的路径。母线是与底面平行的线段，也是旋转 轴。
勾股定理最短路径问题做题技巧
勾股定理是数学中的经典定理，被广泛应用于解决直角三角形中的各种问题。
其中，勾股定理最短路径问题是一个常见而又有一定挑战性的问题，需要我们对勾股定理的应用进行深入理解和掌握。
下面，我将共享一些在做勾股定理最短路径问题时的一些技巧和注意事项，希望能对大家有所帮助。
1. 确定直角三角形在解决勾股定理最短路径问题时，首先需要确定问题中是否存在直角三角形。
通常情况下，我们可以通过问题描述中给出的线段长度或角度信息来判断是否为直角三角形。
一旦确定存在直角三角形，我们便可以应用勾股定理来解决最短路径问题。
2. 确认最短路径在确定了直角三角形后，接下来我们需要确认问题中所要求的最短路径。
这个最短路径可能是直角三角形中的某条边，也可能是直角三角形内部的某一段路径。
在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来判断最短路径的具体位置。
3. 应用勾股定理一旦确定了直角三角形和最短路径，我们就可以开始应用勾股定理来求解问题了。
勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b分别为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
我们可以根据勾股定理的这一表达式来进行问题的推理和计算，从而得出最终的最短路径结果。
4. 注意特殊情况在应用勾股定理解决最短路径问题时，我们还需要特别注意一些特殊情况。
当直角三角形的两条直角边长度相等时，斜边也将会最短，这种情况下我们可以直接应用勾股定理来得出结果。
另外，当直角三角形的两条直角边长度有一个为0时，斜边也将为另一条直角边，这时最短路径也就不言而喻了。
5. 结合实际问题当我们应用勾股定理解决最短路径问题时，需要将数学知识与实际问题相结合，确保解答的合理性和可行性。
我们可以通过画图、列方程等方法来辅助求解，从而得出准确的最短路径结果。
在解决勾股定理最短路径问题时，我们需要确保对勾股定理的基本原理有充分的理解，同时要灵活运用对问题进行分析和求解。
希望以上共享的技巧和注意事项能够帮助大家在做题时更加得心应手，解决问题时得心应手。
勾股定理求最短路径方法技巧
勾股定理求最短路径方法技巧摘要：1.引言2.勾股定理简介3.求最短路径方法技巧4.应用实例与分析5.结论正文：【引言】在数学领域中，勾股定理及其求最短路径方法一直是备受关注的热点。
本文将详细介绍勾股定理求最短路径的方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一理论。
【勾股定理简介】勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。
其数学表达式为：a + b = c。
其中a、b为直角边，c为斜边。
【求最短路径方法技巧】利用勾股定理求最短路径，关键在于找到起点和终点之间的直角三角形，然后运用勾股定理计算出路径长度。
这里有两种求最短路径的方法：1.直接法：在平面上给定两个点A和B，找出一条直线路径，使得这条路径上的所有点与A、B两点的距离之和最小。
可以通过构建直角三角形，利用勾股定理求解路径长度。
2.间接法：先找到起点和终点之间的中间点C，然后分别计算从起点到C 点和从C点到终点的路径长度。
最后在所有路径中选择长度最短的一条。
同样可以利用勾股定理计算路径长度。
【应用实例与分析】以一个简单的平面直角坐标系为例，设有两点A(0, 0)和B(3, 4)。
现在需要求从A点到B点的最短路径。
首先，求出AB的中点C：(1.5, 2)。
然后，分别计算从A到C和从C到B 的路径长度。
AC的长度：√((1.5-0) + (2-0)) = √(2.25 + 4) = √6.25BC的长度：√((3-1.5) + (4-2)) = √(1.25 + 4) = √5.25现在可以计算出从A点到B点的最短路径长度：√6.25 + √5.25 ≈ 7.27【结论】通过以上分析，我们可以看出，利用勾股定理求最短路径方法是简单且实用的。
只需找到起点和终点之间的直角三角形，然后运用勾股定理计算路径长度，最后在所有路径中选择长度最短的一条。
初中数学课件勾股定理的几何应用：最短路径
如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底
面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则
问题中葛藤的最短长度是________尺．
求由外到内最短距离
如图，圆柱形玻璃板，高为12，底面周长为18，在杯内离杯底4的点处
将求立体图形上两点间
的距离转化为求平面内
两点间的距离.
