最新密码学数学基础第十一讲-有限域PPT课件
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密码学的数学基础
定理：若acbc mod m，d=gcd（c,m）， 则：ab mod m/d 因为 acbcmod m
所以 ac=km+bc 所以 c（a-b）=km 又因为 d=gcd（c,m） 所以 c=c1· d，m=c2· d，gcd（c1,c2）=1 所以 c1· d（a-b）=k· c1 · d 所以 c1（a-b）=k· c2 又因为 gcd（c1,c2）=1 所以 c1|k 所以k=h· c1 所以 a-b=k· h· c2 所以 ab mod c2 所以 ab mod （m/d）
按模指数运算：am mod n
将指数运算作为一系列乘法运算，每次做一次模运 算。 例：a8 mod n = ((a2 mod n)2 mod n)2 mod n 当m不是2的乘方时，将m表示成2的乘方和的形式。 例如：25=(11001)2，即25=24+23+20 a25 mod n = (a16 a8 a) mod n = ((((a2)2)2)2 ((a2)2)2 a) mod n = ((((a2 a)2)2)2 a) mod n 适当存储中间结果，则只需6次乘法： (((((((a2mod n) a)mod n)2mod n)2mod n)2mod n) a)mod n
3为6的因子，记为3|6，3除尽6
任意的a|b，a|c，称a为b，c的公因子
最大公因数：a与b的公因数中能被所有a，b 的公因数整除的正整数，记为gcd(a，b)。 互素（互质）：两个整数称为互素的，如果它 们除了1以外没有其他的公因数，即 gcd(a,b)=1。
定理：若a=b· q+r，则gcd（a,b）=gcd （b,r） 证明：d=（a,b），d’=（b,r） d| a – bq d | r，d为b,r的公因数； d|d’ d’=h· d d’|b· q+r d’|a，d’为a,b的公因数；d’|d d=k· d 所以 k· h=1 k=h=1；
信息安全数学基础 有限域
而有限域中，因为元素个数有限，若干个1相加 中不可能没有相同的元素
设i*1=j*1,1≤i<j,则(i-j)*1=0
定义：设F为域，1为乘法单位元素，如果对任 意正整数m，都有m*1≠0,则称F的特征是0，否 则若适合条件的最小正整数p，则成F的特征为p， 记为charF。
7.2 有限域的基本性质
7.5 有限域的构造
例：由GF(2)上的既约多项式p(x)=
0000 0001 0010 0100 0 1 x x2
x4+x+1扩成GF(24) 0 a0 a1 a2 -∞ 0 1 2
4位向量形式 多项式形式 生成元幂形式 指数形式
1000
0011 0110 1100
x3
x+1 x2 +x x3 +x2
扩域过程中最小的一步，是得到所谓单扩 张，即并入一个元素而生成之扩域。
例
设F=Q,E=C,S={√2}，则
F(S)=Q(√2)={a+b √2|a,b∈Q}
则R(X)=C
复数域上的子域R，子集X={i},
7.2 有限域的基本性质
有限域的加法特性：特征
有理数域、实数域和复数域中，任意多个1相加 都不等于0
有限域 Galois Field
巫玲
Wuling751@
7.1 域的扩张
域 整环 可交换环 无零因子环 含幺环 除环
环
Abel群 群 半群 A B
表示满足A 则满足B
7.1 域的扩张
定义7-1
非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且 满足：
设i*1=j*1,1≤i<j,则(i-j)*1=0
定义：设F为域，1为乘法单位元素，如果对任 意正整数m，都有m*1≠0,则称F的特征是0，否 则若适合条件的最小正整数p，则成F的特征为p， 记为charF。
7.2 有限域的基本性质
7.5 有限域的构造
例：由GF(2)上的既约多项式p(x)=
0000 0001 0010 0100 0 1 x x2
x4+x+1扩成GF(24) 0 a0 a1 a2 -∞ 0 1 2
4位向量形式 多项式形式 生成元幂形式 指数形式
1000
0011 0110 1100
x3
x+1 x2 +x x3 +x2
扩域过程中最小的一步，是得到所谓单扩 张，即并入一个元素而生成之扩域。
例
