4.3 复化求积公式
复化求积公式
复化求积公式复化求积公式是计算定积分的一种常用方法。
它的基本思想是将区间分成多个小区间，用每个小区间上的函数近似代替原函数，然后将这些小区间的近似结果相加得到总的近似结果。
这个方法的优点是能够适用于各种函数类型，而且在计算机上也可以很方便地实现。
具体来说，我们可以将区间[a, b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的长度都为Δx = (b-a)/n。
然后我们在每个小区间上选择一个点xi（可以是小区间的左端点、右端点、中点等）作为代表，然后计算这些小区间上的函数值f(xi)。
这样我们就得到了n个高度为f(xi)的矩形，它们的面积就是Δx * f(xi)。
将这n个矩形的面积相加，就得到了近似的定积分的结果。
单个小区间的近似结果可以表示为Δx * f(xi)。
为了得到更精确的结果，我们可以进一步增加小区间的数量，即取n趋向于无穷大的极限。
这样，我们就可以得到复化求积公式的一般形式：∫[a, b] f(x) dx ≈ Δx/2 * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(xn)]其中，Δx = (b-a)/n，x0 = a，xn = b，xi 是每个小区间上的代表点。
复化求积公式的精确度与小区间的数量n有关，通常情况下，n越大，近似结果越精确。
但是同时也需要注意，小区间的数量过大会导致计算量过大，需要更多的时间和计算资源。
复化求积公式在实际应用中有很重要的作用，特别是在数值计算和科学工程领域。
通过这个方法，我们可以近似地计算各种复杂的函数的定积分，例如概率密度函数、信号处理中的卷积运算等。
同时，复化求积公式也为数值积分提供了一种计算机实现的思路，可以通过编程语言实现自动计算定积分的功能。
总之，复化求积公式是计算定积分的一种重要方法，通过将区间分成多个小区间，用每个小区间上的函数近似代替原函数，并将这些小区间结果相加，从而获得近似结果。
它在实际应用中具有广泛的适用性和指导意义，为求解各种复杂问题提供了一种有效的数值计算方法。
复化求积公式的算法及其应用
复化求积公式的算法及其应用复化求积公式是数值计算方法中重要的一种技术，用于近似计算函数的积分值。
该方法通过将积分区间等分为多个小区间，并在每个小区间上使用求积公式来估计函数在该区间上的积分值。
本文将介绍复化求积公式的算法及其应用。
一、复化求积公式算法1.复化梯形求积公式复化梯形求积公式是复化求积公式中最简单的一种，其基本思想是将积分区间等分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形求积公式计算积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值。
算法步骤：1)将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2) 在每个小区间上使用梯形求积公式计算积分值，即Ii=h/2*(f(xi)+f(xi+1))，其中xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n-13)将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值，即I≈I0+I1+I2+...+In-12. 复化Simpson求积公式复化Simpson求积公式是一种更为精确的复化求积公式，它通过在每个小区间上使用Simpson求积公式来计算积分值，从而提高了计算精度。
算法步骤：1)将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2) 在每个小区间上使用Simpson求积公式计算积分值，即Ii=h/6*(f(xi)+4f(xi+h/2)+f(xi+h))，其中xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n-13)将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值，即I≈I0+I1+I2+...+In-1二、复化求积公式应用1.数学分析中的数值积分计算，用于计算函数的定积分值。
2.物理学中的积分计算，用于计算物理量的平均值或总量。
3.统计学中的积分计算，用于计算概率密度函数的面积值。
4.工程学中的积分计算，用于计算工程问题中的各种积分量。
5.金融学中的积分计算，用于计算金融衍生品的价格或价值。
总结：复化求积公式是一种重要的数值计算方法，在数学、物理、统计、工程、金融等领域中有广泛的应用。
复化求积公式
2 定理7 定理 若 f ( x ) ∈ C [a , b ] , 则复化梯形公式的余项为
