分治算法设计
算法分析与设计教案
算法分析与设计课程教案课程编号：50c24037-01总学时：51 周学时：4适用年级专业（学科类）：2007级计科专业开课时间：2010－2011 学年第1 学期使用教材：王晓东编著计算机算法设计与分析第3版章节第1章1.1~ 1.2 第2 章2.1 课时 2教学目的理解程序与算法的概念、区别与联系；掌握算法在最坏情况、最好情况和平均情况下的计算复杂性概念；掌握算法复杂性的渐近性态的数学表述；理解递归的概念。
教学重点及突出方法重点：程序与算法的概念、算法的时间复杂性、算法复杂性的渐近性态的数学表述以及递归的概念。
通过讲解、举例方法。
教学难点及突破方法难点：算法复杂性与递归通过讲解、举例、提问与引导方法。
相关内容此部分内容基础知识可参考清华大学出版社出版严蔚敏编著的《数据结构》教学过程（教师授课思路、设问及讲解要点）回顾数据结构课程中的算法概念、排序算法等知识，从而引出本课程内容。
提问算法与程序的区别、联系以及算法具有的特性。
讲解算法的复杂性，主要包括时间复杂性与空间复杂性。
讲解最坏情况、最好情况与平均情况的时间复杂性。
讲解算法复杂性在渐近意义下的阶，主要包括O、Ω、θ与o，并通过具体例子说明。
通过具体例子说明递归技术。
主要包括阶乘函数、Fibonacci数列、Ackerman函数、排列问题、整数划分问题、Hanoi塔问题等。
第页章节第2 章2.2~2.5 课时 2 教学目的掌握设计有效算法的分治策略，并掌握范例的设计技巧，掌握计算算法复杂性方法。
教学重点及突出方法重点：分治法的基本思想及分治法的一般设计模式。
通过讲解、举例方法。
教学难点及突破方法难点：计算算法复杂性。
通过讲解、举例、提问与引导方法。
相关内容素材教（教师授课思路、设问及讲解要点）学过程通过生活中解决复杂问题的分解方法，引出分治方法。
讲解分治法的基本思想及其一般算法的设计模式，介绍分治法的计算效率。
通过具体例子采用分治思想来设计有效算法。
分治算法
65 97
13 76
38 49 65 97
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归 调用
49 38 65 97 76 13 27
38 49
65 97
13 76
27
38 49 65 97
题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
T(n)
=
n
递归的概念
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这 就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复 应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其 规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求 出其解。这自然导致递归过程的产生。
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数 自身给出定义的函数称为递归函数。
黑盒划分典型问题—合并排序
【例5】合并排序
任务描述：任意给定一包含n个整数的集合，把n个整数按升序排列。 输入：每测试用例包括两行，第一行输入整数个数，第二行输入n个整 数，数与数之间用空格隔开。最后一行包含-1，表示输入结束。 输出：每组测试数据的结果输出占一行，输出按升序排列的n个整数。 样例输入：
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归调用 自然合并排序
49 38 65 97 76 13 27
49
38 65 97
76
13 27
38 49 65 97
黑盒划分典型问题—逆序对问题
算法设计与分析实验报告
实验一找最大和最小元素与归并分类算法实现（用分治法）一、实验目的1．掌握能用分治法求解的问题应满足的条件；2．加深对分治法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。
二、实验内容1、找最大和最小元素输入n 个数，找出最大和最小数的问题。
2、归并分类将一个含有n个元素的集合，按非降的次序分类（排序）。
三、实验要求（1）用分治法求解问题（2）上机实现所设计的算法；四、实验过程设计（算法设计过程）1、找最大和最小元素采用分治法，将数组不断划分，进行递归。
递归结束的条件为划分到最后若为一个元素则max和min都是这个元素，若为两个取大值赋给max，小值给min。
否则就继续进行划分，找到两个子问题的最大和最小值后，比较这两个最大值和最小值找到解。
2、归并分类使用分治的策略来将一个待排序的数组分成两个子数组，然后递归地对子数组进行排序，最后将排序好的子数组合并成一个有序的数组。
在合并过程中，比较两个子数组的首个元素，将较小的元素放入辅助数组，并指针向后移动，直到将所有元素都合并到辅助数组中。
