高考数学中档大题规范练中档大题6
2019年高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －2cos 2x＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π， 故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值， 所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]， 从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1， 所以f (x )的最大值为32. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1， 从而f (x )＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， 由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)， 解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.。
高高考数学中档大题规范练(数列).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作中档大题规范练——数列1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝64，a 1＋a 5＝18.(1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值．(2)设b n ＝n (2n ＋1)S n，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．解 (1)数列{a n }为等差数列，因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，所以a 2<a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，① 所以a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，所以a 1a 21＝a 2i ，即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， 所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，② 所以b 1＋b 2＋…＋b n＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， 因为n 2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12，③ 所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1. 记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1.① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .②①－②，得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .即数列{na n }的前n 项和为1＋(n －1)·2n .3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3. (1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ， 故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ， a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12(a 2n ＋n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，得a 1＝1， 由S n ＝12(a 2n ＋n )，① 则当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，② ①－②得a n ＝S n －S n －1＝12(a 2n －a 2n －1＋1)， 化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0， a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n )＝(122－1＋142－1＋…＋1n 2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2 ＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n 2)1－4＋n 2 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(4n 2－1)＋n 2 ＝2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1). 当n 为奇数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n )＋(c 2＋c 4＋…＋c n －1)＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(4n －12－1)＋n －12＝2n＋n 2－2n －92(n ＋2). 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋n 2－2n －92(n ＋2)(n 为奇数)，2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)(n 为偶数).5．已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，求最小正整数m .解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以1为首项，23为公差的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13. (2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1(23n －13)(23n ＋13) ＝1(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1)，又b 1＝3＝92(1－13)， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n 2n ＋1， ∵S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立， 即9n 2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N *恒成立， 又9n 2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92， 即m ≥2 023.∴最小正整数m 为2 023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，所以a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列， 则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝72＋3×7＝70，则S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10， ∴该生产线前n 年每年的平均维护费用为S n n ＝⎩⎨⎧ n ＋3，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n，n ≥8. 当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列，当n ≥8时，∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7·⎝⎛⎭⎫n 4－1＋10n (n ＋1)>0， ∴S n ＋1n ＋1>S n n. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为递增数列．又∵S 77＝10<12，S 88＝80×54－108＝11.25<12， S 99＝80×⎝⎛⎭⎫542－109≈12.78>12， 则第9年年初需更新生产线．。
高考数学(文科)中档大题规范练(立体几何)(含答案)
