(完整版)信号与系统z变换教学
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信号与系统 第六章 Z变换
3z 例： 2(k)+ 3(k) ←→ 2 + z 1
，z>1
6.2
z变换的性质
二、移位（移序）特性
单边、双边差别大！
双边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z) , <z<，且对整数m>0，则 f(km) ←→ zmF(z), <z< 证明：Z[f(k+m)]=
其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解： f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1)
1 z z z z z 1z 1 ( z 1 )2
6.2
z变换的性质
五、序列乘k（z域微分）
若 f(k) ←→F(z) , <z< 则 d kf ( k ) z F ( z ) , <z< d z 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解：
0 .5 z ze
j
j ze
0 .5 z
6.2
z变换的性质
四、卷积定理
若 f1(k) ←→F1(z) 1<z<1, f2(k) ←→ F2(z) 2<z<2 则 f1(k)*f2(k) ←→ F1(z)F2(z)
对单边z变换，要求 f1(k)、 f2(k)为因果 序列
解
z z F ( z ) F ( z ) F ( z ) y f z bz a
|b |
可见，其收敛域为a<z<b |a | o （显然要求a<b，否则无共 R e[ z ] 同收敛域) 序列的收敛域大致有一下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；
，z>1
6.2
z变换的性质
二、移位（移序）特性
单边、双边差别大！
双边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z) , <z<，且对整数m>0，则 f(km) ←→ zmF(z), <z< 证明：Z[f(k+m)]=
其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解： f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1)
1 z z z z z 1z 1 ( z 1 )2
6.2
z变换的性质
五、序列乘k（z域微分）
若 f(k) ←→F(z) , <z< 则 d kf ( k ) z F ( z ) , <z< d z 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解：
0 .5 z ze
j
j ze
0 .5 z
6.2
z变换的性质
四、卷积定理
若 f1(k) ←→F1(z) 1<z<1, f2(k) ←→ F2(z) 2<z<2 则 f1(k)*f2(k) ←→ F1(z)F2(z)
对单边z变换，要求 f1(k)、 f2(k)为因果 序列
解
z z F ( z ) F ( z ) F ( z ) y f z bz a
|b |
可见，其收敛域为a<z<b |a | o （显然要求a<b，否则无共 R e[ z ] 同收敛域) 序列的收敛域大致有一下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；
第四章 Z变换(离散信号与系统).
24
X (z)
A0
r j 1
Bjz (z Z1) j
N
Ai z
z ir1 Zi
含有r 个重极点 N- r个单极点
Bj
1 d rj
(r
j
)!
dz
r
j
(z Z1)r
X (z)
z
zZ1
见P119 续表 4.1-1（21）
x(n)
A0 (n)
r j 1
Bj
(n
j
n! 1)!(
j
当 N1<0,N2>0 时：去除 z= ∞， z=0
Re[z] N1>0,N2<0 不可能出现此情况
收敛域为整个Z平面除去 0 (N1>0,N2>0) 和 ∞ (当N1<0时,N2<0或N2>0) 。
2020年7月23日星期四
东华理工学院 电子工程与自动化系
5
（2）右边序列:只在 n≥ N1区间内，有非零有限值的序列
b0 a0
右边
N
序列
若( z R)查表得：x(n) A0 (n) AiZinu(n)
i 1
左边
序列
N
若( z R)查表得：x(n) A0 (n) AiZinu(n 1)
i 1
N
Z变换 : X (z)
Ai z ，收敛域不同对应的序 列不同!