五、源代码1、找最大和最小元素#include<iostream>using namespace std;void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin); int main() {int n;int left=0, right;int fmax, fmin;int num[100];cout<<"请输入数字个数：";cin >> n;right = n-1;cout << "输入数字:";for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}MAXMIN(num, left, right, fmax, fmin);cout << "最大值为：";cout << fmax << endl;cout << "最小值为：";cout << fmin << endl;return 0;}void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin) { int mid;int lmax, lmin;int rmax, rmin;if (left == right) {fmax = num[left];fmin = num[left];}else if (right - left == 1) {if (num[right] > num[left]) {fmax = num[right];fmin = num[left];}else {fmax = num[left];fmin = num[right];}}else {mid = left + (right - left) / 2;MAXMIN(num, left, mid, lmax, lmin);MAXMIN(num, mid+1, right, rmax, rmin);fmax = max(lmax, rmax);fmin = min(lmin, rmin);}}2、归并分类#include<iostream>using namespace std;int num[100];int n;void merge(int left, int mid, int right) { int a[100];int i, j,k,m;i = left;j = mid+1;k = left;while (i <= mid && j <= right) {if (num[i] < num[j]) {a[k] = num[i++];}else {a[k] = num[j++];}k++;}if (i <= mid) {for (m = i; m <= mid; m++) {a[k++] = num[i++];}}else {for (m = j; m <= right; m++) {a[k++] = num[j++];}}for (i = left; i <= right; i++) { num[i] = a[i];}}void mergesort(int left, int right) { int mid;if (left < right) {mid = left + (right - left) / 2;mergesort(left, mid);mergesort(mid + 1, right);merge(left, mid, right);}}int main() {int left=0,right;int i;cout << "请输入数字个数：";cin >> n;right = n - 1;cout << "输入数字:";for (i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}mergesort(left,right);for (i = 0; i < n; i++) {cout<< num[i];}return 0;}六、运行结果和算法复杂度分析1、找最大和最小元素图1-1 找最大和最小元素结果算法复杂度为O(logn）2、归并分类图1-2 归并分类结果算法复杂度为O(nlogn）实验二背包问题和最小生成树算法实现（用贪心法）一、实验目的1．掌握能用贪心法求解的问题应满足的条件；2．加深对贪心法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。
《计算机算法设计与分析》课程设计
《计算机算法设计与分析》课程设计用分治法解决快速排序问题及用动态规划法解决最优二叉搜索树问题及用回溯法解决图的着色问题一、课程设计目的：《计算机算法设计与分析》这门课程是一门实践性非常强的课程，要求我们能够将所学的算法应用到实际中，灵活解决实际问题。
通过这次课程设计，能够培养我们独立思考、综合分析与动手的能力，并能加深对课堂所学理论和概念的理解，可以训练我们算法设计的思维和培养算法的分析能力。
二、课程设计内容：1、分治法：（2）快速排序；2、动态规划：（4）最优二叉搜索树；3、回溯法：（2）图的着色。
三、概要设计：分治法—快速排序：分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。
递归地解这些子问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
分治法的条件：（1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；（2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；（3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；（4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
抽象的讲，分治法有两个重要步骤：（1）将问题拆开；（2）将答案合并；动态规划—最优二叉搜索树：动态规划的基本思想是将问题分解为若干个小问题，解子问题，然后从子问题得到原问题的解。
