信号与系统 线性时不变系统及其特性
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信号与系统知识要点
《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。
（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。
2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。
例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。
信号分析与处理第5章 离散时间线性时不变系统的分析
解：由于 y(1) y(2) 0，零状态响应满足
yzs (n) 3yzs (n 1) 2 yzs (n 2) x(n)
对于因果系统，有 yzs (i) 0 i 0 ，因此，
y(i) yzi (i)
i0
y(i) yzi (i) yzs (i) i 0
求 N 阶差分方程，需用到 N 个初始条件。求零输
入响应的 N 个初始条件为 yzi (i) i 1,2, , N ；求零状态
响应的 N 个初始条件为 yzs (i) i 0,1, , N -1 ；求全响应的 N
5.3 离散时间线性时不变系统的 Z 域分析
5.3.1 Z 变换解差分方程 5.3.2 系统函数 5.3.3 由系统函数的零极点分布确定时域特性 5.3.4 系统的因果性和稳定性
5.4 离散时间线性时不变系统的频域分析
5.4.1 系统的频率特性 5.4.2 离时间信号通过系统的频域分析 5.4.3 理想低通数字滤波器
yzi (n) Czi1 (1)n Czi2 (2)n
n 0
代入初始条件
yzi
(1)
y(1)
0,
yzi
(2)
y(2)
1 2
，有
yzi (1)
Czi1
1 2 Czi2
0
yzi (2)
Czi1
1 4
Czi
2
1 2
解得 Czi1 1， Czi2 2。故系统的零输入响应为
个初始条件为 y(i) i 0,1, , N -1。
2、离散时间线性时不变系统响应的迭代求解
差分方程可用迭代法求解。差分方程可改写为
yzs (n) 3yzs (n 1) 2 yzs (n 2) x(n)
对于因果系统，有 yzs (i) 0 i 0 ，因此，
y(i) yzi (i)
i0
y(i) yzi (i) yzs (i) i 0
求 N 阶差分方程，需用到 N 个初始条件。求零输
入响应的 N 个初始条件为 yzi (i) i 1,2, , N ；求零状态
响应的 N 个初始条件为 yzs (i) i 0,1, , N -1 ；求全响应的 N
5.3 离散时间线性时不变系统的 Z 域分析
5.3.1 Z 变换解差分方程 5.3.2 系统函数 5.3.3 由系统函数的零极点分布确定时域特性 5.3.4 系统的因果性和稳定性
5.4 离散时间线性时不变系统的频域分析
5.4.1 系统的频率特性 5.4.2 离时间信号通过系统的频域分析 5.4.3 理想低通数字滤波器
yzi (n) Czi1 (1)n Czi2 (2)n
n 0
代入初始条件
yzi
(1)
y(1)
0,
yzi
(2)
y(2)
1 2
，有
yzi (1)
Czi1
1 2 Czi2
0
yzi (2)
Czi1
1 4
Czi
2
1 2
解得 Czi1 1， Czi2 2。故系统的零输入响应为
个初始条件为 y(i) i 0,1, , N -1。
2、离散时间线性时不变系统响应的迭代求解
差分方程可用迭代法求解。差分方程可改写为
信号与系统 面试题
信号与系统面试题一、信号与系统的基本概念和性质信号与系统是电子与通信工程领域中重要的基础课程，涉及到信号的表示、处理与传输以及系统的分析与设计等方面。
下面将从信号与系统的基本概念和性质进行论述。
1. 信号的定义和分类信号是指随时间、空间或其他独立变量的变化而变化的物理量，用于携带信息。
信号可以分为连续信号和离散信号两类。
连续信号在时间和幅度上都是连续变化的，例如音频信号、视频信号等；离散信号在时间和幅度上都是离散的，例如数字音频、数字图像等。
2. 基本信号的表示与表示方法常见的基本信号包括冲激信号、阶跃信号、正弦信号等。
冲激信号是一种时间间隔极短、幅度无穷大的信号；阶跃信号在时间t=0时突变，从0瞬间跳变到某个确定值；正弦信号是一种周期为T的、幅度恒定的信号。
这些基本信号可以通过数学函数进行表示，如单位阶跃函数、单位冲激函数、正弦函数等。
3. 系统的定义和分类系统是指对信号进行处理的一种设备或方法。
根据处理方式的不同，系统可以分为线性系统和非线性系统。
线性系统具备叠加性和齐次性的特点，即输入和输出之间满足叠加原理和比例原理；非线性系统则不满足这两个性质。
4. 信号与系统的性质信号与系统具有多种性质，包括可加性、时移性、幅度缩放性、时域抽样性、频域抽样性等。
可加性表示系统对两个输入信号的响应等于单独输入两个信号的响应之和；时移性表示信号的延迟或提前不会影响系统的响应；幅度缩放性表示输入信号按照一定比例进行放大或缩小，输出信号也会按照相同的比例进行放大或缩小。
