第二章运动守恒定律
P
mv
根据牛顿第二定律
F
d
mv
dP
dt dt
改写为
Fdt dP
式中Fdt表示力F在时间dt内的累积量，称为时
间dt内质点所受合外力的冲量，即
冲量
dI Fdt
当作用时间为t0 t ，合外力的冲量为
t
P
I
dI
Fdt
t0
P0
dP
P
P0
即
I
mv
mv0
质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点
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重力的功 设物体m从a点沿任一曲线移动到b点。
在元位移 dr中，重力所作的元功为：
dA mg cosds mgdh
重力作功只与质点的起始和终了位置有关， 而与 所经过的路径无关，重力是保守力 ！
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讨论
如果物体沿闭合路径abcda运动一周， 容易计算重力所作的功为：
A Aacb Abda mg(ha hb ) mg(hb ha ) 0
Fx
m dv x dt
80t
Fy
m dv y dt
0
A
Fxdx Fydy
2 320t 3dt
1
1200 J
例 已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动
求 t = 02s内F 作的功及t = 2s 时的功率。
解 F 6t dv
m
dt
v 3t2 dx dt
与机械运动直接相关的能量是机械能，它是物 体机械运动状态（即位置和速度）的单值函数，包 括动能和势能。
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三 质点动能定理
质点动能
Ek
1 2
mv2
合力对质点做的功为
A
b
F
ds
b m dv vdt
b mv dv
a
a dt
a
因为
a
v dv 1 dv v 1 d v2 vdv
2
f N 0.20 727 145(N)
A4 f l cos180 145 3 435(J)
（2）合力所作的功：
A A1 A2 A3 A4 165(J)
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（3）如改用起重机把木箱吊上汽车。 所用拉力 F' 至少要等于重力。这时拉力所作的功为：
A Fl sin 30 980 30 0.5 1.47 103(J)
FN mg
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解法二：研究锤从自由下落到静止的整个过程， 其动量变化为零。
重力作用时间为 2h / g
支持力的作用时间为
由动量定理：
FN mg( 2h / g ) 0
FN mg m 2gh /
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• 动量守恒定律
如果系统所受的合外力为零，即
则有
P
常矢量
Fi 0
亦即
的方向是所有元冲量
Fdt
的合
矢量的方向。动量定理反映了力在时间上的累积作
用对质点产生的效果。
逆风行舟的分析：
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(2) 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量 叠加原理。或以分量形式进行计算：
(3) 在 冲击、 碰撞问题中估算平均冲力（implusive force）。
F F(t)
t
(4) 动量定理是牛顿第二定律的积分形式，只适用于 惯性系。 (5) 动量定理在处理变质量问题时很方便。
§2-3 保守力 成对力的功 势能 一、 保守力
根据各种力作功的特点，可将力分为保守力和 非保守力。 保守力（conservative force）：
作功与路径无关，只与始末位置有关的力。 如：重力、万有引力、弹性力以及静电力等。 非保守力（non-conservative force）： 作功不仅与始末位置有关，还与路径有关力。 如：摩擦力、回旋力等。
Ft1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
Ft2 m2v2 m2v1
解得
v1
Ft1 m1 m2
v2
Ft1 m1 m2
Ft2 m2
例 质量m=0.3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻
压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1) =0.1s， (2) =0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
O sa
sb s
例 质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质
点的速度为
v
4t 2i 16
j
,开始时质点位于坐标原点。
求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
解
vx
dx dt
4t 2
vy
dy dt
16
dx 4t2dt
y 16t
y 16时 t 1 y 32时 t 2
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例 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样 速率反弹，接触时间仅0.019s.