中档大题规范练——立体几何1．如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积．(1)证明由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)证明因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)解由(2)知，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，又AB＝20，BC＝4，△PMB为正三角形，M，D分别为AB，PB的中点，经计算可得MD＝53，DC＝5，S△BCD＝12×BC×BD×sin∠CBD＝12×5×4×215＝221.所以V D－BCM＝V M－DBC＝13×S△BCD×MD＝13×221×53＝107. 2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4.∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB＝14xy ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝1.当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB .即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1.S 梯形EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6.∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别是线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD .(1)求证：DP ⊥平面EPC ；(2)问在EP 上是否存在点F ，使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP的值；若不存在，说明理由．(1)证明 ∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥DP .又ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，连接PQ ，则PQ ⊥DC 且PQ ＝12DC .∴DP ⊥PC .∵EP ∩PC ＝P ，∴DP ⊥平面EPC .(2)解 假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，∵AD ∥BC ，BC ⊂平面BFC ，AD ⊄平面BFC ，∴AD ∥平面BFC .∴AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ，AB ∩EP ＝P ，∴AD ⊥平面EAB ，∴l ⊥平面F AB .∴∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角．∵P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ，∴当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP .∴当FP ＝AP ，即FP AP ＝1时，平面AFD ⊥平面BFC .4．(2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .又因为AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以1C A DE V －＝13×S △A 1ED ×CD ＝13×12×6×3×2＝1.5．(2013·辽宁)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC . 证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O 为AB 中点，得OM ∥BC .因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ，MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .所以平面QMO ∥平面PBC .因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .6．(2014·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ∩AC ＝A ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ⊂平面ACC 1A 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由题意知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，OM ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ， 因此MD 綊OE .从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .。
高考数学中档大题规范练中档大题5
中档大题5 圆锥曲线1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝22，右焦点到直线2ax ＋by －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知椭圆C 的方程与直线x －y ＋m ＝0交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，求m 的取值范围.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过顶点A (－2，0)的直线l 1交y 轴于点Q ，交曲线C 于点R ，过坐标原点O 作直线l 2，使得l 2∥l 1，且l 2交曲线C 于点S ，证明：AQ ，2OS ，AR 成等比数列.3.(2015·无锡模拟)如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，已知点B 在直线l ：y ＝－1上，且椭圆的离心率e ＝32. (1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN .4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N (3,2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值.5.已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率e ＝233，且S △ABF ＝1－32.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程；(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由.6.在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆x 2＋y 2＝4上一动点，PD ⊥x 轴于点D .记满足OM →＝12(OP →＋OD →)的动点M 的轨迹为Г.(1)求轨迹Г的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与轨迹Г交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点，射线OG 交轨迹Г于点Q ，且OQ →＝λOG →，λ∈R .①证明：λ2m 2＝4k 2＋1.②求△AOB 的面积S (λ)的解析式，并计算S (λ)的最大值.答案精析中档大题5 圆锥曲线1.解 (1)由题意，知e ＝c a ＝22， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 所以a 2＝2b 2.所以a ＝2c ＝2b .因为右焦点(c,0)，则|2ac －2|4a 2＋b2＝23， 所以b ＝1，所以a 2＝2，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋m ＝0，x 22＋y 2＝1， 消去y ，可得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，解得－3<m < 3.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3， y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m 3， 所以MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 3，13m ，又MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32≥1，解得m ≥355或m ≤－355. 综上可知－3<m ≤－355或355≤m < 3. 2.(1)解 因为椭圆C 的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，12代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得4b 4－3b 2－1＝0，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 由题意可知直线l 1和l 2的斜率都存在且相同，设直线l 1：y ＝k (x ＋2)，则Q (0，2k )， 又直线OS ：y ＝kx ，代入x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2＝2，所以OS ＝1＋k 2|x s －0|，从而2(OS )2＝2(1＋k 2|x s －0|)2＝4＋4k 21＋2k 2. 将y ＝k (x ＋2)代入x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2＋42k 2x ＋4k 2－2＝0，所以AR ＝1＋k 2|x A －x R |＝22＋2k 21＋2k 2， 又有AQ ＝2＋2k 2，所以AQ ·AR ＝4＋4k 21＋2k2＝2(OS )2， 所以AQ ，2OS ，AR 成等比数列.3.(1)解 依题意，得b ＝1.因为e ＝c a ＝32，又a 2－c 2＝b 2，所以a 2＝4. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，x 0≠0，因为P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以x 204＋y 20＝1. 因为PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，所以点Q 坐标为(0，y 0). 