设计动态规划法的步骤：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；（2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；（3）以自底向上的方式计算出最优值；（4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
●回溯法—图的着色回溯法的基本思想是确定了解空间的组织结构后，回溯法就是从开始节点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始节点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的或节点，并成为当前扩展结点。
算法设计与分析(霍红卫)-第2章-分治法
第2章 分 治 法
我们可以很容易解决这个问题。利用这样一个事实：渐近 表示法只要求对n≥n0，T(n)≤cn lb n成立，其中n0是一个可以选择 的常数。由于对于n>3，递归方程并不直接依赖T(1)，因此可设 n0=2，选择T(2)和T(3)作为归纳证明中的边界条件。由递归方程 可得T(2)=4和T(3)=5。此时只要选择c≥2，就会使得T(2)≤c·2·lb 2 和 T(3)≤c·3·lb 3 成 立 。 因 此 ， 只 要 选 择 n0=2 和 c≥2 ， 则 有 T(n)≤cn lb n成立。
3ic(n/4i)2=(3/16) icn2 i=0，1，…，log4n-1
深度为log4n的最后一层有3log4 n nlog4 3 个结点，每个结点的
开销为T(1)，该层总开销为 nlog4 3T (1) ，即 Θ(nlog4 3)。
第2章 分 治 法
将所有层的开销相加得到整棵树的开销：
T (n) cn2
T(n)=2T(n/2)+n ≤2(c［n/2］lb［n/2］)+n =cn lb n/2+n =cn lb n-cn lb 2+n =cn lb n-cn+n =cn lb n-(c-1)n
最后一步在c≥1时成立。≤cn lb n
第2章 分 治 法
下面证明猜测对于边界条件成立， 即证明对于选择的常 数c，T(n)≤cn lb n对于边界条件成立。 这个要求有时会产生 一些问题。 假设T(1)=1是递归方程的惟一边界条件，那么对 于n=1，T(1)≤c·1·lb 1=0与T(1)=1发生矛盾。因此，归纳法中 的归纳基础不成立。
3
cn2
3
2
cn2
3
分治法实验报告
算法实验报告一分治法实验一、实验目的及要求利用分治方法设计大整数乘法的递归算法，掌握分治法的基本思想和算法设计的基本步骤。
要求：设计十进制的大整数乘法，必须利用分治的思想编写算法，利用c语言（或者c++语言）实现算法，给出程序的正确运行结果。
（必须完成）设计二进制的大整数乘法，要求利用分治的思想编写递归算法，并可以实现多位数的乘法（利用数组实现），给出程序的正确运行结果。
（任选）二、算法描述1、输入两个相同位数的大整数u，v 输出uv的值判断大整数的位数i；w=u/10^(i/2);y=v/10^(i/2);x=u-w*10^(i/2);z= v-y*10^(i/2);然后将w,x,y,z代入公式求得最后结果uv=wy10^i+((w+x)(y+z)-wy-xz)10^(i/2)+xz三、调试过程及运行结果在实验中我遇到的问题：原来以为这两个大整数的位数不同，结果题目要求是相同位数的大整数在写10的多少次方时，写的是10^(i/2),10^(i)，结果不对，我就将它改成了for循环语句四、实验总结在本次实验中，我知道了分治算法，以及分治算法的基本思想。
我还掌握了编写大整数乘法的算法与步骤，以及如何修改在编写程序时遇到的问题。
五、附录（源程序代码清单）1、#include<iostream.h> int weishu(int x){int i;while(x!=0){ x=x/10;i++;}return i;}void main(){int u,v;cout<<输入两个位数相同的大整数:<<endl; cin>>u;cin>>v;int i,j,m,n;int p,x,y,z,w;int a=1;int b=1;i=weishu(u);for(int k=1;k<=i;k++){a=a*10;}for(int q=1;q<=i/2;q++) {b=b*10;}w=u/b;y=v/b;x=u-w*b;z=v-y*b;p=w*y*a+((w+x)*(y+z)-w*y-x*z)*b+x*z; cout<<u<<*<<v<<=<<p; }教师评语：成绩：√优良中及格不及格算法实验报告二动态规划法实验一、实验目的及要求利用动态规划方法设计背包问题算法，掌握动态规划法的基本思想和算法设计的基本步骤。
计算思维之常用算法设计
计算思维之常用算法设计算法是计算机解决问题的一种方法或者步骤。
在计算思维中，算法设计是非常重要的一部分，它涉及到如何将一个问题转化为计算机可以理解和处理的问题，通过编写算法来解决这些问题。
常用的算法设计方法有很多，下面将介绍一些常见的算法设计思路和方法。
1.贪心算法贪心算法是一种通过每一步的局部最优解来寻找全局最优解的方法。
贪心算法通常用于解决问题的最优解不一定是全局最优的情况，而是局部最优解可以推出全局最优解的问题。
贪心算法的核心思想是每一步只考虑局部最优解，并希望通过每一步的局部最优解能够得到全局最优解。