设F=Q,E=C,S={√2}，则
F(S)=Q(√2)={a+b √2|a,b∈Q}
则R(X)=C
复数域上的子域R，子集X={i},
7.2 有限域的基本性质
有限域的加法特性：特征
有理数域、实数域和复数域中，任意多个1相加 都不等于0
有限域 Galois Field
巫玲
Wuling751@
7.1 域的扩张
域 整环 可交换环 无零因子环 含幺环 除环
环
Abel群 群 半群 A B
表示满足A 则满足B
7.1 域的扩张
定义7-1
非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且 满足：
有限域有限域的结构有限域特征PPT课件
g(x) r(x) mod f(x)
Fp[x]模 f(x)的全体两两不同余的代表元为
Байду номын сангаасpn
{r(x) Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n第三} 单7元 第十课
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教版 ·语文·必修2
设 f(x)是Fp上的n次不可约多项式 F = {r(x)Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n } 多项式的加 : g(x) + h(x)
模 f(x)的乘法: g(x)h(x) (mod f(x))
是否域？
F关于加法构成群 F\{0}关于乘法构成群 F是 pn元有限域
Fp[x]/(f(x)) F
第三单8元 第十课
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教版 ·语文·必修2
16元有限域F24 f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式
第三单12元 第十课
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教版 ·语文·必修2
本原元（ primitive element ） 乘法群Fq*的生成元称为Fq中的本原元。
Fq中有(q1)个本原元
第三单13元 第十课
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教版 ·语文·必修2
Fp上n次不可约多项式的存在性 定理 设有限域Fr是Fq的扩域，则Fr是Fq上的单代数扩张 。
证明
设
q
3，q
1
r e1
1
r e2 2
r en n
.
多项式 x(q1)/ri 1在 Fq 中至多有(q1)/ri 个根
有限域-有限域的结构-有限域特征PPT课件
CHENLI
9
16元有限域F24 f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式 g(x) = x4 + x3 +1是F2上的不可约多项式 F2[x]/(f(x)) F2[x]/(g(x)) 能否给出同构映射？（作业）
CHENLI
10
Fp上n次不可约多项式的存在性
定理 记有限域Fq的全体非零元Fq* ，则Fq*关于乘法运 算是循环群.
模 f(x)的乘法: g(x)h(x) (mod f(x))
是否域？ F关于加法构成群 F\{0}关于乘法构成群 F是 pn元有限域
CHENLI
Fp[x]/(f(x)) F
8
16元有限域F24 f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式
F = ({0, 1, x, x+1, x2 , x2 +1, x2 +x , x2 + x +1 , x3 , x3+1 ,
推论 存在Fp上的n次不可约多项式。
CHENLI
14
不可约多项式的根
元素 Fqn在Fq上的极小多项式 : 首一, 不可约 设 f(x)是Fq上的n次不可约多项式， 是 f(x)在Fq扩域上
的根 (问: 是否有重根?)
f(x)的全体根 , q, q2,…, qn1 Fq()是qn元有限域, Fq() Fqn 是 f(x)的分裂域
有限域的特征是素数
无限域的特征一定是 0 吗？
CHENLI
2
有限域的元素个数 特征为 p的有限域F 都是Fp上的有限（维数）扩张。 |F | = pn, n = [F: Fp].