说明： ） （ 式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 说明： 1）(3.3)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 h2收敛于零的速度相同，即余项等 于O(h2)。 收敛于零的速度相同， 。 导数值)确定 （2）余项可由端点的函数值 导数值 确定。 ）余项可由端点的函数值(导数值 确定。 3、复化中矩求积公式 （推导类似复化梯形公式） 、 推导类似复化梯形公式） x 1 x 1 x3 上采用中矩形公式， 在 [ x i −1 , x i ]上采用中矩形公式， n− 2 2 2 b − a xi xi −1 + xi , 记h = xn =b x = ∫xi−1 f ( x)dx ≈ h ⋅ f ( 2 )， a=x0 x1 x2 n i = 1,2,L, n 所以
即
∫
b
a
n −1 x i ) + f (b) 2 i =1 2
记
= Tn
( 3 .1)
下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项， 下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，因为每个小区 间上是N－ 公式中当 公式中当n=1时的梯形公式。 时的梯形公式。 间上是 －C公式中当 时的梯形公式
n n
所以 − h∑ f ′′(ξ i ) = −∑ O( h2 ) + f ′(a ) − f ′(b) → f ′(a) − f ′(b), (h → 0)，
n
i =1 i =1
即 − h∑ f ′′(ξi ) → f ′(a) − f ′(b) (h →0)。
i=1
#
− (b − a)h2 ∫a f ( x)dxb − Tn = 12 f ′′(ξ ), a < ξ < b， ( 3 . 2 ) ∫a f ( x)dx − Tn → 1 ( f ′(a) − f ′(b)), h → 0。 及渐近估计式 ( 3 .3 ) 2 12 h
4-3复化求积公式
1 n1 min f ( x ) f ( k ) max f ( x ) a xb a xb n k 0
故存在 [a , b] 使
1 n1 f ( ) f ( k ) n k 0
所以复化梯形公式的积分余项为
h3 RTn I Tn nf ( ) 12 ba 2 h f ( ) 12 3 b a [a , b] f ( ) 2 12n
由此解得
n 6616.67
2
所以
n 79
即至少要把区间[1，2]分为79等份。
对本例题的进一步思考：h是否越小越好？
前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之 有效的，但使用前必须给出合适的步长h。
h太小则计算量增加
误差有积累，更需计算稳定
h太大则精度不满足
（收敛性）
计算方案：事先估计法 变步长（事后估计） 自适应步长法
2.系数Ak >0,满足 Ak b a ,故方法是稳定的.
k 0
n
三、例题
x
0
f(x)
1 0.9973978
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin x 举例 对于函数 f ( x ) x ， 1/8
试利用下表计算积分
I
1 sin
1/4
3/8 1/2 5/8 3/4 7/8
0.9896158
0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925
3*. 复化柯特斯公式 如果将每个小区间[xk，xk+1]四等分，内分点 依次记为 xk 1 , xk 1 , xk 3 ,
4 2 4
则相应地可得复化柯特斯公式。
第五讲 复化求积公式
四、自动选取积分步长
事前确定步长的问题 (1) 高阶导数的估计往往是很困难的； (2) 这种估计往往是很保守的，得到的n往往偏大。 为了改正上述缺点，实际常采用“事后估计法” “事后估计法”的基本思想是 (1) 求数值积分时，将区间逐次分半； (2) 利用前后两次的计算结果来判断误差是否满足精度要求， 从而确定n. 下面以复化梯形公式为例来介绍这种步长逐次减半求积法
1 h n1 T f (x ), n k1 2 2 2k0
如何根据Tn和T2n来确定误差是否满足要求？
(ba ) 2 I Tn ( h f ) 1 2 ba h 2 I T2n ( ( ) f ) 1 2 2
则有
如果二阶导数在区 间[a,b]上变化不大
n 1
R (Tn )
复化simpson公式的截断误差
（ 4 ） 若 函 数 f ( x )[ 在 a ,] b 上 连 续 ， 则
ba 4 (4) h5 (4) hf ( ) R ( S n ) f ( k ) I Sn 2 8 8 0 8 8 0 k0 2
0 . 9 4 6 0 8 3 2
1 1 C2 [ 7 f( 0 ) [ 3 2 f( x 1) 1 2 f( x 2) 3 2 f( x 3) ] k k k 1 8 0 k 0 4 4 4
1 4 f( x 7 f( 1 ) ] k)
k 1
1
0 . 9 4 6 0 8 3 0