二、常见的信号与系统分析方法信号与系统的分析方法是研究信号与系统行为与性质的关键。
下面将介绍一些常见的信号与系统分析方法。
1. 时域分析方法时域分析方法主要通过观察信号在时间域上的变化进行分析。
其中，时域响应表示系统对输入信号的响应在时间上的变化情况；卷积表示两个信号之间的运算关系，描述了输入信号经过系统处理后得到的输出信号；相关性分析用于衡量两个信号之间的相似度和相关性。
《信号与系统》考点精讲(第1讲 信号与系统的基本概念)
示。
信号与系统 考点重点与典型题精讲
网学天地（） 信号与系统 考点重点与典型题精讲
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δ(·)的重要性质
信号与系统 考点重点与典型题精讲
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注意：
（1）ε(t)、δ(t)是奇异函数；而ε(k)、δ(k)为普通函
（2）齐次性（含零输入响应齐次性和零状态响应齐次性），即
（3）叠加性（含零输入响应叠加性和零状态响应叠加性），即
则称该系统为线性系统。或者说，凡具有可分解性、零输入线 性和零状态线性的系统称为线性系统。线性系统的三个条件缺 一不可，否则，就是非线性系统。
信号与系统 考点重点与典型题精讲
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2．时不变系统与时变系统 若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时 间，即：
则称该系统具有时不变特性。具有时不变性的系统称为时不变 系统，否则称为时变系统。
信号与系统 考点重点与典型题精讲
3．因果系统与非网因学果天系地统（）
因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现零状态 输出的系统。具体地说，因果系统的输出不会出现存输入之 前，即因果系统满足下列因果性： 对连续系统，若当t<t0时激励f(t)=0，则当t<t0时零状态响应 yzs(t)=0。 对离散系统，若当k<k0时激励f(k)=0=0。则当k<k0时零状态响应 yzs(k)=0 不满足因果性的系统称为非因果系统。
连续时间系统：输入、输出信号都是连续信号。 离散时间系统：输入、输出信号都是离散信号。 混合系统：输入信号是连续信号、输出信号是离散信号，或反 之。
信号与系统 考点重点与典型题精讲
主要分类
网学天地（）
注：还有其他形式的系统分类方法
信号与系统 考点重点与典型题精讲
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δ(·)的重要性质
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注意：
（1）ε(t)、δ(t)是奇异函数；而ε(k)、δ(k)为普通函
（2）齐次性（含零输入响应齐次性和零状态响应齐次性），即
（3）叠加性（含零输入响应叠加性和零状态响应叠加性），即
则称该系统为线性系统。或者说，凡具有可分解性、零输入线 性和零状态线性的系统称为线性系统。线性系统的三个条件缺 一不可，否则，就是非线性系统。
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2．时不变系统与时变系统 若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时 间，即：
则称该系统具有时不变特性。具有时不变性的系统称为时不变 系统，否则称为时变系统。
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3．因果系统与非网因学果天系地统（）
因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现零状态 输出的系统。具体地说，因果系统的输出不会出现存输入之 前，即因果系统满足下列因果性： 对连续系统，若当t<t0时激励f(t)=0，则当t<t0时零状态响应 yzs(t)=0。 对离散系统，若当k<k0时激励f(k)=0=0。则当k<k0时零状态响应 yzs(k)=0 不满足因果性的系统称为非因果系统。
连续时间系统：输入、输出信号都是连续信号。 离散时间系统：输入、输出信号都是离散信号。 混合系统：输入信号是连续信号、输出信号是离散信号，或反 之。
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注：还有其他形式的系统分类方法
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信号与线性系统分析课件
04 线性系统的响应
系统的冲激响应
冲激响应定义
01
冲激响应是线性系统对单位冲激函数的响应，反映了系统对瞬
时作用的响应特性。
冲激响应计算
02
通过求解线性系统的微分方程或差分方程，可以得到系统的冲