任意给定素数 p和正整数n, 是否一定存在 pn元有限域？ 如何构造有限域？
密码学数学基础第十一讲 有限域
＋ 0 1 x x＋1 ＋ · 0 1 x x＋1 ＋
0 0 1 x x＋1 ＋ 0 0 0 0 0
1 1 0 x＋1 ＋ x 1 0 1 x x＋1 ＋
x x x＋1 ＋ 0 1 x 0 x x＋1 ＋ 1
x＋1 ＋ x＋1 ＋ x 1 0 x＋1 ＋ 0 x＋1 ＋ 1 x
5．有限域的表示 ]/(f( ))简记为GF(p 将GF(pn)[ ]=Zp[x]/( (x))简记为GF( n)。 GF( )[x]=Z ]/( ))简记为GF( 为素数， = GF(q) GF(q) 设p为素数，q=pn，GF( )*是GF( )中非零元的 为素数 集合， GF(q) 集合，则（GF( )*，·）是q－1阶循环群。 ） － 阶循环群。 GF(q)的本原元， GF(q) 的生成元， 设β是GF( )的本原元，即β是GF( )*的生成元， － =1}。 GF(q) ={β 则GF( )*={β，β2，…，βq－2，βq－1=1}。 ， － GF(q)={0， GF( )={0，1，β，β2，…，βq－2}。 )={0 ， －
对于有限域GF(28) ，选定不可约多项式 选定不可约多项式m(x)=x8+x4+x3+x+1 对于有限域 就可以进行以下运算。 ，就可以进行以下运算。 ①加法：就是字节的异或运算。 加法：就是字节的异或运算。 两个多项式相加，结果是一个多项式， 两个多项式相加，结果是一个多项式，其系数是两个元素 中对应系数的模2 中对应系数的模2加。 多项式的形式： 多项式的形式：
求有限域F 的所有本原元。 例1：求有限域F5=Z5的所有本原元。 解：2和3是F5的本原元。 的本原元。 例2：求模14的原根。 求模14的原根。 14的原根 是模14的原根 解：3和11是模 的原根。 和 是模 的原根。 2. 域的同构 命题3 是一个域， chF=0， 命题3 设F是一个域，若chF=0，则F含有一个 与有理数域同构的子域； chF=p， 与有理数域同构的子域； 若chF=p，则F含有一个 Z/（ 同构的子域。 与Z/（p）同构的子域。
现代密码学理论与实践-有限域
– (A3) 单位元Identity element: G中存在一个元素e， 对于G中任意元素a，都有a•e=e•a=a成立
– (A4) 逆元Inverse element: 对于G中任意元素a, G中 都存在一个元素a’，使得a•a’=a’•a=e成立
2019/9/6
3/51
群、有限群和无限群
• 用Nn表示n个不同符号的集合，{1,2,…,n}. n个不同符号的一 个置换是一个Nn到Nn的一一映射。定义Sn为n个不同符号的所有 置换组成的集合。Sn中的每一个元素都代表集合{1,2,…,n}的 一个置换，容易验证Sn是一个群：
②对称性：若a=b mod n，则b=a mod n ③传递性: 若a=b mod n 且b=c mod n，则a=c mod n ④如果 a=b mod n且 c=d mod n，则
a+c=(b+d) mod n a-c=(b-d) mod n a•c=(b•d) mod n
⑤ (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n (a-b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n (a•b) mod n = (a mod n • b mod n) mod n
现代密码学理论与实践
有限域
本章要点
• 域是一些元素的集合，其上定义了两个算术运算(加 法和乘法)，具有常规算术性质，如封闭性、结合律、 交换律、分配律、加法逆和乘法逆等。
• 模算术是一种整数算术，它将所有整数约减为一个固
定的集合[0,1,…,n-1]，n为某个整数。任何这个集 合外的整数通过除以n取余的方式约减到这个范围内。
模n。对于任意整数a，我们总可写出： a =⌊a/n」x n + (a mod n)
– (A4) 逆元Inverse element: 对于G中任意元素a, G中 都存在一个元素a’，使得a•a’=a’•a=e成立
2019/9/6
3/51
群、有限群和无限群
• 用Nn表示n个不同符号的集合，{1,2,…,n}. n个不同符号的一 个置换是一个Nn到Nn的一一映射。定义Sn为n个不同符号的所有 置换组成的集合。Sn中的每一个元素都代表集合{1,2,…,n}的 一个置换，容易验证Sn是一个群：
②对称性：若a=b mod n，则b=a mod n ③传递性: 若a=b mod n 且b=c mod n，则a=c mod n ④如果 a=b mod n且 c=d mod n，则
