信号与系统Z变换
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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cost信号与系统的z变换
cost信号与系统的z变换在信号与系统的领域中，cost信号是一种周期信号，具有连续时间和离散时间两种形式。
cost信号是一种正弦信号的变体，其数学表达式可以表示为：x(t) = A * cos(ωt + θ)其中，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，θ表示相位。
在连续时间下，cost信号的频谱是一个连续的函数，可以使用连续时间傅里叶变换来表示。
然而，在离散时间下，我们需要使用离散时间傅里叶变换（DTFT）来描述cost信号的频谱。
离散时间傅里叶变换是一种将离散时间信号转换到z域的变换方法。
z域是一个复平面，用于表示离散时间信号的频谱。
在z域中，cost信号的变换可以表示为：X(z) = (1/2) * [z^(-e^(jω) + z^(e^(-jω))]其中，X(z)表示cost信号在z域的频谱，z表示复平面上的变量，e 表示自然对数的底数。
通过对cost信号进行z变换，我们可以得到其在z域中的频谱。
频谱是信号在频率域中的表示，可以帮助我们分析信号的频率成分和特性。
在实际应用中，z变换对于数字滤波器的设计和分析非常重要。
通过将滤波器的差分方程进行z变换，我们可以得到滤波器在z域中的传递函数，从而分析滤波器的频率响应和性能。
z变换还可以用于离散时间系统的稳定性分析。
在z域中，通过分析系统的极点位置，我们可以判断系统是否稳定。
稳定性是系统分析和设计中一个重要的考虑因素，它决定了系统的性能和可靠性。
总结起来，cost信号与系统的z变换是信号与系统理论中的重要内容。
z变换可以帮助我们分析信号的频谱、设计数字滤波器以及分析系统的稳定性。
对于深入理解信号与系统的原理和应用具有重要意义。
通过学习和掌握z变换，我们可以更好地理解和应用信号与系统的知识。
(完整版)信号与系统z变换教学
当|a-1z|<1，即|z|<|a|时，收敛。
1
1
z
X (z) 1 1 a1z 1 az1 z a ,
| z || a |
Im(z)
xa
1 Re(z
Unit
circle
例 两个实指数信号之和
x[n] 7(1/ 3)n u[n] 6(1/ 2)n u[n]
X (z) {7(1/ 3)n u[n] 6(1/ 2)n u[n]}zn n
第10章 z变换
掌握Z 变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的Z 变换。 掌握求解信号Z 变换(包括正变换和反变换)的基本方法。 掌握运用Z 变换分析LTI 系统的方法。 掌握系统函数H(z)收敛域与系统因果稳定性的关系：定 性分析方法。
掌握系统的典型表示方法：H(z)、h[n]、差分方程、模拟 框图、信号流图、 零极点+收敛域图，以及它们之间的转 换。
X (z) X (re jw ) F{x[n]rn}
三、z变换的几何解释和收敛域
Z变换和DT信号傅立叶变换之间关系的讨 论和对CT信号的讨论几乎并行进行的，但 是一些重要的不同。
在z变换中当变量z的模为1，即z=ejω时，z 变换退化成DTFT。
傅立叶变换就是在复数z平面中，半径为1 的圆上的z变换。
离散时间信号的z变换定义为：
记作：
X (z) x[n]zn n
Z
x[n] X (z)
为了理解z变换和离散傅立叶变换之间的关系
z=rejw
则：
X ( z) X (re jw ) x[n](re jw )n n
因此，
(x[n]r n )e jwn n
Im(z) r
w 1 Re(z)
信号与系统第五章 Z变换
f(n) n n1 f(n)示意图 n2
F ( z)
n n1
n2
f (n) z
n
在这种情况下，有限长序列的Z变换收敛域为 |z|>0，即除了z=0外，序列Z变换在整个Z平面上收 敛。
信号处理基础 4) n1=n2=0
即f(n)=Aδ(n) ，A为常数，序列的Z变换为
0
F ( z ) A (n) z A
信号处理基础
收敛域的概念：
Z变换定义为无穷幂级数 之和，显然只有当幂 级数收敛，即
n
f ( n) z
n
时，Z变换才存在。
上式称为绝对可和条件 ，它是序列 f (n)的Z变换存 在的充分必要条件。
Z变换的收敛性取决于：序列和z的取值范围。如果 序列给定，则Z变换的收敛性取决于z的取值范围，我 们称所有使序列的Z变换绝对收敛的z值的集合为序列Z 变换的收敛域。
DTFT
F (e )
j
n
f ( n )e
jn
n
f (n)(e
j n
)
式中ejω 是 ω 的复函数，变量 ω 是实数。 也可看成是复数变量jω 的函数，这时ejω 就是复变函数。
信号处理基础
序列的傅里叶变换存在的充分条件为
n
f ( n)
F ( z) f (2) z f (1) z f (0) z f (1) z f (2) z ...