激响应。
冲激响应的物理意义
03
冲激响应可以理解为系统内部能量的传播和分布，是分析系统
动态特性的重要手段。
卷积积分定义
卷积积分是信号处理中常用的一种运算，用于描述两个函数的相互作用。在线性系统中 ，卷积积分用于描述系统的输出与输入之间的关系。
卷积积分的计算
卷积积分的计算涉及到函数乘积的积分，常用的计算方法包括离散卷积和离散化卷积等 。
卷积积分的物理意义
卷积积分可以理解为系统对输入信号的处理和转换能力，是分析系统动态特性的重要手 段。在信号处理中，卷积积分常用于信号滤波、预测和控制系统设计等领域。
03 信号的傅里叶分析
傅里叶级数
傅里叶级数定义
将周期信号表示为无穷多个正弦和余弦函数 的线性组合。
复指数形式
使用复指数函数来表示周期信号。
三角函数形式
使用正弦和余弦函数来表示周期信号。
傅里叶级数的应用
用于分析信号的频率成分和幅度变化。
傅里叶变换
01
02
03
傅里叶变换定义
将时域信号转换为频域信 号，表示信号的频率分布 。
傅里叶变换的性质
线性、时移、频移、共轭 、对称等性质。
傅里叶变换的应用
用于信号处理、图像处理 、通信等领域。
频域分析
频域分析定义
通过分析信号的频率成分 来理解信号的特征和性质 。
频域分析的应用
用于信号滤波、调制解调 、频谱分析等领域。
信号处理与系统分析 第2章线性时不变系统
从波形的角度来观察离散时间信号，它可以 看成是由许多加权了的单位冲激信号组合 而成的
x[n] x[1] [n 1] x[0] [n] x[2] [n 2]
对于任意的离散时间信号：
累加序号 自变量
加权值 移位的冲激信号
x[n]
k
x[k ] [n k ]
n
卷积公式是无穷多项求和，而我们实际遇到的常 常是有限长度序列，特别是在计算机离线处理的场 合，因为计算机不可能处理无穷多的信息。 在进行有限长度的序列的卷积时候，长度为N和M 的2个序列作卷积时，反转序列从左到右进入重叠 直至移出重叠，只有存在重叠项时，卷积和才可能 非零。 卷积序列的长度为M+N-1。
求解系统响应的卷积方法是系统分析的重要工具。
单位冲激响应h[n]完全描述了线性时不变系统的变换 规律。不同的系统输入，都在h[n]的作用下产生相应的 响应，因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应h[n]就 等于给定了该系统。
从计算某一个特定点的角度来看
yy [n [n 0]
k k
第2章 线性时不变系统
线性时不变（简称LTI，Linear， Time-invariant）系统
为什么引入LTI ？
如果不对系统的性质加以限制，那么分析 一个系统将是十分困难的。 给系统加上线性和时不变性的限制，那么 系统的分析将变得十分简便。 LTI系统的分析还为非线性系统的分析方法 提供了思路。例如，线性时不变系统可以 用冲激响应来表达，非线性系统可以用 Volterra级数来表达。
上式应该理解为许多以为n自变量的函数的相 加，而不是数值相加。
许多移了位的冲激信号的加权和，构成了x[n] 。
特别地，我们有
第2章__线性时不变系统
dg (t ) h(t ) dt
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
信号与系统-第二章线性时不变系统
n
1
k
f1 (k )
f2 (0
k)
3,
k
f1 (k )
f2 (1 k)
3,
n0 n 1
k
f1 (k )
f2(2 k)
1,
0,
n2 n14 3
三. 卷积和的计算：(3)列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x(n与) 的h(所n)有各点都要遍乘一次；
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
x (t) x(t)
20
x(t) x (t)
x(k)
t
0
k (k 1)
引用 (t，) 即：
(t)
1
/ 0
0t otherwise
则有：
(t
)
1 0
0t otherwise
21
第 个k 矩形可表示为： x(k) (t k)
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 x，(t)
即： x (t) x(k) (t k) k 当 时0 ， k d
un 4 ak
an3
1un 4
k 0
a 1
9
例4： x(n) nu(n) 0 1 h(n) u(n)
x(k) ku(k)
1
0
k ...
h(n k) u(n k)
1
k
0
n
y(n) x(n) h(n)
x(k)h(n k) ku(k)u(n k)
k
k
u(n) n k 1 n1 u(n)
例2 :
1 x(t) 0
h( )
2T
0t T otherwise
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H f 2 (t )
C1
f 2 (t )
H
C2
C2 H f 2 (t )
C1 H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
