中考数学第一部分考点研究第六章圆课时25圆的基本性质课件新人教版(1)
图（4）
推论
同弧或等弧所对的圆周角,如图(4)中∠BAC=∠BDC 半圆（或直径）所对的圆周角是，如图（4）中 ∠ADB=90°
图（4）
圆内接四边 形的性质
1.圆内接四边形的对角 互补 ,如图(5)， ∠A+∠BCD= 180° ,∠B+∠D= 180° . 2. 圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内 对角，如图（5），∠DCE= ∠A .
即∠AOB=∠COD A︵B=
(如图（3）)
AB=
︵
CD . CD .
推论
图（3）
推论
1. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所 对的圆心角 相等 ，所对的弦 相等 ；
∠AOB= ∠COD . 即AB=CD= AB= CD . (如图（3）)
图（3） 2. 在同圆等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对 的圆心角 相等 ，所对的弧 心的角，如图（1）中的 ∠BOC,∠AOC 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角，如图（1）中的∠BAC 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过 圆心的弦叫做①直径 ，如图（1）中的AB
圆弧：圆︵上任意两︵点间的部分,如图（1）中
的优弧ABC，劣弧AC 等圆：能够互相重合的圆图（1） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/10
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18
谢谢欣赏！
2019/7/10
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19
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
图(5)
正多边形和圆的关系: (2011版课标新增内容)
如图（6），设正n边形的边长为a，则边心距r= R 2 ( a ) 2 ;
2
正多边形的周长L=na;正多边形面积S＝ 1 nar= 1 Lr;
2
2
中心角θ＝ 3 6 0
n
图（6）
重难点突破 圆周角定理及其推论的相关计算
例 ︵（2016凉山州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，
即AB=CD
∠︵AOB=︵
AB= CD
∠COD .
. (如图（3）)
圆周角定理 及其推论
定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆
1
心角的 _一__半__ 如图（4），∠BAC= 2 ∠BOC
推论
温馨提示 1. 在运用圆周角定理时一定要注意“在 同圆或等圆中”这个条件; 2. 一条弧只对着一个圆心角，却对着无 数个圆周角
练习题图
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
第一部分 考点研究
第六章 圆
课时25 圆的基本性质
考点精讲
圆的基本性质
圆的有关概念及性质 垂径定理及其推论 弧、弦、圆心角的关系 圆周角定理及其推论 圆内接四边形的性质 正多边形和园的关系
概念
圆的有关概 念及其性质
性质
名师PPT
对称性：圆是轴对称图形，任何一② 直径 . 所在的直线都是圆的对称轴;圆也是中心对称 图形，③ 圆心 就是它的对称中心 旋转不变性：围绕着它的圆心任意旋转一个 角度都能与原来的圆重合
A是BDC的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于
︵︵ 点F、E，且BF = AD．
（1）求证：△ADC∽△EBA； （2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．
例题图
(1)【思维教练】
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDA＋∠ABC＝180°， 又∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴∵∠B︵FA＝DAC︵D＝，∠ABE，
∴∠DCA＝∠BAE， ∴△ADC∽△EBA；
(2)【思维教练】
解：∵A是BDC的中点，
∴AB＝AC，
∴AB＝AC＝8，
∵ ∴ ∴ ∴△∠AtaEnAC＝∠ADDCC6 5 4 ∽＝AD△∠＝EAtEBanCA∠，，A∴ECD A＝C BAACEA AC E ,6即 84 58=58A.8E
根据圆的对称性，如图(2)所示，在以下五个结论中：
︵
（1）AC＝⑦
︵
︵
BC；（2）AD=⑧
︵
BD
；（3）AE
=⑨
BE；（4）
AB⊥⑩ CD ；（5）CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三”
图（2）
弧、弦、圆心 角的关系
定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的
弧11 相等 ，所对的弦也 12 相等 ；
,
5
练习 (2016南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，
CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝
40°，则∠P的度数为
( B)
A. 140°
B. 70°
C. 60°
D. 40°
【解析】由题知，∠DCE＝40°， 在四边形CDOE中，∠CDO＝ ∠CEO＝90°， ∴∠DOE＝360° －90°－90°－40°＝140°，根 据圆周角定理，得∠P＝∠AOB＝ ×140°＝70°.