n 1 h [ 7 f ( x ) 3 2 f ( x ) 1 2 f ( x ) 3 2 f ( x ) 7 f ( x ) ] k 1 2 3 k 1 k k k 9 0 k 0 4 4 4
利用数值积分公式求解积分方程 分别用复化求积公式和高斯型求积公式
利用数值积分公式求解积分方程分别用复化求积公式和高斯
型求积公式
数值积分方法通常用于求解无法解析求解的定积分问题，其中复化求积公式和高斯型求积公式是两种常见的数值积分方法。
1. 复化求积公式：
复化求积公式是通过将积分区间等分成多个小区间，并在每个小区间上采用简单的数值积分公式来逼近原积分问题。
常见的复化求积公式包括梯形法则和Simpson法则。
梯形法则：将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间
用梯形面积的方法求解，然后将各个小区间的积分结果相加得到最终的积分近似值。
Simpson法则：将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区
间用Simpson公式求解，然后将各个小区间的积分结果相加得到最终的积分近似值。
2. 高斯型求积公式：
高斯型求积公式是通过将积分区间映射为[-1, 1]上的积分问题，然后通过选取合适的节点和权重，将原积分问题转化为有限个加权节点的求和问题。
常见的高斯型求积公式包括Gauss-Legendre公式和Gauss-Hermite公式。
Gauss-Legendre公式：适用于求解定义在[-1, 1]区间上的定积
分问题，根据节点个数的不同，可以得到不同阶数的Gauss-Legendre公式。
Gauss-Hermite公式：适用于求解定义在整个实数轴上的定积分问题，通过选取合适的节点和权重，将原积分问题转化为有限个加权节点的求和问题。
总结：复化求积公式适用于一般的定积分问题，可以通过合理选择划分区间和数值积分公式来提高数值积分的精度。
而高斯型求积公式通常适用于具有特殊形式或定义域的定积分问题，可以通过选取合适的节点和权重来获得较高的数值积分精度。
4.3 复化求积公式
点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有:
b a
n1
n1
T2n
4n
f
(a)
2
k 1
f
(xk )
2
k 0
f
( xk 1
2
)
f
(b)
1 2
h 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)
h 2
n k 0
0
1/4
例4.14 对于函数 f (x) sin x x
试用数据表应用复化梯形法计算积分
1 sin x
I ( f ) 0 x dx
2/4
x 0 1/8
解 将区间[0,1]划分为n=8等分,h=1/8, 应 2/8
用复化梯形法求得
3/8
T8
h 2
f
7
(a) 2
k 1
f
(xk )
x
k
1
)
2
f
( xk 1)]
xk
x k1
x k 1
2
b
n1
f (x)dx
xk1 f (x)dx
a
x k 0 k
4 4
xk 1 xk 6
m1 f
k0
xk
4f
(
x
k
1
)
2
f
( xk 1 )
4
4
4
称Sn为复化 Simpson公式
数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式
nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f
( xn1
h) 2
f
(b)]
b
h
n1
n1
a
f (x)dx
[ f (a) 4
6
j0
f
(x
j1 2
)
2
j 1
f (xj)
f (b)]
0
1/4
例4.14 对于函数 f (x) sin x x
试用数据表，应用复化Simpson求积公
式计算积分
1 sin x
4.3 复化求积公式
4.3. 1 复化梯形求积公式 4.3.2复化Simpson求积公式 4.3.3复化Cotes求积公式 4.3.4 收敛性
4.3.5误差的事后估计与步长的自动选择
由上面Newton-Cotes公式易见，当n 较大时不稳定． 因此，在实际应用中，为避免高次求积公式，往往采取复 化求积的方法，即：先将积分区间分成几个小区间，并在 每个小区间上利用低阶Newton-Cotes公式计算积分近似值 。然后对这些近似值求和，从而得所求积分的近似值。由 此得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复 化求积公式。
min
1k n
f (k )
1 n
n k 1
f
(k )
max
1k n
f (k )
由中值定理知, (a,b),使得
f
( )
1 n
n k 1
f
(k )
RTn
h2 (b a) f
12
( )
(4.3.2)
（3）收敛性
从复化梯形求积公式的余项可知,与相应的NewtonCotes求积公式相比,复化求积公式一般不能提高代数精 度,但它们均具有收敛性.