若
H C1 f1 (t ) C2 f 2 (t ) C1H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
e(t ) e(t t0 ) r21 (t ) e(t t0 ) cos t
经过系统 时移 t0
时移 t0
经过系统
t 0 t 0
e(t ) e(t ) cos t r22 (t ) e(t t0 ) cos(t t0 )
r21 (t ) r22 (t )
叠加性：
e1 (t ) r1 (t ) e1 (t ) e2 (t ) r1 (t ) r2 (t ) e2 (t ) r2 (t )
e1 (t )
e2 (t )
e1 (t) e2 (t)
H H
H
r1 (t )
r2 (t )
r1 (t) r2 (t)
信号与系统
详细内容在第五章讨论。
信号与系统
五.因果性
定义
因果系统： 当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。 即 因果系统输出不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。
系统的这种特性称为因果特性。 符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
因果信号
t = 0接入系统的信号称为因果信号。 e(t ) e(t )u (t )
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )
y (t )
f (t )
DE
H
H f (t )
H f (t ) y(t )
若 则
H f (t ) y(t )
系统 H
是非时变系统，否则是时变系统。
H 是线性系统，否则是非线性系统。
则系统
注意：这里是假定系统的初始状态为零。
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? d r (t ) 10r (t ) 5 e(t ) t 0 dt 解：设信号 e(t) 作用于系统，响应为 r(t)
一．线性系统与非线性系统
e1 (t )
e2 (t )
1e1 (t ) 2 e2 (t )
线性：
H H
H
r1 (t )
r2 (t )
1r1 (t ) 2 r2 (t )
1e1 (t ) 2e2 (t ) 1r1 (t ) 2 r2 (t )
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
判断方法 先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
f1 (t )
C 11 C
C1 f1 (t )
f 2 (t )
C 22 C
H H
C 2 f 2 (t )
C1 H f1 (t )
H
H C1 f1 (t ) C2 f 2 (t )
f1 (t )
H f1 (t )
信号与系统
§1.8 线性时不变系统
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
1.定义 线性系统： 指具有线性特性的系统。 线性:指均匀性，叠加性。 均匀性(齐次性)：
e(t ) r (t ) ke(t ) kr (t )
e(t ) ke(t )
H H
r (t )
kr (t )
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
e(t )
e (t t 0 )
H
r (t ) r (t t 0 )
e(t )
r (t )
O
T
t
O
t
e( t t 0 )
r (t t 0 )
O t0
t0 T
t
O
t0
t
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
判断方法 先时移，再经系统＝先经系统，再时移
经过系统
时移 t0
经过系统
r11 (t ) cos e(t t0 )
t 0
时移 t0
r12 (t ) cos e(t t0 ) t 0
r11 (t ) r12 (t )
所以此系统为时不变系统。
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
系统2作用：输入信号乘cost
(2)
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
假设有两个输入信号
e1 (t ) e2 (t )
分别激励系统，
则由所给微分方程式分别有：
当
e1 (t ) e2 (t ) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有
t 0 (5)
d r1 (t ) 10r1 (t ) 5 e1 (t ) dt d r2 (t ) 10r2 (t ) 5 e2 (t ) dt
此系统为时变系统。
信号与系统
三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
