第9讲 位值原则
小升初奥数位置原理
位置原理教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
教学内容：一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e ×10+f。
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。
也就是说，每一个，写在个位上，就表示5个一；写在十数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如“5”位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。
我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。
就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。
写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。
用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。
例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。
根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：其中a可以是1～9中的数码，但不能是0，b和c是0～9中的数码。
位置原理【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；1、ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；2、ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。
二年级上册数学教案：理解位值和数字大小比较
二年级上册数学教案：理解位值和数字大小比较在二年级的数学课程中，学生需要掌握位值和数字大小比较的概念，这对于孩子们的数学认知和数学能力的提高都有非常重要的作用。
在本篇文章中，我将为大家介绍二年级上册数学教案中有关位值和数字大小比较的重要知识点。
一、位值的概念在我们日常生活中，数字的位数越多，表示的数值就越大。
例如，百位数比十位数大，千位数比百位数大等等。
这种数字的表示方式我们称之为“位制”表示方法。
在位制表示方法中，数字的每一位都有自己的位值。
位值的大小取决于它所在的位置，从右往左位值逐渐增加，第一位是个位，它的位值为1，第二位是十位，它的位值为10，第三位是百位，它的位值为100，以此类推。
位制的表示方法还有二进制、八进制、十六进制等等，这些都是高年级数学中需要掌握的知识点。
二、数字大小比较了解了位值的概念，我们就可以来学习数字大小比较了。
在数学中，数字大小比较是一项基本技能，它是进行数学计算的基础。
数字大小比较有以下几种情况。
1. 两个数的个位数不相同。
如果两个数的个位数不相同，它们的大小就可以直接用个位数的大小来比较。
例如，比较23和45的大小时，我们可以直接判断4比2大，45比23大。
2. 两个数的个位数相同，但十位数不相同。
如果两个数的个位数相同，但十位数不相同，它们的大小就可以直接用十位数的大小来比较。
例如，比较32和56的大小时，我们可以直接判断5比3大，56比32大。
3. 两个数的个位数和十位数都相同，但百位数不同。
如果两个数的个位数和十位数都相同，但百位数不同，它们的大小就可以直接用百位数的大小来比较。
例如，比较326和557的大小时，我们可以直接判断5比3大，557比326大。
4. 两个数的个位数、十位数和百位数都相同，但千位数不同。
如果两个数的个位数、十位数和百位数都相同，但千位数不同，它们的大小就可以直接用千位数的大小来比较。
例如，比较2316和2974的大小时，我们可以直接判断2比2小，2316比2974小。
位值原则——精选推荐
位值原则红孩儿专题前言：同一个数字，由于它在数里的位置不同，所表示数的大小也不同。
也就是说，每一个数字除了本身的值外，还有一个“位置值”。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。
我们通常使用的是十进制计数法，用阿拉伯数字和位值原则可以表示出整数。
例如，358=3×100+5×10+8×1。
根据问题的需要，有时我们要用字母代替阿拉伯数字表示数，这时要在字母上画一条横线，如：abc，它表示a×100+b×10+c×1，这种表示方法用以区别abc= a×b×c。
例题精讲：例1：证明：ab + ba 必是11的倍数。
分析与解：如果停留在两位数的层面上思考题目，则会觉得很难说清道理，通过实际例子会认为这是千真万确的，无须说明。
位值原则的用意是把一个多位数拆成几个单独的（仅含一个计数单位）数，然后进行重新组合，并从中分析出问题的实质。
解：ab + ba = （10a+b）+（10b+a）=11a +11b=11（a+b）显然11（a+b）必是11的倍数，所以ab + ba 必是11的倍数。
命题得证。
例2：在一个三位数的前面加上一个3可以组成一个四位数，在它的后面加上一个3也能组成一个四位数，这两个四位数的差是1368。
求原来的三位数是多少？分析与解：我们可以设这三位数是a，而不要设成abc ，不然在使用数值原则时，拆开的数中含的字母太多，不易使用解方程的方法求解，但我们时刻要记住，这里的a是一个三位数，在它前面加的数字3是千位上的数字，表示3×1000，a则表示a×1，比如342表示342个1也就是342×1；当在a后面加数字3时，a的计数单位是十，表示a×10，而不表示a×1000。
这里还需要考虑a的最高位是比3大还是比3小，如果a的最高位上的数字比3大，则是：a3 － 3a =1368；如果a的最高位上的数字比3小，则能得到：3a － a3 =1368。
【奥赛】小学数学竞赛：位值原理.学生版解题技巧 培优 易错 难