因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0. 又点A 的坐标为(0,1)，可得直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1. 因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1. 因为点B 的坐标为(0，－1)，点N 为线段BC 的中点，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02(1－y 0)，－1. 所以向量NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1. 又OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0， 所以OM →·NM →＝x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 02－x 02(1－y 0)＋y 0(y 0＋1) ＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0 ＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0.所以OM ⊥MN .4.(1)解 依题意，得c ＝2，所以a 2－b 2＝2，由点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，得b ＝OM ＝1，所以a ＝3，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 当直线l 的斜率不存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 23＋y 2＝1，解得x ＝1，y ＝±63. 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－63， 则k 1＋k 2＝2－632＋2＋632＝2为定值. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1).将y ＝k (x －1)代入x 23＋y 2＝1化简整理，得(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－33k 2＋1.又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，所以k 1＋k 2＝2－y 13－x 1＋2－y 23－x 2＝(2－y 1)(3－x 2)＋(2－y 2)(3－x 1)(3－x 1)(3－x 2)＝[2－k (x 1－1)](3－x 2)＋[2－k (x 2－1)](3－x 1)9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝12－2(x 1＋x 2)＋k [2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋6]9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝12－2×6k 23k 2＋1＋k (2×3k 2－33k 2＋1－4×6k23k 2＋1＋6)9－3×6k 23k 2＋1＋3k 2－33k 2＋1＝12(2k 2＋1)6(2k 2＋1)＝2.综上，得k 1＋k 2＝2为定值.5.解 (1)在双曲线中，c ＝a 2＋b 2，由e ＝233，得a 2＋b 2a ＝233，解得a ＝3b ，故c ＝2b .所以S △ABF ＝12(c －a )×b ＝12(2b －3b )×b＝1－32，解得b ＝1.所以a ＝3，c ＝2，其上焦点为F (0,2).所以双曲线M 的方程为y 23－x 2＝1， 抛物线N 的方程为x 2＝8y .(2)由(1)知抛物线N 的方程为y ＝18x 2， 故y ′＝14x ，抛物线的准线为y ＝－2. 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝18x 20， 且直线l 的方程为y －18x 20＝14x 0(x －x 0)， 即y ＝14x 0x －18x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝14x 0x －18x 20，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 20－162x 0，y ＝－2.所以Q (x 20－162x 0，－2). 假设存在点R (0，y 1)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点，也就是RP →·RQ →＝0对于满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立. 由于RP →＝(x 0，y 0－y 1)，RQ →＝(x 20－162x 0，－2－y 1)， 由RP →·RQ →＝0， 得x 0·x 20－162x 0＋(y 0－y 1)(－2－y 1)＝0， 整理得x 20－162－2y 0－y 0y 1＋2y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋2y 1－8)＋(2－y 1)y 0＝0，(*)由于(*)式对满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－y 1＝0，y 21＋2y 1－8＝0，解得y 1＝2. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点，定点坐标为(0,2). 6.(1)解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则点D (x 0,0)，且x 20＋y 20＝4.(a )∵OM →＝12(OP →＋OD →)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝2y .(b ) 将(b )代入(a )，得x 2＋4y 2＝4，∴轨迹Г的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①证明 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4消去y ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2<1＋4k 2，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(c )∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m＝k (－8km )1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2. 又由中点坐标公式，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km1＋4k 2，m1＋4k 2. 根据OQ →＝λOG →，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4λkm 1＋4k 2，λm 1＋4k 2， 将其代入椭圆方程，得4λ2k 2m 2(1＋4k 2)2＋λ2m 2(1＋4k 2)2＝1. 化简得λ2m 2＝1＋4k 2.(d )②解 由(c )，(d )得m ≠0，λ>1.|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 22－4×4m 2－41＋4k 2 ＝41＋4k 2－m 21＋4k2.(e ) 在△AOB 中，S △AOB ＝12|m ||x 1－x 2|，(f )由(d )，(e )，(f )可得S (λ)＝2|m |λ2m 2－m 2λ2m 2＝2λ2－1λ2(λ>1). 令λ2－1＝t ∈(0，＋∞)，则S ＝2t t 2＋1＝2t ＋1t ≤221＝1(当且仅当t ＝1，即λ＝2时取“＝”).∴当λ＝2时，S (λ)＝2λ2－1λ2取得最大值，其最大值为1.。
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高考中档大题规范练(二)数 列1．已知函数f (x )＝7x ＋5x ＋1，数列{a n }满足：2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0且a n ≠0.数列{b n }中，b 1＝f (0)且b n ＝f (a n －1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{|b n |}的前n 项和T n .2．已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 4·a 7＝15，a 3＋a 8＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝19a n －1a n(n ≥2)，b 1＝13，求数列{b n }的前n 项和S n .3．(2015·天津)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值．5．(2015·广东)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *. (1)求a 3的值；(2)求数列{a n }前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .答案精析高考中档大题规范练(二)数 列1．(1)证明 由2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0得1a n ＋1－1a n ＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．