信号与系统 第八章 Z变换及分析
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种用于描述离散时间系统的重要数学工具。
离散时间系统是指信号的取样点在时间上离散的系统。
而Z变换可以将离散时间信号从时域（时间域）转换到频域（复频域），并在频域进行分析和处理。
Z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域有着广泛的应用。
Z变换的定义为：\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]其中，\(x(n)\)表示离散时间信号，\(X(z)\)表示该信号的Z变换，\(z\)表示复变量。
通过对离散时间系统的输入信号进行Z变换后，可以得到系统的传递函数。
系统的传递函数是指系统的输出与输入之间的关系。
在离散时间系统中，传递函数可以表示为：\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \]其中，\(Y(z)\)表示系统的输出信号，\(X(z)\)表示系统的输入信号。
通过Z变换可以对离散时间系统进行频域分析。
频域分析可以用来研究离散时间系统的频率特性，比如系统的频率响应、幅频特性、相频特性等。
频域分析可以揭示系统在不同频率下对信号的处理情况，对于设计和优化离散时间系统非常有帮助。
Z变换具有一些重要的性质，可以方便地对离散时间系统进行分析和计算。
其中一些常用的性质包括：1. 线性性质：对于任意常数\(a\)和\(b\)，以及信号\(x(n)\)和\(y(n)\)，有\(Z(a \cdot x(n) + b \cdot y(n)) = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)\)。
这个性质说明Z变换对线性系统是可加性的。
2. 移位性质：如果将信号\(x(n)\)向左或向右移动\(k\)个单位，那么它的Z变换\(X(z)\)也将发生相应的移位，即\(Z(x(n-k)) = z^{-k} \cdot X(z)\)。
这个性质说明Z变换对系统的时移（时延）是敏感的。
3. 初值定理：如果离散时间信号\(x(n)\)在n=0处存在有限值，那么在Z变换中，它的初值可以通过计算\(X(z)\)在z=1处的值得到，即\(x(0) = \lim_{z \to 1}X(z)\)。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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台
于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原
z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)
§8.2常用序列的z变换 《信号与系统》课件
Z ejω0n u n
z
z e j0n
z 1
所以 Zcosω0nun
同理
1 2
z
z e jω0n
z
z e jω0n
zz cosω0
z2 2z cos ω0
1
Lsin ω0nun
1 2 j
z
z e jω0n
z
z e jω0n
z2
z sin ω0 2z cos ω0
1
正弦与余弦序列信号与系统82常用序列的z变换单位冲激序列单位阶跃序列斜变序列指数序列复指数序列已知两边同时乘以z1可得n是离散变量所以对n没有微积分运算
号与系统 信 §8.2 常用序列的Z变换
单位冲激序列 单位阶跃序列 斜变序列 指数序列 复指数序列
一、单位冲击序列
(n)
1 0
n0 n0
Z ebn u(n) z
Z
e jω0nu(n)
z zeb z e jω0
2. 左边序列 xn anu n 1
X z z
za
za
注意：z 变换相同时，左边序列的定义。 an n 1
五．正弦与余弦序列
单边余弦序列 cos0nun
因为
cos ω0n
e jω0n e jω0n 2
n0
z n
1
1 z
1
两边，对
z
1求导
n0
n(z 1)n1
1 (1 z1)2
两边同时乘以z-1 ，可得
Z nun
n0
nz n
(z
z 1)2
z 1
同理可得
n2u(n)
n2 z n
n0
z(z 1) (z 1)3
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X ( z)
X ( z)
n 1
x ( n) z
n
n
n
n n x ( n ) z x ( n ) z n 0
j Im[z]
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1 时，有环状收敛域 Rx2 Rx1 时，没有收敛域
Re[z ]
3 1 z 3 1 1 或 1 z 3z 3
( z 1)
3.指数序列
1 z ZT [a u(n)] a z 1 1 az z a n 0
n n n
( z a)
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ZT[cos0n] ZT[(e e ) / 2] z z j n j n ZT [e ] , ZT [e ] j j z e z e z z ZT [cos0 n] ( )/2 j j
n 0
X s ( s)
0
x(nT ) (t nT )e
n 0 0
st
dt
x(nT ) (t nT )e dt
st
x(nT )e
n 0
n 0
snT
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X s ( s) x(nT )e snT
n
1 Rx1 3
1 3
Re[z ]
例 (2) x(n)
X ( z) z
n 1 3 n m 1 3 1
1 n 3
u ( n 1)
左边序列
lim (3 z ) 1
n n n
1 n
z
m 1
1 m
1 z Rx2 3 n2 1 0
n
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例：求 x(n) a u(n) 的z变换的收敛域。
n
解： X ( z ) a z
n 0
n n