5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是。
【例 2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【例 3】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【例 4】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。
5春季-第9讲-位值原理(教师版)
位值原理知识纵横同一个数字，由于它所在数位不同，所表示的数值也不同。
例如“2”，写在个位上，就表示 2 个一，写在百位上，就表示 2 个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为数的位值原理。
位值原理的表达形式（以四位数abcd 为例）：完全拆分：abcd= a ⨯1000 + b ⨯100 + c ⨯10 + d ⨯1部分拆分：abcd= abc⨯10 + d ⨯1=ab⨯100 + cd⨯1=a ⨯1000 +bcd⨯1......例 1ab＋a＝70，求ab。
【答案】64。
【解析】ab＋a＝10a＋b＋a= 11a+ b=70 ，所以a=6；则b=70－66=4 ，ab=64。
试一试 1ab－a＝55，求ab。
【答案】61。
【解析】ab－a＝10a＋b－a= 9a+ b=55 ，所以a=6；则b=55－54=1 ，ab=61。
例 2在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数是原数的9 倍，求这个两位数。
【答案】45。
【解析】设原来的数是AB ，根据题意有 0A B = 9AB ，根据位值原理有： 100A +B =9⨯(10A +B )，化简得4B = 5A ，解得 A =4，B =5，所以这个两位数是45。
在一个两位数的两个数字中间加一个 0，所得的三位数是原数的 7 倍， 这个两位数是多少？【答案】15。
【解析】设原来的数是AB ，则0A B = 7AB ，即100A + B = 70A +7B ，解得 B = 5A ，所以 A =1，B =5，这个两位数是 15。
在一个两位数前面写上 3，所得的三位数比原来的两位数的 5 倍少32，求这个两位数。
【答案】83。
【解析】设这个两位数为ab ，在它前面写上 3 得到的三位数是3ab ，根据题意 可知，5ab －32=3ab ，即 5ab －32=300＋ab ，整理得：4ab =332。
所以 ab =83。
这个两位数是 83。
有一个两位数，把数码 1 加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差 666。
四年级 位值原则
位值原则培训示例例1证明：当a＞c时，abc-cba必是9的倍数。
例2有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666，求原来的两位数。
例3a、b、c是1至9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？例4用2、8、7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？例5一个三位数，各位数字的和为15，百位上的数字比个位上的数字小5，如果把个位和百位对调，那么得到的新数比原来的3倍小39，求原来的这个三位数。
例6一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
例7一个三位数的个位上是2，如果把这个数的个位上与百位上的数字对调，原数就比新数的2倍多52.，求这个数。
例8将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
培训练习1.证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除。
2.一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差46a还是一个三位数，求数码a。
3.如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。
例如，99就是一个巧数，因为9×9+（9+9）=99，可以证明所有的巧数都是两位数。
请你写出所有的巧数。
4.有一个两位数，如果把数码1加在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加在它的后面，也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。
5.如果把数码5加写在某自然数右端，则该数增加a111，这里a表示一个看不清的数码，求出这个数。
6.有一个三位数，把它的个位数移到百位上，百位和十位上的数码相应后移一位成了一个新的三位数，原三位数的2倍恰好比新三位数大1，求原来的三位数。
7.一个三位数，个位上数字是4，如果将这个数的个位上数字与百位上数字对调，则得到的新数比原数小297，原数是多少？8.一个三位数，个位数字是5，如果将个位上数字移作百位上数字，百位上数字移作十位上数字，十位上数字移作个位上数字，那么所成的新数比原数大342，原数是多少？9.有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是12，各个数位上的数字之积是30，所有这样的三位数的和是多少？10.在两位自然数的十位与个位中间插入0至9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。
小学奥数数论之位值原理(教师版)
5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是。
【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。
位值原理法
