高等流体力学课后习题
高等流体力学各章习题汇总
式中是 u 速度, dS 是流动方向的微元弧长. 7. 试证明对于滞止焓 h0 有以下方程成立
t ( h0 ) x j ( u j h0 ) p t x j ( ij u i k T x j ) fiu i
滞止焓
h0 h
1 u u 2
8.一个物质体系V 分为V1和V2 两部分, Σ 是V1和V2的分界面, S 是V的 边界曲面, 设交界面Σ以速度 u 运动,在 Σ 两侧物理量 F 有一个跃变. 试导出推广的雷诺输运公式
Dt
V
D
FdV
V
F t
dV
S
F V nd S
第五章 教科书 5.5, 5.6, 5.7 4. 证明在球坐标系下 (
A r
2
co s B r ) sin
2 2
可表示不可压缩流体
某轴对称无旋流动中的流函数,并求其速度势.
5. 已知流体绕流圆球的势函数
的力.
( r , ) U ( r
a
3 2
) co s
2r
, 式中 a 是
2
2
（1）沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量,
0 x 10, y 0; 0 y 5, x 10; 0 x 10, y 5; 0 y 5, x 0.
（2）求涡量 ，然后求
n dA
A
式中A是 (1) 中给出的矩形面积， 是此面积的外单位法线矢量。
u i t u
j
t
u j
x
ij j
x k
流体力学课后习题答案(第一章)
F 13.1N
M F d 1 13.1 2 2 M 6.55 N m
P F P 13.11 13.1W
答：所需扭矩 M 6.55 N m ，轴功率 P 13.1W 。 1-6 如题图 1-6 所示，两无限大的平板、间隙为 d，假定液体速度 分布呈线性分布。液体动力粘度 m=0.6510-3Pa，密度 r=879.12kg/m3 。 计算：
E 1 2 1 2 m 1 30.48 2 2 E 464.5W 464.5 N m2
的速度移动。
E 464.5W kg 464.5 N m2
（2）求空气的单位体积动能
p RT ， R 287 J kg K
p 2.756 105 3.265 kg m3 RT 287 273 21.1
-7-
滑表面匀速下滑，已知：u=1m/s，油膜厚度 d=1mm。求润滑油的动力粘 度系数？
δ=1mm F N u=1m/s mg
5
13
12
题图 1-8 解：因油膜很薄，可以认为速度梯度成直线，符合牛顿内摩擦定律。
F A A
1 180 1 103
F 0.4 0.45
又因为物体做匀速运动，所以有
180 mg 12 13 5 13
180 5 9.81
0.105 Pa s
答：润滑油的动力粘度系数为 0.105 Pa s 。 1-9 如题图 1-9 所示，旋转圆锥体，底 边直径 D=15.2mm，高 h=20cm，油膜充 满锥体和容器的隙缝， 缝隙=0.127mm， 油的动力粘度系数=1.8410-3Pa。 求圆 锥相对容器以等 角速度 120r/min 旋转时所需要的力矩。
高等流体力学各章习题汇总
(1). 证明圆周 x 2
y a
2
2
上的任意一点的速度都与 y 轴平行,且此
速度大小与 y 成反比. (2). 求 y 轴上的速度最大点;
(3). 证明 y 轴是一条流线.
7. 已知速度势φ, 求相应流函数ψ. (1). (2).
xy
x x y
2 2
b
b
U p
8. 求图示不脱体绕流平板上下表面压强, 压强系数和速度分布.
2
2
（1）沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量,
0 x 10, y 0; 0 y 5, x 10; 0 x 10, y 5; 0 y 5, x 0.
（2）求涡量 ，然后求
n dA
A
式中A是 (1) 中给出的矩形面积， 是此面积的外单位法线矢量。
u i t u
j
t
u j
x
ij j
x k
u j u k
ij
xi
f
j
可简化为
u i x
j
fi
6. 流体在弯曲的变截面细管中流动,设 A 为细管的横断面积, 在 A 断面上的流动物理量是均匀的,试证明连续方程具有下述形式,
L1
C
L2
第四章 教科书 4.1, 4.4, 4.7, 4.12 5. 设复位势为
F ( z ) m ln ( z 1 z )
(1). 问流动是由哪些基本流动组成; (2). 求流线方程;
(3). 求通过 z i 和 z
1 2
两点连线的流体体积流量.