确定圆柱上的最短路线
图为圆柱体，小蚂蚁从A点走
到B点怎样走才最近？
B
A
C
B
A
C
B’
易错点：
圆柱展开为底面圆周长（或倍数关系），而非直径或半径，找点的位置时，注意是走半个底
面圆周长，还是整个底面圆周长。
利用圆柱展开图直接求最短距离
如图，一圆柱高8，底面周长为12，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬
2 = (2 × 4)2 + 62 = 64 + 36 = 100，
所以，彩带长至少是10．
故答案为：10．
-18-
求多圈最短距离，可采用两种方法：
①先求多圈之后的底面周长，和高构成直角三角形，求斜边长；
②先求一圈的底面周长，和一圈的高构成直角三角形求斜边长，再乘以圈数，
得到总斜边长.
如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子
-26-
化“立体”为“平面”，
将求立体图形上两点间
的距离转化为求平面内
两点间的距离.
确定长方体上的最短路线
图为长方体，小蚂蚁从A
点走到B点怎样走才最近？
利用长方体展开图求最短距离
如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点处，一只苍蝇在这个长方体的对
勾股定理应用之最短路径问题
沿着台阶面爬到B点去吃可口的食物，最短线路是多少？
A
20
CHale Waihona Puke 解：如图，将台阶3
展开， BC=(3+2) ×3=15AC=2
２
0
∵△ABC为直角
3
三角形 2
答：最短路线
3
是25cm。
2
B
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1.在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图， 将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模 型，再运用勾股定理解决实际问题。
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬
行的最短路程。
解：如图，将圆柱体 展开， BC=18÷2=9 AC=1
2 ∵△ABC为直角 三角形
C
B
答：蚂蚁爬行的最短路线
是15cm。
A
最短路径问题
几何体的表面路径的最短的问题，一般将 立体图形展开为平面图形来计算。
勾股定理 --最短路线问
1
1.两点之间，线段最短！
2.一个圆柱体的侧面展开图是长方形,它的一边长是圆 柱的高,它的另一边长是底面圆的周长。
圆柱侧面两点最短路径问题
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求为出什爬么
行的最短路程。
1
1B
B
1
1 1
1
A
1
1
长方体中的最值问题
如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、8。现有一蚂
蚁从顶点A出发，沿长方体表面到达顶点B，蚂蚁走的路程
最短为多少厘米？
利用勾股定理求解几何体最短路线的教案设计
教案设计：利用勾股定理求解几何体最短路线一、教学背景“勾股定理”是初中数学中的基础知识，是许多应用数学的基础。
在实际应用中，它在解决空间中点与点之间的最短路线问题上也有广泛的应用。
为了让学生更好地掌握勾股定理的知识，并能够灵活运用此定理解决实际问题，本次教学将重点围绕如何利用勾股定理求解几何体最短路线展开，帮助学生更深入地理解和应用勾股定理。
二、教学目标1. 知识目标：掌握勾股定理的基本概念和原理，理解在三维空间中的最短路线问题。
2. 技能目标：能够运用勾股定理求解几何体最短路线问题，掌握三维空间中的基础几何变换。
3. 情感目标：培养学生的实验探究精神和创新思维能力，鼓励学生积极思考并开展课外探究。
三、教学步骤1. 引入课题教师介绍三维空间中最短路径问题。
3.1. 使用工具：安装Matlab软件，使用三维空间坐标系进行模拟。
3.2. 实验过程：3.2.1. 安装Matlab3.2.2. 再三维坐标系上构建几何体3.2.3. 选取起点和终点，绘制出路径，用勾股定理计算出距离3.2.4. 通过Matlab软件优化，得出最小路径长度和路径。
3.3.实验结果展示3.3.1. 通过Matlab可视化展示路径3.3.2. 对比最小路径长度4. 课后思考4.1. 针对本次实验，作出理论和应用实践性体验结果，反思和总结。
4.2. 考虑如何利用勾股定理求解其他最短路径问题，例如二维平面内的路径问题、空间曲面最短路径问题等等。
并落实思路，拓宽应用实践思维。
四、教学评价1. 知识领悟方面1.1. 掌握勾股定理的基本概念和原理，理解三维空间中的最短路线问题。
1.2. 能够运用勾股定理计算几何体最短路线。
2. 技能表现方面2.1. 掌握使用Matlab软件进行三维空间模拟的方法。
2.2. 能够根据实际问题优化路径长度。
3. 情感态度方面3.1. 学生积极参与实验，思考路线问题。
3.2. 学生能够针对问题进行思考及优化方案。
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第2周 勾股定理解决路径最短问题
姓名：
题型一：勾股定理解决直线上一动点到（直线同侧）两定点距离之和最小问题
例1． 如图，A 、B 两个村庄在河CD 的同侧，A 、B 两村庄到河的距离分别是AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米。
现在要在河边CD 上修建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管
的工程费用为每千米2万元，请你在CD 上选择水厂的位置O ，使铺设水管的费用最省，并
求出铺设水管的总费用。
例2、在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE ＝2，AE ＝BE ，P 是AC 上一动点，则2
3
PB ＋PE 的最小值是
___。
题型二：勾股定理解决直线上一动点到（直线同侧）一定点距离之和最小问题
