三角形两边的和与差
三角形三边关系三角形内角与定理
三角形三边关系、三角形内角和定理定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c则b-c ＜a ＜b+ca-c ＜b ＜a+c a-b ＜c ＜a+b给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。
④已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。
1、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG的面积有何关系？2、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对3、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能4、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、05、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？6、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ7、已知△ABC 中，a=6，b=14，则c 边的范围是专题检测1.指出下列每组线段能否组成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=62.已知等腰三角形的两边长分别为11cm 和5cm ，求它的周长。
3.已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm ，求这个三角形的腰长。
两角和与差的正弦余弦和正切公式
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的倍角公式指出，对于任意角度α， sin(2α)、cos(2α)和tan(2α)的值可以通过
sin(α)、cos(α)、tan(α)的函数关系来表达。 利用这个公式，我们可以推导出两角和与差
总结词
通过三角函数的减法定理，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的减法定理指出，对于任意角度α、 β，sin(α-β)、cos(α-β)和tan(α-β)的值可 以通过sin(α)、cos(α)、sin(β)、cos(β)、 tan(α)和tan(β)的函数关系来表达。利用这 个定理，我们可以推导出两角和与差的正弦、 余弦和正切公式。
地理学问题
在地理学中，很多问题涉及到地 球的自转、公转等角度计算，如 时差、太阳高度角等，利用三角 函数公式可以方便地计算。
经济学问题
在经济学中，很多问题涉及到利 率、汇率等与角度相关的问题， 利用三角函数公式可以方便地描 述这些变化规律。
04
三角函数公式的扩展
利用三角函数的和差化积公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式，可以将两角和与差的 正弦、余弦和正切公式进行扩展，得到更一般化的公 式形式。
详细描述
三角函数的积化和差公式可以将两个角度的正弦或余 弦的乘积转化为其他角度的正弦、余弦和正切的和或 差的形式，从而扩展了原有的公式。例如，利用积化 和差公式，可以将两角和的余弦表示为单个角度余弦 的函数，进一步推导得到更一般化的公式。
VS
详细描述
第24讲 两角和与差的三角函数
【变式探究】
π 3π 12 3 1．已知 <β<α< ，cos(α－β)＝ ，sin(α＋β)＝－ ，求sin 2α. 2 4 13 5
π 3π π 3π 解：因为 <β<α< ，所以0<α－β< ，π<α＋β< ， 2 4 4 2 5 4 所以sin(α－β)＝ ，cos(α＋β)＝－ ， 13 5 所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)] ＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) 3 12 4 5 56 ＝－ × ＋(－ )× ＝－ . 5 13 5 13 65
a ， cos φ＝ 2 2 a ＋b b ， 其中 sin φ＝ 2 2 a ＋ b b tan φ＝ ， a
角 φ 称为辅助角．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1 3 1．若cos(α＋β)＝ ，cos(α－β)＝ ，则tan α·tan β的值为( 5 5 1 A. 2 B. 1 3 C. 1 5 1 D. 15
① ②
①2＋②2，得1＝2－2(cos αcos β＋sin αsin β)， 1 即cos(α－β)＝ . 2 π 因为sin α＋sin γ＝sin β，且α、β、γ∈(0， )， 2 π 所以sin α<sin β，故α<β，所以α－β＝－ . 3
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
1． 对公式的掌握， 既要能正用， 还要进行逆用及变形使用． 记 忆公式要注意角、 三角函数名称排列以及连接符号“＋”“－” 的变化特点，要掌握一些常见的变形使用 ，如 tan(α ＋ β) ＝ tan α＋tan β 的变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α· tan β)等． 1－tan αtan β 2．明确变形目标，重视角的变换，注意角的范围．确定变 形的目标和方向很重要， 根据所求目标及条件常可对角进行一些 变换，如 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β) π π －β，α＋ ＝(α＋β)－(β－ )等等，再根据条件确定角的范围，计 3 3 算有关函数值．
初中数学知识归纳三角形的三边关系与角平分线