e(t )
de(t ) dt
r (t )
H
dr (t ) dt
H
t
e( )d
H
t
r ( )d
利用线性证明，可推广至高阶。
Байду номын сангаас
信号与系统
四. 系统稳定性
定义
系统的稳定性是指在有界输入下，所产生的输出也是有界的， 通常称为BIBO稳定。一个正常工作的系统都必须是稳定的。
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
例： 判断下列两个系统是否为非时变系统。
系统1：
系统2：
r (t ) cos e(t )
t 0
r (t ) e(t ) cos t
t 0
解： 系统1的作用是对输入信号作余弦运算。
e(t ) e(t t0 )
e(t ) cos e(t )
分析线性、时变性、因果性
信号与系统
作业：13-03-19
P25 1-8(1)(2)
1-9
输出不超前于输入
因果判断方法
设 t t0 ， x(t ) 0 若 y(t ) 0,(t t0 ) 则系统因果。若 y(t ) 0,(t t0 ) 则系统非因果。
信号与系统
五.因果性
例：P23 例1-8-3
（1） （2）
y(t ) af (t ) b
y(t ) tf (t 1)
当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar (t ) 10 Ar (t ) 5 Ae(t ) dt 原方程两端乘A：
d r (t ) A 10r (t ) 5 Ae(t ) dt
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
t 0
(1)
t 0
t 0 t 0
(3) (4)
d r1 (t ) r2 (t ) 10 r1 (t ) r2 (t ) 5 e1 (t ) e2 (t ) dt
(3)+(4)显然不等于(5) 所以该系统为不具有叠加性
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
定义 一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系 统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。 分析： 电路分析上看：元件的参数值是否随时间而变 从方程看：系数是否随时间而变 从输入输出关系看：
C1
f 2 (t )
H
C2
C2 H f 2 (t )
C1 H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
若
H C1 f1 (t ) C2 f 2 (t ) C1H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
e(t ) e(t t0 ) r21 (t ) e(t t0 ) cos t
经过系统 时移 t0
时移 t0
经过系统
t 0 t 0
e(t ) e(t ) cos t r22 (t ) e(t t0 ) cos(t t0 )
r21 (t ) r22 (t )
叠加性：
e1 (t ) r1 (t ) e1 (t ) e2 (t ) r1 (t ) r2 (t ) e2 (t ) r2 (t )
e1 (t )
e2 (t )
e1 (t) e2 (t)
H H
H
r1 (t )
r2 (t )
r1 (t) r2 (t)
信号与系统
详细内容在第五章讨论。
信号与系统
五.因果性
定义
因果系统： 当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。 即 因果系统输出不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。
系统的这种特性称为因果特性。 符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
因果信号
t = 0接入系统的信号称为因果信号。 e(t ) e(t )u (t )
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )
y (t )
f (t )
DE
H
H f (t )
H f (t ) y(t )
若 则
H f (t ) y(t )
系统 H
是非时变系统，否则是时变系统。
H 是线性系统，否则是非线性系统。
则系统
注意：这里是假定系统的初始状态为零。
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? d r (t ) 10r (t ) 5 e(t ) t 0 dt 解：设信号 e(t) 作用于系统，响应为 r(t)
一．线性系统与非线性系统
e1 (t )
e2 (t )
1e1 (t ) 2 e2 (t )
线性：
H H
H
r1 (t )
r2 (t )
1r1 (t ) 2 r2 (t )
1e1 (t ) 2e2 (t ) 1r1 (t ) 2 r2 (t )