上式表明，序列的Z变换是复变量z-1 的幂级数， 其系数是序列的值。因此F(z)是复变函数，复变量z 代表Z平面中的点。 上述幂级数的项数等于序列的长度，且n<0的序 列值作为正次幂的系数，n>0的序列值作为负次幂 的系数。
信号与系统-Z变换
1
X (z) xnzn bn zn
n
n
bnzn 1 bnzn
n1
n0
若公比|b-1 z|＜1，即|z|＜|b|时此级数收敛。此时
X (z)
1
1 1 b1z
z
z b
zb
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
b
╳
Re[z] z b
收敛域零、极点分布
信号与系统（信息工程）
当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列， 它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此 序列进行Z变换得到
1
X (z) Zxn x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
右边序列
左边序列
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
R1
R2
o
Re[z]
信号与系统（信息工程）
例 ：已知无限长双边序列x(k)为
x(n) anu(n) bnu(n 1)
式中，|b|>|a|。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。
z
z 12
信号与系统（信息工程）
若
ZT
x1(n) X1(z)
Rx11 z Rx12
ZT
x2 (n) X 2 (z) Rx21 z Rx22
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
X (z)
n0
zn
1 1 z1
1 z
信号与系统（信息工程）
6.1.2 Z变换的收敛域
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
z变换通俗理解
z变换通俗理解（最新版）目录1.引言2.什么是 z 变换3.z 变换的作用和意义4.z 变换的通俗理解5.结论正文1.引言在信号与系统领域，z 变换是一种重要的数学工具，它能帮助我们分析和处理数字信号。
对于初学者来说，z 变换可能显得有些抽象和难以理解。
本文将从通俗的角度出发，介绍 z 变换的概念、作用和意义，希望能帮助大家更好地掌握这一知识点。
2.什么是 z 变换z 变换是一种数学变换方法，它将时间域（或空间域）的信号转换到频率域。
具体来说，z 变换是将一个离散信号（或线性时不变系统）的离散时间域表示转换为复频域表示。
这种变换可以让我们更直观地分析信号的频率特性，从而更好地理解和处理信号。
3.z 变换的作用和意义z 变换在信号与系统领域具有广泛的应用。
首先，通过 z 变换，我们可以将复杂的时间域问题简化为简单的频域问题，从而降低问题的复杂度。
其次，z 变换可以让我们更直观地分析信号的稳定性和系统的稳定性。
此外，z 变换还可以用于数字信号处理、控制系统设计等领域。
4.z 变换的通俗理解要通俗地理解 z 变换，我们可以从以下几个方面来考虑：（1）将时间域信号转换为频域信号：z 变换实际上是将一个时间域信号（离散信号）转换为频域信号的过程。
这样做的好处是，我们可以更直观地看到信号在不同频率上的成分，从而更好地分析信号的特性。
（2）简化问题：通过 z 变换，我们可以将复杂的时间域问题转化为简单的频域问题。
例如，在信号与系统中，我们常用 z 变换来分析系统的稳定性。
通过 z 变换，我们可以将系统的稳定性问题简化为判断系统的极点是否在单位圆内。
（3）可视化：z 变换还可以帮助我们可视化信号的频率特性。
通过绘制 z 平面上的频率响应，我们可以直观地看到信号的频率成分以及它们的相对大小。
5.结论总的来说，z 变换是一种重要的数学工具，它能帮助我们更好地分析和处理信号。
通过将时间域信号转换为频域信号，z 变换可以让我们更直观地了解信号的特性，从而更好地理解和处理信号。
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X1(z) (n m)zn zm n
z 0
X 2 (z) (n m)zn zm n
z
(3) x(n)=u(n)
X (z) u(n)zn
z
n
z 1
|z|>1
信号与系统（信息工程）
(4) x(n)= -u(-n-1)
X (z) [u(n 1)]zn
z
n
z 1
(5) x(n) anu(n)(a为实数.虚数.复数).