(2)解 因为b 1＝f (0)＝5，所以7a 1－1＋5a 1－1＋1＝5， 7a 1－2＝5a 1，所以a 1＝1，1a n ＝1＋(n －1)×12，所以a n ＝2n ＋1. b n ＝7a n －2a n＝7－(n ＋1)＝6－n . 当n ≤6时，T n ＝n 2(5＋6－n )＝n 11－n 2； 当n ≥7时，T n ＝15＋n －62(1＋n －6) ＝n 2－11n ＋602. 所以，T n ＝⎩⎨⎧ n 11－n 2，n ≤6，n 2－11n ＋602，n ≥7.2．解 (1)根据题意a 3＋a 8＝8＝a 4＋a 7，a 4·a 7＝15，所以a 4，a 7是方程x 2－8x ＋15＝0的两根，且a 4<a 7，解得a 4＝3，a 7＝5.设数列{a n }的公差为d ，由a 7＝a 4＋(7－4)·d ，得d ＝23. 故等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 4＋(n －4)·d ＝3＋(n －4)·23＝2n ＋13. (2)当n ≥2时，b n ＝19a n －1a n ＝19·2n －13·2n ＋13＝12n －12n ＋1 ＝12(12n －1－12n ＋1)， 又b 1＝13＝12(1－13)， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 即数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2n ＋1. 3．解 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.由递推公式得当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12； 当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2. 所以，{a n }的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －12，n 为奇数，22n ，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1. 设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12－n 2n ＝2－22n －n 2n ， 整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *. 所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *. 4．解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1.∴a n ＝2n ＋1，∴3n b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n ， ∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式， ∴b n ＝4n －13n －1. (2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n ＝3＋4·131－13n －11－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n . ∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1. T n －T n ＋1＝4n ＋1＋52·3n －4n ＋52·3n －1＝－4n ＋33n<0. ∴T n <T n ＋1，即{T n }为递增数列．又T 3＝599<7，T 4＝649>7， ∴T n <7时，n 的最大值为3.5．(1)解 a 1＝1，a 1＋2a 2＝2，a 2＝12，a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54，a 3＝14. (2)解 n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋(n －1)·a n －1＝4－n ＋12n －2， 与原式相减，得na n ＝n 2n －1，a n ＝12n －1，n ＝1也符合，T n ＝1－12n 1－12＝2－12n －1. (3)证明 n ≥2时，b n ＝T n －1n＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1n＋ ⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n ，故S n ＝∑i ＝1n b i ＝a 1＋a 12＋⎝⎛⎭⎫1＋12a 2＋a 1＋a 23＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13a 3＋…＋a 1＋a 2＋…＋a n －1n＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i T n ＝ ⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ⎝⎛⎭⎫2－12n －1 <2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ， 只需证明2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n <2＋2ln n ，n ∈N *. 对于任意自然数k ∈N ，令x ＝－1k ＋1∈ (－1,0)时，ln ⎝⎛⎭⎫－1k ＋1＋1＋1k ＋1<0，即1k ＋1<ln(k ＋1)－ln k . ∴k ＝1时，12<ln 2－ln 1，k ＝2时，13<ln 3－ln 2. …k ＝n －1时，1n<ln n －ln(n －1)． ∴1＋12＋13＋ (1)<1＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n －ln(n －1)]， 即1＋12＋13＋…＋1n <1＋ln n ，∴n ≥2时，2⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋ (1)<2＋2ln n ，综上n ∈N *时，S n <2＋2ln n .。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b ≥1)的离心率e ＝22，右焦点到直线2ax ＋by －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知椭圆C 的方程与直线x －y ＋m ＝0交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，求m 的取值范围.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P ⎝⎛⎭⎫62，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过顶点A (－2，0)的直线l 1交y 轴于点Q ，交曲线C 于点R ，过坐标原点O 作直线l 2，使得l 2∥l 1，且l 2交曲线C 于点S ，证明：|AQ |，2|OS |，|AR |成等比数列.3.(2015·天津模拟)如图所示，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝3 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.4.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值.5.已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率e ＝233，且S △ABF ＝1－32.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程；(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由.6.在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆x 2＋y 2＝4上一动点，PD ⊥x 轴于点D .记满足OM →＝12(OP →＋OD →)的动点M 的轨迹为Г.(1)求轨迹Г的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与轨迹Г交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点，射线OG 交轨迹Г于点Q ，且OQ →＝λOG →，λ∈R .①证明：λ2m2＝4k2＋1.②求△AOB的面积S(λ)的解析式，并计算S(λ)的最大值.答案精析中档大题规范练51.解 (1)由题意，知e ＝c a ＝22， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 所以a 2＝2b 2.所以a ＝2c ＝2b .因为右焦点(c,0)，则|2ac －2|4a 2＋b 2＝23， 所以b ＝1，所以a 2＝2，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋m ＝0，x 22＋y 2＝1，消去y ，可得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，解得－3<m < 3.