图（1）
定理：垂直于弦的直径④ 平分 弦， 并且平分弦所对的两条弧
垂径定理及其推论
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧
延伸 总结
延伸
1.弦的垂直平分线经过⑤ 圆心 ，并且平分弦所对 的两条弧
2.平分弦所对的一条弧的直径⑥ 垂直平分 弦，并且 平分弦所对的另一条弧
总结：
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中考数学总复习 第六单元 圆 第25课时 圆的基本概念与性质课件数学课件
C.点 P 在圆 A 内,点 M 在圆 A 外
D.点 P 在圆 A 外,点 M 在圆 A 内
第十五页，共三十三页。
图25-4
课堂考点探究
[答案]C
[解析] ∵在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB= 2 + 2 =5.∵CP,CM 分别是 AB 边上的高和中
【命题角度(jiǎodù)】
(1)利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数;
[解析] ∵∠A=66°,∴∠BOC=2∠A=132°,
1
又 OC=OB,∴∠OCB= (180°-∠BOC)=24°,
(2)直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算.
2
例 3(1)[2018·贵港] 如图 25-8,点 A,B,C 均在☉O 上,若∠A=66°, 故选 A.
D.矩形的对角线交点及两个顶点
9.在半径为 5 cm 的圆中,两条平行弦的长度分别为 6 cm 和 8 cm,则这两条弦之间的距离为 7 cm或1 cm
第十四页，共三十三页。
.
课堂考点探究
探究一 确定(quèdìng)圆的条件
【命题角度】
(1)点和圆的位置关系与数量(shùliàng)关系的互逆判断;
则∠OCB 的度数是 (
A.24°
B.28°
C.33°
D.48°
)
图25-8
第二十一页，共三十三页。
课堂考点探究
例 3(2)[2018·北京] 如图 25-9,点 A,B,C,D 在☉O 上,=,
∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=
°.
[答案] 70
[解析] ∵=,∠CAD=30°,∴与
圆的基本性质 —初中数学课件PPT
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A．30° B．29° C．28° D．20°
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广东中考
10.（2017•广州）如图，在⊙O中，AB是直径， CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD， ∠BAD=20°，则下列说法中正确的是 （D ） A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
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课前预习
3. （2017•金华）如图，在半径为13cm的圆 形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则 弓形弦AB的长为（ C ） A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
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课前预习
4. （2017•宜昌）如图，四边形ABCD内接 ⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是 （B ） A．AB=AD B．BC=CD C．弧AB＝弧AD D．∠BCA=∠DCA
第六章 圆
第24讲 圆的基本性质
课前预习 考点梳理 课堂精讲 广东中考
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课前预习
1. （2017•泸州）如图，AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的 长是（ B ） A． B． C．6 D．8
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课前预习
2. （2017•黔西南州）如图，在⊙O中，半径 OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则 CD的长是（ C ） A．3 B．2.5 C．2 D．1
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广东中考
13.（2013广州）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A 两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为 ， 则点P的坐标为 （3，2） ．
课件人教版九年级数学上册课件24.1圆的有关性质精品课件ppt.ppt
A
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O B
活动一：复习导入
垂径定理
▪ 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条
弧.
C
如图∵ CD是直径,
A M└
B
●O
D
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
课件
活动二：名题引路
▪ 如图，已知AB是⊙O
▪ 的中点，弦CD经过点M，∠CMA=30°，
▪
则CD4=15
cm
C
8
E
A
O2
M
B
4 D
课件
活动四：顺利闯二关
▪ 1、（1）⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD, AB=6 cm, CD=8 cm,
▪ ①请画出图形
▪ ②根据图形，求出AB与CD之间的距离 是 。 7cm或1cm
▪
(2)你能直接写出此题的答案么：
O
B
A
课件
D
思考：
1、图中有哪些相等的量？
2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD？ C
3、将弦AB进行
平移时，以上结A O
B
论是否仍成立？
课件
D
思 1.图中有哪些相等的量？
?
考 2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD ？
3.将弦AB进行平移时， C 以上结论是否仍成立？
4.当弦AB与直径 CD不垂直时,以 A
课件
思考： 1、图中有哪些相等的量？
2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD？
C B
O
2023年中考数学复习第一部分考点梳理第六章圆第1节圆的基本概念与性质
十年真题精选
十年真题精选
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重难考点突破
-3-
6.1 圆的基本概念与性质
2.(2021·安徽第20题)如图,圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交
于点E.
(1)M是CD的中点,OM＝3,CD＝12,求圆O的半径长;
(2)点F在CD上,且CE＝EF,求证:AF⊥BD.
十年真题精选
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在Rt△AOD中,∵AD＝ AB＝3,∠OAD＝41.3°,
∴OD＝AD·tan
41.3°≈3×0.88＝2.64,OA＝
.°
≈
＝
.
4,
∴CD＝CO＋OD＝OA＋OD＝6.64米.
答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.
十年真题精选
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6.1
圆的基本概念与性质
6.1 圆的基本概念与性质
十年真题精选
十年真题精选(学用见P113~114)
命题点1垂径定理及其推论[10年7考]
1.(2022·安徽第7题)已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在
弦AB上.若PA＝4,PB＝6,则OP＝(
A.
B.4
C.