6. 在点 (a, 0), ( -a, 0) 上放置等强度的点源,
高等流体力学课后习题
【1.4】 理想流体的特征是： a ）黏度是常数； （ （b）不可压缩； （c）无黏性； （d）符合 解：不考虑黏性的流体称为理想流体。 【1.5】 当 水 的 压 强 增 加 一 个 大 气 压 时 ，水 的 密 度 增 大 约 为 ： （ 000； d） 1/2 000。 （
解：牛顿内摩擦定律是
dv dv d d dy ，而且速度梯度 dy 是流体微团的剪切变形速度 dt ，故 dt 。
（b ）
【1.3】 流体运动黏度 υ 的国际单位是： a ）m2/s； （ （b）N/m2； （c）kg/m； （d）N· 2。 s/m 解：流体的运动黏度 υ 的国际单位是 m /s 。
。
（c）
a ）1/20 000； b）1/1 000； c）1/4 （ （
1 20 000 。
d
解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约 （a） 【1.6】 从力学的角度分析， 一般流体和固体的区别在于流体： a ） （ 能承受拉力， 平衡时不能承受切应力； （b） 不能承受拉力，平衡时能承受切应力； （c）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力； （d）能承受拉力， 平衡时也能承受切应力。 解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切应力。 （c） 【1.7】下 列 流 体 哪 个 属 牛 顿 流 体 ： a ） 汽 油 ； b） 纸 浆 ； c） 血 液 ； d） 沥 青 。 （ （ （ （ 解：满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。 （a） 【1.8】 15 C 时空气和水的运动黏度 空气 15.2 10 m /s ，水 1.146 10 m /s ， 这说明： 在运动中 a ） （ 空气比水的黏性力大； （b）空气比水的黏性力小； （c）空气与水的黏性力接近； （d）不能直接比较。 解：空气的运动黏度比水大近 10 倍，但由于水的密度是空气的近 800 倍，因此水的黏度反而比空气 大近 50 倍，而 黏性力除了同 流体的黏度 有关，还和 速度梯度有 关，因此它们 不能直接比 较。
高等流体力学习题
真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。
1 / 71、 柱坐标下V V ⋅∇的表达式（112233V V e V e V e =++）：()()()()()()2211i i i i i i ji i j i i j j j j j j i j j i j j i i i i i i ii i j j j j j i i j j i j i i iV e V e V V V e e V e e e V h q h q q V VV V VV h V e V e V V e e i j i j e e i j h q h q h q h q h h q h q ⎡⎤⎡⎤∂⎛⎫∂∂⎢⎥⋅∇=⋅=⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂∂∂=+≠+==+≠+∂∂∂∂∂∂1321231,;,,h h h r q r q q zε======2121122222121311323332133dV V dV dV V dV V dVdV V V =V ++V e +V ++V +e dr r d dz r dr r d dz r dV dVdV V +V ++V e dr d dz V V r εεε∴⋅∇⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭2、 利用哈密尔顿算子证明以下各式： (1)()a =0∇⋅∇⨯()()2222221233132231121222331213a j ji i i j i j ijk k i ii j i j i j ae x aaaa =e e e e e e e e x x x x x x x x a a a e e e e e e x x x x x x a e ⎛⎫∂∂⨯ ⎪ ⎪∂∇⨯∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎝⎭∇⋅∇⨯⋅=⋅=⋅⨯=⨯⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂+223312321212131320a ae e e e e x x x x x x ∂∂⋅+⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂(2) ()0ψ∇⨯∇=()()22222123313223213232121311121222213331323212i i jijk k i i j i j =e e e e e x x x x x e e e e e e x x x x x x e e e e e e x x x x x x ψψψψψψψψψψ⎛⎫∂∇⨯∂∂∇⨯∇⨯=⨯= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂(3)()()()a