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3， y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m 3， 所以MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－2m 3，13m ，又MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，所以⎝⎛⎭⎫－2m 32＋⎝⎛⎭⎫m 32≥1，解得m ≥355或m ≤－355. 综上可知－3<m ≤－355或355≤m < 3. 2.解 (1)因为椭圆C 的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1，将点P ⎝⎛⎭⎫62，12代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得4b 4－3b 2－1＝0，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知直线l 1和l 2的斜率都存在且相同，设直线l 1：y ＝k (x ＋2)，则Q (0，2k )，又直线OS ：y ＝kx ，代入x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2＝2，所以|OS |＝1＋k 2|x s －0|，从而2|OS |2＝2(1＋k 2|x s －0|)2＝4＋4k 21＋2k 2. 将y ＝k (x ＋2)代入x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2＋42k 2x ＋4k 2－2＝0，所以|AR |＝1＋k 2|x A －x R |＝22＋2k 21＋2k 2， 又有|AQ |＝2＋2k 2，所以|AQ |·|AR |＝4＋4k 21＋2k 2＝2|OS |2， 所以|AQ |，2|OS |，|AR |成等比数列.3.(1)解 依题意，得b ＝1.因为e ＝c a ＝32，又a 2－c 2＝b 2，所以a 2＝4. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，x 0≠0，因为P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以x 204＋y 20＝1. 因为PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，所以点Q 坐标为(0，y 0).因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫x 02，y 0. 又点A 的坐标为(0,1)，可得直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1. 因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝⎛⎭⎫x 01－y 0，－1. 因为点B 的坐标为(0，－1)，点N 为线段BC 的中点，所以N ⎝⎛⎭⎫x 02(1－y 0)，－1. 所以向量NM →＝⎝⎛⎭⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1.又OM →＝⎝⎛⎭⎫x 02，y 0， 所以OM →·NM →＝x 02⎣⎡⎦⎤x 02－x 02(1－y 0)＋y 0(y 0＋1) ＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0＝⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0.所以OM ⊥MN .4.(1)解 依题意，得c ＝2，所以a 2－b 2＝2，由点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，得b ＝|OM |＝1，所以a ＝3，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 当直线l 的斜率不存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 23＋y 2＝1， 解得x ＝1，y ＝±63. 设A ⎝⎛⎭⎫1，63，B ⎝⎛⎭⎫1，－63， 则k 1＋k 2＝2－632＋2＋632＝2为定值. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1).将y ＝k (x －1)代入x 23＋y 2＝1化简整理， 得(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－33k 2＋1. 又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，所以k 1＋k 2＝2－y 13－x 1＋2－y 23－x 2＝(2－y 1)(3－x 2)＋(2－y 2)(3－x 1)(3－x 1)(3－x 2)＝[2－k (x 1－1)](3－x 2)＋[2－k (x 2－1)](3－x 1)9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝12－2(x 1＋x 2)＋k [2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋6]9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝12－2×6k 23k 2＋1＋k (2×3k 2－33k 2＋1－4×6k 23k 2＋1＋6)9－3×6k 23k 2＋1＋3k 2－33k 2＋1＝12(2k 2＋1)6(2k 2＋1)＝2. 综上，得k 1＋k 2＝2为定值.5.解 (1)在双曲线中，c ＝a 2＋b 2，由e ＝233，得a 2＋b 2a ＝233， 解得a ＝3b ，故c ＝2b . 所以S △ABF ＝12(c －a )×b ＝12(2b －3b )×b ＝1－32，解得b ＝1. 所以a ＝3，c ＝2，其上焦点为F (0,2).所以双曲线M 的方程为y 23－x 2＝1， 抛物线N 的方程为x 2＝8y .(2)由(1)知抛物线N 的方程为y ＝18x 2， 故y ′＝14x ，抛物线的准线为y ＝－2. 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝18x 20， 且直线l 的方程为y －18x 20＝14x 0(x －x 0)， 即y ＝14x 0x －18x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝14x 0x －18x 20，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－162x 0，y ＝－2.所以Q (x 20－162x 0，－2). 假设存在点R (0，y 1)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点，也就是RP →·RQ →＝0对于满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立.由于RP →＝(x 0，y 0－y 1)，RQ →＝(x 20－162x 0，－2－y 1)， 由RP →·RQ →＝0，得x 0·x 20－162x 0＋(y 0－y 1)(－2－y 1)＝0， 整理得x 20－162－2y 0－y 0y 1＋2y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋2y 1－8)＋(2－y 1)y 0＝0，(*)由于(*)式对满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－y 1＝0，y 21＋2y 1－8＝0，解得y 1＝2. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点，定点坐标为(0,2).6.(1)解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则点D (x 0,0)，且x 20＋y 20＝4.(a )∵OM →＝12(OP →＋OD →)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .(b ) 将(b )代入(a )，得x 2＋4y 2＝4，∴轨迹Г的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①证明 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4消去y ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2<1＋4k 2，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(c )∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m＝k (－8km )1＋4k 2＋2m ＝2m 1＋4k 2.又由中点坐标公式，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 根据OQ →＝λOG →，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4λkm 1＋4k 2，λm 1＋4k 2， 将其代入椭圆方程，得4λ2k 2m 2(1＋4k 2)2＋λ2m 2(1＋4k 2)2＝1. 化简得λ2m 2＝1＋4k 2.(d )②解 由(c )，(d )得m ≠0，λ>1.|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 22－4×4m 2－41＋4k 2 ＝41＋4k 2－m 21＋4k 2.(e ) 在△AOB 中，S △AOB ＝12|m ||x 1－x 2|，(f ) 由(d )，(e )，(f )可得S (λ)＝2|m |λ2m 2－m 2λ2m 2＝2λ2－1λ2(λ>1). 令λ2－1＝t ∈(0，＋∞)，则S ＝2t t 2＋1＝2t ＋1t ≤221＝1 (当且仅当t ＝1，即λ＝2时取“＝”). ∴当λ＝2时，S (λ)＝2λ2－1λ2取得最大值，其最大值为1.。