D.5
)D
十年真题精选
重难考点突破
-4-
6.1 圆的基本概念与性质
解:(1)如图,连接OC,OD.
因为M是CD的中点,且CD＝12,
所以CM＝DM＝6,且OM⊥DM.
在Rt△OMD中,由勾股定理,得OD＝ ＋ ＝ ＋
＝3 ,
所以圆O的半径长为3 .
十年真题精选
十年真题精选
九年级数学上册 24.1 圆的概念与基本性质课件 (新版)新人教版
c.平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦 所对的另一条弧. 推 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 论 2
推 过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、平分 论 弦所对的优弧，若一条直线具备这五项中的任意两项， 3 则必具备另外三项.
• 1、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并 用方程的思想来解决问题.
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
A
弧 ：AD=BD,AC=BC
C
·O
E B
D
C
已知：直径CDAB于E,
结论：AE=BE,AD=BD,AC=BC
·O
即：直径CD平分弦AB， 并且平分AB及ACD
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
2、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆 半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意 两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r ⑵ r2 d2 (a)2
2
在a,d,r,h中，已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.
活动三
练习
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心 O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
（2）圆的内部可以看作是由到定点的距离小于定长的所有的点 组成的图形． （3）圆的外部可以看作是由到定点的距离大于定长的所有的点 组成的图形．
2、圆的有关概念 1）弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的
弦叫做直径，直径是特殊的弦．（弦是线段，只有长度）
2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧．小于半圆的弧叫 劣弧，大于半圆的弧叫优弧.（弧既有弧度又有长度。）
推 过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、平分 论 弦所对的优弧，若一条直线具备这五项中的任意两项， 3 则必具备另外三项.
• 1、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并 用方程的思想来解决问题.
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
A
弧 ：AD=BD,AC=BC
C
·O
E B
D
C
已知：直径CDAB于E,
结论：AE=BE,AD=BD,AC=BC
·O
即：直径CD平分弦AB， 并且平分AB及ACD
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
2、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆 半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意 两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r ⑵ r2 d2 (a)2
2
在a,d,r,h中，已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.
活动三
练习
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心 O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
（2）圆的内部可以看作是由到定点的距离小于定长的所有的点 组成的图形． （3）圆的外部可以看作是由到定点的距离大于定长的所有的点 组成的图形．
2、圆的有关概念 1）弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的
弦叫做直径，直径是特殊的弦．（弦是线段，只有长度）
2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧．小于半圆的弧叫 劣弧，大于半圆的弧叫优弧.（弧既有弧度又有长度。）
圆的有关概念及性质PPT课件
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
中考数学基础复习第25课圆的基本性质课件
第25课 圆的基本性质
【知识清单】 一、点与圆的位置关系 1.设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外⇔___d_>_r___;点P在圆上⇔___d_=_r___;点P在圆内⇔___d_<_r___. 2.确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定___一__个____圆. 3.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的___垂__直__平__分__线____的交 点.
∴OB=OC= 5 2 ，OA 5 2 ,OF BF 5 ,
2
2
2
∴D⊥AE,OF⊥BC,AD⊥BC,∴四边形OGDF为矩形,∴OG=3D, F=
2
GD5=, OF=
2
在Rt△AGO中,AG= OA2 OG2 41 ,
2
∴AD=AG+GD4=1 5 ,
2
∵AD×DE=BD×CD,
【考点4】 圆相关性质的应用 例4.如图,在▱OABC中,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于点 D. (1)求 BD 的度数; (2)如图,点E在☉O上,连接CE与☉O交于点F.若EF=AB,求∠OCE的度数.
【解析】(1)连接OB,∵BC是☉O的切线,
∴OB⊥BC.∵四边形OABC是平行四边形, ∴OA∥BC,∴OB⊥OA.∴△AOB是等腰直角三角 形.∴∠ABO=45°.∵OC∥AB,∴∠BOC=∠ABO=45°,∴
A.99°
B.108°
C.110°
D.117°
变式2.(202X·泰安)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=BC,∠BAC=30°,AD是 直径,AD=8,则AC的长为 ( B )
A.4 B.4 3 C.8 3
3 D.2 3
【知识清单】 一、点与圆的位置关系 1.设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外⇔___d_>_r___;点P在圆上⇔___d_=_r___;点P在圆内⇔___d_<_r___. 2.确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定___一__个____圆. 3.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的___垂__直__平__分__线____的交 点.
∴OB=OC= 5 2 ，OA 5 2 ,OF BF 5 ,
2
2
2
∴D⊥AE,OF⊥BC,AD⊥BC,∴四边形OGDF为矩形,∴OG=3D, F=
2
GD5=, OF=
2
在Rt△AGO中,AG= OA2 OG2 41 ,
2
∴AD=AG+GD4=1 5 ,
2
∵AD×DE=BD×CD,
【考点4】 圆相关性质的应用 例4.如图,在▱OABC中,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于点 D. (1)求 BD 的度数; (2)如图,点E在☉O上,连接CE与☉O交于点F.若EF=AB,求∠OCE的度数.
