行列式的性质及应用
简述行列式的性质
简述行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det（A）或|A|。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
行列式的性质及应用知识点总结
行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下行列式的性质及应用方面的知识点。
一、行列式的定义首先，我们来了解一下行列式的定义。
对于一个 n 阶方阵 A ＝（aij ），其行列式记为｜A| 或 det(A) ，它的值是一个确定的数。
对于二阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 ； a 21 a 22 ｜＝ a 11 a 22 a 12 a 21 。
对于三阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 a 13 ； a 21 a 22 a 23 ； a31 a 32 a 33 ｜＝ a 11 a 22 a 33 ＋ a 12 a 23 a 31 ＋ a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 。
对于n 阶行列式，其定义相对复杂，但可以通过递归的方式来理解。
二、行列式的性质1、行列式转置值不变若将行列式 A 的行与列互换得到的行列式称为 A 的转置行列式，记为 A T ，则有｜A| ＝｜A T ｜。
2、两行（列）互换，行列式的值变号例如，交换行列式 A 中的第 i 行和第 j 行，行列式的值变为｜A| ；交换第 i 列和第 j 列，行列式的值也变为｜A| 。
3、某行（列）乘以 k，行列式的值乘以 k若行列式 A 的某一行（列）的元素都乘以同一个数 k ，则行列式的值等于原来的行列式的值乘以 k 。
4、若某行（列）是两组数之和，则行列式可拆成两个行列式之和例如，若 A 的第 i 行元素为 b i ＋ c i ，则｜A| ＝｜B| ＋｜C| ，其中 B 是将 A 的第 i 行换成 b i 得到的行列式，C 是将 A 的第 i 行换成 c i 得到的行列式。
5、某行（列）乘以 k 加到另一行（列），行列式的值不变例如，将行列式 A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行，行列式的值不变；将第 j 列乘以 k 加到第 i 列，行列式的值也不变。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
§5 行列式的性质
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
对角行列式
λ1 λ2
⋱
= λ1λ2 ⋯λn ;
λn
反对角行列式
λ1 λ2
⋰
= ( − 1)
n ( n −1 ) 2
λ1λ2 ⋯λn .
λn
一、行列式的性质
a11 a12 ⋯ a1n a11 a21 记 a21 a22 ⋯ a2n a12 a22 T D= D = ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann a1n a2n
＝
1 5 3 6
＋
2 5 4 6
D 注： =
பைடு நூலகம்
1+ 2
2+3
3＋4 4 + 5
≠
1 2 3 4
＋
2 3 4 5
性质６ 把行列式的某一列（ 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列( 加到另一列 对应的元素上去， 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． 列式不变． 例如
3 1 1 1 3 1 如D = 1 1 3 1 1 1
1 1 1 3
1 1 又D = 1
-1 1 x -1 -1 x +1 -1 x -1 1 -1 -1 x +1 -1 1
(P12例8)
例3 D =
a a
b a+b
c a+b+c
d a+b+c+d
a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d
§5 行列式的性质
(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值．
1 2 3
例如 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 3 1 2
性质5 (拆分) 若行列式的某一列（行）的元素 都是两数之和. a11 a12 (a1i a1i ) a1n a 21 a 22 (a 2 i a i ) a 2 n 例如 2 D a n1 a n 2 (a ni a ) a nn ni
证明
D D1 D2 .