求 对地平均冲力? 解 篮球到达地面的速率
v 2gh 2 9.8 2 6.3 m/s
F F(max)
对地平均冲力
F
F 2mv 2 0.58 6.3 3.8 102 N
t
0.019
dx 3t2dt
A
x
Fdx
t F 3t2dt
236t3dt 144J
0
0
0
P Fv 12t 3t2 288W
二、能量 能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种
运动形式的相互转化可以用能量来量度。各种运动 形式的相互转化遵循能量的转换和守恒定律。
能量是物体状态的单值函数。物体状态发生变化， 它的能量也随之变化。
O
相当于 40kg 重物所受重力!
t 0.019s
例 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块, 已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过两木块的时间 各为 t1, t2 ，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F
求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动
解 子弹穿过第一木块时，两木块速 度相同，均为v1
i 1
n
miviy Py 常量；
i 1
n
miviz Pz 常量。
i 1
某方向所受合外力为零，则此遍、最重要的定律之一。适用 于宏观和微观领域。
例 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮
弹的质量分别为M 和m ，炮弹的出口速度为v，求炮 车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。
v12
v22
1 2
302 302 21.2(m/s)
180
tan v2 1, 45,
v1
即v1 和 v3及v2都成 135 ，
且三者都在同一平面内
135
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§2.2 功 动能 动能定理
•功
力在位移方向上的投影与该位移大小的乘积。
dA Fs ds F dscos
为F与ds的夹角
解：选取炮车和炮弹组成系统 内、外力分析。
炮车与地面间的摩擦力不计， 系统水平方向动量守恒。
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系统水平方向动量守恒：
MV mv cos V 0
得炮车的反冲速度为：
V m v cos
mM
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例 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且 以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的 质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度 （大小和方向）。
动量的增量。——质点动量定理
（1）冲量是矢量。一般
情况下，它的方向与质点动量增
Ix
t
t0 Fxdt mvx mvx0
量的方向一致。
t
I y t0 Fy dt mvy mvy0
（2）三个分量式：
t
I z t0 Fz dt mvz mvz0
（3）冲力、平均冲力
当两个物体碰撞时，它们相互作用的时间很短，
与斜面成10°角，大小为700N。 求：（1）木箱所受 各力所作的功；（2）合外力对木箱所作的功；（3） 如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功？
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解：木箱所受的力分析如图 。
（1）每个力所作的功： 拉力F 所做的功
A1 Fl cos10 700 3 0.985 2.07 103(J)
• 动能定理由牛顿第二定律导出， 只适用 于惯性参考系，并且Ek 也与参考系有关。
例 装有货物的木箱，重G=980N，要把它运上汽车。 现将长l=3m的木板搁在汽车后部，构成一斜面，然后 把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30°角，木箱
与 斜 面 间 的 滑 动 摩 擦 系 数 =0.20 ， 绳 的 拉 力