【解析】(1)连接OB,∵BC是☉O的切线,
∴OB⊥BC.∵四边形OABC是平行四边形, ∴OA∥BC,∴OB⊥OA.∴△AOB是等腰直角三角 形.∴∠ABO=45°.∵OC∥AB,∴∠BOC=∠ABO=45°,∴
A.99°
B.108°
C.110°
D.117°
变式2.(202X·泰安)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=BC,∠BAC=30°,AD是 直径,AD=8,则AC的长为 ( B )
A.4 B.4 3 C.8 3
3 D.2 3
2023年九年级中考一轮复习数学课件圆的基本性质
例 4 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AB 的中点，连结 CE 交 BD 于点 F，延长 CE 交⊙O 于点 G，连结 BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG； (2)若 AB＝6，求 FB 和 EG 的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC，
∴A︵D＝B︵C.
(2)如图，连结 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD， ∴BD＝DC． ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC． ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10，∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中，52－t2＝(2 5)2－(5－t)2，解得 t＝3， ∴BF＝4.∴BC＝8.
理
相等的圆周角所对的弧相等..
推 1、半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 论 2、圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.
常 见 图 形
圆中常用辅助线：
遇到 弦时
有作垂直于弦的 半径(或直径)或再连接过弦的端点
的半径.
常连弦心距
【解】如图 1，当 PA，PB 不在同一个半圆时，过点 P 作直径 PQ，连结
AQ，BQ.
∵PQ 是⊙O 的直径，
∴∠PAQ＝∠PBQ＝90°.
∵⊙O 的半径 r＝1，
∴PQ＝2r＝2.
图1
∵PA＝ 3，PB＝ 2，
∴cos∠APQ＝PPAQ＝ 23，
cos∠BPQ＝PPQB＝
2 2.
∴∠APQ＝30°，∠BPQ＝45°.
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝75°.
24.1圆的定义与性质 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
巩固练习
2.已知，如图，在⊙0中，AB为弦,C、D两点在弦AB上，且AC=BD， 求证:OC=OD.
证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B
O
又∵AC=BD，
∴△AOC ≅△BOD，
∴OC=OD
AC
DB
归纳总结
01 圆的定义 02 同圆半径相等
D
r
A
rO·
C
r
r r
E
B
人教九年级上册第24章
感谢聆听，同学们再见！
巩固练习
1.填一填
点在圆上 d=r
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 定长r ．
（2）到定点的距离等于定长的点都在
同一个圆上
D
．
d=r O· r
r r
E
B
巩固练习
2. 如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C=∠D
=90°,求证：A、B、C、D在同一圆上.
证明：取AB中点O，连接OC，OD
人教九年级上册第24章
圆的定义与性质
问题1：1、观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形
2、观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
圆的旋转定义（描述性定义） A 在一个平面内，线段OA绕它固定的
一个端点O旋转一周，另一个端点所
r
形成的图形叫做圆．以点O为圆心的 ·
圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
D
∵△ABC和△ABD都为直角三角形,且∠C=∠D=90°
C
∴DO,CO分别为 Rt△ABC和Rt△ABD斜边上中线
∴OA=OB=OC=OD.
A
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
O
B
2022中考数学第一部分知识梳理第六单元圆第24讲圆的基本性质pptx课件
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2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑨ 一半
.
3.推论:
(1)半圆(或直径)所对的圆周角是⑩ 直角 ;90°的圆周角所对的弦是直径.
(2)同弧或等弧所对的圆周角⑪ 相等
.
4.圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角⑫ 互补 .
(2)圆内接四边形的任意一个外角⑬
等于 它的内对角(和它相邻的内角的对角).
如图,已知CB是直径,AD是弦,CB⊥AD于点E,则
AE=
ED
,
=
.
,=
(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所
对的两条弧.如图,已知CB是直径,AD不是直径,AE=DE,则
,
=
.
BC⊥AD,=
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2.垂径定理的应用
B.2α+β=90°
C.2α+β=180°
D.2α-β=90°
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2. (2021·河北中考压轴卷)如图,点A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O
上且平分弧BC,则DC的长为
A.2 B.
( D )
C.2
D.
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的中
3. (2021 · 承 德 模 拟 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 内 接 于 ☉ O,AB=CD, 点 A 为
∴sin∠DOE= = ,
∴OD=13 m.
(2)∵OE= − = − =5(m)
5÷0.5=10(h),
∴经过10 h才能将水排干.
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命题点2
与圆周角有关的计算