初中数学知识归纳三角形的三边关系与角平分线初中数学知识归纳：三角形的三边关系与角平分线三角形是初中数学中的重要概念之一，而了解三角形的几何特性对于解决与之相关的问题至关重要。
本文将对三角形的三边关系以及角平分线的性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用这些数学知识。
一、三角形的三边关系在任意一个三角形ABC中，三条边分别为a, b和c，三个内角分别为A, B和C。
根据三边关系的性质，我们可以得到以下几个重要的结论：1. 三角形两边之和大于第三边：a + b > c，b + c > a，c + a > b。
这一结论可以通过数学推导进行证明，也可以从几何直观上理解。
当任意两条边之和小于或等于第三条边时，无法构成一个封闭的三角形，因此两边之和必须大于第三边。
2. 三角形两角之和小于180度：A + B < 180度，B + C < 180度，C + A < 180度。
同样地，这个结论可以通过几何推理或者解三角形的内角和定理进行证明。
由于一个完整的平面角为360度，这意味着三角形的内角和必然小于180度。
3. 三角形两边之差小于第三边：|a - b| < c，|b - c| < a，|c - a| < b。
这个结论可以通过几何推理和绝对值的性质进行证明。
当两条边之差大于或等于第三条边时，无法形成一个封闭的三角形，因此两边之差必须小于第三边。
二、三角形的角平分线在三角形ABC中，角的平分线是指从角的顶点出发，将角分为两个相等的角的线段。
根据角平分线的性质，我们可以得到以下几个重要的结论：1. 角平分线将对边分成相等的线段。
当一条角的平分线将一个三角形的内角分为两个相等的角时，它同时也将对边分为两个相等的线段。
这是因为角平分线将角分成两个相等的部分，从而将对边也分成相等的部分。
2. 三角形的三个角的平分线交于一点。
对于一个三角形ABC来说，三个角的平分线AA'、BB'和CC'交于一点O，称为三角形的内心。
三角形的所有性质
三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。
界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
7.一个三角形最少有2个锐角。
8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a??+b??=c??那么这个三角形就一定是直角三角形。
三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形 第三节 两角和与差的三角函数
π
2
(1)sin α- 6
π
2α-3
cos
1
=1- cos
2
π
2
+sin α+ 6
+cos
1
α= ,故选
2
2
2α-sin
π
2α+ 3
π
3
1-cos (2 - )
-sin2α=
-sin
1
α=12
2
2
2cos
+
π
3
1-cos (2+ )
π
2α·cos3
2
-sin2α=
-sin2α
A.
(2)(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+tan(α+β)(1-tan αtan β)
π
,π
2
,求 tan α 的值.
解 由已知得 2sin αcos α=-sin α,因此 cos
故 tan α=- 3.
1
α=-2,又
π
α∈(2 ,π),所以
sin
3
α= 2 ,
研考点 精准突破
考点一
和、差、倍角公式的简单应用
题组(1)(2023·江苏扬州高三模拟)已知 sin
A.- 3
B.-
3
3
π
- 2 ,0
π
-α
2
,则 tan 2α=(
3
D.±3
,且 2cos 2α=sin
π
α+ 4
)
3
B.4
3
A.-4
初中数学几何图形的性质与判定方法总结
初中数学几何图形的性质与判定方法总结初中数学中，几何图形是重要的学习内容之一，它们具有各种性质和特点，也有相应的方法来判定它们。
本文将对初中数学中常见的几何图形的性质和判定方法进行总结和讨论。
一、三角形的性质与判定方法三角形是初中数学中最基本的几何图形之一，它具有以下性质：1. 三角形的内角和为180度：对于任意三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°。
2. 三角形的外角和为360度：三角形的三个外角和等于360度。
3. 三角形的边长关系：在△ABC中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
4. 等边三角形：三条边的边长相等的三角形。
5. 等腰三角形：两边的长度相等的三角形。
6. 直角三角形：其中一个角为90度的三角形。
三角形的判定方法主要有以下几种：1. 三边判定法：如果三条边的边长满足任意两边之和大于第三边的关系则可构成三角形。
2. 两边夹角大于第三边判定法：如果两边之间的夹角大于第三边的夹角则可构成三角形。
3. 两角和大于直角判定法：如果两个角之和大于90度则可构成三角形。
4. 两角差小于直角判定法：如果两个角之差小于90度则可构成三角形。
二、四边形的性质与判定方法四边形是由四条线段构成的几何图形，它具有以下性质：1. 四边形的内角和为360度：对于任意四边形ABCD，有∠A+∠B+∠C+∠D=360°。
2. 平行四边形：具有两组对边平行的四边形。
3. 矩形：具有四个内角都是90度的平行四边形。
4. 菱形：具有四条边都相等的平行四边形。
5. 正方形：具有四个内角都是90度且四条边都相等的矩形。
对于四边形的判定方法主要有以下几种：1. 两组对边平行判定法：如果四边形的两组对边都平行，则可判定为平行四边形。
2. 具有相等邻边且对角线互相平分判定法：如果四边形的相对边相等且对角线互相平分，则可判定为菱形。
3. 具有相等邻边且相对边垂直判定法：如果四边形的相对边相等且相对边垂直，则可判定为矩形。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。