重力所做的功
A2 Fl co（s 180 60） 980 3（ 0.5） 1.47 103(J)
正压力所做的功
A3 Nl cos 90 0
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摩擦力所作的功 根据牛顿第二定律：
N F sin10 G cos 30 0 N G cos30 F sin10 727 (N)
解：以重锤为研究对象，分析受力， 作受力图。
解法一：研究锤对工件的作用过程，在竖 直方向利用动量定理，取竖直向上为正。
(FN mg ) 0 (mv0 ) m 2gh
FN mg m 2gh /
(1) 0.1s, FN 1.92 105 (N) (2) 0.01 s, FN 1.9 106 (N)
按矢量点积（标积）定义：
dA
F
ds
即功等于力和位移的点积。a
ds
b
F
在直角坐标系中：元功可表示为
dA
F
ds
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
练习册第2章《质点力学的运动定律守恒定律》答案（1）
练习册第2章《质点⼒学的运动定律守恒定律》答案（1）第2章质点⼒学的运动定律守恒定律⼀、选择题1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(D)，12(A)，13(D)⼆、填空题(1). ω2=12rad/s ，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 N ·s(5). j t i t 2323+ (SI) (6). 16 N ·s ， 176 J (7). 16 N ·s ，176 J (8). M k l /0，Mknm M Ml +0(9). j i5- (10).2m v ，指向正西南或南偏西45°三、计算题1. 已知⼀质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引⼒的作⽤，引⼒⼤⼩与质点离原点的距离x 的平⽅成反⽐，即2/x k f -=，k 是⽐例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求质点在x =A /4处的速度的⼤⼩．解：根据⽜顿第⼆定律x m t x x m t m xk f d d d d d d d d 2vv v v =?==-= ∴ ??-=-=4/202d d ,d d A Ax mx kmx x k v v v v vk mAA A m k 3)14(212=-=v ∴ )/(6mA k =v2. 质量为m 的⼦弹以速度v 0⽔平射⼊沙⼟中，设⼦弹所受阻⼒与速度反向，⼤⼩与速度成正⽐，⽐例系数为Ｋ，忽略⼦弹的重⼒，求：(1) ⼦弹射⼊沙⼟后，速度随时间变化的函数式； (2) ⼦弹进⼊沙⼟的最⼤深度．解：(1) ⼦弹进⼊沙⼟后受⼒为－Ｋv ，由⽜顿定律tmK d d vv =- ∴ ??=-=-v v v v vv 0d d ,d d 0t t m K t m K∴ mKt /0e -=v v(2) 求最⼤深度解法⼀： t xd d =vt x mKt d ed /0-=vt x m Kt txd e d /000-?=v∴ )e 1()/(/0mKt K m x --=vK m x /0m ax v =解法⼆： x m t x x m t m K d d )d d )(d d (d d vvv v v ===- ∴ v d K mdx -=v v d d 000m a x ??-=K mx x∴ K m x /0m ax v =3. ⼀物体按规律x ＝ct 3在流体媒质中作直线运动，式中c 为常量，t 为时间．设媒质对物体的阻⼒正⽐于速度的平⽅，阻⼒系数为k ，试求物体由x ＝0运动到x ＝l 时，阻⼒所作的功．解：由x ＝ct 3可求物体的速度： 23d d ct tx==v 物体受到的阻⼒⼤⼩为： 343242299x kc t kc k f ===v ⼒对物体所作的功为：=W W d =-lx x kc 03432d 9 =7273732l kc -4. ⼀质量为2 kg 的质点，在xy 平⾯上运动，受到外⼒j t i F 2244-= (SI)的作⽤，t = 0时，它的初速度为j i430+=v (SI)，求t = 1 s 时质点的速度及受到的法向⼒n F .解： j t i m F a 2122/-==t a d /d v = ∴ t j t i d )122(d 2-=v=?vv vd ?