i1 z Zi
2020年7月23日星期四
东华理工学院 电子工程与自动化系
东华理工学院 电子工程与自动化系
16
（4）ZT[u(n)]
n0
z n
1
1 z
1
z z 1
( z 1)
离散时间信号、系统和Z变换
冲激信号的强度压缩到原信号的1/2。
第二章信号分析和处理基础
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序 列用 y(n) 表示。设运算关系用 T ［· ］ 表示，输出与输入之间关 系用下式表示：
y(n)=T［x(n)］
其框图如图所示:
在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物 理过程可用这类系统表征。
e j(ω +2πM)n= e jω n,
0 0
M=0,〒1,〒2…
复指数序列具有以2π为周期的周期性。
指数信号
表达式：
f (t ) K e
直流(常数) 指数衰减
指数增长
t
f (t )
0
K
a0 a0 a0
0 0
O
t
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
通常把 称为指数信号的时间常数，记作，代表 信号衰减速度，具有时间的量纲。
设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即： T[ax1(n)] =3ax1(n)+4;
例2 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(-3t-2)的波形
1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4
f(t)
-3
-2
-1
0 f(t-2)
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(3t-2)
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(-3t-2)
2
列就是时域离散信号。 实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时 nT 代表
第7讲 z变换
若f (k ) F ( z), a z , 则
1
k
k
a (k 1) z
k
k
a k z
1
k
第 7 章 离散信号与系统的Z
并且k取负值。所以，当|z|<|a|时F（z）收敛。于是得
2 3 z z z a F ( z ) z k a a a z z 1 a 1 z z a za a 1 k
f (k ) (k ) F (z ) ， z >a
则位移序列 f (k m) 的单边 Z 变换满足：
f (k +m) (k ) z [F ( z ) - f (i)z -i ] ， z >a
m i 0
m-1
f (k -m) (k ) z [F ( z )+ f (i)z -i ] ， z >a
m k
( n m )
z
f ( n) z
n
z F ( z)
m
第 7 章 离散信号与系统的Z 例 7.2-2 已知f(k)=3k［ε(k+1)-ε(k-2)］，求f(k)的双边Z变换
及其收敛域。
解 f(k)可以表示为
f (k ) 3 (k 1) 3 (k 2)
解
F ( z)
k 1
f (k ) z
k
k
[ (k 1) (k 2)]z
（7.1-8）
k
k 1
k 1 z z 1 z
k
f (k ) z
《信号与系统》第二版第八章：Z变换
x (1) = 3.5δ ( n − 1)
n ∴ x ( n ) = δ ( n ) + 3.5δ ( n − 1) + ⎡8 − 13 × ( 0.5 ) ⎤ u ( n − 2 ) ⎣ ⎦
部分分式展开法：
⎧ 1 ⎫ ⎧ z ⎫ n = Z −1 ⎨ Z −1 ⎨ ⎬ = d u ( n) −1 ⎬ ⎩1 − dz ⎭ ⎩z−d ⎭
= { z n −1 X ( z )( z − zm )} |z = zm
z3 + 2z 2 + 1 , z >1 z ( z − 1)( z − 0.5 )
当 n ≥ 2 时， z n −1 X ( z ) 的极点： z1 = 1, z2 = 0.5
⎧⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎫ ⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎪ ⎪ x ( n ) = ⎨⎢ z ⎥ +⎢ z ⎥ ⎬ u ( n − 2) z −1 ⎪ ⎦ z =1 ⎣ ⎦ z =0.5 ⎪ ⎩ ⎣ z − 0.5 ⎭
（8-30）
（8-31）
， z ∈ 收敛域 注：1） m > 0 ，右移（延迟） m 步； m < 0 ，左移（导前） m 步。
2）引入 m 步延迟算子，
z −m x ( n ) x (n − m)
Z { z − m x ( n )} = z − m X ( z )