1 2
0
0
3 4 0 0 如D = ? 0 0 -1 3 0 0 5 1
a 0 0 b 0 a b 0 例5 D = 0 c d 0 c 0 0 d
看P15例11
三、小结
行列式的6个性质
同样成立). 计算行列式常用方法 (1) 利用定义;
(行列式中行与列具有同
等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也
= a4
看P13例9
例4
a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
b11 b1n a11 a1k , D1 det(a ij ) , D2 det(bij ) bn1 bnn a k 1 a kk
a11
n
a12 a22
a1n a2 n
a21 an1
an 2 ann
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零；行列式的某一行（列） 元素全为零，则行列式为零．
1 2 3 例如 4 5 6 2 4 6 1 2 3
1 24 1
2 5 2
行列式在中学数学中的应用
行列式在中学数学中的应用行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一种对于方阵的特殊函数，用于描述和计算矩阵的各种性质。
在中学数学中，我们常常遇到一些看似与行列式无关的问题，但实际上，巧妙地运用行列式能够简化解题过程，提高解题效率。
本文将介绍行列式的基本概念及其在中学数学中的应用，旨在帮助读者更好地理解行列式的意义和作用。
在介绍行列式的应用之前，我们需要先了解一下行列式的定义和性质。
行列式是由矩阵的行和列构成的，表示为一个标量，记作D。
对于一个n阶方阵A，其行列式可以定义为：D = a11 * a22 *... * ann其中aij表示矩阵A中的元素。
行列式具有以下基本性质：行列式与矩阵的阶数有关，即D(A) = D(n)；行列式是唯一确定的，即对于同一个矩阵A，其行列式D(A)是唯一值；行列式的值与矩阵中的元素有关，元素不同则行列式的值也不同。
在中学数学中，行列式可以应用于解线性方程组、求逆矩阵、证明定理等方面。
以下是一些具体应用示例：线性方程组是中学数学中的重要内容，使用行列式可以简化解题过程。
例如，对于以下线性方程组：a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c.. anx + bny = cn我们可以将其系数构成一个n阶矩阵A，将其右侧的常数项构成一个列向量b，则该方程组可以表示为Ax = b。
使用克莱姆法则，我们可以求解出x的值，其中行列式D(A)起到了关键作用。
在中学数学中，我们学习了逆矩阵的概念及其求法。
对于一个n阶方阵A，其逆矩阵A-1满足AA-1 = I，其中I是单位矩阵。
利用行列式，我们可以快速求解逆矩阵。
由D(A) = 0以及D(I) = 1，可得D(AA-1) = D(A)D(A-1) = 0，因此有D(A-1) = 1/D(A)。
在一些定理的证明过程中，行列式也能够发挥重要作用。
例如，对于一个n阶方阵A，如果D(A) ≠ 0，则A可逆。
这个定理的证明就涉及到行列式。
考研数学线代1行列式的性质及应用
第一讲：行列式排列定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。
n 级排列的总数为(1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅=（n 的阶乘个）。
定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。
一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。
例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性134782695解 逆序数为10，是偶排列。
行列式：定义（设为n 阶）：n 阶行列式是取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ表示排列 12n j j j 的逆序数。
n 阶行列式具有的性质1．性质（1）行列互换，行列式不变。
即111211121121222122221212n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a=。
2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即111211212n i i in n n nna aa ka ka kaa a a =k 111211212n i i in n n nna a a a a a a a a 特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。
3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
即1212121112121222()1212(1)n n nnn j j j j j nj j j j n n nna a a a a a A a a a a a a τ==-∑11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+。
§2 行列式的性质与计算
j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn
p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零． 比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下 的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式， 这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0
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题目 (1)摘要 (1)正文 (1)一.问题的提出 (1)二.排列 (1)三.行列式 (1)四.n阶行列式具有的性质 (2)五.行列式的计算 (3)(一)数字型行列式的计算 (3)(二)行列式的概念与性质的例题 (6)(三)抽象行列式的计算 (6)(四)含参数行列式的计算 (7)A 的证明 (7)(五)关于0(六)特殊行列式的解法 (8)(七)拉普拉斯定理 (9)参考文献 (10)致谢 (11)外文页 (12)行列式的性质及计算王峰摘 要 在线性代数中,行列式是一个重要的基本工具,直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显,因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的。
行列式的重点是计算,应当在理解n 阶行列式的概念,掌握行列式性质的基础上,熟练正确地计算三阶,四阶行列式,也会计算简单的n 阶行列式的值.计算行列式的基本方法是:按行(列)展开公式,通过降阶来实现。
但在展开之前往往先通过对行列式的恒等变形,以期新的行列式中能构造出较多的零或有公因式,从而可简化计算,行列式计算的常用技巧有，三角化法，递推法，数学归纳法，公式法。
关键词 三角化法 递推法 数学归纳法 公式法一.问题的提出在实践中存在许多解n 元一次方程组的问题，如①11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩②11112211121222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩对于①我们可以解出,但对于②,我们有什么方法解出呢?我想可以用行列式的知识。
二.排列定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。
n 级排列的总数为(1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅= （n 的阶乘个）。
定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。
