江西省新余四中、上高二中2019届高三第二次联考数学(理)试卷

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江西省新余四中、上高二中2019届高三第二次联考数学（理）试卷学
校：
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注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.已知集合{}ln(1)M x y x ==-, 集合{|e ,}(e x N y y x R ==∈为自然对数的底数),则M N I = ( ) A.{|1}x x <
B.{|1}x x >
C.{|01}x x <<
D.∅
2.若复数z 满足()2
12i 13i (i z -+=+为虚数单位）,则z = ( )
A. 24i -+
B.24i --
C.42i +
D. 42i -
3.若()f x 为偶函数，且当[)0,x ∈+∞时, ()()()2π
sin 012ln 1x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪+>⎩
,则不等式()11f x -<的解集为( ) A.{}02x x << B.{}11x x -<< C.{}01x x << D.{}22x x -<<
4.现有5人参加抽奖活动,每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张,直到3张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为( ) A. 1
10
B. 15
C.
310
D.
25
5.在等差数列{}n a 中，8101
12
a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S = ( )
A. 8
B. 16
C. 22
D. 44
6.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )
A.8
3
B.
4
3 C.8
9
D.
49
7.已知函数()2sin()1f x x ωϕ=++π1,||2ωϕ⎛
⎫>≤ ⎪⎝
⎭,其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π,若
()1f x >对于任意的ππ
(,)123
x ∈-
恒成立, 则ϕ的取值范围是( )
A.ππ,123⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B.ππ,122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C.ππ
(,]62
D.ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8.已知抛物线24y x =上有三点,,,,,A B C AB BC CA 的斜率分别为3,6,2-，则ABC △的重心坐标为（ ） A ．14
(,1)9
B ．14
(,0)9
C ．14
(
,0)27
D ．14(
,1)27
9.已知函数2
1
121)(-+=x
x f ，n m ,满足0)2()2(22≥-+-m n f n m f ，则|47|++n m 的取值范围是( )
A ．[2,12]
B ．[2,22]
C ．[12,22]
D ．[12-+
10.在平面直角坐标系xOy 中,已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=.又点A 坐标为
()3,1,,M N -是1C 上的动点,Q
为2C 上的动点,则四边形AMQN 能构成矩形的个数为( )
A.0个
B.2个
C.4个
D.无数个
11.如图所示,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm , 该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点,,,,EAB FBC GCD HDA ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后, 分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,EAB FBC GCD HDA ∆∆∆∆使得,,,E F G H 重合,得到四棱锥. 当正方形ABCD 的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：3cm )的最大值为( )
A. C. 12.定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()
1212
0f x f x x x -<-
成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++,在
[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1ln 6,12e 6⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
B ．1ln 3,12e 6⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C.1ln 3,2e 3⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ D ．1ln 6,2e
3⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 二、填空题
13.已知向量,a b r r
夹角为60︒，且||1a =r ，|2|a b -=r r ||b r =________.
14.已知锐角三角形ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2cos c a a B -=,则()2sin sin A
B A -的取
值范围是__________.
15.已知数列{}n a 满足143a =，数列2{}1n n
a a --是公比为2的等比数列，则112123121111
n
a a a a a a a a a ++++⋅L L =___________. 16.设函数()()
23x f x x e =-,若函数()()()2616
G x f x af x e
=-+有6个不同的零点,则实数a 的取值范围是__________.
三、解答题
17.如图，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 边上的动点（含端点），记BAD α∠=，ADC β∠=．
（1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若1BD =，1
cos 7
β=
，求ABD ∆的面积 18.如图,三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,底面ABC ⊥侧面11AA B B ,1160,AA B P ∠=︒为1CC 的中点,11AB A B O =I .
(1)证明：1AB ⊥平面1
AOP . (2)若M 是棱AC 上一点,且满足45MOP ∠=︒,求二面角1M BB A --的余弦值.
19.某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出和收益情况,如下表：
附：()()
()
1
2
1
ˆ,ˆn
i
i
i n
i
i x x y
y b a
y bx x x ==--=
=--∑∑ (1)若x 与y 成线性相关,则某天售出8箱水时,预计收益为多少元？
(2)期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为2
5
,获二等奖学金的概率均为13
,不获得奖学金的概率均为4
15.
①在学生甲获得奖学金条件下,求他获得一等奖学金的概率；
②已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望.
20.设常数2t >,在平面直角坐标系xOy 中,已知点(2,0)F ,直线:l x t =,曲线
2:8(0,0),y x x t y l Γ=≤≤≥与x 轴交于点A ,与Γ交于点,B P Q 、分别是曲线Γ与线段AB 上的动点。

(1)设3,2t FQ ==,线段OQ 的中点在直线FP 上,求AQP △的面积
(2)设8t =,是否存在以,FP FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由 21.已知函数()2
4
x x f x e x +=
+. (1)讨论函数的单调性,并证明当2x >-时,240x xe x +++>； (2)证明：当[)0,1a ∈时，函数()()
22
3(2)2x e ax a
g x x x +--=
>-+有最小值,设()g x 最小值为()h a ,求函数
()h a 的值域.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系xOy 的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,
两种坐标系中取相同的
长度单位, 直线l
的参数方程为21x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
,圆C
的极坐标方程为π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.
(1)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；
(2)设曲线C 与直线l 交于,A B 两点, 若P 点的直角坐标为()2,1,求PA PB -的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()241f x x x =-++, (1)解不等式()9f x ≤；
(2)若不等式()2f x x a <+的解集为{}
2,|30A B x x x =-<，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.
参考答案
1.答案：C
解析：由题意令10x ->得1x <,故(),1M =-∞，
又()e ,R 0|},{x
N y y x ==∈=+∞，
所以{}|01M N x x ⋂=<<. 2.答案：A
解析：根据等可能事件的概率可知活动恰好在第4人抽完后结束的概率为23353
10
C P C
==.
5.答案：C
解析： 7.答案：D 解析：
8.答案：C 解析：
9.答案：B。