-t t j t i 02d )122(∴ j t i t 3042-=-v vj t i t j t i t )44()23(42330-++=-+=v v当t = 1 s 时， i51=v 沿x 轴故这时， j a a y n12-==j a m F n n24-== (SI)5.⼀辆⽔平运动的装煤车，以速率v 0从煤⽃下⾯通过，每单位时间内有质量为m 0的煤卸⼊煤车．如果煤车的速率保持不变，煤车与钢轨间摩擦忽略不计，试求：(1) 牵引煤车的⼒的⼤⼩；(2) 牵引煤车所需功率的⼤⼩；(3) 牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？其余部分⽤于何处？解：(1) 以煤车和?t 时间内卸⼊车内的煤为研究对象，⽔平⽅向煤车受牵引⼒F 的作⽤，由动量定理： 000)(v v M t m M t F -+=?? 求出： 00v m F = (2) 2000v v m F P ==(3) 单位时间内煤获得的动能： 2021v m E K =单位时间内牵引煤车提供的能量为 P E ===21/E E K 50％即有50％的能量转变为煤的动能，其余部分⽤于在拖动煤时不可避免的滑动摩擦损耗．6.⼀链条总长为l ，质量为m ，放在桌⾯上，并使其部分下垂，下垂⼀段的长度为a ．设链条与桌⾯之间的滑动摩擦系数为µ．令链条由静⽌开始运动，则(1)到链条刚离开桌⾯的过程中，摩擦⼒对链条作了多少功？(2)链条刚离开桌⾯时的速率是多少？解：(1)建⽴如图坐标.某⼀时刻桌⾯上全链条长为y ,则摩擦⼒⼤⼩为 g lym f µ=摩擦⼒的功 ??--==0d d al al f y gy lmy f W µ=22al y lmg-µ =2)(2a l lmg--µ(2)以链条为对象，应⽤质点的动能定理 ∑W ＝222121v v m m - 其中 ∑W = W P ＋W f ，v 0 = 0 W P =?la x P d =la l mg x x l mg la 2)(d 22-=? 由上问知 la l mg W f 2)(2--=µal -a-a1)(22)(v m a l l mg l a l mg =---µ得 []21222)()(a l a l lg ---=µv7. 如图所⽰，在中间有⼀⼩孔O 的⽔平光滑桌⾯上放置⼀个⽤绳⼦连结的、质量m = 4 kg 的⼩块物体．绳的另⼀端穿过⼩孔下垂且⽤⼿拉住．开始时物体以半径R 0 = 0.5 m 在桌⾯上转动，其线速度是4 m/s ．现将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径．⽽绳最多只能承受 600 N 的拉⼒．求绳刚被拉断时，物体的转动半径R 等于多少？解：物体因受合外⼒矩为零，故⾓动量守恒．设开始时和绳被拉断时物体的切向速度、转动惯量、⾓速度分别为v 0、J 0、ω0和v 、J 、ω．则ωωJ J =00 ①因绳是缓慢地下拉，物体运动可始终视为圆周运动．①式可写成R mR R mR //20020v v =整理后得： v v /00R R =②物体作圆周运动的向⼼⼒由绳的张⼒提供 R m F /2v = 1分再由②式可得： 3/12020)/(F mR R v =当F = 600 N 时，绳刚好被拉断，此时物体的转动半径为R = 0.3 m8.设两个粒⼦之间相互作⽤⼒是排斥⼒，其⼤⼩与粒⼦间距离r 的函数关系为3r k f =，k 为正值常量，试求这两个粒⼦相距为r 时的势能．（设相互作⽤⼒为零的地⽅势能为零．）解：两个粒⼦的相互作⽤⼒ 3r k f =已知f ＝0即r ＝∞处为势能零点, 则势能∞∞∞=?==r r P P r r kW E d d 3r f)2(2r k =1. 汽车发动机内⽓体对活塞的推⼒以及各种传动部件之间的作⽤⼒能使汽车前进吗？使汽车前进的⼒是什么⼒？参考解答：汽车发动机内⽓体对活塞的推⼒以及各种传动部件之间的作⽤⼒都是汽车系统的内⼒，内⼒只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。
动量守恒定律
物理 （工）
2-2
动量守恒定律
应有 L 常矢量
即 J11 J 22
解 m绕O转动中， 所受力矩M=0．
r/2
O
r
v
m
F
2
mr0 0 mr
2
解得： r / r
2 0 0
2
第二章 守恒定律
18
物理 （工）
2-2
动量守恒定律
2011.04 6.如图，一质量为M的均匀直杆可绕通过O点的水平轴转动， 质量为m的子弹水平射入静止直杆的下端并留在直杆内， 则在射入过程中，由子弹和杆组成的系统（ ） A.动能守恒 B.动量守恒 C.机械能守恒 D.对O轴的角动量守恒
27
物理 （工）
2-2
动量守恒定律
2011.04
