1.1随机事件及其运算
(完整版)概率论第一章随机事件与概率
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
概率
二、乘法公式
设A、B，P（A）>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A). (1.6.2)
式(1.6.2)就称为事件A、B的概率乘法公式。 式(1.6.2)还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： (1.6.3)
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).
2 P( A1 ) 5
3 P( A2 | A1 ) 6
例1.6：在盒子中有十个相同的球，分别标为
号码1、2、…、10，从中任取一球，求此球的号 码为偶数的概率。
三、古典概型的几类基本问题
复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1 种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种 方法。 加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一 种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完 成这件事共有n1+n2种方法。
Y=x+15 60 15 15 60
m( A) 60 2 45 2 7 P( A) 2 m( S ) 16 60
Y=x-15
三、几何概率的基本性质
（1）0 P(A) 1； （2）P( S)＝1；P( )=0； （3）若，A1,A2,…An…两两互不相容，则
P（ An） P( An ) （可列可加性）。
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
概率论与数理统计教程(茆诗松)
例1.1.1
口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？
解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;. 2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数.
• 排列讲次序，组合不讲次序.
• 全排列：Pn= n! • 0! = 1.
• •
重选复排排列：列Pn：r n(rn
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
事件的表示
➢在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A.
➢维恩图 ( Venn ). ➢事件的三种表示
用语言、用集合、用随机变量.
1.1.5 事件间的关系
➢包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发
生. ➢相等关系: A = B A B 而且 B
5. 试用A、B、C ห้องสมุดไป่ตู้示下列事件：
① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC
④ 至少有一个出现；A B C
⑤ 至多有一个出现；ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC
⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现；AB AC BC
A A不发生、对立事件 A的余集
注意点(1)
基本事件互不相容，基本事件之并
=ΩA A A
A A Ω
A A
A A
A
A
AB A B
B
北邮概率论与数理统计样本空间及随机事件1.1
§1.1 随机事件及其运算1.随机现象自然界和社会上发生的现象多种多样.有些现象,我们可以准确预言他们在一定条件会出现何种结果,例如“在标准大气压下,纯水加热到C ︒100时必定沸腾”等等,这类现象我们称为确定性现象.然而自然界和社会上还有许多现象,他们在一定条件下，并不总是出现相同结果,而且事先我们无法准确预言会出现何种结果, 这类现象我们称为随机现象.随机现象随处可见。
如抛一枚硬币，其结果可能是正面朝上,也可能反面朝上,而且在出现结果之前无法准确预言会出现何种结果.再比如用一仪器在相同条件下测量一物体的质量,各次测量结果会有差异,等等。
有的随机现象可以在相同条件下重复,也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复. 对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.对于这类随机现象，我们常常通过多次重复的随机试验，观察其出现的结果，以期发现随机现象的规律性。
长期的实践经验表明，在大量重复试验下,随机现象的结果的出现往往呈现出某种规律性.例如大量重复抛一枚硬币,正面出现的次数与反面出面出现的次数大致相当,等等.这种在大量重复试验中所呈现的规律性就是我们以后常说的统计规律性.概率论与数理统计的研究对象是随机现象,研究和揭示随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象.2.样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。
在概率论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，这一原始概念又联系着另一原始概念“随机试验”.概率论中所说的随机试具有下述特点:(1)可以在相同条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先能明确试验的所有可能的结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪个结果会发生.随机试验的可能结果称为样本点，用ω表示样本点；而随机试验的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为}{ω=Ω.在具体问题中,认清“样本空间是哪些样本点构成的”是十分重要的. 有些随机试验凭“经验”可确定样本点和样本空间,有些随机试验需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间.样本点和样本空间的确定也与研究目的有关,或者说与观察或记录的是什么有关.