x
k
2
)
4
n 1
n 1
32 k 0
f
(
x
k
3
4
)
14
k 1
f (xk ) 7 f (b)]
xk
x k2
x k 1
4
x
k
i
4
xk
ih 4
（4.3.6）
复化Cotes公式的余项分别为：其中ξ∈[a,b]
Rc ( f )
b a
f
(x)dx
Cn
2(b a) 945
为避免这种重复计算，我们来分析新近似值T2n与原有近 似值Tn之间的关系。由复化梯形公式知：
T2n
h2n 2
[f
2n1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)],
ba h2n 2n
注意到在2n分点
当k取偶数时，xk
即xk 为na分点k，b2k为na奇（数k时=1，,2x,…k 才…是2n新-1)增中加，的分
使误差不超过
，问各取多少个节点？
解：由复化梯形公式的误差公式，令
时，要
由此解得 由复化辛普森公式的误差公式，令
32(
f
(3) 8
f
( 7)) 14 f 8
(1) 7 2
f
(1)
1 [...] .... 180
4/8 0.9588510 5/8 0.9361556 6/8 0.9088516 7/8 0.8771925 1 0.8414709
例4.15分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算
定义
若一个积分公式的误差满足
lim
h0
R[ f hp
]
C
且C 0，
则称该公式是 p 阶收敛的。
显然，复化梯形公式是2 阶收敛的；
lim RTn h n 2
1 12
(b
a)
f
()
Tn
h 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)
T2
1 2 T1
1 2
f ( 1 ) 0.9397933 2
T4
1 2
T2
1 4
f
1 4
f
3 4
0.9445135
T8
1 2
T4
1 8
f
1 8
f
3 8
f
5 8
f
7 8
h[ 6
f
n1
(a) 4
k 0
f
n1
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f
(xk )
f
(b)], h
ba n
=
Sn
(4.3.4)
复化Simpson积分公式的几何意义
Sn (
f
)
h[ 6
(a)
4
f
(a
h) 2
2
f
(x2 )
4
f
( x2
h) 2
2
f
(xn1) 4
f
( xk 1
2
)
h ba n
1
h n1
2 Tn
2
k 0
f
(
x
k
1
)
2
(4.3.3)
由递推复化梯形公式 (也称为变步长梯形公式）可见，在 已计算出Tn 基础上再计算T2n时，只要计算n个新分点上的函 数值就行了，这与直接利用复化梯形公式相比，计算工作量 几乎节省一半。
补例：用复化梯形法的递推公式计算求积分值 到T8
f
(b)
4/8 5/8
1
8
2
f
7
(0) 2
k 1
f
k 8
f
(1)
6/8
0.9456909
7/8
1
3/4
1
f (x) 1
0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709
h6
f
(6) ( )
当 h 充分小时又有：
Rc (
f
)
2 945
h6[
f
(5) (b)
f
(5) (a)]
(4.3.7)
由此可知，复化Cotes公式是6阶收敛的；
0
例4.14 对于函数 f (x) sin x x
试用数据表，应用复化Cotes求积公式
计算积分
1 sin x
I ( f ) 0 x dx
Tn
h 2
f
n1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)
复化梯形公式积分法的 几何意义是曲边梯形面积近 似地用许多小的细条梯形来 代替．（如右图）
从图中可以看出，n 越大，则h 越小，实际面积与近似面 积的差，即求积误差也就越小．
这与分段插值相类似，问题所不同的是分段插值函数是不 光滑的，而数值积分公式是对一个数的近似，不存在光滑和不 光滑的问题．
点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有:
b a
n1
n1
T2n
4n
f
(a)
2
k 1
f
(xk )
2
k 0
f
( xk 1
2
)
f
(b)
1 2
h 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)
h 2
n k 0
n
(b a)h4 j1 f (4) ( j )
90 25
n
由闭区间上连续函数的介值性质可知在[a,b]上至少存在一点，
使
f (4) ( ) 1
n
n j 1
f (4) ( j )
I(
f
)
Sn (
f
)
ba 2880
h4
f
(4) ( ), a
b
0.9456909
与例4.14直接计算T8的结果一致。
2 复化Simpson求积公式
将积分区间[a,b]划分为n等份， h=(b-a)/n,
在每个子区间
上用 Simpson公式可
得
x
k
1
2
xk
1h 2
xk1 xk
f
(x) dx
xk 1 xk 6
[ f (xk ) 4 f
(
1
[
f
(
xk
1
)
f (xk )],
k 1, ..., n
b
n
f (x)dx
a k 1
xk xk 1