工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
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工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解
FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
第三章 力偶与平面力偶理论)
M 0 F F h
力对点之矩（力矩）是一个代数量，它的绝 对值等于力的大小与力臂的乘积；
它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 常用单位为 N· m 或 kN· m。 注意：力矩在下列几种情况下等于零 （1）力的大小等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零；
（3） 互成平衡的二力对同一点之矩为零。
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
F cos θ r 78.93N m
例3-2 已知：q,l； 求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
M Mi Mi
i 1 n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: M O F .
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
M1 F1 d M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶 彼此等效。 推论： 任一力偶可在它的作用面内任意转移，而不改变它对刚体 的作用。因此力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无 关。 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与 力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
工程力学 第3章 力偶系
M 2 F2 , F2'
M F1'
r1
F F1 F2 F ' F1' F2'
F2' MR F, F '
F2
F1 F
M2
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且
第三章 力偶系
§1 力对点之矩矢 一、 平面力对点之矩（回顾）
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。
BF
dA L
O
力F对O点之矩定义为： Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩 为正，反之为负。
第三章 力偶系
二、力对点之矩矢量 1、空间力矩三个要素：
一、力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三章 力偶系
B d
F’
F A
M
B
F
rBA
F’ d A
1. 定义：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力 称为力偶，用符号 ( F , F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离 d 称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MO z
O xr
第三章 平面力偶系
1教师：薛齐文土木与安全工程学院力学教研室第三章力矩与平面力偶系§3–1 力对点之矩§3–2 力偶与力偶矩§3–3 力偶的等效§3–4 平面力偶系的合成与平衡24①是代数量。
)(F M O ②是影响转动的独立因素。
)(F M O ④=2⊿AOB =F •d ,2倍⊿形面积。
)(F M O -+d F F M O ⋅±=)(大小和转向：说明：③单位N •m，工程单位kgf •m。
力矩的性质：1）力矩取决于力F 的大小，也取决于矩心的位置。
2）力矩不因力沿其作用线移动改变。
3）力矩的力F=0或力F 过矩心时，力矩为零。
4）互成平衡的两力对同一点的矩的代数和为零；F yF x9．1实例：方向盘、水龙头、钥匙；2 基本定义力偶：是一对等值、反向、作用线相互平行的力；用（F ，F ‘）表示。
力偶作用面：力偶中的两力所确定的平面；力偶臂：力偶中的两力作用线之间的距离。
§3—2 力偶及其性质一力偶研究力偶对物体的作用效应？如何度量？101 定义：力偶对物体的转动效应的度量。
2表示：M=Fd3力偶矩正负及单位：逆正顺负，kN.m或N.m 4几何表示：等于以一力为底边，另一力的作用线上的任一点为顶点所构成的三角形的面积的两倍。
二力偶矩ABC d F d F M Δ±=⋅⋅⋅±=⋅±=2212力偶矩两要素：大小：方向：-+= =13F=3Nd=2m F=9N M=18Nmd=6m15;111d F m =∵222d F m −=dP m 11=又dP m 22′−='21P P R A −=2'1P P R B −=21'21'21)( m m d P d P d P P d R M A +=−=−=⋅=∴合力矩§2-4平面力偶系的合成与平衡平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶设有两个力偶d d一平面力偶系合成FAFBm−mmm−0 2=−−21。
工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ）与 之平衡。
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
工程力学03-力矩 平面力偶系
力偶只能与力偶平衡！
例 题 1
FA
M1 M3 M2
M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l=200 mm 。求两个光滑螺 柱所受的水平力。
A
解：选工件为研究对象，因为力偶只能与
力偶平衡，所以，力FA与FB构成一力 偶，故FA= FB 。列写平衡方程 FB
B
由∑M = 0， F l M M M 0 A 1 2 3
A FA M B
FB
例 题 2
A l D
M B A
FA
M B
45
FB
列平衡方程：
M 0,
M FA l cos 45 0
M 2M 解得： FA FB l cos 45 l
例 题 3 如图所示的铰接四连杆机构，杆重不计，已知
OA=r，DB=2r，α=30°，试求平衡时力偶M1和M2 关系。
§3-2 力偶与力偶矩
2. 平面力偶的性质 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基 本力学量。
力和力偶是静力学的两个基本要素
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶
矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体 的效应用力偶矩度量。
力偶矩的三个要素： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用平面
A F
M Mi
平衡条件：
d
B
Mi 0
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系的合成
的代数和。
M Mi
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
平面力偶系的平衡条件
于零。
Mi 0
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系中所有各力偶矩的代数和等于零。
Mi 0
平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力 偶矩等于力偶系中所有各力偶矩的代数和。
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
例 3-3
Me
Me
A
B
FA A
Mi 0
Me – FAl=0
FA=FB= Me /l=100N
小节
§3-1 关于力矩的概念与计算 §3-2 关于力偶的概念 §3-3 平面力偶系的合成与平衡
§3-1 关于力矩的概念及其计算
力对物体作用时可以产生移动和转动两个外效 应。
§3-1 关于力矩的概念及其计算
力F对O点之矩定 义为：
Mo(F)＝±Fd
矩心：Ｏ；
力臂：d。 通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，
合力矩定理：
y Fy
Mo(FR)=FRd=FRrsin(α-θ) =FRr(sinα cosθ-sinθ cosα)
FR
=FRsinα rcosθ-rsinθ FRcosα =xAFy - yA Fx
α
=Mo(Fy)+Mo(Fx)
y’ O
r
xA A
θ θ
α-αθ
yA
Fx
FRsinα=Fy; FRcosα = Fx; x rsinθ =yA; rcosθ = xA.