a+c=(b+d) mod n a-c=(b-d) mod n a•c=(b•d) mod n
⑤ (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n (a-b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n (a•b) mod n = (a mod n • b mod n) mod n
现代密码学理论与实践
有限域
本章要点
• 域是一些元素的集合，其上定义了两个算术运算(加 法和乘法)，具有常规算术性质，如封闭性、结合律、 交换律、分配律、加法逆和乘法逆等。
• 模算术是一种整数算术，它将所有整数约减为一个固
定的集合[0,1,…,n-1]，n为某个整数。任何这个集 合外的整数通过除以n取余的方式约减到这个范围内。
模n。对于任意整数a，我们总可写出： a =⌊a/n」x n + (a mod n)
密码学基础ppt课件
于对密钥的保密。
2019
29
对称密码算法 vs.非对称密码算法
对称密码算法（Symmetric cipher）：加密密钥和解 密密钥相同，或实质上等同，即从一个易于推出另一 个。又称传统密码算法（Conventional cipher)、秘密密 钥算法或单密钥算法。
DES、3DES、IDEA、AES
16
密码学
密码学（Cryptology）
• 研究信息系统安全保密的科学。由两个 相互对立、相互斗争，而且又相辅相成 、相互促进的分支科学所组成的，分别 称为密码编码学（Cryptography）和密码 分析学（Cryptanalysis）。
2019
17
密码编码学 Vs. 密码分析学
密码编码学（Cryptography） • 主要研究对信息进行编码，实现对信息的隐 蔽。 密码分析学（ Cryptanalysis ） • 主要研究加密消息的破译或消息的伪造。
加密和解密算法的操作通常都是在一组密钥的控制下进 行的,分别称为加密密钥(Encryption Key) 和解密密钥 (Decryption Key)。
2019 23
密码算法
密码算法（Cryptography Algorithm）：用于加密 和解密操作的数学函数。 加密算法（Encryption Algorithm）：发送者对明 文进行加密操作时所采用的一组规则。 解密算法（Decryption Algorithm）：接收者对密 文进行解密操作时所采用的一组规则。
90年代，逐步出现椭圆曲线等其他公钥算法。
公钥密码使得发送端和接收端无密钥传输的保密通 信成为可能！
2019 14
什么是密码学
密码学基本概念 密码体制分类 密钥管理
2019
29
对称密码算法 vs.非对称密码算法
对称密码算法（Symmetric cipher）：加密密钥和解 密密钥相同，或实质上等同，即从一个易于推出另一 个。又称传统密码算法（Conventional cipher)、秘密密 钥算法或单密钥算法。
DES、3DES、IDEA、AES
16
密码学
密码学（Cryptology）
• 研究信息系统安全保密的科学。由两个 相互对立、相互斗争，而且又相辅相成 、相互促进的分支科学所组成的，分别 称为密码编码学（Cryptography）和密码 分析学（Cryptanalysis）。
2019
17
密码编码学 Vs. 密码分析学
密码编码学（Cryptography） • 主要研究对信息进行编码，实现对信息的隐 蔽。 密码分析学（ Cryptanalysis ） • 主要研究加密消息的破译或消息的伪造。
加密和解密算法的操作通常都是在一组密钥的控制下进 行的,分别称为加密密钥(Encryption Key) 和解密密钥 (Decryption Key)。
2019 23
密码算法
密码算法（Cryptography Algorithm）：用于加密 和解密操作的数学函数。 加密算法（Encryption Algorithm）：发送者对明 文进行加密操作时所采用的一组规则。 解密算法（Decryption Algorithm）：接收者对密 文进行解密操作时所采用的一组规则。
90年代，逐步出现椭圆曲线等其他公钥算法。
公钥密码使得发送端和接收端无密钥传输的保密通 信成为可能！
2019 14
什么是密码学
密码学基本概念 密码体制分类 密钥管理
密码学的数学基础
素数
如何判断一个数是否为素数？
本章授课提纲
（1）整除
（2）素数
（3）最大公约数 （4）欧几里德算法
最大公约数
最大公约数的定义 a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor ） 是能够同时整除a和b的最大正整数，记为gcd(a,b) 或者(a,b)。 例如：gcd(6,4)=2，gcd(5,7)=1，gcd(24,60)=12 互素的定义 如果gcd(a,b)=1，就称a和b互素