a n (az ) ( ) n 0 n 0 z
1 n
an 1 a 1 (1) lim az n an z
1
右边序列 1 例: (1) x(n) u(n) 3 n 1 z 1 n n 1 X ( z) ( ) z 1 n 0 3z 1 1 n 0 3 z 3z 3 1 Rx j Im[z]
C
z
m 1
X ( z )dz z
C
m1
x(n) z
n 0
n
dz
C
X ( z) z
m 1
dz x(n) z
n 0 C
n m 1
dz
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C
m 1 n m 1 X ( z ) z dz x ( n ) z dz
（2）右边序列：只在 n n1 区间内，有非零的有限值 的序列 x(n)
X ( z ) x(n) z
n n1
n
n1 n
j Im[z]
圆外为 收敛域
lim lim
n
n n
x ( n) z
n
1
Rx1
n
x( n) Rx1 z
收敛半径
z Rx1
Re[z ]
n
(r ) z
r m
n 0
( r m )
z
m
(m 0,
n
z 0)
n
(3) ZT [ (n 1)]
n
(n 1) z
1
1
(m 0, 0 z )
(n 1) z
n 0
z 0 z
(0 z )
1 n 1 x(n) X ( z ) z dz 2j C
围线积分定理（留数定理）：
C
f ( z )dz 2 j Re s
m1
n
f ( z); z zm
n 1
令 f ( z ) X ( z ) z n1
得
x ( n)
1 2 j
Re s [ X ( z ) z
n n
圆内为收敛域， 若 n2 0 则不包括z=0点
j Im[z]
1 z
lim
n
x ( n) z 1 lim n x( n)
n
z
Rx2
收敛半径
Re[z ]
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（4）双边序列：在 n 区间内，有非零 的有限值的序列 x(n)
1 z a
(2) lim
n n
az
1 n
az
1
a z
1 z a
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三、典型序列的Z变换
1.单位样值序列
(1) ZT [ (n)] (n) z n 1 ( z 0)
n 0Βιβλιοθήκη (2) ZT [ (n m)] (n m) z
双边序列
1 n 1 1 X ( z) z z n 3 n 0 3 j Im[z] z 1 z 3 z 1 3 Re[z ] 8 3 z 1 ( z 3)(z 1 3) z 3 3
n
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§8.1 引言
z 变换与拉氏变换相对应。 z 变换
的基本思想、许多性质及其分析方法都 与拉氏变换有相似之处。
当然，z 变换与拉氏变换也存在着
一些重要的差异。
§8.2 Z变换的定义、典型序列的Z变换 §8.3 Z变换的收敛域
一、定义—由拉氏变换引出Z变换
有抽样信号 单边拉氏变换
xs (t ) x(nT ) (t nT )
n1 0 ?
（3）左边序列：只在n n2区间内，有非零的有限值 的序列 x(n) n2
X ( z)
m n
X ( z)
m n2
x(m) z
1
n
x(n) z
n
n n2
m
nm
n n2
x(n) z
Rx2
n
lim n x( n) z n 1
n
C
X ( z) z
的环形区域。
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4）如果 x(n) xi (n)，则其ROC是各个xi (n) 的 ROC的公共区域。若没有公共区域则表明 x(n)
i
的Z变换不存在。
5）当 X ( z ) 是有理函数时，其ROC的边界总是
由 X ( z ) 的极点所在的圆周界定的。
0 0 0
4.余弦序列
j0 n
j0n
0
z e 0 z e z ( z cos0 ) 2 z 2 z cos0 1
0
z sin 0 ZT [sin 0 n] 2 z 2 z cos0 1
5.正弦序列
说明： n 0, z 1
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n 0
C
复变函数中的柯西积分公式：
mn 0 (n m) mn
2 j m 1 m z dz 0 m 1 C
C
X ( z) z
n 1
1 x ( n ) z dz dz 2 j x(n) C
得逆变换
1 n 1 x(n) X ( z ) z dz 2j C
环形区域。
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
级数收敛
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级数收敛的判定：
n
a
n
1）比值判别法
an 1 lim n a n
2）根值判别法
1，收敛 1，发散 1，其他方法
lim n an
§8.4
n 0
逆Z变换
n
X ( z ) x ( n) z
x(n) ?
（1）留数法 （2）幂级数展开法 （3）部分分式法
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一、留数法
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
x(n) ?
z平面上假设有一固定的围线C，它包围原点，上 式两边乘以 z m1 ，然后沿着围线逆时针转一圈积分， 得到：
n 0
令
ze
sT
,其中 z 为一个复变量
则有 X s ( z )
x(nT ) z
n 0
n
单边Z变换
广义上：T=1
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
实质是复变量z-1的幂级数，系数就是序列值。
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*** 从 S 平面到 Z 平面的映射***
(4) constent 0
r
1R
z R( 1)
(5) constent 0