看下面一些例子.例 1 考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为}6,5,4,3,2,1{=Ω.如果我们只是观察出现奇数点还是偶数点,那么样本空间可以确定为{=Ω出现奇数点,出现偶数点}.例 2 考虑试验:观察一天内进入某商场的人数. 一天内进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为},3,2,1,0{⋅⋅⋅=Ω,即样本空间确定为全体非负整数构成的集合.例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便, 我们把该试验的样本空间“理想化”地确定为),0[+∞=Ω.例 4 对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反面出现的情况,则样本空间为},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH =Ω;若我们记录正面出现的次数,则样本空间为}3,2,1,0{=Ω.若样本空间中的元素个数是有限个,我们称此样本空间为有限样本空间. 若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.3.随机事件有了样本空间后,我们可以给出随机事件的概念.直观上, 随机事件是随机现象或随机试验中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生应当能由试验出现的结果判定,因此一个事件可以由使其发生的那些样本点组成，换言之, 随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.设随机试验E 的样本空间为}{ω=Ω,我们称样本空间为}{ω=Ω的子集为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,…表示.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间Ω本身.空集Φ作为样本空间Ω的子集也是事件,称此事件为不可能事件. 显然, 必然事件在每次试验中是必定发生的,不可能事件在任一次试验中都不会发生.这两种情况已无随机性可言,但我们把它们视为随机事件的特例.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已经给定，随机事件就是该样本空间的子集。
1.1 - 随机事件及其运算 - 习题精选参考答案
参考答案 1. 11. 试写出下列随机试验的样本空间：（1）袋中有7个白球和3个红球，现采用有放回抽取和无放回抽取两种方式，每次任取一个球，观察首次取到红球时的抽取次数；（2）现有一个50人的班级，请记录该班一次概率考试的平均分（百分制）；（3）同时掷3颗色子一次，记录色子点数之和；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标；（5）将一个单位圆切成三块，记录每一块的面积。
解：（1）在有放回情况之下：},3,2,1{L =Ω在无放回的情况之下：}8,,3,2,1{L =Ω（2）记录平均分，}5010050,,503,502,501,0{×=ΩL （3）记录点数之和，}18,,5,4,3{L =Ω（4）单位圆中任取点),(y x ，其坐标满足122≤+y x ，故样本空间为}1|),({22≤+=Ωy x y x（5）由于单位圆的面积为π，故切成的三块面积z y x ,,应满足：π=++z y x ，从而所求的样 本空间为：}0,0,0,|),,({>>>=++=Ωz y x z y x z y x π.2. 设C B A ,,表示三个随机事件，试用C B A ,,的运算表示下列事件：（1）仅B 发生；（2）C B A ,,都不发生；（3）C B A ,,都发生；（4）C B A ,,不都发生；（5）C B A ,,至少有一个发生；（6）C B A ,,恰有一个发生；（7）C B A ,,至多有一个发生。
解：（1）C B A ； （2）C B A ； （3）ABC ； （4）ABC 或C B A ∪∪；（5）C B A ∪∪或ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A ∪∪∪∪∪∪；（6）C B A C B A C B A ∪∪；（7）C B A C B A C B A C B A ∪∪∪.3. 以A 表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”，则其对立事件A 为 （ D ）(A) “甲产品滞销，乙产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销”4. 在图书馆任选一本书，设{=A 数学书}，{=B 中文版的书}，{=C 1999年后出版的书}，试问：（1）C B A ∩∩表示什么事件？（2）在什么情况下有A ABC =？（3）B C ⊂表示什么意思？（4）若B A =，是否意味着馆中所有的数学书都不是中文版的？解：（1）C B A ∩∩表示事件{1999年或1999年以前出版的中文版数学书}；（2）若A ABC =，则BC A ⊂，从而只有在事件{馆中的数学书都是1999年后出版的中文书} 发生的条件之下，等式才成立；（3）B C ⊂表示馆中1999年或1999年以前出版的书都是中文版的；（4）B A B A ⊂⇔=且A B ⊂，故B A =表示馆中的非数学书都是中文版的，并且中文版的 书都不是数学书；又B A =B A B A ⊂⇔=⇔且A B ⊂，故B A =又表示馆中的数学书 都不是中文版的，并且所有外文版的书都是数学书。
1随机事件与事件间的关系与运算介绍
四
事件间的运算法则
1）幂等律: A A A,
AA A
2）交换律: A B B A, A B B A 3）结合律: 4）分配律:
A B C A B C A B C A B C
( A B) C A C B C; C ( A B) C A C B
2
A3
( 2 ) A1 A
2
A3 A 1 A2 A3 A 1 A2 A3
(3 ) A 1 A 2 A3
(4) A1 A2 A3
(5) (3) (2)
例2：已知A表示事件“全班学生英语成绩都及格”，则
A 表示什么含义？
§1
随机事件的概率
练习：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. (1) A 发生，B 与 C 都不发生.