证明：记a-b=nk，b-c=nl，那么两式相减得ac=n(k-l)，所以a≡c(mod n)。
模运算和同余
模运算和同余的性质 性质五：如果m|(a-b)，则a≡b(mod m) 证明：由已知条件可得a-b=km，k为某一整数； 进而可得a=b+km，故a(mod m)=(b+km)除以m的余 数=b除以m的余数=b(mod m)，由同余的第二个定 义可以得证。
[11(mod 8)-15(mod 8)](mod 8)=(3-7)(mod 8)=4
=(11-15)(mod 8)=-4(mod 8)=4
模运算和同余
模运算的乘法的结合律 [a(mod n)〓b(mod n)](mod n)=(a〓b)(mod n) 举例： [11(mod 8)〓15(mod 8)](mod 8)=(3〓7)(mod 8)=21(mod 8)=5 =(11〓15)(mod 8)=165(mod 8)=5
欧几里德算法
欧几里德算法的精确描述 两个整数用a,b表示，商用q表示，余数用r表示 Step1 取a,b较大者为a，较小者为b Step2 做除法，计算并保留余数r=mod(a,b) Step3 将原来的除数改做被除数，余数作为除数 a=b,b=r 重复Step1和Step2直到r=0，返回b
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1＋x是GF(32)的本原元。
练习：找出其它所有本原元。
三．密码学上的简单应用
1．G F(2n)与Z2n的 乘 法 比 较
设f(x)是域Z2上一个n次不可约多项式， 则GF(2n)[x]=Z2[x]/(f(x)) ={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZ2}。
例5：设f(x)=x3＋x＋1为一个3次不可约多项 式，则GF(23)[x]={0，1，x，x＋1，x2，x2＋1， x2＋x，x2＋x＋1}。
域Zp[x]/(f(x))共包含pn个元素。 把a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋(f(x))简记为：
a0＋a1x＋…＋an－1xn－1。
记GF(pn)[x] = Zp[x]/(f(x))，
则GF(pn)[x]={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZp}， 其系数的加法和乘法遵从模p的加法和乘法， 多项式的加法和乘法遵从模f(x)的加法和乘法。
若x为GF(23)的一个本原元，则 GF(23)[x]={0，1，x，x2，x3，x4，x5，x6}。
若记0=000=0，1=001=1，x=010=2，x ＋1=011=3，x2=100=4，x2＋1=101=5， x2＋x=110=6，x2＋x＋1=111=7；
则GF(23)[x]= Z2[x]/(x3＋x＋1)乘法表如下：
GF(q)={0，1，，2，…，q－2}。
设p是任意给定的一个素数，n是任一正整数， 设f(x)是域Zp上一个n次不可约多项式。
GF(pn)=Zp[x]/(f(x))的两种表示方法：
（1）GF(pn)={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZp， i=0，1，…，n－1}。
（2）设q=pn，是GF(q)的一个本原元，则 GF(q)={0，1，，2，…，q－2}。
· 1234567 11234567 22463175 33657412 44376251 55142736 66715324 77521643
Z8={0，1，2，…，7}乘法表
· 1234567 11234567 22460246 33614725 44040404 55274163 66420642 77654321
例4：已知x2＋1是Z3上的不可约多项式，利用 该不可约多项式构造一个9阶有限域GF(32)[x]， 写出GF(32)[x]的9个元素，并判断1＋x是否为 GF(32)的本原元。
解：GF(32)[x]=Z3[x]/(x2＋1) ={a0＋a1x|a0，a1Z3}={0，1，2，x，1＋x， 2＋x，2x，1＋2x，2＋2x}。
域F的特征或是零，或是素数。
只含有限个元素的域称为有限域。 有限域的元素个数称为有限域的阶பைடு நூலகம் 每个特征为零的域都是无限域。 有限域的特征一定是素数。 在特征是素数p的域F中，下列等式成立： (a＋b)p=ap＋bp， (a－b)p=ap－bp，a，bF。
二．有限域的结构
1．有限域的乘法群 有限域F中非零元组成的集合F*关于乘法做成