b a b b a∇⋅⨯=∇⨯⋅-∇⨯⋅()()()()i iiiii iiia b a b a b a b e e b a e b e a a b b ax x x x dx ∂⨯⎛⎫∂∂∂∂∇⋅⨯=⋅=⋅⨯+⨯=⨯⋅-⨯⋅=∇⨯⋅-∇⨯⋅⎪∂∂∂∂⎝⎭(4)()()()a b a b a b b a b a∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⋅∇+⨯∇⨯()()iiiiiia b a b a b e e b e a a b b ax x x ⋅∇⋅=⋅∂∂∂=∂∂∂+⋅=∇⋅+∇⋅()()b b b b ba a i i ii i i i i i i a b e e a e e a a e b a a b x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⨯∇⨯=⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=∇⋅-⋅∇ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()i i ii i i i i i i a a a a ab a b e b e b e e b b e a b b a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⨯∇⨯=⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=∇⋅-⋅∇ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、 如果n 为闭曲面A 上的微元面dA 的单位外法线向量，12,ϕϕ是闭曲面满足20ϕ∇=的两个不同的解，试证明：（38页，6）（1）AndA=0⎰⎰（2）2112AAdA dA nn ϕϕϕϕ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰证明：（1）1AndA=d 0ττ∇=⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()211221122112212212122121221221120AAAAdA dA n n dAn n n n dA d d d τττϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕτϕϕϕϕϕϕϕϕτϕϕϕϕτ∂∂-=⋅∇-⋅∇∂∂⎡⎤=⋅∇-⋅∇=∇⋅∇-∇⎣⎦=∇+∇∇-∇-∇∇=⋅⋅=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有两族平面正交曲线()(),,,x y c x y dζη==，已知22,2x y y ζ=-=时4x η=，求()x,y η，（40页，10）解：,ηζ正交=0x x y y ζηζη∂∂∂∂∴+∂∂∂∂即2x 2y =0x y ηη∂∂-∂∂40y y =22x 4-22x ηη∂∂=⋅⨯=∂∂当时，，代入得22y x xy cηη∂∴=⇒=+∂ 240y x c η===由时，知2xy η∴=求半径为a 的四分之一圆的垂直平面上流体的总的作用力F 和压力中心C 的位置，已知0x 与流体自由水平面重合，自由面上压力为零。
(完整word版)《高等流体力学》习题集
《高等流体力学》复习题一、 基本概念1． 什么是理想流体？正压流体，不可压缩流体？ [答]：教材P57当流体物质的粘度较小，同时其内部运动的相对速度也不大，所产生的粘性应力比起其它类型的力来说可以忽略不计时，可把流体近似地看为是无粘性的，这样无粘性的流体称为理想流体。
内部任一点的压力只是密度的函数的流体，称为正压流体。
流体的体积或密度的相对变化量很小时，一般可以看成是不可压缩的，这种流体就被称为不可压缩流体。
2． 什么是定常场；均匀场；并用数学形式表达。
[答]：如果一个场不随时间的变化而变化，则这个场就被称为定常场。
其数学表达式为：)(ϕϕ=如果一个场不随空间的变化而变化，即场中不显含空间坐标变量r ，则这个场就被称为均匀场。
其数学表达式为：)(t ϕϕ=3． 理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无粘性？为什么？ [答]：理想流体运动时无切应力。
粘性流体静止时无切应力。
但是，静止时无切应力，而有粘性。
因为，粘性是流体的固有特性。
4． 流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？ [答]：教材P119-123如果流体运动是无旋的，则称此流体运动为有势运动。
对于无旋流动来说，其速度场V 总可以由某个速度标量函数（场）),(t r φ的速度梯度来表示，即φ∇=，则这个标量函数（场）),(t φ称为速度场V 的速度势函数。
无旋运动与有势运动的关系：势流运动与无旋运动是等价的，即有势运动是无旋的，无旋运动的速度场等同于某个势函数的梯度场。
5． 什么是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？（什么样的流体具有流函数？） [答]：6． 平面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？ [答]：教材P126-127理想不可压缩流体的平面无旋运动，可用复变位势描述。