9 因果序列单边 Z 变换右移性质：
9 双边序列：
x ( n ) , n ∈ {−∞, +∞}
（8-19）
−n
X ( z ) = ∑ x ( n) z −n +
n=0
+∞
n ∴ x ( n ) = δ ( n ) + 3.5δ ( n − 1) + ⎡8 − 13 × ( 0.5 ) ⎤ u ( n − 2 ) ⎣ ⎦
部分分式展开法：
⎧ 1 ⎫ ⎧ z ⎫ n = Z −1 ⎨ Z −1 ⎨ ⎬ = d u ( n) −1 ⎬ ⎩1 − dz ⎭ ⎩z−d ⎭
= { z n −1 X ( z )( z − zm )} |z = zm
z3 + 2z 2 + 1 , z >1 z ( z − 1)( z − 0.5 )
当 n ≥ 2 时， z n −1 X ( z ) 的极点： z1 = 1, z2 = 0.5
⎧⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎫ ⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎪ ⎪ x ( n ) = ⎨⎢ z ⎥ +⎢ z ⎥ ⎬ u ( n − 2) z −1 ⎪ ⎦ z =1 ⎣ ⎦ z =0.5 ⎪ ⎩ ⎣ z − 0.5 ⎭
（8-30）
（8-31）
， z ∈ 收敛域 注：1） m > 0 ，右移（延迟） m 步； m < 0 ，左移（导前） m 步。
2）引入 m 步延迟算子，
z −m x ( n ) x (n − m)
Z { z − m x ( n )} = z − m X ( z )
9 因果序列单边 Z 变换右移性质：
9 双边序列：
x ( n ) , n ∈ {−∞, +∞}
（8-19）
−n
X ( z ) = ∑ x ( n) z −n +
n=0
+∞
清华大学信号与系统课件第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析
3
1
Re[ z ]
3
课件
10
例： (2) x(n)1nu(n1) 3
X(z)
1
1
z1n
nm
1 z1 m
n 3
m13
左边序列
1 (3z)m
m0
1113z1
z
z 1
3
j Im[z]
R x2
lim n ( 3 z ) n 1
Re[ z ]
n
1 z 3 R x2
收敛半径
1 3
圆内为收敛域，
z e1
j
2
K 8
3
8个零点
收敛域为除了 0 和
z 的整个 平面
j Im[z]
z0
z
1 3
2020/4/4
7阶极点
一阶极点
课件
Re[ z ]
12
例：
(4) x(n) 1n
双边序列
3
X(z)
1
1 n
zn
1
z1
n
n 3
n0 3
z 1
8 3
z
z 3 z 1 (z 3)(z 13)
1 1 1
4
例：
x(n)anu(n)
X(z) anzn (a z1)n
n0
n0
liman1 az1
a n n
a
z
a
z
a
z
limn az1n az1
n
2020/4/4
课件
5
几类序列的收敛域
（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有(n)zn nn1
n0
(r ) z (r m) z m
信号与系统课件--第二章§2.5 序列的Z变换
非因果性
Rx
0
例 求 x(n) a u (n 1) 的Z变换及收敛域。
n
a 1
j e 0
解： X ( z ) a nu ( n 1) z n a n z n
n
1
n 1
(a
n
1
z)
n
a
X (z ) 存在要求 a 1 z 1
1 a 1 公共区域为 a z a 如果 az 1 X (z ) 1 az 1 az 1 1 a2 (1 az )(1 az 1 )
a
Re[z ]
1/ a
当
a 1，X (z) 不存在。
2.5.3 Z反变换
一，Z反变换定义 若 X ( z ) x ( n ) z n
二，查表法
如教材P.51表2.5.1（注意收敛域）
三，长除法（幂级数法）（对某些简单的左/右序列，可利用分式多项式直接相除）
例1 已知
1 az1
X ( z)
1 1 az1
z a , 求x(n)
收敛域圆外部右序列 z的降幂
当n-2时，围线内有一个单阶极点 z
z n 1
1 4
，还有极点z=0
(-n-1阶）
1 z n 1 x(n ) Re s[ , ] Re s[ ,0] 1 4 1 (4 z )( z ) (4 z )( z ) 4 4
1 d n2 z n1 n 1 后一项 Re s[ ,0] [( z 0) ] n2 1 1 z 0 (n 2)! dz (4 z )( z ) (4 z )( z ) 4 4 n2 4 1 d 1 1 [ ] z 0 4 [(1) n2 ( z 1 ) n1 n2 (1) n2 ( z 4) n1 z 0 1 z4 15 (n 2)! dz 15 4 z 4 1 n 1 n 1 4 n 4n 2 4 n 4n 2 n 1 4 [4 ( ) ] 4 n 2 4 n Re s[ X ( z) z , zk ] 15 15 15 4 k 15 15 n