例3：把a0＋a1x＋(x2＋x＋1)简记为a0＋a1x， 则Z2[x]/(x2＋x＋1)的加法和乘法的运算表简化 如下：
＋ 0 1 x x＋1
0 0 1 x x＋1
1 1 0 x＋1 x
x x
x＋1 0 1
x＋1 x＋1
x 1 0
·
0
0
0
1
0
x
0
x＋1 0
1 0 1 x x＋1
x 0
x x＋1
1
x＋1 0
x＋1 1 x
5．有限域的表示
将GF(pn)[x]=Zp[x]/(f(x))简记为GF(pn)。 设p为素数，q=pn，GF(q)*是GF(q)中非零元 的集合，则（GF(q)*，·）是q－1阶循环群。
设是GF(q)的本原元，即是GF(q)*的生成元， 则GF(q)*={，2，…，q－2，q－1=1}。
非零元素 1 2 3 4 5 6 7 在Z8中的出现次数 4 8 4 12 4 8 4
在GF(23)中的出现次 7 7 7 7 7 7 7
数
在Z8中，非零元素2，4和6无乘法逆元。 在GF(23)中，所有非零元素都有乘法逆元。
例2：求模14的原根。
解：3和11是模14的原根。
2. 域的同构
命题3 设F是一个域，若chF=0，则F含有一个与 有理数域同构的子域； 若chF=p，则F含有一个与 Z/（p）同构的子域。
3．有限域的结构
定理1：设F是一个特征为p的有限域，则F的元素 个数一定为p的一个幂pn，n≥1。
命题4：设Fq是一个含有q个元素的有限域，对任 意正整数n，Fq上的n次不可约多项式一定存在。
定理2：对任意素数p和任意正整数n，一定存在 一个含有pn个元素的有限域。
定理3：设Fq是一个含有q个元素的有限域，设p 是一个素数，Zp={0，1，2，…，p－1},设f(x)是 Zp上的一个n次不可约多项式。若|Fq|=pn，其中 n≥2是一个整数，则Fq与Zp[x]/(f(x))同构。若 |Fq|=p，则Fq与Zp同构。
的群称为有限域的乘法群。
命题1：设Fq是一个含有q个元素的有限域， Fq*=Fq\{0}，则Fq的乘法群Fq*是一个循环群。
定义2：设Fq是一个有限域，Fq*=Fq\{0}，Fq* 的生成元称为Fq的本原元。
命题2：设Fq是一个含有q个元素的有限域，则 Fq中共有(q－1)个本原元。
例1：求有限域F5=Z5的所有本原元。 解：2和3是F5的本原元。
密码学数学基础第十一讲有限域
一．域的特征
若R是无零因子环，则其加群中所有非零元的 阶相同，或是无限，或是一个素数。
设R是无零因子环，当其加群中所有非零元的阶 无限时，chR=0；当此阶为素数p时，chR=p。
定义1：设F是域，1是F的单位元，若1在(F，＋) 的阶数为无穷大，则称F的特征为0；若1在(F，＋) 的阶数为素数p，则称F的特征为p。
将阶为pn的有限域记作GF(pn)，称之为pn阶的 Galois域。
4．利用不可约多项式构造有限域
设p是任意给定的一个素数，n是任一正整数。令f(x)是域Zp 上一个n次不可约多项式，则Zp[x]/(f(x))是域，
Zp[x]/(f(x))={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋(f(x))|aiZp}。
练习：找出其它所有本原元。
三．密码学上的简单应用
1．G F(2n)与Z2n的 乘 法 比 较
设f(x)是域Z2上一个n次不可约多项式， 则GF(2n)[x]=Z2[x]/(f(x)) ={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZ2}。
例5：设f(x)=x3＋x＋1为一个3次不可约多项 式，则GF(23)[x]={0，1，x，x＋1，x2，x2＋1， x2＋x，x2＋x＋1}。
域Zp[x]/(f(x))共包含pn个元素。 把a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋(f(x))简记为：
a0＋a1x＋…＋an－1xn－1。
记GF(pn)[x] = Zp[x]/(f(x))，
则GF(pn)[x]={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZp}， 其系数的加法和乘法遵从模p的加法和乘法， 多项式的加法和乘法遵从模f(x)的加法和乘法。
若x为GF(23)的一个本原元，则 GF(23)[x]={0，1，x，x2，x3，x4，x5，x6}。
若记0=000=0，1=001=1，x=010=2，x ＋1=011=3，x2=100=4，x2＋1=101=5， x2＋x=110=6，x2＋x＋1=111=7；
则GF(23)[x]= Z2[x]/(x3＋x＋1)乘法表如下：
GF(q)={0，1，，2，…，q－2}。
设p是任意给定的一个素数，n是任一正整数， 设f(x)是域Zp上一个n次不可约多项式。