dz
由于n2x(n)=n［nx(n)］，得
Z[n2 x(n)]
z d
dz
z
d dz
X
( z )
信号与系统（信息工程）
例：已知x(n)=nu(n),求其Z变换及其收敛域。
解 ：u(n)的Z变换
U(z)
1 1 z1
,
z
1
由z域微分特性可知，
x(n) nu(n) X (z) z d U (z) dz
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
例 ：已知x(n)= u(n) – 3nu(-n-1)，求x(n)的双边Z变换X(z)及 其收敛域。
ZT
u(n)
z
|z|>1
z 1
n n1
显然其收敛域为0≤|z|＜∞，是包括零点的半开域，即除z=∞ 外都收敛。
(3)n1＞0,n2＞0时，有
n2
X (z) x(n)zn
n n1
显然其收敛域为0＜|z|≤∞，是包括z=∞的半开域，即除z=0 外都收敛。
信号与系统（信息工程）
n2
(4)特殊情况，n1=n2=0时，这就是序列 ，
x(n)的单边Z变换定义为：
X (z) Zxn x0z0 x1z1 x2z2 ... x(n)zn n0
双边Z变换定义为：
X (z) Zxn x(n)zn n
信号与系统（信息工程）
例： 已知x(n)=u(n)求其Z变换表达式。
解：
X (z)
u(n)zn zn 1 z1 z2
信号与系统（信息工程） jIm[z]
|a | o
Re[z]
jIm[z]
|a |
o
Re[z]
(a)
(b)
6.1.3 典型序列的Z变换
(1) x(n)=δ(n)
X (z) ZT (n) (n)zn 1 n
jIm[z]
|a|
o
Re[z]
|b |
(c)
信号与系统（信息工程）
（2） x1(n) (n m), x2 (n) (n m), m为正整数.
x(n m) z m X (z) Rx1 z Rx2
式中，m为正整数
信号与系统（信息工程）
证明： 根据双边Z变换的定义，则有
Z[x(n m)] x(n m)zn n
令 k=n+m, 则有
Z[x(n m)] x(k)z(km) k zm x(k)zk zm X (z) k
X (z)
n n1
x(n)zn x(0)
它的收敛域为整个闭域z平面，即0≤|z|≤∞。
信号与系统（信息工程）
例：已知有限长序列x(n)=u(n+1)-u(n-1)。求x(n)的双边Z变 换及其收敛域。
解：
X (z) x(n)zn [u(n 1) u(n 1)]zn
n
n
1
zn z 1 z1
z
d dz
1
( 1
z 1
)
(z
z 1)2
其收敛域为|z|＞1。
信号与系统（信息工程）
例 ：已知x(n)=n(n-1)an-2u(n)，求x(n)的双边Z变换X(z)。
解 根据位移性质， 得
ZT
an1u(n 1) z 1
z
1
za za
根据Z域微分性质式
na n 1u (n
ZT
1) (z)
d dz
1
z 1
ZT cos0nun
zz cos0
z2 2z cos0 1
(8) x(n)=nu(n)的Z变换
X (z)
nz n
n0
1z
11 z2
z
z 12
信号与系统（信息工程）
若
ZT
x1(n) X1(z)
Rx11 z Rx12
ZT
x2 (n) X 2 (z) Rx21 z Rx22
信号与系统（信息工程）
例：已知x(n)=3n［u(n+1)-u(n-2)］，求x(n)的双边Z变换及 其收敛域。
解 x(n)可以表示为
x(n) 3n u(n 1) 3n u(n 2) 31 3n1u(n 1) 32 3n2 u(n 2)
ZT
3n u(n)
z
z3
z 3
信号与系统（信息工程）
X (z) anu(n)zn
z
n
za
(6) x(n) anu(n 1).