力矩为正，反之为负。
§3-1 关于力矩的概念及其计算
在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及 其旋转的方向（力矩正负），可视为一个代数量。
力矩的单位是牛顿•米（N•m）。 力F对点O的矩也可用图中∆OAB的面积的2倍表示：
Mo(F)＝±2A∆OAB
§3-1 关于力矩的概念及其计算
特性：
投影为0； 力偶不能合成为一个力。 F’
力偶对物体不产生移动 O
-
效应，只产生转动效应.
ab
+
x
cd
注意：既然力偶在任何坐标 轴上的投影等于零，那它的 合力也等于零。这种说法对 不对？
不对，在任何坐标轴上投
影为零的力系合力为零是针 对平面汇交力系。
§3-2 关于力偶的概念
力偶矩 ：力偶对物体的转动效应。
M(F, F’)＝±Fd
M (F , F ) 2 AABC 力偶的三要素：力偶距的大小、力偶
A
C
d
F
O
Bx
F
的转向、力偶的作用面。
力偶对作用面内任一点之矩的大小恒等于力偶中 一力的大小和力偶臂的乘积，与矩心的位置无关。
§3-2 关于力偶的概念
(1)根据加减平衡力系公理， 对受力偶(F,F’)作用的刚体 增加一对平衡力(Q,Q’)，不 改变刚体的作用效应，则有 (F,F’) =(F,F’ ,Q,Q’)。
(2)由力F,Q求得合力P，由 力F’,Q’，从而有 (F,F’ ,Q,Q’) Q =(P,P’) 。
(3)将力P和P’沿各自的作用 P
线移至任意点A’，B’，根
据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
A′
P1′
P1
B′
F′ P′
A
B Q′
F
§3-2 关于力偶的概念
(4) M (F, F) AB BD 2AABD, M（P, P'） AB BC 2AABC
【例】扳手上受力F作用F=200N,a=30°,OA=20cm，计算该
力对螺母O之矩。 MO(F) F d F OA cos a 200 0.2 cos 30o
O
y
F Aa
34.64N m
d
根据合力矩定理，还可以将F分解到
D
x
如图所示x,y方向分别计算其对O点力矩，
在求和得F对O点之矩。
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
F1d1 ＝ F11d＝M1
F’ 1
F1
F’ 2
F2
F’22
d
F1R1
F’1R1
F22
F2d2＝ F22d＝-M2
MR ＝ FRd＝ （F11-F22）d＝ F11 d -F22 d ＝ M1+M2
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
平衡 平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个
力作用线所决定的平
面
§3-2 关于力偶的概念
F
d
F
d
F
转动游戏方向盘
F
拧水龙头
F
d
F
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
力偶的性质：
y
力偶在任何坐标轴上的
d
x’ y' AD Mo(Fx)=- yA Fx
D
y' AO
Mo(Fy)=xA Fy
OAD
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
平面汇交力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系 中各分力对同一点之矩的代数和。
三角函数和角公式:正余同余正，余余反正正。
§3-1 关于力矩的概念及其计算
等效？为什么？
z
F2
O
x F1
F1
F2 y
力偶等效，必须在同一平面内
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系：物体上作用的若干力偶的作用 面在同一平面内。
合成
在平面力偶系中，力偶矩是代数量，力偶 的合成即是代数量相加。
MR M1 M2 …… Mn Mi
平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶 矩等于力偶系中所有各力偶矩的代数和。
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。 力矩随矩心的位置变化而变化。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
显然，AABD AABC
Q
并注意到力偶矩的转向也相同，
则有M (F, F) M (P, P)
P
显然，M (P1, P1) M (P, P)
从而有M，(F, F) M (P1, P1)
A′
P1′
P1
b
D
B′
F′
C
P′
A
A
B Q′
F
力偶等效
M (F, F) M (P1, P1)
§3-2 关于力偶的概念
同一平面内力偶的等效定理：
在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩大小相等，而且 转向相同，则此两力偶等效。
推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对 物体的效应。
推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力 偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效应。
一力偶( F1 , F1 )作用在平面Oxy内，另一力偶( F2 , F2)作用在 平面Oyz内，他们的力偶矩大小相等。试问此两力偶是否
Mi 0
平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力 偶矩等于力偶系中所有各力偶矩的代数和。
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
例 3-3
Me
Me
A
B
FA A
Mi 0
Me – FAl=0
FA=FB= Me /l=100N
小节
§3-1 关于力矩的概念与计算 §3-2 关于力偶的概念 §3-3 平面力偶系的合成与平衡
§3-1 关于力矩的概念及其计算
力对物体作用时可以产生移动和转动两个外效 应。
§3-1 关于力矩的概念及其计算
力F对O点之矩定 义为：
Mo(F)＝±Fd
矩心：Ｏ；
力臂：d。 通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，
合力矩定理：
y Fy
Mo(FR)=FRd=FRrsin(α-θ) =FRr(sinα cosθ-sinθ cosα)
FR
=FRsinα rcosθ-rsinθ FRcosα =xAFy - yA Fx
α
=Mo(Fy)+Mo(Fx)
y’ O
r
xA A
θ θ
α-αθ
yA
Fx
FRsinα=Fy; FRcosα = Fx; x rsinθ =yA; rcosθ = xA.