位值原理法《位值原理法：从基础到应用全解析》1. 引言嘿，你有没有想过，在数学这个奇妙的世界里，为什么数字的位置不同，代表的数值就不一样呢？比如说123，1在百位就表示100，要是1在个位，就只是1啦。
这其中隐藏着一个很有趣的原理哦，这就是我们今天要深入了解的位值原理法。
在这篇文章里，我们会先了解位值原理法的基本概念，就像认识一个新朋友的基本情况一样。
然后深入探究它的运行机制，看看它是怎么在数学这个大舞台上“表演”的。
接着我们会聊聊它在日常生活和高级技术中的应用，也会说说大家容易对它产生的误解。
最后还会给大家介绍些相关的知识和有趣的历史背景呢。
2. 核心原理2.1基本概念与理论背景位值原理法其实就是一种表示数字大小的方法。
它的根源要追溯到很久很久以前，当人类开始有计数的需求的时候。
最初，人们可能只是用简单的符号或者记号来表示数量，比如刻一道痕表示1个东西。
但是随着数量的增多，就需要更复杂的表示方法了。
于是就有了我们现在的数字系统。
位值原理的核心概念就是每个数字在一个数中的位置决定了它所代表的数值大小。
比如说在数字345中，3在百位，它代表的可不是3，而是3个100，也就是300；4在十位，就代表4个10，也就是40；5在个位，就代表5个1。
说白了，就像一个团队里，每个成员的位置不同，承担的职责和价值也就不同。
2.2运行机制与过程分析我们来看一个简单的加法运算，比如说23 + 45。
按照位值原理法，我们先从个位开始计算，3 + 5 = 8。
这里的3和5都是在个位上，所以它们代表的就是单纯的3个1和5个1。
然后再看十位，2个10加上4个10，也就是20+40 = 60。
最后把个位和十位的结果相加，60+8 = 68。
再比如乘法，12×3。
我们可以把12拆分成10 + 2，然后根据位值原理，12×3=(10×3)+(2×3)=30 + 6 = 36。
这就好比我们把任务分给不同位置的小团队，然后把各个小团队的成果汇总起来。
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第9讲位值原则
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。
也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。
我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。
就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。
写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。
用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。
例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。
根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：
其中a可以是1～9中的数码，但不能是0，b和c是0～9中的数码。
下面，我们利用位值原则解决一些整数问题。
个数之差必然能被9整除。
例如，（97531-13579）必是9的倍数。
例2有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。
求原来的两位数。
分析与解：由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。
设这个两位数为x。
由题意得到
（10x+1）-（100+x）=666，
10x+1-100-x=666，
10x-x=666-1+100，
9x=765，
x=85。
原来的两位数是85。
例3 a，b，c是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？
分析与解：用a，b，c组成的六个不同数字是
这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到
所以，六个数的和是（a+b+c）的222倍。
例4用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
解：由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）×222，
所以平均值是（2+8+7）×222÷6=629。
例5一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
（a+b）×5-（10a+b）=6，
5a+5b-10a-b=6，
4b-5a=6。
当b=4，a=2或b=9，a=6时，4b-5a=6成立，所以这个两位数是24或69。
例6将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
分析与解：设原来的三位数的三个数字分别是a，b，c。
若
由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891。
经验证，只有495符合题意，即原来的三位数是495。
练习9
1.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。
求原来的两位数。
2.有一个三位数，将数码1加在它的前面可以得到一个四位数，将数码3加在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数之差是2351，求原来的三位数。
5.从1～9中取出三个数码，用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是3330。
这六个三位数中最小的能是几？最大的能是几？
6.一个两位数，各位数字的和的6倍比原数小9，求这个两位数。
7.一个三位数，抹去它的首位数之后剩下的两位数的4倍比原三位数大1，求这个三位数。