信号与系统教学课件 第十章 z-变换
5）当 X (z)是有理函数时，其ROC的边界总是 由 X (z) 的极点所在的圆周界定的。
6）若 X (z) 的ROC包括单位圆，则有
X (e j ) X (z) |zej
三. X (z)的几何表示——零极点图：
如果 X (z)是有理函数，将其分子多项式与分 母多项式分别因式分解可以得到：
例1. x(n) anu(n)
X (z)
anzn
n
1 1 az1
z a 时收敛
当 a 1 时， ROC包括了单位圆。
此时， x(n)的DTFT存在。 Z平面
X
(e
j
)
1
1 ae
j
za
显然有 X (z) |zej X (e j )
Im单位圆
Re
n N1
x(n)r1n
n N1
x(n)r0n
( r0 )n r1
n N1
x(n)r0n
( r0 )N1 r1
z r1 ROC
当N1 0 时,由于X (z) 的展开式中有若干个Z
的正幂项，此时 z 不能为 。
5. 左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能
当ROC包括 z 1时，Z 变换在单位圆上的情 况就是 X (e j ) ，因此也可以利用零极点图对其 进行几何求值。
其方法与拉氏变换时完全类似：
考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢 量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可 反映系统的频率特性。
例1. 一阶系统
h(n) anu(n)
y(n) ay(n 1) x(n)
则ROC必是最内部极点的内部。
6）若 X (z) 的ROC包括单位圆，则有
X (e j ) X (z) |zej
三. X (z)的几何表示——零极点图：
如果 X (z)是有理函数，将其分子多项式与分 母多项式分别因式分解可以得到：
例1. x(n) anu(n)
X (z)
anzn
n
1 1 az1
z a 时收敛
当 a 1 时， ROC包括了单位圆。
此时， x(n)的DTFT存在。 Z平面
X
(e
j
)
1
1 ae
j
za
显然有 X (z) |zej X (e j )
Im单位圆
Re
n N1
x(n)r1n
n N1
x(n)r0n
( r0 )n r1
n N1
x(n)r0n
( r0 )N1 r1
z r1 ROC
当N1 0 时,由于X (z) 的展开式中有若干个Z
的正幂项，此时 z 不能为 。
5. 左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能
当ROC包括 z 1时，Z 变换在单位圆上的情 况就是 X (e j ) ，因此也可以利用零极点图对其 进行几何求值。
其方法与拉氏变换时完全类似：
考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢 量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可 反映系统的频率特性。
例1. 一阶系统
h(n) anu(n)
y(n) ay(n 1) x(n)
则ROC必是最内部极点的内部。
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当|a-1z|<1，即|z|<|a|时，收敛。
1
1
z
X (z) 1 1 a1z 1 az1 z a ,
| z || a |
Im(z)
xa
1 Re(z
Unit
circle
例 两个实指数信号之和
x[n] 7(1/ 3)n u[n] 6(1/ 2)n u[n]
X (z) {7(1/ 3)n u[n] 6(1/ 2)n u[n]}zn n
第10章 z变换
掌握Z 变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的Z 变换。 掌握求解信号Z 变换(包括正变换和反变换)的基本方法。 掌握运用Z 变换分析LTI 系统的方法。 掌握系统函数H(z)收敛域与系统因果稳定性的关系：定 性分析方法。
掌握系统的典型表示方法：H(z)、h[n]、差分方程、模拟 框图、信号流图、 零极点+收敛域图，以及它们之间的转 换。
X (z) X (re jw ) F{x[n]rn}
三、z变换的几何解释和收敛域
Z变换和DT信号傅立叶变换之间关系的讨 论和对CT信号的讨论几乎并行进行的，但 是一些重要的不同。
在z变换中当变量z的模为1，即z=ejω时，z 变换退化成DTFT。
傅立叶变换就是在复数z平面中，半径为1 的圆上的z变换。
离散时间信号的z变换定义为：
记作：
X (z) x[n]zn n
Z
x[n] X (z)
为了理解z变换和离散傅立叶变换之间的关系
z=rejw
则：