第二章 守恒定律
28
物理 （工）
2.6
2-2
动量守恒定律
一 保守力作功的特点
(1) 万有引力作功
m ' 对m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
A
rA e
r
r
rB
m
dr
m'
dr r dr
B
m移动dr 时，F作元功为
x1
x2
x2
x1
1 2 1 2 kxdx ( kx2 kx1 ) 2 2
31
第二章 守恒定律
物理 （工）
2-2
动量守恒定律
F
dW
O
x1
x2
dx
x2 x
W Fdx
x1
x2
x1
1 2 1 2 kxdx ( kx2 kx1 ) 2 2
大学物理：2-2 动量守恒定律
y P
rP
F
O
地球
r
C
Q
rQ x
7
3、保守力 (conservation force)
物体在某种力的作用下， 沿任意闭合路径绕行一周所 作的功恒等于零，即
Q
CD
E
F
P
F dl 0
具有这种特性的力，称为保守力；不具有这种特 性的力称为非保守力。
8
四、 机械能守恒定律
1、功能原理 由 n 个相互作用着的质点所组成的质点系。系统中
Q
A
Q Q
AaPdFv,d
r
P
dr
ma d r
vdt
F
Q
m
d
vdtv
d
t
P dt
Q P
mv
d
v
1 2
mvQ2
1 2
P
mvP2
vdPr
质点的动能(kinetic energy)定义：质点的质量与
其运动速率平方的乘积的一半。
用Ek表示，即
Ek
1 2
mv2
5
所以有 A Ek Q Ek P 动能定理：作用于质点的合力所作的功，等于质点
0
mivi 恒矢量
i 1
在外力的矢量和为零的情况下，质点系的总动量
不随时间变化——动量守恒定律。
其分量式
n
mi vix 恒量
i 1 n
mi viy 恒量
i 1 n
mi viz 恒量
i 1
n
(当 Fix 0 时)
i 1
n
(当 Fiy 0 时)
i 1
n
(当 Fiz 0 时)
i 1
第2章 动量守恒
6
2、若某个方向上合外力为零，则该方向上 、若某个方向上合外力为零， 动量守恒，尽管总动量可能并不守恒。 动量守恒，尽管总动量可能并不守恒。 3、总动量守恒，各质点的动量仍可不断变 、总动量守恒， 一个增加，另一个减少）。 化（一个增加，另一个减少）。 说明：动量可在系统内部间传递（ 说明：动量可在系统内部间传递（通过相 ），而总量不变 互作用），而总量不变。 互作用），而总量不变。
r I =
∫
r F dt
质点动量定理： 质点动量定理： “质点动量的增量等于此时间间隔内作用 质点动量的增量等于此时间间隔内作用 在该质点上的冲量” 在该质点上的冲量”
13
说明： 说明： (1) 动量定理的矢量性 冲量是矢量, 冲量的方向一般不同于初、 冲量是矢量 冲量的方向一般不同于初、 末动量的方向，而是动量增量的方向 动量增量的方向。 末动量的方向，而是动量增量的方向。
22
P47页例题 一质量均匀分布的柔软细绳 页例题2.4一质量均匀分布的柔软细绳 页例题 铅直地悬挂着， 铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌 面上， 面上，如果把绳的上端放开，绳将落在 桌面上。试证明：在绳下落的过程中， 桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任 意时刻作用于桌面的压力等于已落到桌面 上的柔绳重量的三倍。 上的柔绳重量的三倍。 o 证明： 证明：取如图坐标 时刻已有x长的柔绳落 设t时刻已有 长的柔绳落 时刻已有 至桌面，随后的dt时间内 至桌面，随后的 时间内 将有质量为ρ 将有质量为ρdx
11
r r dp v v 由 于 p = mv 及 F = d tr r r dp d dv dm r r F= v = (mv ) = m + dt dt dt dt
(大学物理)第二章守恒定律
这并不是空谈……..今天条件不具备，明天就会创造出来；今天还没有，明天
一定会有！
8
原子城——金银滩草原
9
金银滩草原
10
例 作用
在
质F点（的 2yi力 4x2j）
（ N）
，质
点
从
原
点运动
到x坐 （ 2标 m） 为， y（ 1 m） 的
点（如图
计算F力 分别沿下列路径 功所 ：y作 ( j) 的
3.在所有惯性系中,动能定理形式保持不变。
A1212m2v2 12m1v2
动能定理的量值相对不同惯性系值不相同, 即
（V22-V21）的值不相同。
14
[例]质点m=0.5Kg,运动方程x=5t,y=0.5t2 (SI) , 求从t=2s到t=4s这段时间内外力所作的功.