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中档大题规范练7 综合练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且sin A sin C ＝34.(1)求角B 的大小；(2)若x ∈[0，π)，求函数f (x )＝sin(x －B )＋sin x 的值域． 解 (1)因为a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac . 由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C . 又sin A sin C ＝34，所以sin 2B ＝34.因为sin B >0，则sin B ＝32. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3或2π3.又b 2＝ac ，则b ≤a 或b ≤c ，即b 不是△ABC 的最大边，故B ＝π3.(2)因为B ＝π3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋sin x ＝sin x cos π3－cos x sin π3＋sin x＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 因为x ∈[0，π)，则－π6≤x －π6<5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1.故函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 2．2015届高三学生参加自主招生考试，某辅导学校针对自主招生计划开设a ，b ，c 三个班，据统计，某班每位同学报名参加这三个班的概率分别为34，13，12，并且报名参加三个班之间互不影响．(1)该班现有甲、乙、丙、丁4名同学，求这4名同学中至少有3名同学报名参加a 班的概率；(2)若用X 表示该班甲同学报名参加的班次，求X 的分布列与数学期望． 解 (1)记“这4名同学中至少有3名同学报名参加a 班”为事件M ，则P (M )＝C 34⎝⎛⎭⎫343⎝⎛⎭⎫1－34＋C 44⎝⎛⎭⎫344⎝⎛⎭⎫1－340 ＝189256. (2)记“甲同学报名参加a 班”为事件A ，“甲同学报名参加b 班”为事件B ，“甲同学报名参加c 班”为事件C ，由条件可知X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝P (A B C )＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－12＝112， P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝34×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－34×13×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13×12＝924＝38， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝34×13×⎝⎛⎭⎫1－12＋34×⎝⎛⎭⎫1－13×12＋⎝⎛⎭⎫1－34×13×12＝1024＝512， P (X ＝3)＝P (ABC )＝34×13×12＝18.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P1123851218故X 的数学期望为E (X )＝0×112＋1×38＋2×512＋3×18＝1912.3.如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，ED ∥FB ，ED ⊥平面ABCD ，AD ＝BD ＝2，BF ＝2DE ＝2 2.(1)求证：AE ⊥CF ；(2)求二面角A —FC —E 的余弦值．(1)证明 方法一 在△AEF 中，AE ＝6，EF ＝6，AF ＝23，∴AE 2＋EF 2＝AF 2，∴AE ⊥EF . 在△AEC 中，AE ＝6，EC ＝6，AC ＝23， ∴AE 2＋EC 2＝AC 2，∴AE ⊥EC . 又∵EF ∩EC ＝E ，∴AE ⊥平面ECF ， 又∵FC ⊂平面ECF ，∴AE ⊥FC . 方法二 ∵ABCD 是菱形，AD ＝BD ＝2， ∴AC ⊥BD ，AC ＝2 3.∵ED ⊥平面ABCD ，BD ＝2，BF ＝2DE ＝22，故可以O 为坐标原点，以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (3，0,0)，E (0，－1，2)，C (－3，0,0)，F (0,1,22)， ∴AE →＝(－3，－1，2)，CF →＝(3，1,22)． ∴AE →·CF →＝(－3，－1，2)·(3，1,22) ＝－3－1＋4＝0. ∴AE ⊥CF .(2)解 由(1)知A (3，0,0)，C (－3，0,0)，F (0,1，22)，E (0，－1，2)，则AF →＝(－3，1,22)，AC →＝(－23，0,0)，EF →＝(0,2，2)，EC →＝(－3，1，－2)， 设平面AFC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 由AF →·n 1＝0，AC →·n 1＝0，得－3x 1＋y 1＋22z 1＝0且－23x 1＝0， 令z 1＝1，得n 1＝(0，－22，1)．设平面EFC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由EF →·n 2＝0，EC →·n 2＝0，得2y 2＋2z 2＝0且－3x 2＋y 2－2z 2＝0，令y 2＝－1，得n 2＝(－3，－1，2)． 设二面角A —FC —E 的大小为θ，则 cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝0＋22＋23·6＝33.即二面角A —FC —E 的余弦值为33. 4．数列{a n }的前n 项和为S n ，且点(n ，S n )在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m60对所有的n ∈N *都成立的最小值m .解 (1)因为点(n ，S n ) (n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5， 所以，a n ＝6n －5 (n ∈N *)． (2)由(1)得知b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝12⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1， 故T n ＝∑ni ＝1b i＝12[⎝⎛⎭⎫1－17＋⎝⎛⎭⎫17－113＋… ＋⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1]＝12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1. 因此，要使12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1<m 60 (n ∈N *)成立的m ，必须且仅须满足12≤m60，即m ≥30，所以满足要求的最小值m 为30.5．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx ，且f (1)＝－1，f ′(1)＝0， (1)求f (x )； (2)求f (x )的最大值；(3)若x >0，y >0，证明：ln x ＋ln y ≤xy ＋x ＋y －32.(1)解 由b ＝f (1)＝－1，f ′(1)＝a ＋b ＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＝ln x －x 为所求． (2)解 ∵x >0，f ′(x )＝1x －1＝1－x x，x0<x <1x ＝1x >1f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值↘∴f (x )在x ＝1处取得极大值－1，即所求最大值为－1. (3)证明 由(2)得ln x ≤x －1恒成立，∴ln x ＋ln y ＝ln xy 2＋ln x ＋ln y 2≤xy －12＋x －1＋y －12＝xy ＋x ＋y －32成立．6．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和等于4. (1)写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)过点P ⎝⎛⎭⎫1，14的直线与椭圆交于两点D 、E ，若DP ＝PE ，求直线DE 的方程； (3)过点Q (1,0)的直线与椭圆交于两点M 、N ，若△OMN 面积取得最大，求直线MN 的方程． 解 (1)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2； 又点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上， 因此122＋34b2＝1.得b 2＝1，于是c 2＝3；所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．(2)∵P 在椭圆内，∴直线DE 与椭圆相交， ∴设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，代入椭圆C 的方程得x 21＋4y 21－4＝0，x 22＋4y 22－4＝0，相减得2(x 1－x 2)＋4×2×14(y 1－y 2)＝0，∴斜率为k ＝－1.∴DE 方程为y －14＝－(x －1)，即4x ＋4y －5＝0.(3)直线MN 不与y 轴垂直，∴设MN 方程为my ＝x －1，代入椭圆C 的方程得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，且Δ>0成立．又S △OMN ＝12|y 1－y 2|＝12×4m 2＋12(m 2＋4)m 2＋4＝2m 2＋3m 2＋4，设t ＝m 2＋3≥3，则S △OMN ＝2t ＋1t ，⎝⎛⎭⎫t ＋1t ′＝1－t －2>0对t ≥3恒成立，∴t ＝3时，t ＋1t取得最小，S △OMN 最大，此时m ＝0，∴MN 方程为x ＝1.。
甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(文)专题训练：中档大题保分练(六)Word版含答案
(推荐时间：50分钟)1． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值． 解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ. 由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin B ， 即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.(2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θcos θ.因为tan θ＝－43，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以sin θ＝45，cos θ＝－35. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－22×45＝210， 故OA →·OB →＝42×210×⎝⎛⎭⎫－35＝－1225. 2． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段．(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13. (2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<x ＋y <6， 所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >6－x －y x ＋6－x －y >y y ＋6－x －y >x，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3y <3x <3， 所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.3． 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，棱AA 1与底面ABC 垂直，△ABC为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ， BC 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求证：平面AB 1F ⊥平面AEF .证明 (1)取AB 中点G ，连接DG ，GC .因为D 是AB 1的中点，所以DG ∥BB 1，且DG ＝12BB 1， 又因为BB 1∥CC 1，CE ＝12CC 1， 所以DG ∥CE 且DG ＝CE ，所以四边形DGCE 为平行四边形，所以DE ∥GC . 又DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，F 为BC 的中点， 所以BC ⊥AF ，由题意知B 1B ⊥平面ABC ，所以B 1B ⊥AF .又因为B 1B ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面B 1BF ，所以AF ⊥B 1F .设AB ＝AA 1＝2，则B 1F ＝6，EF ＝3，B 1E ＝3， 所以B 1F 2＋EF 2＝B 1E 2，所以B 1F ⊥EF ， 又AF ∩EF ＝F ，所以B 1F ⊥平面AEF . 又因为B 1F ⊂平面AB 1F ，所以平面AB 1F ⊥平面AEF .4． 已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ， ①a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4， ② 由①，得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2. 当q ＝1时，不合题意舍去；当q ＝2时，代入②，得a 1＝2.则a n ＝2·2n －1＝2n . (2)因为b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n ， 所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0， 所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0， 即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10. 又n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。
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中档大题6 导数应用1.已知函数f (x )＝e x(x 2＋bx ＋c )，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋1. (1)求f (x )的解析式； (2)讨论f (x )的单调区间.2.(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围.3.设函数f (x )＝x 2＋b ln(x ＋1)，其中b ≠0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：当b ＝1时，对于任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>52.4.已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R ). (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围.5.已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)若函数f (x )在区间[2,6]内有极值，求a 的取值范围.6.已知函数f (x )＝ln x －32＋ax，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[4，＋∞)上的最小值； (2)令g (x )＝f (x )＋32－ax .①若方程e2g (x )＝ln x －f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，求实数a 的取值范围； ②若G (k )＝g (k )＋g (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *，证明：当n ≥2，n ∈N *时，总有G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>43.答案精析中档大题6 导数应用1.解 (1)因为f (x )＝e x (x 2＋bx ＋c )， 所以f ′(x )＝e x [x 2＋(2＋b )x ＋b ＋c ].因为y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋1， 又f ′(0)＝4，所以b ＋c ＝4. 又f (0)＝c ＝1，所以b ＝3. 所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1). (2)由(1)得f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)， 所以f ′(x )＝e x (x 2＋5x ＋4). 令f ′(x )>0，即x 2＋5x ＋4>0， 解得x <－4或x >－1； 令f ′(x )<0，即x 2＋5x ＋4<0， 解得－4<x <－1.综上，f (x )的单调递增区间为(－∞，－4]和[－1，＋∞)，单调递减区间为[－4，－1]. 2.解 (1)因为f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R )，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x ＋2a x ＝x 2＋2ax.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). ②当a <0时，令f ′(x )＝0⇒x 2＋2a ＝0⇒x 2＝－2a ， 解得x ＝－2a 或x ＝－－2a (舍). 所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：↘由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－2a ]，单调递增区间是[－2a ，＋∞).综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递减区间是(0，－2a ]，单调递增区间是[－2a ，＋∞). (2)因为g (x )＝2x ＋f (x )＝2x ＋12x 2＋2a ln x ，所以g ′(x )＝－2x 2＋x ＋2a x ＝x 3＋2ax －2x2， 因为g (x )＝2x＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，所以g ′(x )≥0，即x 3＋2ax －2≥0在区间[1,4]上恒成立， 即2a ≥2x－x 2在区间[1,4]上恒成立.