AB C .
(2) A ,B , C 都发生.
ABC .
(3) A ，B , C 至少有一个发生.
A B C.
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(5) A ，B , C 都不发生.
ABC .
(6) A ，B , C 不多于一个发生.
ABC
AB C A BC A B C.
(7) A ，B , C 不多于两个发生.
A B A B , 且 B A.
例：若A=“不大于7的整数”，B=“小于或者等于7 的整数”，则A=B。
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3) 和（并）事件 ：“事件A与B至少有一个发生”，称 为A与B的和事件，记为 例：某产品分为一，二，三，四 等品，其中一、二等品为合格品， 三、四等品为不合格品。若 Ai=“i 等品” (i=1，2，3 ,4）; B=“合格品”，C=“不合格品”， B A 则: B= A1+ A2 ， C= A3+ A4
1.1随机事件及其运算
在试验E中,人们除了关心所有的基本事件(样 本点)外,还可能关心满足某些特征的样本点是否 出现.比如“出现的点数是偶数”、“出现的点数 大于4”等事件是否会发生。
从集合的观点看， “出现的点数是偶数”这 一事件包含了样本空间中的三个样本点：2点、4 点、或6点；如果试验出现的结果是三个样本点中 的某一个，则该事件发生；反之如果该事件发生， 则试验的结果一定是这三个样本点中的某一个。
表示A与B同时发生所构成的事件.
类似地,事件A1，A2，…，An同时发生所构 成的事件表示为
A1∩A2∩…∩An 或 A1A2…An
例如若A=“出现偶数点”；B=“点数大于4”
则AUB ={2,4,5,6}； A∩B ={6}.
5.事件的差 记作 A-B
Ω
由包含在A中而又不包含在
B中的样本点构成的事件. 表示A发生而B不发
第一章 随机事件及其概率
自然界和社会生活中出现的现象大致上可 以分为两类：
确定性现象：在一定条件下一定会发生的 现象。如太阳从东方升起；苹果从树上掉落到 地上等。
随机现象：在相同条件下可能发生的结果 呈现出偶然性的现象。比如，随机掷一枚硬币， 结果可能出现正面朝上或反面朝上。
随机现象虽然在一次或少数几次试验中出 现的结果表现出偶然性，但在大量的重复试验 中又表现出一定的规律性——统计规律性。比 如通过进行大量的掷硬币试验，人们发现正面 朝上和反面朝上的频率接近相等。
随机事件:试验E的样本空间Ω的子集称为试验 E的随机事件,简称事件. 一般用大些字母A、B、 C等表示.
例如,记A表示“出现的点数是偶数”,则 A={2点,4点,6点}，
这里A是Ω的子集。
基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件
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1.1随机事件及其运算
请回答: 1. 什么是随机现象?试举例说明. 带有随机性、偶然性的现象. 随 机 现 象 的 特 点 当人们在一定的条件下对它加 以观察或进行试验时，观察或试验 的结果是多个可能结果中的某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确 知其结果，即呈现出偶然性. 或者 说，出现哪个结果“凭机会而定”.
请回答:
3. 何为随机事件? 随机事件有什么特点? 用一例说明之. 在一定条件下可能发生也可能不发生 的事件称为随机事件.
请回答:
8. 圆周率π =3.1415926……是一个无 限不循环小数，我国数学家祖冲之第 一次把它计算到小数点后七位,这个 记录保了1000多年！ 以后有人不断把它算得更精确. 1873年， 英国学者沈克士公布了一个π 的数值，它的 数目在小数点后一共有707位之多!
我们注意到 试验是在一定条件下进行的
试验有一个需要观察的目的
根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果. 试验的全部可能结果，是在试验前就明 确的；或者虽不能确切知道试验的全部可能 结果，但可知道它不超过某个范围. 而且， 每次试验的结果事先不可预言.
ห้องสมุดไป่ตู้本空间与事件
现代集合论为表述随机试验提供了一 个方便的工具 . 我们把随机试验的每个基本结果称为 样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为 样本空间. 样本空间用S或Ω表示. S
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
我们用P(A)表示事件A发生的概率，则 0≤P(A)≤1
事件发生的可能性 最小是零，此时 概率为0.