解法
1：
用功的定义式
r aA f 5 ddmtt2iar2f d0 01r..55 jtj2 j
m1
f1 f2
dr2
m2
F2
m2
A B 2 2 F 2f2d r21 2m 2 v2 2 B 21 2m 2 v2 2 A 2 A1
A2
B1
B2
B1
B2
F1dr1 F2dr2 f1dr1 f2dr2
A1
A2
A1
A2
12m1v12B1
12m2v22B2
12m1v12A1
12m2v22A2
第二章 守恒定律
牛顿运动三定律
动能定理
动量定理
三定理
角动量定理
能量守恒定律 动量守恒定律 角动量守恒定律
三守恒定律
1
Fma ——力与运动状态变化间的瞬时关系
大学物理课后习题答案第二章
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程
，
分离变量得 ，
积分得 ．
当t= 0时，v=v0，所以 ，
因此 ，
小球速率随时间的变化关系为
．
（2）当小球运动到最高点时v= 0，所需要的时间为
第二章运动定律与力学中的守恒定律
(一) 牛顿运动定律
2．1一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度 运动， 的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为
x = v0t， ．
将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角；
（4）用与斜面平行的加速度 把小车沿斜面往上推（设b1=b）；
（5）以同样大小的加速度 （b2=b），将小车从斜面上推下来．
[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力 的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．
（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于
这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM= μkNM= 7.35(N)．
这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为
f =μsmg=ma`，
可得a` =μsg．
板的运动方程为
F – f – μk(m + M)g=Ma`，
大学物理第二章动量守恒
例3. 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落， 到达地面后，以同样速率反弹，接触时间 仅0.019s，求：对地平均冲力？ x 解：篮球到达地面的速率
v 2 gh 2 9.8 2 6.3（m/s）
R
设m和M相对于地面的速度大小分别为v1和 v 2
下滑前系统静止，总动量为零，下滑过程 中，动量守恒，根据动量守恒定律得
M o x
mv1x M (v2 ) 0
即
mv1x Mv2
R
上式就整个下滑过程对 t 进行积分，得：
m v1x dt M v2 dt
0 0
t
t
v2
v1 M o
碰到桌面而停止，同时给桌面一个 持续冲力：
x
桌面对柔绳的冲力为：
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
时刻已落到桌面上的柔绳的重量为：
x
o dx
mg=Mgx/L
所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
x
2. 动量守恒定律 2.2.1 质点系
两个或两个以上相互关联（作用）的质点构成的系统，称为质点系。 1.质点系的内力： 质点系内部各个质点之间的相互作用，其特点 是力总是以作用力和反作用力的形式成对出现，所以内力矢量和 总是为零。 2.质点系的外力： 质点系以外的物体给质点系中某个或某些质点 的作用力。
说明：当外力很小或内力远远大于外力时，外力可忽略， 动量守恒动量仍可应用。 例题P31：2-5；2-6
例2-4 一质量为m 的球，从质量为M的四分之一圆弧形槽的顶端由静止 滑下，设圆弧形槽半径为R,如图所示，如忽略所有的摩擦，求当小球 m 滑离槽时，滑槽M在水平面上移动的距离。 m 解：取m和M为系统，建立如图坐标系。 系统在运动过程中,水平方向所受合外力为零， 所以 水平方向动量守恒。
2-6 角动量和角动量守恒定律
dt 动量随时间的变化率 .
2 – 6 角动量 角动量守恒定律 第二章 运动的守恒量和守恒定律
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量 .