例1、如图，在锐角△ABC 中，AB=2，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___
例2、（1）如图1，等腰Rt△ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 ；
（2）如图2，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值 。
A
C
D
B
e a
例3、在矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为多少？
题型三：勾股定理解决曲面路线最短问题
例1．有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1、BB 1为相对的两条母线.在AA 1上
有一个蜘蛛Q ，QA =3cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1=2cm 。
蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm . （取π=3）
例1 变式练习
变式练习：如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
例2、如图，一个长、宽、高的仓库，在其内壁A （长的四等分点）处有一只壁m 8m 6m 5虎，B （宽的中点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为 .
m 变式练习：如图，长方体的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为20
cm ，点B 离点C 5 cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 .
例3：如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是
这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶
面爬到B 点的最短路程是多少？
20
3
2A
B
变式练习：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
B
A D
E
P
B
C
巩固练习：
1、如图，梯形ABCD 中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC ＝2AB AB 为边向梯形外作正方形，其面积为S ，已知AD=2，BC=3，则S= 。
2、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形
ABCD ABE △E 内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 ABCD AC P PD PE 3、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。
4、已知：如图，ΔABC 是等腰直角三角形，AB=BC ，∠ABC=90o ，P 是三角形ABC 内一点，且PA=1，PB=2，PC=3。
求边BC 的长。
2
5、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，且∠QPN=30°，在点A 处有一所中学，AP=160m ，假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上
沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由。
如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
D
A
C
Ｃ
D
A 6、如下图，一块直角三角形的纸片，两直角边．现将直角边
6cm AC =，8cm BC =沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
AC AD AB AE CD A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm
6题 7题 8题
7、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已
知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A 、450a 元
B 、225a 元
C 、150a 元
D 、300a 元
8、如图，C 是AB 上一点，BC =2AC =2 cm ，以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACD 与等边
△BCE ，则DE 长的平方为______。
9、如图，已知AB=10，AC=6，边BC 上的中线AD=4.则CD 2=__________.
10题
10、一只蚂蚁从长为6，宽为5，高为10的长方体纸箱的点，沿纸箱表面爬到C 点，问
A '它爬行的最短路线的平方是__________
11、若a 、b 、c 是直角三角形三边，h 为斜边c 上的高，则以下判断是否正确。
（1）以a 2、b 2、c 2为边的三条线段能够成直角三角形( )
A
B
'
C
B
9题图
B
（2）以a+b 、c+h 、h 为边的三条线段能够成直角三角形( )
12、如图，已知BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC 的延长线于D ，求AD 的长。
13、如图，四边形ABCD 中，AC=BC ，将四边形ABCD 沿AE 对折，使CE 、BE 在同一直线上，
那么点B 落在点F 上，已知CF ：CB=7:9，AB=12，求折痕AE 的平方。
14、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点，
求证：．
2
2
2
AD DB DE +=
A。