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
判断方法 先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
f1 (t )
C 11 C
C1 f1 (t )
f 2 (t )
C 22 C
H H
C 2 f 2 (t )
C1 H f1 (t )
H
H C1 f1 (t ) C2 f 2 (t )
f1 (t )
H f1 (t )
信号与系统
§1.8 线性时不变系统
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
1.定义 线性系统： 指具有线性特性的系统。 线性:指均匀性，叠加性。 均匀性(齐次性)：
e(t ) r (t ) ke(t ) kr (t )
e(t ) ke(t )
H H
r (t )
kr (t )
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
e(t )
e (t t 0 )
H
r (t ) r (t t 0 )
e(t )
r (t )
O
T
t
O
t
e( t t 0 )
r (t t 0 )
O t0
t0 T
t
O
t0
t
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
判断方法 先时移，再经系统＝先经系统，再时移
经过系统
时移 t0
经过系统
r11 (t ) cos e(t t0 )
t 0
时移 t0
r12 (t ) cos e(t t0 ) t 0
r11 (t ) r12 (t )
所以此系统为时不变系统。
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
系统2作用：输入信号乘cost
(2)
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
假设有两个输入信号
e1 (t ) e2 (t )
分别激励系统，
则由所给微分方程式分别有：
当
e1 (t ) e2 (t ) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有
t 0 (5)
d r1 (t ) 10r1 (t ) 5 e1 (t ) dt d r2 (t ) 10r2 (t ) 5 e2 (t ) dt
此系统为时变系统。
信号与系统
三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
e(t )
de(t ) dt
r (t )
H
dr (t ) dt
H
t
e( )d
H
t
r ( )d
利用线性证明，可推广至高阶。
Байду номын сангаас
信号与系统
四. 系统稳定性
定义
系统的稳定性是指在有界输入下，所产生的输出也是有界的， 通常称为BIBO稳定。一个正常工作的系统都必须是稳定的。
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
例： 判断下列两个系统是否为非时变系统。
系统1：
系统2：
r (t ) cos e(t )
t 0
r (t ) e(t ) cos t
t 0
解： 系统1的作用是对输入信号作余弦运算。
e(t ) e(t t0 )
e(t ) cos e(t )
分析线性、时变性、因果性
信号与系统
作业：13-03-19
P25 1-8(1)(2)
1-9
输出不超前于输入
因果判断方法
设 t t0 ， x(t ) 0 若 y(t ) 0,(t t0 ) 则系统因果。若 y(t ) 0,(t t0 ) 则系统非因果。
信号与系统
五.因果性
例：P23 例1-8-3
（1） （2）
y(t ) af (t ) b
y(t ) tf (t 1)
当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar (t ) 10 Ar (t ) 5 Ae(t ) dt 原方程两端乘A：
d r (t ) A 10r (t ) 5 Ae(t ) dt
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
t 0
(1)
t 0
t 0 t 0
(3) (4)
d r1 (t ) r2 (t ) 10 r1 (t ) r2 (t ) 5 e1 (t ) e2 (t ) dt
(3)+(4)显然不等于(5) 所以该系统为不具有叠加性
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
定义 一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系 统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。 分析： 电路分析上看：元件的参数值是否随时间而变 从方程看：系数是否随时间而变 从输入输出关系看：