四 角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
上述结论
也适用于任 意质点系！
动画演示：模拟实验
r1 mv1 r2 mv2
r1v1 r2v2
v2
r1 r2
v1
z
F
2 – 6 角动量 角动量守恒定律 第二章 运动的守恒量和守恒定律
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内。 一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动。
小球开始时静止于圆环上的点 A ，然后从 A 点开始下 滑。若略去小球与圆环间的摩擦。求小球滑到点 B 时 对环心 O 的角速度和角动量。
pi
pj
2 – 6 角动量 角动量守恒定律 第二章 运动的守恒量和守恒定律
一
质点的角动量
质量为 m 的质点以速度
v
在 O 的空位间矢运为动，r，某质时点刻相相对对于原原点
点的L角动r量（p又称r动量m矩v）
大小
L
rmv sin
L
x L
z
r
o
v
v
m y
r
L 的方向符合右手法则。
动量和力矩均与所选参考点有关，因 此计算时要指明是对哪点的角动量与力矩 .
2）合力M矩等于M各分i 力矩(的ri 矢 量Fi和)
对轴的角动量和对轴的力矩
在直角坐标系中，角动量（或力矩）在各坐标
大学物理A 练习题 第2章《质点力学的运动定律 守恒定律》
《第2章 质点力学的运动定律 守恒定律》一 选择题1. 水平地面上放一物体A ，它与地面间的滑动摩擦系数为μ．现加一恒力F 如图所示．欲使物体A 有最大加速度，则恒力F 与水平方向夹角θ 应满足(A) sin θ ＝μ． (B) cos θ ＝μ． (C) tg θ ＝μ． (D) ctg θ ＝μ．[ ]2. 一质点在力F = 5m (5 - 2t ) (SI)的作用下，t =0时从静止开始作直线运动，式中m 为质点的质量，t 为时间，则当t = 5 s 时，质点的速率为(A) 50 m ·s -1． (B) 25 m ·s -1．(C) 0． (D) -50 m ·s -1．[ ]3. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是(A) 甲先到达． (B) 乙先到达．(C) 同时到达． (D) 谁先到达不能确定．[ ]4．一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力)(0j y i x F F+=作用在质点上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R ）位置过程中，力F 对它所作的功为(A) 20R F ． (B) 202R F ． (C) 203R F ． (D) 204R F ．[ ]5. 对质点组有以下几种说法：(1) 质点组总动量的改变与内力无关． (2) 质点组总动能的改变与内力无关． (3) 质点组机械能的改变与保守内力无关．在上述说法中： (A) 只有(1)是正确的． (B) (1)、(3)是正确的．(C) (1)、(2)是正确的． (D) (2)、(3)是正确的．[ ] 6. 一火箭初质量为M 0，每秒喷出的质量(-d M /d t )恒定，喷气相对火箭的速率恒定为u．设火箭竖直向上发射，不计空气阻力，重力加速度g 恒定，则t = 0时火箭加速度a在竖直方向（向上为正）的投影式为 (A) g t M M u a --=)d d (0． (B) g tM M u a +=)d d (0．(C) d d (0t M M u a -=． (D) g tM M u a -=d d (0 [ ]7. 一竖直向上发射之火箭，原来静止时的初质量为m 0经时间t 燃料耗尽时的末质量为m ，喷气相对火箭的速率恒定为u ，不计空气阻力，重力加速度g 恒定．则燃料耗尽时火箭速率为(A) 2/ln0gt m m u -=v ． (B) gt m m u -=0ln v ． (C) gt m m u +=0ln v ． (D) gt mmu -=0ln v ．[ ]二 填空题 1. 某质点在力F ＝(4＋5x )i(SI)的作用下沿x 轴作直线运动，在从x ＝0移动到x ＝10 m的过程中，力F所做的功为__________．2．质量为m ＝0.5kg 的质点，在Oxy 坐标平面内运动，其运动方程为x ＝5t ，y =0.5t 2（SI），从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点作的功为_____________.3. 设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝__________．4. 质量m ＝1 kg 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F ＝3＋2x (SI)，那么，物体在开始运动的3 m 内，合力所作的功W ＝_________；且x ＝3 m 时，其速率v ＝_________．5. 质量为0.05 kg 的小块物体，置于一光滑水平桌面上．有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）．该物体原以3 rad/s 的角速度在距孔0.2 m 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减为0.1 m ．则拉力所做的功为____________________．6. 粒子B 的质量是粒子A 的质量的4倍，开始时粒子A 的速度j i43+=0A v ,粒子B 的速度j i72-=0B v ；在无外力作用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子A 的速度变为j i 47-=A v ，则此时粒子B 的速度B v＝____________________．