7． 什么是第一粘性系数和第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？Stokes 假设的基本事实依据是什么？ [答]：教材P89第一粘性系数μ：反映了剪切变形对应力张量的贡献，因此称为剪切变形粘性系数； 第二粘性系数μ’：反映了体变形对应力张量的贡献，因而称为体变形粘性系数。
高等流体力学-习题集
由题可得速度场 ，则由 得 ，解微分方程得 ，即为流体质点运动的拉格朗日表达式,其中 为任意常数。
则 ，
得速度的拉格朗日表达式为：
得加速度的拉格朗日表达式为：
4、已知质点的位置表示如下：
求：（1）速度的欧拉表示；
（2）加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求 及 的值；
（3）过点 的流线及 在 这一质点的迹线；
由迹线微分方程为 ，将 代入得质点轨迹方程为
(4)散度
旋度
涡线微分方程为 ，又因为 ，涡线微分方程转化为 ，即
涡线方程为
(5)速度梯度 = ，
∴应变率张量
∴旋转张量
5、已知拉格朗日描述为
（1）问运动是否定常，是否是不可压缩流体，是否为无旋流场；
（2）求t=1时在点（1,1,1）的加速度；
（3）求过点（1,1,1）的流线。
解：
6、已知 ，求
（1）速度的拉格朗日描述；
（2）质点加速度；
（3）散度及旋度；运动是否有旋；流体是否不可压；
（4）迹线及流线。
解：
(1)由 ，又由 得 ，由 得 。再由初始条件 得 ，则速度的拉格朗日描述为
(2)质点加速度为
(3)散度
（4）散度、旋度及涡线；
（5）应变率张量及旋转张量。
解：
(1)由 得
由题得 ，则速度的欧拉表示为
(2)加速度分量为 ，
则加速度的欧拉表示为 ;
则加速度的拉格朗日表示为 ；
当 时，
(3)流线微分方程式为 ，因为 所以，流线微分方程转化为 ，消去中间变量积分得 ，又因为 ，当 时，得到 =0， ，即过点(1,0,0)的流线为
高等流体力学
1、流体的运动用
高等流体力学习题
第一讲绪论习题：1.综述流体力学研究方法及其优缺点。
2.试证明下列各式：(1)grad(φ±ψ)=grad(φ)±grad(ψ)(2) grad(φψ)=ψgrad(φ)+φgrad(ψ)(3)设r= x i+y j+ z k，则=(4) 设r= x i+y j+ z k，求div(r)=？(5) 设r= x i+y j+ z k，则div(r4r)= ?3.给定平面标量场f及M点处上已知两个方向上的方向导数和，求该点处的grad f 第二讲应力张量及应变张量例2-1试分析下板不动上板做匀速运动的两个无限大平板间的简单剪切流动，，式中k为常数，且k=u0/b。
解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得再由式(2-18)可得所以II=k=u0/b。
流动的旋转张量R的分量不全为零说明流动是有旋流动，I=tr A=0表明流动为不可压缩流动，II=k表明了流场的剪切速率为常数。
第三讲流体的微分方程习题：试由纯粘流体的本构方程和柯西方程推导纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）。
第四讲流动的积分方程【例3－1】在均匀来流速度为V的流场中放置一个垂直于来流的圆柱体，经过若干距离后测得的速度分布如图所示，假设图示的控制体边界上的压力是均匀的，设流体为不可压缩的，其密度为ρ，试求:(1)流线1-2的偏移量C的表达式；(2)单位长度圆柱体的受力F的表达式。
解：(1)无圆柱体时流管进出口一样大（即流线都是直线，无偏移），进出口的流速分布也是相同的，而放入圆柱体之后出口处的流速分布变成图示的那样，即靠近中心线部分的流速变小，由于已经假定流体是不可压缩的流体，若想满足进出口流量相同——连续性方程，必然会导致流管边界会向外偏移，也就是说出口处流管的截面会增大。
因此，求解时可由进出口流量相等入手，设入口处平均流速为V，取宽度为L，所得的连续性方程应为：求得C=a/2(2)在流管的进出口截面1-1与2-2之间使用动量方程，即圆柱体的阻力应等于单位时间内流出2-2面的流体的动量与流入1-1面的流体的动量差，列x方向的动量方程可表示为则，F=-R【例3－2】试求如图所示的射流对曲面的作用力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⎧ y = c′x 2 ⎨ 3 ⎩ z = c′′x
1.5 已知流体质点的空间位置表示如下，
x = x0 , y = y0 + x0 ( e −2 t − 1), z = z0 + x0 ( e −3t − 1) ，
求 （1） 速度的欧拉表示； （2） 加速度的欧拉和拉格朗日表示； （3） 过点 (1,1,1) 的流线及 t = 0 时在 ( x0 , y0 , z0 ) = (1,1,1) 处的流体质点的迹线； （4）散度、旋度及涡线； （5）应变率张量和 旋转张量。 解： （1）速度欧拉表示
x = c1t , y = c2 et , z = c3
由 t = τ 时 ( x, y , z ) = ( x∗ , y∗ , z∗ )得
c1 = x∗τ −1 , c2 = y∗e −τ , c3 = z∗