事件发生的可能性 最大是百分之百，此时 概率为1.
了解事件发生的可能性即概率的 大小，对人们的生活有什么意义呢？ 我先给大家举几个例子，也希望你 们再补充几个例子.
寿命试验 例如, 掷硬币试验 掷骰子试验 测试在同一工艺条件下生产 掷一枚硬币，观察出正还是反. 出的灯泡的寿命. 掷一颗骰子，观察出现的点数
H T
基本事件 （相对于观察目的 事 件
不 可再分解的事件）
如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点} i =1,2,3,4,5,6
复合事件
例如，了解发生意外人身事故的 可能性大小,确定保险金额.
了解来商场购物的顾客人数的各种 可能性大小，合理配置服务人员.
了解每年最大洪水超警戒线可能 性大小，合理确定堤坝高度.
在这一讲中，我们简要介绍了
随机试验 样本空间 随机事件及其概率
给出了事件的集合表示
事件在一次试验中是否发生具有随机性， 它发生的可能性大小是其本身所固有的 性质，概率是度量某事件发生可能性大 小的一种数量指标.它介于0与1之间.
随机现象有其偶然性的一面，也有 其必然性的一面，这种必然性表现 在大量重复试验或观察中呈现出的 固有规律性，称为随机现象的统计 规律性.而概率论正是研究随机现象 统计规律性的一门学科. 现在，就让我们一起，步入这充满随机 性的世界，开始第一步的探索和研究.
随机试验：
如果每次试验的可能结果不止一个， 且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样 的试验称为随机试验.
但是，经过几十年后，曼彻斯特的费 林生对它产生了怀疑. 原因是他统计了π 的608位小数，得到下面的表:
数字 出现次数 0
60
1
62
2
67
3
68
4
64
5
56
6
62
7
44 44
8
58
9
67
你能猜出他怀疑的理由吗?
各数码出现的频率应都接近于0.1,或 者说，它们出现的次数应近似相等. 但7出现的次数过少.
引入样本空间后，事件便可以表示为 样本空间的子集 . 例如，掷一颗骰子，观察出现的点数
样本空间：
S = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝
事件B就是S的一个子集
B发生当且仅当B中的样本点 1，3，5中的某一个出现.
B = {1,3,5｝
事件的概率 研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是事件的概率. 概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是
那么要问: 如何求得某事件的概率呢? 下面几节就来回答这个问题.
事件间的关系
• • • • • • 包含 并事件 交事件 差事件 互斥（互不相容） 对立事件
我们的生活和随机现象 结下了不解之缘.
随机现象例
下面的现象哪些是随机现象？
A. 太阳从东方升起；
B. 明天的最高温度；
C. 上抛物体一定下落；
D. 新生婴儿的体重.
请回答: 2. 随机现象是不是没有规律可言? 否！
在一定条件下对随机现象进行大量观测 会发现某种规律性.
比如，气体运动。又比如，多次测量求平均值。
如果试验是测试某灯泡的寿命：
则样本点是一非负数，由于不能确知寿 命的上界，所以可以认为任一非负实数都是 一个可能结果， 故样本空间 S = {t ：t ≥0｝
调查城市居民（以户为单位）烟、 酒的年支出，结果可以用（x，y）表示， x，y分别是烟、酒年支出的元数.
这时，样本空间由坐标平 面第一象限内一定区域内 一切点构成 . 也可以按某种标准把支出分为高、 中、低三档. 这时，样本点有（高,高）, （高,中），…，(低,低）等9种，样本空 间就由这9个样本点构成 .
（两个或一些基本事件并在一 起，就 构成一个复合事件） 事件 B={掷出奇数点}
两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用S或Ω表示;
即在一次试验中不可能发生的事件， 常用φ表示 . 例如，在掷骰子试验中， “掷出点数小于7”是必然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件.
下面我们来为随机试验建立一个数学模型
.
样本点e
如果试验是将一枚硬币抛掷两次， 则样本空间由如下四个样本点组成：
S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 样本空间在如下 其中 第1次 第2次 意义上提供了一个理 H H 想试验的模型： (H,H): (H,T)：
H T T T H T
(T,H):
(T,T)：
在每次试验中 必有一个样本点出 现且仅有一个样本 点出现 .