7. 一维保守力的势能曲线如图所示，有一粒子自右向左运动，通过此保守力场区域时，在 _________________ 区间粒子所受的力F x > 0； 在 _________________ 区间粒子所受的力F x < 0； 在x = _______________ 时粒子所受的力F x = 0．三 计算题1. 一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为a ＝2＋6 x 2 (SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．2. 质点沿曲线 j t i t r22+= (SI) 运动，其所受摩擦力为 v 2-=f (SI)．求摩擦力在t = 1 s 到t = 2 s 时间内对质点所做的功．3. 一辆水平运动的装煤车，以速率v 0从煤斗下面通过，每单位时间内有质量为m 0的煤卸入煤车．如果煤车的速率保持不变，煤车与钢轨间摩擦忽略不计，试求： (1) 牵引煤车的力的大小； (2) 牵引煤车所需功率的大小；(3) 牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？其余部分用于何处？4. 一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a ．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 ．令链条由静止开始运动，则(1)到链条刚离开桌面的过程中，(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？a5. 如图所示，在中间有一小孔O 的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的、质量m = 4 kg 的小块物体．绳的另一端穿过小孔下垂且用手拉住．开始时物体以半径R 0 = 0.5 m 在桌面上转动，其线速度是4 m/s ．现将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径．而绳最多只能承受 600 N 的拉力．求绳刚被拉断时，物体的转动半径R 等于多少？6. 小球A ，自地球的北极点以速度0v 在质量为M 、半径为R 的地球表面水平切向向右飞出，如图所示，地心参考系中轴OO ＇与0v 平行，小球A 的运动轨道与轴OO ＇相交于距O 为3R 的C 点．不考虑空气阻力，求小球A 在C点的速度v 与0v 之间的夹角θ．7. 一个具有单位质量的质点在随时间 t 变化的力j t i t t F)612()43(2-+-= (SI) 作用下运动．设该质点在t = 0时位于原点，且速度为零．求t = 2秒时，该质点受到对原点的力矩和该质点对原点的角动量．四研讨题1. 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？2. 在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件？请举例说明．3. 在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动？4. 为了避免门与墙壁的撞击，常常在门和墙上安装制动器，目前不少制动器安装在靠近地面的位置上（如图），在开关门的过程中，门与制动器发生碰撞，从而门受到撞击力的作用。
大学物理 第二章练习及答案
一、判断题1. 根据冲量的定义21d t t I F t =⋅⎰知，I 与F 的方向相同. ······················································· [×]2. 在应用动量定理时，物体的始末动量应由同一个惯性系来确定. ···································· [√]3. 外力在某一方向的分量之和为零，总动量在该方向的分量守恒. ···································· [√]4. 系统的内力可以改变系统的总动量，也可改变系统内质点的动量. ································ [×]5. 保守力做功等于势能的增量. ································································································ [×]6. 系统的势能的量值只有相对意义，而势能差值具有绝对意义. ········································ [√]7. 系统的外力做功等于系统动能的增量. ················································································ [×]8. 非保守力做功一定为负值. ···································································································· [×]9. 势能属于整个物体系统，不为单个物体拥有. ···································································· [√] 10. 质点受有心力作用下绕定点转动，质点对定点的角动量守恒. ········································ [√] 二、选择题11. 质量为m 的质点，以不变速率v 沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动。