X ( z) X (re jw ) x[n](re jw )n n
因此，
(x[n]r n )e jwn n
Im(z) r
w 1 Re(z)
z-plane
解：X1(z) x1[n]zn [n]zn 1 ROC: 整个z平面
n
n
X 2 (z) x2[n]zn [n 1]zn z ROC :| z |
n
n
X3(z)
x3[n]zn [n 1]z n z-1
ROC :| z | 0
n
n
X 4 (z) x4[n]zn 1 z z-1
收敛问题
为了使z变换收敛，等同于要求x[n]r-n的傅立叶变 换收敛。
总的来说，对某一序列x[n]的z变换，存在着某一个z 值的范围，在该范围内的z，X(z)收敛。
由这些使X(z)收敛的z值所组成的范围，就是收敛域 (ROC)。
如果ROC内包括单位圆，则傅立叶变换收敛！
例 指数函数的z变换 考虑信号x[n] = anu[n]
10.0 引言
前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点 分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论Z变换，从变 换的基本性质和基本作用来看，Z变换和拉氏变换是相似的， 而且，讨论展开的思路也是和拉氏变换平行的。当然，由于 连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，Z变换和拉 氏变换之间必然存在着某些不同。在本章的学习中，读者可 以借助拉氏变换的知识来理解Z变换的基本概念，同时也应 通过两者之间的不同来领会Z变换的主要特点。
Z变换的结果 X(z)=z/(z-a) 是一有理函数，因此，可 用它的零点和极点来表示。
Im(z)
xa
1 Re(z)
Unit circle
例
考虑信号x[n] = -anu[-n-1]
1
X (z) anu[n 1]zn an zn
n
n
an zn 1 (a1z)n
n1
n0
什么情况下，上式收敛呢？
性质2：ROC内不包括任何极点。 在极点处，X(z)为无穷大。
Im(z) ×
Re(z)
性质3：如果x[n]是有限长序列，那么ROC就是整个z 平面，可能去除z=0和/或z=∞。
例：分别求以下信号的z变换
x1[n] [n] x2[n] [n 1]
x3[n] [n 1]
x4[n] [n] [n 1] [n 1]
7 (1/ 3)n zn 6 (1/ 2)n zn
n0
n0
7z 6z
z
1 3
z
1 2
z(z 32)
(z
1 3
)(z
12)
收敛域为|z|>1/2。
10.2 z变换的收敛域
性质1：X(z)的ROC是在z平面内以圆点为中心的圆环。 Im(z)
Im(z)
Re(z)
Im(z)
Re(z)
Re(z)
其z变换为：
X (z) anu[n]zn (az1)n
n
n0
X(z)要收敛，要求：
(az1)n n0
收敛域为： az1 1 or | z || a |
X (z)
(az1)n
n0
1 1 az1
z
z, a
za
当 a=1
X
1
,
即：Z{u[n]}
1
1 z
1
,
z 1 z 1
性质9：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若x[n]是 左边序列，那么，ROC就位于z平面内最里层的非零极点 的里边。
例 有一z变换X(z)为
X (z)
1
(1 1 z1)(1 2z1)
3
Im(z) 单位圆 × ×Re(z)
Im(z) 单位 圆
× ×Re(z)
Im(z) 单位圆
Im(z) 单位圆
10.1 z 变换定义
一、离散时间特征函数
设一个离散系统的输入为x[n] = zn
y[n] h[k]x[n k] k h[k]znk k zn h[k]zk k
H (z)zn H (z)x[n]
H (z) h[k]zk k
就是h[n]的z变换。
二、离散时间信号的z变换
………
N1
n
Im(z) Re(z)
性质6：如果x[n]是双边序列，并且|z|=r0的圆 位于ROC内，那么该ROC一定是由包括|z|= r0 的 圆环所组成。
………
……… n
Im(z)
Re(z)
性质7：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，那么它的 ROC就被极点所界定，或者延伸至无限远。
性质8：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若是右边 序列，那么，ROC就位于z平面内最外层极点的外边。
ROC : 0 | z |
n
RO性C内质，4：那如么果|z|x>[nr]0是的一全个部右有边限序z值列都，一并定且在|z|这=r个0的R圆O位C内于。
……… n
Im(z)
N1
Re(z)
性质5：如果x[n]是一个左边序列，并且|z|=r0的圆位于 ROC内，那么0<|z|< r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。