GF(pn)=Zp[x]/(f(x))的两种表示方法：
（1）GF(pn)={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZp， i=0，1，…，n－1}。
（2）设q=pn，是GF(q)的一个本原元，则 GF(q)={0，1，，2，…，q－2}。
· 1234567 11234567 22463175 33657412 44376251 55142736 66715324 77521643
Z8={0，1，2，…，7}乘法表
· 1234567 11234567 22460246 33614725 44040404 55274163 66420642 77654321
例4：已知x2＋1是Z3上的不可约多项式，利用 该不可约多项式构造一个9阶有限域GF(32)[x]， 写出GF(32)[x]的9个元素，并判断1＋x是否为 GF(32)的本原元。
解：GF(32)[x]=Z3[x]/(x2＋1) ={a0＋a1x|a0，a1Z3}={0，1，2，x，1＋x， 2＋x，2x，1＋2x，2＋2x}。
域F的特征或是零，或是素数。
只含有限个元素的域称为有限域。 有限域的元素个数称为有限域的阶பைடு நூலகம் 每个特征为零的域都是无限域。 有限域的特征一定是素数。 在特征是素数p的域F中，下列等式成立： (a＋b)p=ap＋bp， (a－b)p=ap－bp，a，bF。
二．有限域的结构
1．有限域的乘法群 有限域F中非零元组成的集合F*关于乘法做成
例3：把a0＋a1x＋(x2＋x＋1)简记为a0＋a1x， 则Z2[x]/(x2＋x＋1)的加法和乘法的运算表简化 如下：
＋ 0 1 x x＋1
0 0 1 x x＋1
1 1 0 x＋1 x
x x
x＋1 0 1
x＋1 x＋1
x 1 0
·
0
0
0
1
0
x
0
x＋1 0
1 0 1 x x＋1
x 0
x x＋1
1
x＋1 0
x＋1 1 x
5．有限域的表示
将GF(pn)[x]=Zp[x]/(f(x))简记为GF(pn)。 设p为素数，q=pn，GF(q)*是GF(q)中非零元 的集合，则（GF(q)*，·）是q－1阶循环群。
设是GF(q)的本原元，即是GF(q)*的生成元， 则GF(q)*={，2，…，q－2，q－1=1}。
非零元素 1 2 3 4 5 6 7 在Z8中的出现次数 4 8 4 12 4 8 4
在GF(23)中的出现次 7 7 7 7 7 7 7
数
在Z8中，非零元素2，4和6无乘法逆元。 在GF(23)中，所有非零元素都有乘法逆元。
例2：求模14的原根。
解：3和11是模14的原根。
2. 域的同构
命题3 设F是一个域，若chF=0，则F含有一个与 有理数域同构的子域； 若chF=p，则F含有一个与 Z/（p）同构的子域。
3．有限域的结构
定理1：设F是一个特征为p的有限域，则F的元素 个数一定为p的一个幂pn，n≥1。
命题4：设Fq是一个含有q个元素的有限域，对任 意正整数n，Fq上的n次不可约多项式一定存在。
定理2：对任意素数p和任意正整数n，一定存在 一个含有pn个元素的有限域。
定理3：设Fq是一个含有q个元素的有限域，设p 是一个素数，Zp={0，1，2，…，p－1},设f(x)是 Zp上的一个n次不可约多项式。若|Fq|=pn，其中 n≥2是一个整数，则Fq与Zp[x]/(f(x))同构。若 |Fq|=p，则Fq与Zp同构。
的群称为有限域的乘法群。
命题1：设Fq是一个含有q个元素的有限域， Fq*=Fq\{0}，则Fq的乘法群Fq*是一个循环群。
定义2：设Fq是一个有限域，Fq*=Fq\{0}，Fq* 的生成元称为Fq的本原元。
命题2：设Fq是一个含有q个元素的有限域，则 Fq中共有(q－1)个本原元。
例1：求有限域F5=Z5的所有本原元。 解：2和3是F5的本原元。
密码学数学基础第十一讲有限域
一．域的特征
若R是无零因子环，则其加群中所有非零元的 阶相同，或是无限，或是一个素数。
设R是无零因子环，当其加群中所有非零元的阶 无限时，chR=0；当此阶为素数p时，chR=p。
定义1：设F是域，1是F的单位元，若1在(F，＋) 的阶数为无穷大，则称F的特征为0；若1在(F，＋) 的阶数为素数p，则称F的特征为p。
将阶为pn的有限域记作GF(pn)，称之为pn阶的 Galois域。
4．利用不可约多项式构造有限域
设p是任意给定的一个素数，n是任一正整数。令f(x)是域Zp 上一个n次不可约多项式，则Zp[x]/(f(x))是域，
Zp[x]/(f(x))={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋(f(x))|aiZp}。