X (z) [anu(n 1)]zn
z
n
za
|z|<1 |z|>|a| |z|<|a|
信号与系统（信息工程）
(7)单边正弦序列sinω0nu(n)和余弦序列cosω0nu(n)的Z变换
ZT sin0nun
z2
z sin 0 2z cos0
n
n0
n
右边序列
左边序列
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
R1
R2
o
Re[z]
信号与系统（信息工程）
例 ：已知无限长双边序列x(k)为
x(n) anu(n) bnu(n 1)
式中，|b|>|a|。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。
解 x(n)的双边Z变换为
X (z) anu(n) b n u(n 1) zn
(2)单边Z变换
若xn为双边序列，单边Z变换x(n)un
ZT
X
(
z),
则有
x(n
m)
zm
X
(z)
m1
xk
z k
k 0
f
(n
m)
z m
X
(z)
m1
xk
z k
k 0
若x(n)为单边序列：
ZT
x(n m) zm X (z)
信号与系统（信息工程）
例：求信号x(n)=u(n+1)的Z变换及其收敛域。
信号与系统Z变换
信号与系统（信息工程）
1、从拉普拉斯变换到Z变换 对连续信号x(t)进行理想抽样，即x(t)乘以单位冲激序列
δT(t)， T为抽样间隔，得到抽样信号为
xs (t) x(t)T (t) x(t) (t nT ) n x(nT ) (t nT ) n
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
Rx－ Rx＋
Re[z]
信号与系统（信息工程）
根据离散序列x(n)的特性讨论X(z)的收敛域：
x(n)
x(n)
n1 n n2
0 n n1, n n2
(1) n1＜0,n2＞0时，有
n2
1
n2
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n n1
n n1
n n1
解： 因为u(n)←→
U(z)
1 1 z1
,
z
1
利用Z变换的移序特性
，有X
(z)
zU
(z)
1
z z1
，因为u(n)是一个因果序列，而u(n+1)
是非因果序列，所以它的收敛域在无穷远处发生了变化，即
删除原有的无穷远点，u(n+1)的Z变换的收敛域为1＜|z|＜∞
。
信号与系统（信息工程）
3.序列线性加权(Z域微分)
信号与系统（信息工程）
例：求左边序列x(n)= -bnu(-n-1)(b＜1)的Z变换。 bn zn
n
n
bnzn 1 bnzn
n1
n0
若公比|b-1 z|＜1，即|z|＜|b|时此级数收敛。此时
X (z)
1
1
1 b1z
z
X (z) x(n)zn
n0
an zn (az1)n
n0
n0
1 az1 (az1)2
X (z)
1 1 az1
z
z a
(z a)
Re[z]
信号与系统（信息工程）
x(n)
x(n)
n n1
0 n n1
jIm[z]
0 Z1
Re[z]
•当n1<0，绝对可和不成立 的最小z值|z1|=R2，则X(z) 收敛域为|z|<R2 •当n1>0时，剔除z=0点， 收敛域为0<|z|<R2
n1
x(k)zn 1 zn z 1 1
n
n1
z
所以，当 0 z 时，上式级数收敛。于是得
X (z) z 1 z1 z2 z 1 0 z z
信号与系统（信息工程）
Z变换为
x(n)
x(n) 0
n n1 n n1
X (z) x(n)zn
n n1
(1) n1≥0时，这时的右边序列就是因果序列。
X s (s) L[xs (t)] x(nT )esnT n
令
，Xs(s)变为X(z)，得
X (z) x(nT )zn
n
取T=1，得
X (z) x(n)zn n