2.分治算法分治算法是一种将一个大问题分解成若干个小问题并逐个解决，最后将这些小问题的解合并成整个问题的解的方法。
分治算法通常用于解决大规模的问题，通过将问题分解为规模较小的子问题来解决，在解决子问题的过程中，可以使用递归或循环等方式。
3.动态规划算法动态规划算法是一种通过将问题分解成重叠子问题，并使用递推关系来解决子问题的方法。
动态规划算法通常用于解决最优化问题，通过定义状态和状态转移方程来描述问题，然后使用递推或迭代的方式来求解问题的最优解。
4.回溯算法回溯算法是一种通过尝试所有可能的解，并在尝试的过程中进行判断来寻找符合条件的解的方法。
回溯算法通常用于解决在问题空间中寻找满足约束条件的解的问题，通过在过程中进行剪枝和回溯的操作，可以有效地到符合条件的解。
5.分支界限算法分支界限算法是一种通过对问题的空间进行分支和界限的方式来寻找满足约束条件的解的方法。
分支界限算法通常用于解决优化问题，通过对问题的空间进行分支和剪枝的操作，可以有效地到最优解或近似最优解。
除了以上几种常见的算法设计方法外，还有一些其他的算法设计思路和方法，如模拟退火算法、遗传算法、神经网络等。
不同的问题需要使用不同的算法设计思路和方法来解决，因此在实际应用中需要根据问题的特点选择合适的算法设计方法。
总的来说，算法设计是计算思维中的重要内容，它涉及到如何将问题转化为计算机可以理解和处理的问题，通过编写算法来解决这些问题。
算法设计与分析实验报告
算法设计与分析报告学生姓名学号专业班级指导教师完成时间目录一、课程内容 (3)二、算法分析 (3)1、分治法 (3)（1)分治法核心思想 (3)（2）MaxMin算法分析 (3)2、动态规划 (4)（1）动态规划核心思想 (4)（2）矩阵连乘算法分析 (5)3、贪心法 (5)(1）贪心法核心思想 (5)（2）背包问题算法分析 (6)（3）装载问题算法分析 (7)4、回溯法 (7)（1）回溯法核心思想 (7)（2)N皇后问题非递归算法分析 (7)(3）N皇后问题递归算法分析 (8)三、例子说明 (9)1、MaxMin问题 (9)2、矩阵连乘 (10)3、背包问题 (10)4、最优装载 (10)5、N皇后问题(非递归） (11)6、N皇后问题(递归) (11)四、心得体会 (12)五、算法对应的例子代码 (12)1、求最大值最小值 (12)2、矩阵连乘问题 (13)3、背包问题 (15)4、装载问题 (17)5、N皇后问题(非递归） (19)6、N皇后问题(递归） (20)一、课程内容1、分治法,求最大值最小值，maxmin算法；2、动态规划，矩阵连乘，求最少连乘次数；3、贪心法，1）背包问题，2）装载问题；4、回溯法，N皇后问题的循环结构算法和递归结构算法。
二、算法分析1、分治法（1）分治法核心思想当要求解一个输入规模为n,且n的取值相当大的问题时，直接求解往往是非常困难的。
如果问题可以将n个输入分成k个不同子集合，得到k个不同的可独立求解的子问题，其中1<k≤n, 而且子问题与原问题性质相同,原问题的解可由这些子问题的解合并得出。
那末，这类问题可以用分治法求解。
分治法的核心技术1)子问题的划分技术.2）递归技术。
反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出不用进一步细分就可求解的子问题。
3)合并技术.（2）MaxMin算法分析问题：在含有n个不同元素的集合中同时找出它的最大和最小元素。
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安徽文达信息工程学院学生实验报告（计算机语言编程类适用）
一、【实验目的】
1.熟悉分治算法思想。
2.验证具体问题算法的设计及程序实现。
二、【实验内容】
1、有N枚硬币，其中一枚是假币，假币和真币重量不同，可以用一个没有刻度的天平测，求出假币是哪一枚，现要求采用分治法解决，请写出算法设计思路。
(不需要编程)
答：（1）N为偶数时，将N枚硬币分成N/2，N/2的两份将第一份分成N/4，N/4的两份，分别置于天平两端，如果天平倾斜，则假币在第一份N/2中，反之水平，则假币在第二份N/2中;
（2）N为奇数时，将N枚硬币分成（N+1）/2，（N-1）/2的两份,将第一份分成（N+1）/4，(N+1)/4的两份，分别置于天平两端，如果天平倾斜，则假币在第一份(N+1)/2中，反之水平，则假币在第二份(N-1)/2中，
（3）将含假币的的币数赋值给N，N为偶数执行步骤（1），N为奇数执行步骤（2），如此执行直至找出含假币的2或3枚硬币，如果是2枚硬币则找1枚硬币构成3枚，3枚则直接两两置于天平两端，找到使天平水平的两枚硬币，则假币是剩下的硬币。
2、格雷码问题：
对于给定的正整数n，格雷码为满足如下条件的一个编码序列：
(1) 序列由2n个编码组成，每个编码都是长度为n的二进制位串。
(2) 序列中无相同的编码。
(3) 序列中位置相邻的两个编码恰有一位不同。
例如：n=1时的格雷码为：{0, 1}。
n=2时的格雷码为：{00, 01, 11, 10}。
n=3时的格雷码为：{000, 001, 011, 010,110,111,101,100}。
gray码问题求解思想：
将一个规模n位gray码序列表示为G(n), G(n)以相反顺序排列的序列表示为G’(n)。
则gray 码的构造规则即子问题的划分规则为：G(n+1)= 0G(n) 1G’(n) 或G(n+1)= G(n) 0G’(n)1。
请尝试编写程序，完成格雷码问题的处理。
三、【实验步骤】（可附页）
体会：教师评语：。