第3章 力矩和平面力偶系

F
F d m O (F )
B A
d F'
由于O点是任取的
x
O
m F d
+
—
性质3：力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替
代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
力偶的作用效果取决于三个因素：构成力偶的力、 力偶臂的大小、力偶的转向。 故在平面问题中用一带箭头的弧线来表示如图所求， 其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小 m表 示。
即:
mi 0
i 1
n
例：三铰拱 AC 的部分上作用有力偶，其力偶矩为 M 。已知 两个半拱的直角边成正比，即 a : b = c : a ，不计三铰拱自重，求 A、B 两点的约束力。
解：各杆受力图如图，由几何关系可得FA 、FC 垂直于AC 。建立平衡方程
M
解得：
FA
0:
M FA
+
-
说明：
①
M O ( F )是代数量。
② 影响转动的独立因素。 M 当F=0或d=0时， O ( F ) =0。
④单位Nm。 ⑤
M O (F )
=2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此可以视为代数值。
通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反 之为负（与力矩符号的规定相同）。在国际单位制中，力矩 的单位是牛顿•米（N•m）或千牛•米（kN•m）。
说明：
①力偶矩m是代数量，有+、-；
②F、 d 都不独立，只有力偶矩
③m的值：m=±2⊿ABC ； ④单位：N• m
m F d 是独立量；
解：以杆O1B 为研究对象，受力图如图，建立平衡方程
M
0:
M 2 F A O1 A 0
M
0:
M 2 F A O1 A 0
以曲柄OA 和套筒为研究对象，对于曲柄和套筒力偶只能 与力偶平衡，故力FA 、FO 必构成力偶。受力图如图，建立平 衡方程

由于
a b 0
2 2
M a b
2 2
F B F C F C F A
M a b
2 2
例：图示机构，套筒A 穿过摆杆 O1B ，用销子连接在曲柄OA 上，已知长为 a ，其上作用有力偶 M1 。在图示位置β=30o ，机 械能维持平衡。不计各杆自重及摩擦，试求在摆杆 O1B 上所加力 偶的力偶矩 M2 。
平面力系 ①平面汇交力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系)
平面汇交力系、平面力偶系和平面平行力系：平面特殊力系 力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向； 转动效应--取决于力矩的大小、方向。
§3-1 力矩的概念
一、平面中力对点之矩
力使刚体产生绕点转动效应的度量称为力对点之矩。 例如：扳手旋转螺母，开门、关门。
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各
分力对同一点的矩的代数和。
M O ( F R ) M O ( F1 ) M O ( F 2 ) M O ( F n )
M
O
(F )
[证] 由合力投影定理有：
od=ob+oc
M o ( F 2 ) 2 oAC oA oc M o ( R ) 2 oAD oA od
3、力偶的性质
（1）力偶无合力，不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。 （2）力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的 位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。 （3）力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此 力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
四、平面力偶等效条件
由右图知，力 F 使物体绕O点转动的 效应，不仅与力的大小有关，而且与O点
到力的作用线的垂直距离d 有关，故用乘 积F· 来度量力的转动效应。 d
力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以 符号Mo(F) 表示，记为：
M O ( F ) F d 2 AO B
通常规定：力使物体绕矩 心逆时针方向转动时为正，反 之为负。
§3-2 力偶的概念
一、力偶和力偶矩
作用于刚体上等值、反向、平行而不共线的 两个力组成的力系，记作（F,F’）
两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
1、力偶：
力偶作用面、力偶臂d
方向盘
（图a）司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力；
（图b）工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力；
M R A d ( P1 P2 ) d P1 d P2 d m1 m 2
结论:
M m1 m 2 m n m i
i 1 n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和
等于零。
力偶在同一刚体内是一自由矢量
§3-3
平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系：作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m 1 F1 d 1 ;
又 m 1 P1 d
m 2 P2d
'
R A P1 P2'
R B P1' P2
'
m 2 F2 d 2
合力矩
M 0:
M 1 F A O A sin 30 0
o
FA FA
O A O 1 A sin 30
o
解得：
M 2 4M1
第三章
一、力对点之矩
M O ( F ) F h 2 O A B
力矩与平面力偶系
正负规定：力使刚体绕点逆时针转为正，顺时针转为负。
二、合力矩定理
M O ( F R ) M O ( F1 ) M O ( F 2 ) M O ( F n )
M
O
(F )
⑴ 平面力系合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩的 代数和。 ⑵ 合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。
三、力偶和力偶矩
作用于刚体上等值、反向、平行而不共线的两个力组成的力系 1、力 偶 2、力偶矩 力偶对物体转动效应的量度
• 由此可得力矩的性质： （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小， 还与矩心的位置有关。力矩随矩心的位置 变化而变化。 （2）力对任一点之矩，不会因该力的作用 点沿其作用线移动而改变，再次说明力是 滑移矢量（这也符合力的可传性）。 （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心 时，力矩等于零。互成平衡的两个力对同 一点之矩的代数和为零。
（图c）以及用两个手指拧动水龙头所加的力等等。
力偶只能使物体产生转动，不能使物体产生移动。
力偶不能与一个力等效，力和力偶是静力学中两个基本元素。
2、力偶矩：
作为力偶对物体转动效应的量度， 称为力偶矩。用M 或M(F ,F′)表示。 在平面问题中，将力偶中的一个力 的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，即 M(F)＝F•d=±2ΔABC
C F
B A d
F'
3、力偶的性质
性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
它在任一轴上投影的代数和均为零——故不能与一个力等效。
F
R=F'-F=0
d F'
力偶 无合力
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而
与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。
M O ( F ) M O ( F ') F ( x d ) F ' x
i 1
n
平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。
mi 0
i 1
n
二、平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小 相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。
例如：双手操作方向盘
M ( F , F ) M ( F 1 , F 1)
可得下列两个推论：
⑴力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。
⑵ 保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力 偶中的力和力偶臂，不改变对刚体的作用效应。
工程力学
Engineering Mechanics
华东交通大学
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of East China Jiaotong University
第三章 力矩和平面力偶系
引 言
力偶矩矢等效条件是两个力偶矩矢相等。
推论：
（1）力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。
（2）保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力偶中的力和力偶臂，不 改变对刚体的作用效应。
五、平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。
M m1 m 2 m n m i
又∵ M o ( F1 ) 2 oAB oA ob
现 M o ( R ) M o ( F1 ) M o ( F2 ) 证 毕
例：求图所示力F 对A 点之矩。
解：将力F 分解两垂直的力Fx 、Fy ，由合力矩定理可得
M A ( F ) M A ( F x ) M A ( F y ) F cos b F sin a