将以上常数代入迹线方程，
高 等 流 体 力 学 习 题
第一章 课后练习题解
1.2 一速度场用 u =
x 2y 3z 描述， （1）求加速度的欧拉描述； （2）先求 , v= , w= 1+ t 1+ t 1+ t
矢径表示式 r = r ( x0 , y0 , z0 , t ) ，再求此加速度的拉格朗日描述； （3）求流线。
涡线方程，
x = c1 dy dz = −3 t −2e −2 t 3e ⇒ z=− 2 t ye + c2 3
（5）应变率张量和旋转张量
⎛ ⎜ 0 ⎜ S = ⎜ e −2 t ⎜ 3 −3t ⎜− e ⎝ 2
1.8
e −2 t 0 0
3 ⎞ ⎛ − e −3t ⎟ ⎜ 0 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ , A = ⎜ − e −2 t ⎟ ⎜ 3 −3 t 0 ⎟ ⎜− e ⎠ ⎝ 2
(2) 先求迹线 dx x dx dt = ⇒ = ⇒ ln x = ln(1 + t ) + c ⇒ dt 1 + t x 1+ t x = c1 (1 + t ) 同样可求得 y = c2 (1 + t ) 2， z = c3 (1 + t )3 由 t = 0 时，x = x0，y = y0，z = z0 得 c1 = x0，c2 = y0，c3 = z0 于是位置矢量可表示为， K K K K r = x0 (1 + t )i + y0 (1 + t ) 2 j + z0 (1 + t )3 k
u=
∂x ∂x0 ∂y ∂z = = 0, v = = −2 x0e −2 t = −2 xe −2 t , w = = −3x0e −3t = −3xe −3t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂u ∂v ∂w = 0, a y = = 4 x0e −2 t , a z = = 9 x0e −3t ∂t ∂t ∂t
将 ( x0 , y0 , z0 ) = (1,1,1) 分别代入题目给出的 x, y 和 z 表达式，即得迹线方程，
x = 1, y = 1 + e −2 t − 1 = e −2 t , z = 1 + e −3t − 1 = e −3t ∇ ⋅u = + + = 0 + ( −2 xe −2t ) + ( −3 xe−3t ) = 0 ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z G G G i j k G G G ∂ ∂ ∂ ∇×u = = 3e −3t j − 2e −2 t k ∂x ∂y ∂z −2 t 0 −2 xe −3xe −3t
（2）加速度拉格朗日表示
ax = ax =
加速度欧拉表示：
∂u ∂v ∂w = 0, a y = = 4 xe −2 t , a z = = 9 xe −3t ∂t ∂t ∂t （3）流线与迹线 由于 u = 0 ，这是一个平面流动问题，流线微分方程为 dy dz = = ds ⇒ −2 t −2 x0e −3x0e −3t y = −2 x0e −2 t s + c1 , z = −3x0e −3t s + c2
e −2 t 0 0
3 −3 t ⎞ e ⎟ 2 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
设速度场 u = x / t , v = y , w = 0 ，求经过空间固定点 ( x∗ , y∗ , z∗ ) 在 t 时刻的脉线方程。
解：将速度式代入迹线微分方程，
dx dy dz = = = dt 0 x/t y
积分得
由初始条件 s = 0, ( x, y , z ) = (1,1,1) ⇒ x = x0 = 1, c1 = 1, c2 = 1 ，于是，
x = 1, y = −2e −2 t s + 1, z = −3e −3t s + 1
消去参数 s 得流线方程，
x = 1, y =
2 ( z − 1) et + 1 3
加速度的拉格朗日描述，
∂2 [ x0 (1 + t )] = 0 ∂t 2 ∂2 ay = 2 ⎡ y0 (1 + t ) 2 ⎤ ⎣ ⎦ = 2 y0 ∂t ∂2 az = 2 ⎡ z0 (1 + t )3 ⎤ ⎦ = 6 z0 (1 + t ) ∂t ⎣ ax = (3) 求流线
s dx s 1 + ′e t = ds ⇒ ln x = + c1 ⇒ x = c1 x / (1 + t ) 1+ t
2s dy 2s ′ e1+t = ds ⇒ ln y = + c2 ⇒ y = c2 2 y / (1 + t ) 1+ t 3s dz 3s 1 ′ e +t = ds ⇒ ln z = + c3 ⇒ z = c3 3z / (1 + t ) 1+ t
从 x、y、z 表达式中消去s/ (1 + t ) 得
G
G
解：(1) 加速度的欧拉描述
ax =
Du ∂u x x 1 ∂u = +u =− + =0 Dx ∂t (1 + t )2 1 + t 1 + t ∂x 2y 2y 2 2y ∂v ∂v ay = +v =− + = 2 (1 + t ) 1 + t 1 + t (1 + t ) 2 ∂t ∂y 3z 3z 3 6z ∂w ∂w az = +w =− + = 2 (1 + t ) 1 + t 1 + t (1 + t ) 2 ∂t ∂z