力矩为正，反之为负。
§3-1 关于力矩的概念及其计算
在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及 其旋转的方向（力矩正负），可视为一个代数量。
力矩的单位是牛顿•米（N•m）。 力F对点O的矩也可用图中∆OAB的面积的2倍表示：
Mo(F)＝±2A∆OAB
§3-1 关于力矩的概念及其计算
特性：
投影为0； 力偶不能合成为一个力。 F’
力偶对物体不产生移动 O
-
效应，只产生转动效应.
ab
+
x
cd
注意：既然力偶在任何坐标 轴上的投影等于零，那它的 合力也等于零。这种说法对 不对？
不对，在任何坐标轴上投
影为零的力系合力为零是针 对平面汇交力系。
§3-2 关于力偶的概念
力偶矩 ：力偶对物体的转动效应。
M(F, F’)＝±Fd
M (F , F ) 2 AABC 力偶的三要素：力偶距的大小、力偶
A
C
d
F
O
Bx
F
的转向、力偶的作用面。
力偶对作用面内任一点之矩的大小恒等于力偶中 一力的大小和力偶臂的乘积，与矩心的位置无关。
§3-2 关于力偶的概念
(1)根据加减平衡力系公理， 对受力偶(F,F’)作用的刚体 增加一对平衡力(Q,Q’)，不 改变刚体的作用效应，则有 (F,F’) =(F,F’ ,Q,Q’)。
(2)由力F,Q求得合力P，由 力F’,Q’，从而有 (F,F’ ,Q,Q’) Q =(P,P’) 。
(3)将力P和P’沿各自的作用 P
线移至任意点A’，B’，根
据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
A′
P1′
P1
B′
F′ P′
A
B Q′
F
§3-2 关于力偶的概念
(4) M (F, F) AB BD 2AABD, M（P, P'） AB BC 2AABC
【例】扳手上受力F作用F=200N,a=30°,OA=20cm，计算该
力对螺母O之矩。 MO(F) F d F OA cos a 200 0.2 cos 30o
O
y
F Aa
34.64N m
d
根据合力矩定理，还可以将F分解到
D
x
如图所示x,y方向分别计算其对O点力矩，
在求和得F对O点之矩。
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
F1d1 ＝ F11d＝M1
F’ 1
F1
F’ 2
F2
F’22
d
F1R1
F’1R1
F22
F2d2＝ F22d＝-M2
MR ＝ FRd＝ （F11-F22）d＝ F11 d -F22 d ＝ M1+M2
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
平衡 平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个
力作用线所决定的平
面
§3-2 关于力偶的概念
F
d
F
d
F
转动游戏方向盘
F
拧水龙头
F
d
F
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
力偶的性质：
y
力偶在任何坐标轴上的
d
x’ y' AD Mo(Fx)=- yA Fx
D
y' AO
Mo(Fy)=xA Fy
OAD
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
平面汇交力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系 中各分力对同一点之矩的代数和。
三角函数和角公式:正余同余正，余余反正正。
§3-1 关于力矩的概念及其计算
等效？为什么？
z
F2
O
x F1
F1
F2 y
力偶等效，必须在同一平面内
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系：物体上作用的若干力偶的作用 面在同一平面内。
合成
在平面力偶系中，力偶矩是代数量，力偶 的合成即是代数量相加。
MR M1 M2 …… Mn Mi
平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶 矩等于力偶系中所有各力偶矩的代数和。
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。 力矩随矩心的位置变化而变化。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
显然，AABD AABC
Q
并注意到力偶矩的转向也相同，
则有M (F, F) M (P, P)
P
显然，M (P1, P1) M (P, P)
从而有M，(F, F) M (P1, P1)
A′
P1′
P1
b
D
B′
F′
C
P′
A
A
B Q′
F
力偶等效
M (F, F) M (P1, P1)
§3-2 关于力偶的概念
同一平面内力偶的等效定理：
在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩大小相等，而且 转向相同，则此两力偶等效。
推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对 物体的效应。
推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力 偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效应。
一力偶( F1 , F1 )作用在平面Oxy内，另一力偶( F2 , F2)作用在 平面Oyz内，他们的力偶矩大小相等。试问此两力偶是否