一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。
例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性134782695解 逆序数为10，是偶排列。
三．行列式：定义（设为n 阶）：n 阶行列式是取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ 表示排列 12n j j j 的1212121112121222()1212(1)n nnnn j j j j j nj j j j n n nna a a a a a A a a a a a a τ==-∑逆序数。
四． n 阶行列式具有的性质1．性质（1）行列互换，行列式不变。
即111211121121222122221212nn n n n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =。
2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即111211212n i i in n n nna a a ka ka ka a a a=k 111211212n i i in n n nna a a a a a a a a特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。
3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
即11121111211112111221212121212n n n n n n nn n nnn n nn n n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+。
4．性质（4）如果行列式中两行相同，那么行列式为零。
（两行相同就是说两行对应元素都相同）。
5．性质（5）如果行列式中两行成比例。
那么行列式为零。
即11121111211212121212120n n i i ini i in i i ini i inn n nnn n nna a a a a a a a a a a a k ka ka ka a a a a a a a a a ==。
6．性质（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
即111211112111121112212121212121212121112112n n ni k i k in kn i i in k k kn k k kn k k kn k k kn n n nnn n nnn n nnni i i a a a a a a a a a a ca a ca a ca a a a ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+=1212n k k kn n n nna a a a a a7．性质（7）对换行列式中两行的位置，行列式反号。
即11121111211112112112*********1212121211121nn ni i in i k i k in kn i k i k in kn k k kn k k kn i i in n n nnn n nnn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++==---=11121121212121212nk k knk k kn i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =----五.行列式的计算(一)数字型行列式的计算(四种方法) 1.三角化法例2 计算行列式1122331111111b b b D b b b --=----之值。
解 从第1行开始,依次把每行加至下一行,得1112222333331111111111111111b b b b b b D b b b b b b ====------例3 计算行列式x a a aa x a aD a a x a a a a x= 之值。
解 把每行均加至第一行,提出公因式()1x n a +-,再把第一行的a -倍分别加到第二行至第n 行,得[][][]111111111(1)(1)(1)()n n a x a ax aD x n a x n a x n a x a a a x a x aa a a xx a--=+-=+-=+----2．递推法例4 计算行列式5111111111a a a a D aa a a a---=------之值。
解 把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式5145411(1)111111a a a D D a a aa a a a+-==--------继续使用这个递推公式，有443D D a =+ 332D D a =- 而初始值221D a a =-+，所以 234551D a a a a a =-+-+-例5 计算行列式 1231111n n na a x a xD a x a x---=-之值。
解 按第n 行展开，有1111(1)(1)n n n n n n n D xD a xD a +---=+-⋅-=+， 从而递推地得到212121(1)(1)n n n n n n n D xD a xD a ------=+-⋅-=+， 232n n n D xD a ---=+212D a x a =+对这些等式分别用1，x ,2x , ,2n x-相乘，然后相加，得到1231231n n n n n n D a x a x a x a x a ----=+++++3．数学归纳法例6 证明①111111111111111111110000kkk rk kkrk kk r rrr rkr rra a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =。
解 我们对k 用数学归纳法。
当1k =时，①的左端为11111111100rr r rra cb bc b b 按第一行展开，就得到所要的结论。
假设①对1k m =-，即左端行列式的左上角是1m -级时已经成立，现在来看k m =的情形，按第一行展开，有1111222121111111121111211100000000mmm m mmm mm r m r r rmr rrr rmr rra a a a a a a a a c cb bc c b b c c b b c c b b =+ + 212,12,121,1,111111,11,111111,1,11000(1)i i mm m i m i mm i ii i m r r r i r i rm r rra a a a a a a a a c c c cb bc c c c b b -+-++-+-=-212,11,111111,11111,11000(1)m m m m m mm r r r m r rra a a a a c cb bc c b b --+--++-222212,12,12111121,1,1212,1111111111111,1111(1)(1)m i i mi i m mm m m i m i mmm r m r m mm m m r rr m mm r rra a a a a a a a a a a a a a a ab b a a b b a a a b b a a b b -++-+-+-=[++-++-]⋅=⋅这里第二个等号是用了归纳法假定，最后一个是根据按一行展开的公式。
根据归纳法原理，①式普遍成立。
4．公式法例7 计算行列式 a b c d ba d cA c d a b dc ba--=----之值。
解 由于2222()TAA a b c d E =+++,故用行列式乘法公式，得222224()T T A A A AA a b c d =⋅==+++因A 中，4a 系数是+1，所以22222()A abcd =+++。
（二）行列式的概念与性质的例题例8 已知2331645615ij a a a a a a 是6阶行列式中的一项，试确定,i j 的值及此项所带的符号。
解 根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。
因此，行指标2,3,,6,5,1i 应取自1至6的排列，故4i =，同理可知2j =。