设h (x )＝2x－x 2(x ∈[1,4])，则h ′(x )＝－2x2－2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋2x <0，所以h (x )在[1,4]上单调递减，则h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－312，1.所以2a ≥1，即a ≥12.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 3.(1)解 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 求导得f ′(x )＝2x ＋bx ＋1＝2x 2＋2x ＋bx ＋1，令g (x )＝2x 2＋2x ＋b ，①当g (x )＝0在(－1，＋∞)上无解，即b >12时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增.②当g (x )＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根，即2x 2＋2x ＋b ＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8b >0，g (－1)>0，即0<b <12，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－1－1－2b 2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1－2b 2，－1＋1－2b 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1＋1－2b 2，＋∞上单调递增.③当g (x )＝0在(－1，＋∞)上有两个相等的实根，即b ＝12时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增.(2)证明 当b ＝1时，f (x )＝x 2＋ln(x ＋1)， 令h (x )＝f (x )－52x ＝x 2＋ln(x ＋1)－52x (x ≥1)，h ′(x )＝2x ＋1x ＋1－52＝(4x ＋3)(x －1)2(x ＋1)，当x ≥1时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[1，＋∞)上是增函数. 由已知，不妨设1≤x 1<x 2，则h (x 1)<h (x 2)，f (x 1)－52x 1<f (x 2)－52x 2，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>52.4.解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax(a ≠0，x ≠0)， 令x ＝－1，得f (－1)＝1－a . 令x ＝1，得f (1)＝1＋a .∴f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1). ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. (2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数， 则f ′(x )≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即2x －a x2≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即a ≤2x 3在[2，＋∞)上恒成立， 只需a ≤(2x 3)min ，x ∈[2，＋∞)， ∴a ≤16，∴a 的取值范围是(－∞，16]. 5.解 (1)因为f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x.令f ′(x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0，则Δ＝a 2－4. ①若a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x )≥0，所以当－2≤a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点. ②若a 2－4>0，即a <－2或a >2时， 方程x 2－ax ＋1＝0的解为x ＝a ±a 2－42. (ⅰ)当a >2时，0<a －a 2－42<a ＋a 2－42.所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a －a 2－42和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －a 2－42，a ＋a 2－42.所以f (x )的极大值点为a －a 2－42，f (x )的极小值点为a ＋a 2－42.(ⅱ)当a <－2时，a －a 2－42<0，a ＋a 2－42<0.所以当a <－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点. 综上，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； 当a >2时，f (x )的极大值点为a －a 2－42，f (x )的极小值点为a ＋a 2－42.(2)因为函数f (x )在区间[2,6]内有极值， 所以f ′(x )＝0在区间[2,6]内有解， 所以x 2－ax ＋1＝0在区间[2,6]内有解， 所以a ＝x ＋1x在区间[2,6]内有解.设h (x )＝x ＋1x，对x ∈[2,6]，h ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2>0，所以h (x )在[2,6]内单调递增.所以h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，376.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，376. 6.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －32＋1x ，当x ∈[4，＋∞)时，f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上单调递增，当x ＝4时，f (x )取得最小值f (4)＝ln4－54.(2)g (x )＝f (x )＋32－ax ＝ln x .①因为原方程即e2ln x＝32－a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，所以x 2＝32－a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，所以a ＝－x 3＋32x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.令y ＝－x 3＋32x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则y ′＝－3x 2＋32，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，由y ′＝0，得x ＝22(舍去－22)，则x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，y ′>0，函数y ＝－x 3＋32x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22上递增，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，y ′<0，函数y ＝－x 3＋32x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2上递减，所以当x ＝22时，y 取得极大值22. 又x ＝12时，y ＝58，x ＝2时，y ＝－5，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，22. ②因为G (k )＝g (k )＋g (k ＋1)＝ln k ＋ln(k ＋1)＝ln k (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *.由(1)可知函数f (x )＝ln x －32＋1x ≥f (4)＝ln4－54>0，即ln x >32－1x 对x ∈[4，＋∞)恒成立，而k (k ＋1)>4，k ≥2，k ∈N *，所以G (k )＝ln k (k ＋1)>32－1k (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *恒成立，所以G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>32(n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝32(n －1)－(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝3(n －1)2－12＋1n ＋1＝3n 2＋1n ＋1－2＝3(n ＋1)2＋1n ＋1－72，n ≥2，n ∈N *恒成立.又3(n ＋1)2＋1n ＋1－72在[2，＋∞)上递增，且n ＝2时，3(n ＋1)2＋1n ＋1－72＝92＋13－72＝43，所以当n ≥2，n ∈N *时，总有G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>43.。